Lista 6: Questões sobre Poço Infinito e Finito na Física Quântica

Fisica Quantica 20213 Quadrimestre Suplementar 4 Lista 6 Tema Poco infinto e finito Questoes a Discuta qualitativamente como e por que aparece a quantizacao de energia para o caso de um poco quadrado infinito unidimensional Resp Ao calcular os estados possiveis do elétron no pogo devemos impor as condigdes de contorno Nesse caso a fungao de onda deve ser nula nas paredes do pogo e em toda regiao fora do pogo pois o elétron sempre esta confinado no pogo Ao impor esta condigéo de confinamento verificamos que as energias associadas para cada estado sao dadas por 22 Ey ee onde m é a massa da particula e D é a largura do poco que sao valores discretos de energia Nota Ao resolver as equacdes chegamos em relagdes de senos e cossenos iguais a cons tantes Para tais relacdes serem verdadeira somente alguns 4ngulos e seus mtltiplos sao validos Como esses 4ngulos dependem da energia chegamos a equacao anterior para ener gia b Ao analisarmos a solugéo para o poco quadrado finito observamos que existe uma pro babilidade nao nula de encontrarmos um elétron com energia menor do que V fora do poco Esse fato nao tem andlogo classico pois implicaria dizermos que aparentemente o elétron tem energia cinética negativa Como isso pode ser explicado no caso da Mecanica Quantica Resp Devido ao principio da incerteza de Heisemberg para termos certeza de que a par ticula esta fora da caixa Ax deve ser suficientemente pequeno Assim crescem os valores de Ap e consequentemente de AEjin de forma que nao temos certeza para afirmar que AEcin 0 Problemas 1 Uma particula esta confinada numa regiao unidimensional por duas barreiras de potencial localizadas em x 0 e x L Em comparagao com a energia da particula as barreiras de potencial sao tao grandes que podem ser tomadas como infinitas Considere também que a particula encontrase num estado cuja funcao de onda normalizada é 265 Tx sin a araO0aL a 2 7 p SUS 0 paraz0 e 2L a Escreva a fungao distribuicgao de probabilidade P x para a particula b Esboce o grafico de P x e indique as posig6es ao redor das quais seria menos provavel encontrar a particula c Qual é a probabilidade de se encontrar a particula no intervalo 0 x 2 Sua resposta pode ser justificada com base no grafico pedido no item anterior ou por meio de um calculo direto Resp a A funcao de distribuicgao de probabilidade é dada pelo médulo ao quadrado da funcao de onda para cada regiao ou seja 2 272 Px Wx P sin para 0 a L L L P a b x 0 para 0 a2L b Abaixo temos o grafico da Px considerando L 1 para a regiao de x 0 até x 1 10 os 06 o4 02 J J 02 04 06 08 10 Figura 1 Grafico da densidade de probabilidade P x x 2sin2 para0 a L considerando L 1 Observando o grafico acima vemos que o menor valor de probabilidade no grafico é Px 0 Assim os posigéo nas quais terfamos a menor probabilidade de encontrar a particula seriam em torno dos pontos x 07 L2ex L c Observando o grafico da fungaéo acima e a sua simetria em torno do ponto x L2 vemos imediatamente que P0L2 12 pois a area de 0 até x L2 vale 12 O mesmo resultado é obtido por meio de integracao direta L2 9 27x L2 4 Ara sin dxr 1cos dx 0 L a 0 L L 1 Le Ana L2 x sin L An L iL 2 Page 2 2 Considere um elétron aprisionado em um pogo de potencial unidimensional infinito com largura de L 300 pm Qual é a probabilidade para que se possa detectar o elétron no primeiro estado excitado na regiao entre x 05Lex075L Resp Para determinar a probabilidade devemos calcular 075L 2 27x P05L075L sin da ost Lb L Podemos usar a relacao trigonométrica cos 5 cos20 que nos leva a 075L 271 oi Ara 1 P05L075L E 5008 da l y 12 2 L 4 3 Um féton com comprimento de onda A 880 wm é absorvido por um elétron confinado em um poco infinito Como resultado o elétron passa do estado n 1 para n 4 i Encontre a largura do pogo ii Qual é o comprimento de onda do féton emitido na tran sicao daquele elétron do estado n 4 para n 2 Resp i Sabemos que a energia para um estado ligado do pogo infinito é dado por 22 En fe Assim a EE 15h he or 15h 90 TS nm i 4 8mL2 8mhc ii Sabendo a largura do pogo resultado do item i temos que E 0941meV e AF 49 12E 113meV logo Kis 110m 4 Um elétron esta confinado em um poco de potencial finito com largura de 10 x 107m e altura do potencial de 20 eV Existe um estado ligado correspondente a n 3 para este caso Justifique a sua respostaDica considere que a energia de um estado n para uma caixa infinita sempre menor que a energia do estado de mesmo n para uma caixa finita de mesma largura tornaria mais adequada Resp Podemos usar o fato de que as energias para os estados de um pogo finito sao maiores do que para um poco finito de mesma largura Assim basta verificarmos se é 22 verdadeira a condigao E3 Byres 20 eV Usando os valores dados no problema vemos que 3 339 eV e portanto nao existe um estado ligado correspondente a n 3 neste poco pois a energia associada a este estado é maior do que a energia de pontencial altura do pogo 5 Considerando que x e x representam o valor médio de x e o valor médio de x num dado estado calcule a x x op p p oxop para o estado fundamental do pogo quadrado infinito O resultado do produto oz0p é consistente com o principio de incerteza Justifique sua resposta Resp Devemos determinar os valores de x 2 pe p assim Page 3 L2 9 ph2 U WV xayadr i xcos ax 0 L2 L Jpj2 L L2 d 2in pr TL TL p a in nd f cos sin de 0 Dp gp veoree foo TQsinF As duas integrais acima sao nulas pois sao produtos de uma fungao impar x e sinzaL por uma fungao par cosraL e cosrxL integradas em um intervalo simétrico de L2 aL2 L2 9 L2 rr lL L 2 2 2 x xxwaxdx wcos dx 5 woreda z fi de 553 A integral acima pode ser resolvida aplicando a integracao por partes duas vezes Usamos para a primeira integracao u x e dv cos Ga e também que cos0 5 5c0s20 L2 a her2 2 L2 rx her2 2 2 2 p x oye F 5 cos ax Dessa forma temos que o L 4 sa Op hn e o produto resulta em 1 l hr h r h h y 4 28 x 114 Cr NV I2 wL 23 27 9 Portanto o resultado obtido esta de acordo com o principio de incerteza de Heisenberg Nota Caso seja utilizado o intervalo de 0 a L no lugar de L2 a L2 haverd algumas mudangas na resolucao A fungao de onda sera dada por Esin 3 O argumento utilizado para zerar x e p deixa de valer devido ao intervalo nao ser simétrico z ou seja no meio da caixa da mesma forma que utilizando o outro intervalo a interpretacéo fisica nao pode ser alterada 7 i 7 2 xr 4 543 andlogo a mudanga de x Os demais resultados sao iguais pois eles nao dependem de como o intervalo de x é definido Page 4