Lista de Exercícios - Lógica e Linguagem Matemática - Proposições e Conectivos Lógicos

Elementos de Lógica e Linguagem Matemática Parte I 1 Atribua valores verdade as seguintes proposições a 5 é primo e 4 é ímpar b 5 é primo ou 4 é ímpar c Não é verdade que 5 é primo e 4 é par d Não é verdade que 5 é primo ou 4 é ímpar 2 Atribua um valor verdade às seguintes proposições a Se 2 é par então 3 não é par b Se 2 não é par então 3 não é par c Se 3 não é par então 3 não é ímpar d Se minha mãe é um trator então eu sou uma motoserra 3 Negue as seguintes proposições a 3 4 e 2 é par b Não é verdade que 3 é par ou 5 é impar c 2 é número par e não é verdade que 3 é um número ímpar d Se 3 4 então 2 é par e Se 2 é par então π 3 ou π 4 f Se 2 é par então não é verdade que 3 é par 4 Dadas duas proposições simples p e q determine quais das proposições abaixo são verdadeiras independentemente do valor verdade das proposições p e q a p q p q b p q q p c p q p q d p q q p 5 Dadas duas proposições simples p e q considere as proposições abaixo e reescreva cada uma delas usando somente os conectivos indicados a p q usando e b p q ou exclusivo usando e c p q usando e d p q usando e 6 Dadas duas proposições simples p e q considere as proposições abaixo e para cada um ache sua contrapositiva sua recíproca e sua inversa a p q b p q c p q d p q Parte II 7 Em um planeta distante a população local se divide em dois grupos distintos por eles chamados de HI e HO não há nenhum indivíduo que pertença a ambos os grupos Nessa população há indivíduos com antenas e indivíduos sem antenas Os indivíduos são coloridos podendo ser verdes brancos ou vermelhos não há indivíduos bicolores ou tricolores Sabemos que 1 Se um indivíduo é do grupo HI então ele possui antena 2 Se um indivíduo é verde ou branco então ele não possui antena Perguntase a Se um indivíduo possui antena podemos saber a que grupo pertence b Se um indivíduo não possui antena podemos saber a que grupo pertence c Se um indivíduo é do grupo HI o que podemos afirmar sobre sua cor d Se um indivíduo é do grupo HO o que podemos afirmar sobre sua cor e Se um indivíduo é verde podemos saber a que grupo pertence f Se um indivíduo é branco podemos saber a que grupo pertence g Se um indivíduo é vermelho podemos saber a que grupo pertence 8 De uma turma de BM observouse ao final do curso que alguns estudantes obtiveram um ótimo desempenho conceito A ou B Observouse também que alguns estudantes nunca compareceram às aulas 100 de faltas outros faltaram demais 80 ou mais de faltas mas menos de 100 Inicialmente constate que são verdadeiras as seguintes implicações 1 Se uma estudante obteve ótimo desempenho então foi aprovadoa 2 Se uma estudante nunca compareceu às aulas ou faltou demais então foi reprovadoa Após perguntase a Se uma estudante foi aprovadoa podemos determinar se teve ótimo desempenho ou não b Se uma estudante foi reprovadoa podemos determinar se teve ótimo desempenho ou não c Se uma estudante teve ótimo desempenho o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas d Se uma estudante não teve um ótimo desempenho o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas e Se uma estudante nunca compareceu às aulas podemos saber se teve um ótimo desempenho ou não f Se uma estudante faltou demais podemos saber se teve um ótimo desempenho ou não g Se uma estudante compareceu a pelo menos 20 das aulas podemos saber se teve um ótimo desempenho ou não 9 Sejam pn e qn proposições abertas sobre números naturais Assuma que a implicação pn qn é verdadeira para todo n natural Sabendo em particular que as proposições p2 e q3 são verdadeiras e que as proposições p5 e q7 são falsas podemos afirmar categoricamente que a q2 é verdadeira b p3 é verdadeira c q5 é falsa d p7 é falsa 10 