Exercícios Resolvidos de Geometria Analítica e Vetores

Quando não especificado assuma que as coordenadas são dadas em relação a uma base ortonormal i j no plano e i j k no espaço esta última de mão direita positiva Nas questões numéricas caso não seja especificado escreva o valor numérico com duas casas decimais Por exemplo 067 no lugar de 23 Tome cuidado com os cálculos intermediários se você mantiver apenas 2 casas nas contas intermediárias o resultado final pode não ter 2 casas de precisão Por exemplo 100 23 100 067 6700 mas o resultado correto é 6667 A tolerância padrão é de 001 Portanto valores entre 6666 e 6668 serão considerados corretos Não há problema se a precisão é maior Por exemplo 6666 ou 66673 seria considerado correto enquanto que 667 não Em algumas questões pode ser pedido explicitamente que a precisão tenha mais que 2 casas decimais ou podese permitir uma precisão menor Questão 1 2uv x v4 wv 2uv x v 2uv x 4w v 2u x v v x v 2u x 4 w v x 4w v 2 u x v v x v 8 u x w4 v x w v 2 u x v vv x v v8 ux w v4 v x wv 008 ux w v0 8 u xw v 8 u x v w 8 1 8 Questão 2 Pelos dados temos BMBC 4 Logo MBCB 4 MB CB 4 M203 455 203 4 M203 258 4 M203 2 4 5 4 2 M 4 2 03 1 2 5 4 2 M 5 2 5 4 1 Assim a área é dada por Atri1 2AC x AM Atri1 2CA x MA Atri1 2455313 x 5 2 5 4 1313 Atri1 2455313 x 5 2 5 4 1313 Atri1 216 8 x 5 2 5 4 1 6 2 4 4 3 Atri1 216 8 x 1 2 9 4 2 Atri1 2 i j k 1 6 8 1 2 9 4 2 Atri1 21218i42 j 9 4 3k Atri1 26 i6 j 9 4 12 4 k Atri1 26 i6 j 21 4 k Atri1 2 3636 21 4 2 Atri4 99 Questão 3 Aqui devemos calcular a seguinte distância Esta altura é dada por hvsinθwsin ϕ hv1cosθ 2w1cos ϕ 2 hv 1 v u vu 2 w 1 wu wu 2 h230 1 230u 230u 2 212 1 212u 212 u 2 h230 1 230 101 230101 2 212 1 21210 1 212101 2 h49 1 200 4911 2 414 1 202 414 11 2 h13 1 2 132 2 310 2 h131 4 26 3 h632 Questão 4 A equação da circunferência centrada em P é dada por x2 2 y4 2r 2213 252 Mas temos r 3 x2 y20 Logo uma equação para a reta s pode ser s2x3 y d0 Mas como s passa por P temos 2 23 4 d0 412d0 d16 Assim temos s2x3 y160 Assim temos x3 2 y8 Substituindo no circulo temos 3 2 y82 2 y4 252 3 2 y6 2 y4 252 9 4 y 218 y36 y 28 y1652 9 4 y 218 y y 28 y0 94 4 y 226 y0 Logo uma soluçaõ é y0e a