Notas sobre Poço Quântico e Tunelamento - 10 de Novembro de 2009

Notas para BC0332 poço quântico e tunelamento 10 de novembro de 2009 Existem dois tipos de problemas que queremos resolver Em um primeiro caso a partículas não estão presas e por isso estudamos o movimento de um pacote de ondas Isso ocorre no poço com energia da partícula maior que a energia da barreira ou no problema de tunelamento O problema deve ser encarado como um pacote de ondas incidente e por isso escrevemos as soluções como funções das amplitudes da onda original Por exemplo no problema do poço finito com energia E V0 procuramos soluções da forma ψ x d Aeikx Reikx ψ d x d Beipx Ceipx ψ x d Deikx onde entendemos A como a amplitude de uma onda que se movimento da esquerda para a direita R a amplitude da onda refletida na interface em d B a amplitude da onda que passa da interface e se movimenta da esquerda para a direita C a amplitude da onda que é refletida na interface em d e finalmente D a amplitude da onda que se propaga para a direita a partir da interface em d Vamos chamar esse tipo de problema de problemas com solução livre O segundo caso ocorre quando a partícula fica presapoço finitoinfinito Ou seja elas se encontram em um estado localizado em uma região do espaço Vamos chamar esse tipo de problema de problemas com solução localizada Note que uma diferença importante é que no caso livre as soluções serão funções da energia da partícula incidente Já no caso localizado as condiçoes de contorno determinam completamente o sistema de equações o que implica que a energia só admite alguns valores a energia fica quantizada 1 Soluções tipo localizada 11 poço infinito V x x 0 0 0 x d x d as soluções para a equação são ψ x 0 0 ψ 0 x d Beikx Ceikx ψ x d 0 1 onde 12 k E 2m porém as condigdes de contorno sao 0 0 d 0 com isso BC 0 Be 4 Cewtht 0 usando a primeira equacao B C cikd pikd 9 kd7n onde n 1 23 ou seja a energia é poker 2m d finalmente devemos usar a condigao de normalizagao ax ee 1 com isso chegamos a conclusao que vx0 0 2 VW0ad sin vad 0 12 poco finito Yo xd Va40 dad Y xd 2 121 Energia menor que a barreira EF Vo wad Ae wdaxd BeCe wad De 2mE 2m Vo F Poe eB Como a solugao tem de ser simétria ou antisimetrica temos 2 possibilidades Wad Ae Wwdad Bsinpzx wexd Ae ou wad Ae wdad Bcospz wad Ae as equacoes para a solucao antisimétrica sao Ae Bsin pd kAe Bpcos pd 1 1 Eo 5 tan pd tan pd E V2mE tan d YE h Para a solugao simétrica as equagoes sao Ae Bcos pd kAe Bpsin pd cot pd E V2mE cot d YE h 3 2 Solucoes tipo livres 21 Potencial degrau ascendente 0 0 Vey Yo d0 211 Energia maior que a energia da barreira Ae 4 Be 4 0 Vt 4 0 ion Ce c0 2nE 2m E Yo BV oP Va Note que a solucgao nao pode ser normalizada Devemos entender que na realidade estamos resolvendo o problema de um pacote de ondas A solugéo acima corresponde a uma componente do pacote Impondo a continuidade da funcgao de onda e da sua derivada ABC kAkB pC ABC Pp AB C k somando as duas equacoes 24 12C kp Substituindo C 2k AB A