Exercícios Resolvidos - Cônicas: Elipse, Hipérbole e Parábola

Considere as cônicas abaixo Considere as cônicas como na figura cima lembrando que às vezes é necessário adaptar as figuras para que o foco ou os focos estejam no eixo y As figuras também podem não estar na escala correta OBS nesta questão use ponto como separador decimal P ex 23 escrevese como 067 OBS2 os itens a b e c valem o mesmo ponto Os itens d e e valem cada um metade do item a a A distância B1F1 da elipse descrita por 716 x² 19 y² 1 é campo em branco b A distância B1F1 da hipérbole descrita por x²33 y²32 1 é campo em branco c A distância VB1 da parábola descrita por 7y x² 0 é campo em branco d A hipérbole descrita por x²25 y²26 1 tem uma assíntota descrita por y mx n O valor de m n com m 0 é campo em branco e A hipérbole descrita por x²24 y²29 1 tem uma assíntota descrita por y mx n O valor de m n com m 0 é campo em branco As cônicas determinadas pelas equações 7y² 1x² 7 1y 4x² 7 2y 5x² 8 descrevem respectivamente Escolha uma opção a uma hipérbole uma parábola e uma parábola b uma hipérbole uma parábola e uma elipse c nenhuma das outras alternativas d uma parábola uma elipse e uma parábola e uma elipse uma parábola e uma parábola f uma hipérbole uma hipérbole e uma hipérbole Quando não especificado assuma que as coordenadas são dadas em relação a uma base ortonormal ij no plano e ijk no espaço esta última de mão direita positiva Nas questões numéricas caso não seja especificado escreva o valor numérico com duas casas decimais Por exemplo 067 no lugar de 23 Tome cuidado com os cálculos intermediários se você mantiver apenas 2 casas nas contas intermediárias o resultado final pode não ter 2 casas de precisão Por exemplo 100 23 100 067 6700 mas o resultado correto é 6667 A tolerância padrão é de 001 Portanto valores entre 6666 e 6668 serão considerados corretos Não há problema se a precisão é maior Por exemplo 6666 ou 66673 será considerado correto enquanto que 667 não Em algumas questões pode ser pedido explicitamente que a precisão tenha mais que 2 casas decimais ou podese permitir uma precisão menor Encontre a equação da circunferência com centro na reta y 3x e que passa pelos pontos 26 e 04 Escreva o valor do raio com duas casas decimais e mantenha contas intermediárias com pelo menos 3 casas Resposta Seja o plano π x 2y z 6 0 e a superfície esférica S x² 8x y² 4y z² 8z 35 0 O ponto em S mais próximo do plano π é a 4 16 2 16 4 32 b 4 16 24 12 c 4 23 2 16 4 d 4 16 2 32 4 16 e 4 32 2 16 4 16 Questão 1 Encontre a equação da circunferência com centro na reta y 3x e que passa pelos pontos 2 6 e 0 4 Escreva o valor do raio com duas casas decimais e mantenha contas intermediárias com pelo menos 3 casas Resposta Solução 158 Obs Veja com o professor por favor se o separador decimal deve ser ponto ou vírgula Questão 2 Seja o plano pi x 2y z 6 0 e a superfície esférica S x2 8x y2 4y z2 8z 35 0 O ponto em S mais próximo do plano pi é a 4 1sqrt6 2 14 4 sqrt23 b 4 1sqrt6 2 4 1sqrt6³ c 4 1sqrt6 2 sqrt23 4 