Exercícios Resolvidos: Átomo de Hidrogênio - Função Radial e Números Quânticos

Considere um átomo de Hidrogênio Z1 de massa reduzida μ a função radial deste elétron Rnlr quando ln1 valor máximo permitido de l é dada por Rnn1r 2na02n12 12n rn1 erna0 Para o caso em que n8 qual é o valor do raio médio em unidades de a0 para este elétron Não é necessário apresentar a unidade a0 na resposta mas apenas o valor numérico Dica Lembrese que a integral 0 rm erα dr m αm1 Resposta O estado quântico de um elétron ligado ao átomo de Hidrogênio pode ser descrito pela função de onda Ψnlmlmsr θ φ onde n l ml e ms são os números quânticos e r θ e φ são as variáveis espaciais em coordenadas esféricas A energia de um de um estado quântico é dada por En k e22 a0 n2 Quantos estados quânticos de ocupação existem para n6 levando em conta todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos Resposta Os quatro números quânticos do átomo de hidrogênio são n l ml e ms Cada um deles possui diferentes restrições 1 n o número quântico principal Pode ser qualquer inteiro positivo começando de 1 Neste caso n é fixado em 6 2 l o número quântico azimutal ou de momento angular Pode ser qualquer número inteiro que varia de 0 até n1 Para n 6 l pode ser 0 1 2 3 4 ou 5 3 ml o número quântico magnético Pode ser qualquer número inteiro que varia de l até l inclusive 0 Portanto se l0 ml só pode ser 0 Se l1ml pode ser 1 0 ou 1 e assim por diante 4 ms o número quântico de spin Para um elétron ms pode ser 12 ou 12 Para calcular o número total de estados de ocupação possíveis para n 6 somamos o número de estados possíveis para cada valor de l ml e ms Se l0 há 1 valor possível para ml e 2 para ms então temos 122estados Se l1 há 3 valores possíveis para ml e 2 para ms então temos 326estados Se l2 há 5 valores possíveis para ml e 2 para ms então temos 5210estados Se l3 há 7 valores possíveis para ml e 2 para ms então temos 7214estados Se l4 há 9 valores possíveis para ml e 2 para ms então temos 9218estados Se l5 há 11 valores possíveis para ml e 2 para ms então temos 11222estados Somando tudo o número total de estados de ocupação possíveis para n6 é 261014182272estados Para calcular o valor do raio médio r para um elétron no átomo de hidrogênio precisamos usar a expressão r 0 r 2Rnl r 2r dr Para n8 e ln17 a função radial é R8 7r 2 8a0 2 8 1 2 1 2 8 r 7e r 8a0 Antes de calcular r vamos descobrir o quadrado da função radial R87 r 2 2 8a0 2 8 1 1 2 8 r 14e r 4a0 Agora aplicando a integral r r 0 r 2 2 8a0 17 1 16 r 14 e r 4a0r dr 2 8a0 17 1 16 0 r 17e r 4a0 dr Usando a dica fornecida 0 r me r α drm α m1 Para o nosso caso m17 e α4a0 Então a integral se torna 0 r 17e r 4a0 dr174a0 18 Substituindo esse valor na equação anterior r 2 8a0 17 1 16 174 a0 18 r 1 4 17 1 16 174 18a0 r 1 16 174 a0 r 174a0 r 68a0 Os quatro números quânticos do átomo de hidrogênio são n l 𝑚𝑙 e 𝑚𝑠 Cada um deles possui diferentes restrições 1 n o número quântico principal Pode ser qualquer inteiro positivo começando de 1 Neste caso n é fixado em 6 2 l o número quântico azimutal ou de momento angular Pode ser qualquer número inteiro que varia de 0 até n1 Para n 6 l pode ser 0 1 2 3 4 ou 5 3 𝑚𝑙 o número quântico magnético Pode ser qualquer número inteiro que varia de l até l inclusive 0 Portanto se 𝑙 0 𝑚𝑙 só pode ser 0 Se 𝑙 1 𝑚𝑙 pode ser 1 0 ou 1 e assim por diante 4 𝑚𝑠 o número quântico de spin Para um elétron 𝑚𝑠 pode ser 12 ou 12 Para calcular o número total de estados de ocupação possíveis para n 6 somamos o número de estados possíveis para cada valor de l 𝑚𝑙 e 𝑚𝑠 Se 𝑙 0 há 1 valor possível para 𝑚𝑙 e 2 para 𝑚𝑠 então temos 1 2 2 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 Se 𝑙 1 há 3 valores possíveis para 𝑚𝑙 e 2 para 𝑚𝑠 então temos 3 2 6 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 Se 𝑙 2 há 5 valores possíveis para 𝑚𝑙 e 2 para 𝑚𝑠 então temos 5 2 10 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 Se 𝑙 3 há 7 valores possíveis para 𝑚𝑙 e 2 para 𝑚𝑠 então temos 7 2 14 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 Se 𝑙 4 há 9 valores possíveis para 𝑚𝑙 e 2 para 𝑚𝑠 então temos 9 2 18 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 Se 𝑙 5 há 11 valores possíveis para 𝑚𝑙 e 2 para 𝑚𝑠 então temos 11 2 22 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 Somando tudo o número total de estados de ocupação possíveis para 𝑛 6 é 2 6 10 14 18 22 72 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 Para calcular o valor do raio médio 𝑟 para um elétron no átomo de hidrogênio precisamos usar a expressão 𝑟 𝑟2𝑅𝑛𝑙𝑟2𝑟 0 𝑑𝑟 Para 𝑛 8 e 𝑙 𝑛 1 7 a função radial é 𝑅87𝑟 2 8𝑎0 281 2 1 28 𝑟7𝑒 𝑟 8𝑎0 Antes de calcular 𝑟 vamos descobrir o quadrado da função radial 𝑅87𝑟 2 2 8𝑎0 281 1 28 𝑟14𝑒 𝑟 4𝑎0 Agora aplicando a integral 𝑟 𝑟 𝑟2 2 8𝑎0 17 1 16 0 𝑟14𝑒 𝑟 4𝑎0 r 𝑑𝑟 2 8𝑎0 17 1 16 𝑟17𝑒 𝑟 4𝑎0𝑑𝑟 0 Usando a dica fornecida 𝑟𝑚𝑒𝑟 𝛼𝑑𝑟 0 𝑚 𝛼𝑚1 Para o nosso caso 𝑚 17 e 𝛼 4𝑎0 Então a integral se torna 𝑟17𝑒 𝑟 4𝑎0𝑑𝑟 0 17 4a018 Substituindo esse valor na equação anterior 𝑟 2 8𝑎0 17 1 16 17 4a018 𝑟 1 4 17 1 16 17 418𝑎0 𝑟 1 16 17 4𝑎0 𝑟 17 4𝑎0 𝑟 68𝑎0