kp 2k B I1A kp k B 4 kp O coeficiente de reflexao é definido como B 2 ne let Al k p2 w kp 4 e o coeficiente de transmissao é TR 1 T 1R Akp k p 22 Potencial degrau descendente Y 0 Vr 0 0 221 Energia maior que a energia da barreira Ae Be 4 0 VO 4 ike Ce c0 2nE 2m E Vo B oP Va Note que a solucgao nao pode ser normalizada Devemos entender que na realidade estamos resolvendo o problema de um pacote de ondas A solugéo acima corresponde a uma componente do pacote Impondo a continuidade da funcgao de onda e da sua derivada ABC pApB kC ABC k AB C Pp somando as duas equacoes k 2A 142 c Pp 2 gc PA kp Substituindo C 2 AB P 4 kp B e 1 A kp k p 4 kp 5 O coeficiente de reflexao é definido como B R 2 Al R p kp e o coeficiente de transmissao é TR 1 T 1R Akp k p 23 Pogo de potencial com energia finita paragrafo 63 do livro Yo xd Vt440 daxd Yo xd wad Ae Re wdaxd BeCe wed Dek Nosso objetivo é encontrar o quanto da onda passa para a regiao x d assim precisamos encontrar D em fungao de A e calcular 2 As equagoes sao Aew4 4 Ret Be 1 Ceirt ikAe 4 ikRe4 ipBe4 ipCe4 Be Cet Derk4 ipBe ipCe ikDe4 onde 2mE 2m E Vo p chy Temos D em fungao de B e C pBeiekd pCe tptkd pee CL k dividindo a 3 e quarta equagoes Be4 Cet Deik4 Beira Ce ire B Deikd Pp 6 Be Cetra Pp Beirt Ceipt ke Bll p ipd Cll Pp ipd k ev k e 0 C B evipd kp Ou seja Bel 5 e2pPd Betpthd fp D fea eipkdB DN D As primeiras duas equagdes sao Ae7tk4 4 Reik4 Beira 4 Ceird Aew4 Reikt P Beivd P Ceiva k k somando 2QAc 4 1 r e PIB 1 eP4C 1 ik ipdi A Iek Ep k p e Pt k p Pt B A out IG 4 p eilkpd k p edipdtikd eilpkd pp D 11 A Fy let Py k py eM D Com isso Id 2 2 4ipd AY ayy lk kp e D e 2 kpkp k p ePd efit 3 AP ae Cd het py k py 2 42 pf eos lap 7 16k p JDP 16kp Al k p k p 2k p cos 4pd 24 tunelamento por uma barreira 0 0 Va4V Oaa 0 xa 7 wx 0 Ae Be W0aa Ce Der wxa Fe 2nE 2m Vo F B pe oP Ve As equacgoes de continuidade sao AB CD ikA ikB pCpD CeP 4 DePt Fe pCe pDe ikFe Novamente queremos encontrar F em fungao de A comecando pelas duas tltimas equagoes CeP DeP Feiko k Ce De iFe Pp Ce DeP P CePt Depa k Ce P De i5 Ce De k1 ka cBem A ve D C e72Pa k ip 24 Fe Ce 4 k ip ki C Feer2 2 2ip D Fe4 Gra e Pe 2ip Agora vamos para as duas primeiras equacdes AB CD AB iz C D p p 2A 1i2C1i2D uF iF k ip k ip 2A C D So5 8 iF ika 44 oh eP k ip e P k ip iF ika ee e k p 2ipk e P k p 2ipk iF ek e Pt epa ePt 4 en pa 24 k p 2ipk we 009 294 S Fek 9 9 2A Ee i sinh pa k p 2pk cosh pa o conjugado é Fe tka 9 9 2A Tr i sinh pa k p 2pk cosh pa 2 IFP faye 2 22 272 2 4A 22 sinh pa k p 4pk cosh pa D F 72 2 22 212 12 Re sinh pa k p 4pk 1 sinh pa JF 7 2 2 22 272 212 Fe sinh pa i p 4pk 4pk 2 2 2 12 k p A F son pa Apk 1 Assim o coeficiente de transmissao sera 1 S JAP 14 Se sink pa JEP 1 JAP 14 ara sinh pa usando que 2nE 2m Vo F R ie P Ve FI 1 ge WTP A 1 7yHE sinh pa 1 1 4 sinh pa eye eo 9 Se pa 1 entao o sinh pa nesse limite FP 1 A 1 sinh pa 4 eye eo 7 1 1 1 2pa 16 5 E E 161e oi assim o coeficiente de transmissao por uma barreira no limite de pa 1 é 2 FT 16 1 2 evn Al Vo Vo 10