Determine o conjuntoverdade das seguintes proposições abertas para as quais o domínio de discurso é o conjunto dos números naturais a n² 12 b 3n 1 25 c 3n 1 25 e n 1 4 d n 5 ou n 3 e n é primo e não é verdade que n 17 f n 2n 3n 4n 5 0 11 Nas seguintes proposições abertas o domínio de discurso é o conjunto dos números reais Para essas proposições esboce na reta real o seu conjunto verdade a x 2 e x 4 b x 2 ou x 3 c x 2 ou x 5 e x 3 d não é verdade que x 2 e x 4 12 Para cada proposição aberta abaixo determine sua contrapositiva sua recíproca e sua inversa a Se chove então eu não vou trabalhar b Se x é par então x 1 é ímpar c Se minha mãe é um trator então eu sou uma motoserra d Se 2k 1 é primo então k é uma potência de 2 e Se x² y² 0 então x e y são iguais a 0 13 Para cada par de proposições p e q abaixo em que a variável x denota um número natural diga se p é condição necessária ou suficiente para q a p x 2 q x 3 b p x 2 q x 2 c p x 0 e x 2 q x 2 d p x 0 e x 2 q x 1 14 Para cada par de proposições abertas p e q abaixo diga se p é condição necessária ou suficiente para q a p Δ é um triângulo isósceles q Δ é um triângulo equilátero b p M é uma matriz com determinante diferente de 0 q M é uma matriz inversível 15 Dê exemplos ou contraexemplos se existirem para as seguintes afirmações a variável x denota um número real n denota um número natural a x 1 2 b x² x c x 2 ou x 5 e x 3 d n é primo e n possui inverso multiplicativo inteiro 16 Para cada proposição abaixo na variável real x complete a lacuna com o conectivo ou de modo a tornála verdadeira a x x é solução de x² 1 se e somente se x 1 x 1 b x x é solução de x² 1 se e somente se x 1 x 1 c x x é solução de x² 1 se e somente se x 1 x 1 17 Interprete cada proposição abaixo isto é escreva em linguagem natural e determine seu valorverdade O universo de discurso é o conjunto dos números naturais a n n 1 2 b n n 2 n 5 n 3 c n n 1 2 d n n 2 n 5 n 3 e n n par n 1 impar f n n primo n 1 par g n n primo n 1 ímpar Elementos de Lógica e Linguagem Matemática Notação Dados dois inteiros a b a notação a b significa que a é divisor de b ou equivalentemente b é múltiplo de a isto é b k a para algum inteiro k Parte I 1 Considerando o domínio de discurso U Z determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa Justifique sua resposta demonstrando a afirmação ou sua negação dependendo do caso a n m n m b m n n m c n m n m 2 d m n n m 2 e n m nm 0 f m n nm 0 g n m n m é par h m n n m é par 2 Considerando o domínio de discurso U N determine o valor verdade de cada proposição abaixo a n m 1 m n m n n não é primo b a b c a bc a b a c Parte II 3 Para demonstrar pelo método direto que Para todo n inteiro se n é par então n² é par devemos a Assumir que n é par e n² é par e verificar que isso não leva a contradição b Mostrar que o quadrado de um número par é sempre um número par c Assumir que n² é par e mostrar que n é par d Mostrar que n² não poderia ser ímpar pois nesse caso n seria ímpar e Assumir que n é par e mostrar que n² é par 4 Para demonstrar pelo método contraposítivo que Para todo n inteiro se n é par então n² é par devemos a Assumir que n² é ímpar e mostrar que n é ímpar b Assumir que n é ímpar e mostrar que n² é ímpar c Assumir que n é par e n² é ímpar e mostrar que isso leva a contradição d Assumir que n² é ímpar e mostrar que isso leva a contradição e Mostrar que o quadrado de um número par é sempre um número par 18 Determine o valorverdade das seguintes proposições a x R tal que 2x² 5x 1 0 b x R tal que x² 3x 5 0 c x R tal que x² 3x 5 0 d x N tal que x² 13x 42 0 19 São dados a b R com a 0 Para cada número real x considere as seguintes afirmações 1 x ba é solução de ax b 2 Se ax b possui solução esta tem que ser x ba 3 A solução de ax b é x ba Para cada