d 4 1sqrt6 2 sqrt23 4 1sqrt6 e 4 sqrt23 2 1sqrt6 4 1sqrt6 Solução d 4 1sqrt6 2 sqrt23 4 1sqrt6 Questão 3 Solução a uma hipérbole uma parábola e uma parábola Questão 4 Solução a 436 b 990 c 391 d 102 e 091 2 Questão 1 A equação reduzida de uma circunferência com centro em x0 y0 e de raio r pode ser escrita na forma x x02 y y02 r2 Como o centro da circunferência está na reta y 3x podemos extrair que y0 3x0 ou seja x x02 y 3x02 r2 Além disso 2 6 e 0 4 pertencem à circunferência Dessa forma 2 x02 6 3x02 r2 0 x02 4 3x02 r2 Igualando os membros esquerdos das duas equações obtemos 2 x02 6 3x02 0 x02 4 3x02 4 4x0 x02 36 36x0 9x02 x02 16 24x0 9x02 4x0 36x0 24 x0 16 4 36 16 x0 24 x0 2416 32 Assim podemos obter o valor do raio fazendo r2 0 x02 4 3x02 322 4 3322 94 14 104 r sqrt104 sqrt102 approx 158 Resposta final 158 Questão 2 A equação da esfera é dada por x2 8x y2 4y z2 8z 35 Completando quadrados na equação acima podemos escrever x2 8x 16 y2 4y 4 z2 8z 16 35 16 4 16 x 42 y 22 z 42 1 Dessa forma obtemos que o centro da esfera é 4 2 4 e o raio da esfera é r 1 Da equação geral do plano extraímos o vetor normal n 1 2 1 O ponto da esfera que estamos procurando pode ser obtido a partir do centro da esfera no direção do vetor normal ao plano Para obter tal deslocamento podemos obter um versor de n e multiplicálo pelo raio de modo a obter v r n n 1 1 2 1 sqrt12 22 12 1sqrt6 sqrt23 1sqrt6 Dessa forma há duas respostas candidatas A 4 1sqrt6 2 sqrt23 4 1sqrt6 e B 4 1sqrt6 2 sqrt23 4 1sqrt6 Para saber qual das duas respostas é a procurada calculamos as distâncias destes pontos ao plano dA pi 14 1sqrt6 22 sqrt23 14 1sqrt6 6 sqrt6 4 1sqrt6 4 4sqrt6 4 1sqrt6 6 sqrt6 10 6sqrt6 sqrt6 10 6sqrt6 sqrt6 approx 308 dB pi 14 1sqrt6 22 sqrt23 14 1sqrt6 6 sqrt6 4 1sqrt6 4 4sqrt6 4 1sqrt6 6 sqrt6 10 6sqrt6 sqrt6 10 6sqrt6 sqrt6 approx 508 Logo A 4 1sqrt6 2 sqrt23 4 1sqrt6 é o ponto procurado Resposta final d 4 1sqrt6 2 sqrt23 4 1sqrt6 Questão 3 Para identicar as cônicas dadas pelas equações fornecidas basta escrever cada cônica na forma reduzida 7y2 x2 7 7y2 x2 7 y2 1 x2 7 1 Hiperbole y 4x2 7 y7 4x2 Parabola 2y 5x2 8 2y8 5x2 Parabola Resposta final a uma hipérbole uma parábola e uma parábola 3 Questão 4 a Dada a equação x214 y219 1 temos que a2 19 e b2 14 Por construção sabese que B1F1 a 19 436 Resposta final 436 b Dada a equação x233 y232 1 temos que a2 32 e b2 33 Por construção sabese que c2 a2 b2 32 33 65 Então B1F1 b2 c2 33 65 98 990 Resposta final 990 c Dada a equação 7y x2 0 7y x2 Logo 2p 7 ou seja p2 74 Então xB1 774 72 Logo B1 72 74 Portanto VB1 722 742 24516 2454 391 Resposta final 391 d Dada a equação x2 25 y2 26 1 temos que a2 25 e b2 26 Por construção sabese que para m 0 m b a 26 25 102 Além disso n 0 pois a hipérbole tem centro na origem Resposta final 102 e Dada a equação y2 24 x2 29 1 temos que a2 24 e b2 29 Por construção sabese que como o eixo real é paralelo ao exido dos y para m 0 temos m a b 24 29 091 Além disso n 0 pois a hipérbole tem centro na origem Resposta final 091 5