outra é dada por 13 4 y260 13 4 y26 1 4 y2 y8 Logo temos P1 3 2 080 P2 3 2 888 P180 P21288 P180 P248 Seja um paralelepípedo com vetores u v e w Seja o paralelepípedo como na figura acima com vetores u1 0 1 v2 3 0 e w2 1 2 Calcule a altura do paralelepípedo relativa à base contendo u e v Note que a figura pode não estar na escala correta Duas retas perpendiculares r e s se interceptam no ponto P2 4 Os pontos x y da reta r obedecem a equação r 3x 2y 2 0 Os pontos em s que distam 213 de P são Escolha uma opção a 2 2 e 6 10 b 7 1 e 5 9 c 8 0 e 4 8 d 9 1 e 5 9 e 7 6 e 1 10 Questão 1 2𝑢 𝑣𝑥𝑣 4𝑤 𝑣 2𝑢 𝑣𝑥𝑣 2𝑢 𝑣𝑥4𝑤 𝑣 2𝑢𝑥𝑣 𝑣𝑥𝑣 2𝑢𝑥4𝑤 𝑣𝑥4𝑤 𝑣 2𝑢 𝑥 𝑣 𝑣 𝑥 𝑣 8𝑢 𝑥 𝑤 4𝑣 𝑥 𝑤 𝑣 2𝑢 𝑥 𝑣 𝑣 𝑣 𝑥 𝑣 𝑣 8𝑢 𝑥 𝑤 𝑣 4𝑣 𝑥 𝑤 𝑣 0 0 8𝑢 𝑥 𝑤 𝑣 0 8𝑢 𝑥 𝑤 𝑣 8𝑢 𝑥 𝑣 𝑤 81 8 Questão 2 Pelos dados temos 𝐵𝑀 𝐵𝐶 4 Logo 𝑀 𝐵 𝐶 𝐵 4 𝑀 𝐵 𝐶 𝐵 4 𝑀 20 3 4 55 20 3 4 𝑀 20 3 2 58 4 𝑀 20 3 2 4 5 4 2 𝑀 4 2 0 3 1 2 5 4 2 𝑀 5 2 5 4 1 Assim a área é dada por 𝐴𝑡𝑟𝑖 1 2 𝐴𝐶 𝑥 𝐴𝑀 𝐴𝑡𝑟𝑖 1 2 𝐶 𝐴 𝑥 𝑀 𝐴 𝐴𝑡𝑟𝑖 1 2 4 55 31 3 𝑥 5 2 5 4 1 31 3 𝐴𝑡𝑟𝑖 1 2 4 55 3 13 𝑥 5 2 5 4 1 3 13 𝐴𝑡𝑟𝑖 1 2 1 68 𝑥 5 2 5 4 1 6 2 4 4 3 𝐴𝑡𝑟𝑖 1 2 1 68 𝑥 1 2 9 4 2 𝐴𝑡𝑟𝑖 1 2 𝑖 𝑗 𝑘 1 6 8 1 2 9 4 2 𝐴𝑡𝑟𝑖 1 2 12 18𝑖 4 2𝑗 9 4 3 𝑘 𝐴𝑡𝑟𝑖 1 2 6𝑖 6𝑗 9 4 12 4 𝑘 𝐴𝑡𝑟𝑖 1 2 6𝑖 6𝑗 21 4 𝑘 𝐴𝑡𝑟𝑖 1 2 36 36 21 4 2 𝐴𝑡𝑟𝑖 499 Questão 3 Aqui devemos calcular a seguinte distância Esta altura é dada por ℎ 𝑣 sin 𝜃 𝑤 sin 𝜙 ℎ 𝑣1 cos 𝜃2 𝑤1 cos 𝜙2 ℎ 𝑣1 𝑣 𝑢 𝑣𝑢 2 𝑤1 𝑤 𝑢 𝑤𝑢 2 ℎ 2 301 2 30 𝑢 2 30𝑢 2 2121 212 𝑢 212𝑢 2 ℎ 2 301 2 30 10 1 2 3010 1 2 2121 212 10 1 21210 1 2 ℎ 4 91 2 0 0 4 91 1 2 4 1 41 2 0 2 4 1 41 1 2 ℎ 131 2 132 2 31 02 ℎ 131 4 26 3 ℎ 632 Questão 4 A equação da circunferência centrada em 𝑃 é dada por 𝑥 22 𝑦 42 𝑟2 213 2 52 Mas temos 𝑟 3𝑥 2𝑦 2 0 Logo uma equação para a reta s pode ser 𝑠2𝑥 3𝑦 𝑑 0 Mas como 𝑠 passa por 𝑃 temos 22 34 𝑑 0 4 12 𝑑 0 𝑑 16 Assim temos 𝑠 2𝑥 3𝑦 16 0 Assim temos 𝑥 3 2 𝑦 8 Substituindo no circulo temos 3 2 𝑦 8 2 2 𝑦 42 52 3 2 𝑦 6 2 𝑦 42 52 9 4 𝑦2 18𝑦 36 𝑦2 8𝑦 16 52 9 4 𝑦2 18𝑦 𝑦2 8𝑦 0 9 4 4 𝑦2 26𝑦 0 Logo uma soluçaõ é 𝑦 0e a outra é dada por 13 4 𝑦 26 0 13 4 𝑦 26 1 4 𝑦 2 𝑦 8 Logo temos 𝑃1 3 2 0 80 𝑃2 3 2 8 8 8 𝑃1 80 𝑃2 12 8 8 𝑷𝟏 𝟖𝟎 𝑷𝟐 𝟒𝟖 Please provide an image with visible text for extraction This image appears to be blank or does not contain extractable text