proposição abaixo determine qual das afirmações acima lhe corresponde a x ax b x ba b x x ba ax b c x ax b x ba 20 Dados a b R a 0 assinale as proposições verdadeiras a x x ba ax b b x ax b x ba c x ax b x ba x ba d x x ba x ba ax b e x ax b a 0 x ba a 0 x ba f x ax b a 0 x ba a 0 x ba 21 Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica a Existe um número real n tal que n² 2 b Não existe número racional x tal que x² 2 c Existe um número inteiro x tal que x² é par e divisível por 3 d Não existe número inteiro x tal que x² é primo ou x² é negativo e Existe um número inteiro x tal que x² é par ou x² é ímpar f Para cada número real x existe um número real y tal que x y 0 g Todo número natural é divisível por 2 3 5 ou 7 h Para todo número racional x x é menor que 1x i Existem dois números inteiros cuja soma é 1000 j Não existe número racional cujo quadrado é 2 k Para todos números a e b reais há um número c que é menor que b e maior que a 22 Para cada uma das proposições do Exercício 21 escreva a sua negação em linguagem simbólica e em linguagem natural Parte III 23 Para cada proposição abaixo dê um exemplo e um contraexemplo se existirem a variável livre está indicada entre parênteses a m N n² m para todo n Z b n Z Existe m N tal que n² m c x R Existe n N tal que n x 24 As proposições abaixo têm duas variáveis livres m e n ambos números naturais Para cada uma delas dê um exemplo e um contraexemplo se existirem a m n e m n 0 b m n é par c Se m n N são pares então m n é par d Se m n é par então m e n são ambos pares 25 Determine o valor verdade de cada proposição abaixo a n N m Z m 1n b n N m N m 1n c n N m Z mn1m n 26 Para cada proposição abaixo diga se é universal ou particular e determine o valorverdade O universo de discurso é o conjunto dos números naturais a m n m n b n m m n c m n m n d n m m n e m n m n f m n m n 27 Determine o valorverdade das seguintes proposições O universo de discurso é o conjunto dos números reais a x y 2x y 0 b y x 2x y 0 c y z y z 100 d y x x² 4x y 0 e y x x² 4x y 0 f y x x² 4x y 0 28 Interprete cada proposição abaixo isto é escreva em linguagem natural e determine seu valorverdade O universo de discurso é o conjunto dos números naturais a n m n 1 m b n m n 1 m c n m n 1 m d n m pares n m par e n m n m par n m pares f m n nm é ímpar g m n nm é par h m n m² n i m n n² m 29 Reescreva cada afirmação a seguir em linguagem natural sem usar notação simbólica e determine seu valor verdade a x R x x² b x R x² x c x R x² x d x R x² x³ e n N k N k n f a b R a b c R a c b g a b Z a b c Z a c b h a b Z c Z abc Z i a R b R c R ab c j a R c R b R ab c 30 A Fórmula de Bhaskara é uma proposição universal Identifique as suas variáveis e seus universos e descrevaa em linguagem simbólica Complementares 31 Determine o conjuntoverdade de cada proposição abaixo a variável livre é o número real d 0 a x x 1 d 2x 2 b x x 1 d 2x 2 1 c x x 1 d 2x 2 12 d x x 1 d 2x 2 13 32 Determine se são verdadeiras ou falsas a d 0 x x 1 d 2x 2 b d 0 x x 1 d 2x 2 1 c d 0 x x 1 d 2x 2 12 d d 0 x x 1 d 2x 2 13 1 Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa a x N 1 x 10 b x Z x² 5 c x N 3x 4 10 d x N x² x 6 0 e 4n 1 n N e n 5 f 2n 3m n m N n 3 e m 4 g 1n n N e 2 n 2 Descreva os conjuntos abaixo na forma predicativa atenção as respostas ao final da lista não são as únicas possíveis a 0 1 2 3 b 2 1 0 1 2 c 1 1 d 2n n N e 3n 1 n N f n² n Z 3 Descreva os conjuntos abaixo na forma construtiva atenção as respostas ao final da lista não são necessariamente as únicas possíveis embora sejam de certo modo naturais a 1 3 5 7 9 b 0 1 4 9 16 25 c 1 2 5 8 11 d 4 2 0 2 4 6 8 10 e n N n é divisível por 3 f n Z n tem resto 2 na divisão por 3 4 Identifique em qual formato cada conjunto abaixo está descrito e descrevaos nos outros dois formatos a x Q11 x N e x 12 b 4 9 16 25 c n 1 n Z 3 n 7 5 Sejam dados os conjuntos X 0 Y 0 1 e Z 0 1 Determine qse são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo a X Z b X Z c X Z 0 d X Y 0 e Y Z f X Z 0 6 Considere os seguintes subconjuntos do conjunto universo U 1 2 3 4 5 6 7 8 A 1 2 3 4 B x U x 2²x 3 0 C x U x é par Para esses subconjuntos determine a A B b A B C c C Aᶜ d A Cᶜ e Aᶜ Cᶜ f AB BC CA g B 9 Proposição Se a e b são números reais tais que ab é irracional então pelo menos um dentre a e b deve ser irracional Prova Se tanto a como b fossem racionais então existiriam k₁ k₂ k₃ k₄ Z tais que a k₁k₂ e b k₃k₄ Então ab k₁k₂k₃k₄ k₁k₃k₂k₄ o que significa que ab poderia ser escrito como quociente de dois inteiros sendo assim racional Portanto se ab é irracional ou a ou b deve ser irracional 10 Proposição A soma das medidas dos catetos de um triângulo retângulo é maior do que a medida da hipotenusa Prova Suponha que exista um triângulo retângulo tal que a b c em que a e b são os comprimentos de seus catetos e c o comprimento de sua hipotenusa Tendo em mente que as medidas dos lados são todas positivas podemos elevar ambos os lados ao quadrado e obter que a b² c² ou ainda a² 2ab b² c² E sendo ab 0 resulta a² b² a² 2ab b² c² e portanto a² b² c² No entanto o Teorema de Pitágoras afirma que a² b² c² e a prova está completa Parte III 11 Considere a seguinte Proposição Se a e b são inteiros tais que a é par e b é ímpar então a b é ímpar a Identifique o erro na demonstração a seguir Demonstração Como a é par então a 2k para algum inteiro k Logo a b 2k b e se este número é ímpar então existe um inteiro k tal que ab 2k 1 isto é 2kb 2k 1 Assim b 2k 1 2k 2 k k 1 que é ímpar pois k k é um inteiro b O fato de que o argumento utilizado na demonstração acima não é válido nos permite concluir que a proposição é falsa Nos exercícios de 12 a 16 as demonstrações apresentadas estão incorretas Aponte o erro em cada uma delas 12 1 0 Prova Seja um número real x 1 Aplicando o logaritmo em ambos os lados da desigualdade temos log x log 1 Como sabemos que log 1 0 então log x 0 Agora dividimos ambos os lados por log x e obtemos 1 0 13 Todo número inteiro tem raiz quadrada inteira Prova Provemos a contrapositiva de Se n Z então n Z Seja a n Temos que a² n e como o quadrado de um inteiro é sempre outro inteiro n também é inteiro 14 Se 5ab então 5a ou 5b Prova Se 5ab então ab é da forma 5k para algum k Portanto ou a 5m ou b 5m para algum m Assim concluímos que 5a ou 5b 15 ab se a b 0 então a 0 Prova Como a b 0 então a b E sendo b 0 segue que a b 0 concluindo que a é negativo 16 1 2 Prova Sejam a e b dois números iguais Multiplicando ambos os lados de a b por a obtemos a² ab Subtraindo b² dos dois lados a² b² ab b² Fatorando a ba b ba b Cancelando a b temos a b b Quando a e b valem 1 temos que 1 1 1 e está concluída a prova Parte IV 17 Prove que se a b e d são inteiros tais que da e db então para quaisquer inteiros m e n temse que d am bn 18 Dado um inteiro n prove que n³ é ímpar se e somente se n é ímpar 19 Sejam a um número racional e b um número irracional Prove que se a b é racional então a 0 20 Prove que 3 é irracional 21 Demonstre que se p q são números racionais então p q é um número racional 22 Use o método de redução ao absurdo para provar cada uma das seguintes proposições a A raiz cúbica de 2 é irracional b Dados a b c inteiros se a não divide bc então a não divide b 23 Prove pelo método contrapositivo Se x e y são dois números inteiros cujo produto é ímpar então ambos têm de ser ímpares 24 Mostre que o produto de um número racional não nulo com um número irracional é irracional 25 Dados a b c números inteiros com c 0 mostre que a divide b se e somente se ac divide bc Exercícios Complementares 26 Use o método de redução ao absurdo para provar cada uma das seguintes proposições a Não há soluções inteiras positivas para a equação x² y² 10 b Não há solução racional para a equação x⁵ x⁴ x³ x² 1 0 7 Em cada item dê exemplos de conjuntos A B C satisfazendo a igualdade abaixo A B B C C A 1 2 3 a Cada conjunto contém um único elemento b Cada conjunto contém dois elementos c Cada conjunto contém mais de dois elementos 8 Seja C um subconjunto de N tal que X N 1 X 𝒫C a Interprete a inclusão Quais são os subconjuntos de N que pertencem a 𝒫C b Determine todas as possibilidades para o conjunto C 9 Dado um conjunto universo U alguns fatos são conhecidos a respeito de alguns de seus subconjuntos A B X Y Z¹ U A B A B U X Y Z X Y X Z Y Z Além disso há um subconjunto T U tal que 1 A T 2 X Y Tᶜ Para cada uma das afirmações abaixo diga se é necessariamente verdadeira a Tᶜ B b B Tᶜ c Z T d T Z e A X f A Z g Z A h B Y i Y B 10 Sejam A B subconjuntos de N tais que 𝒫A 𝒫B X N 1 X Determine condições sobre A e B de modo que a A B b A B Parte II 11 Sejam A B e C conjuntos quaisquer Prove as seguintes afirmações a A A A b A A A c A B B d A A B e A B A B f A A g A 12 Considere as seguintes afirmações i A A B A ii A B C A B A C iii A B C A B A C Verifique a validade de cada uma delas a no caso particular em que A 0 1 2 3 4 B 0 2 4 6 8 C 3 4 5 6 7 b para quaisquer conjuntos A B C 13 Dados A B C D conjuntos quaisquer prove as seguintes afirmações a Se A B e B C então A C b Se A B e C D então A C B D ¹Esse exercício é uma versão em linguagem de conjuntos do exercício dos ETs da Lista 21 aquele sobre habitantes HI e HO de um planeta distante Pode ser interessante fazer comparações entre as duas versões Exercícios Complementares 14 Considere as seguintes afirmações em que o complementar é relativo a algum conjunto universo fixado i Aᶜᶜ A ii A Bᶜ Aᶜ Bᶜ iii A Bᶜ Aᶜ Bᶜ iv Aᶜ B B A v A Bᶜ B Aᶜ Verifique a validade de cada uma delas a no caso particular em que A 0 1 2 3 4 B 0 2 4 6 8 U 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sendo U o conjunto universo b para qualquer universo U e quaisquer subconjuntos A B desse universo 15 Dados A B subconjuntos de um conjunto universo U mostre que a A B se e somente se A B B b A Bᶜ se e somente se A B 16 Mostre que para quaisquer conjuntos A B C temse que a Se A B A C e A B A C então B C b Se 𝒫A 𝒫B então A B c A B B se e somente se A B 17 Dados dois conjuntos A B quaisquer a mostre que 𝒫A 𝒫B 𝒫A B b mostre que 𝒫A 𝒫B 𝒫A B 18 Dê um contraexemplo para a inclusão 𝒫A B 𝒫A 𝒫B 19 Suponha A B C conjuntos não vazios com B C Mostre que a A B C A B A C b A B C A B A C c Se B C então A B C A B A C Respostas dos Exercícios 1 b 21012 d 2 f 023456789101112131416 g 12 13 14 15 2 c x Z n²1 e n N n deixa resto 1 na divisão por 3 f n N n é um quadrado perfeito 3 a 2n1 n N c 3n2 n Z e 1 n 3 f 3n2 n Z 4 a Enunciado na predicativa Enumerativa 12 13 14 Construtiva 1n n N e n 2 b Enunciado na enumerativa Predicativa n N 4 n 25 e n é um quadrado perfeito Construtiva n² n N e 2 n 5 c Enunciado na construtiva Enumerativa 21012345678 Predicativa n Z 2 n 8 5 a V b F e F f V 6 b 234 d 57 f 13468 g 2 3 23 7 a A1 B2 C3 c A14567 B24567 C34567 8 a O conjunto à esquerda da inclusão é formado por todos os subconjuntos de N que não possuem o número 1 Assim a inclusão diz que todos os subconjuntos de N que não possuem o número 1 são também elementos de 𝒫C isto é subconjuntos de C b C N ou C N 1 9 a Sim é V c Não pode ser V ou F e Sim é V g Não pode ser V ou F i Sim é V 10 b Isso ocorre se 1 A B ou 1 B A 11 a Demonstração de que A A A se x A então x A e x A logo x A Demonstração de que A A A se x A então x A e x A logo x A A d Se x A então x A ou x B logo x A B g Pelo item c deste exercício escolhendo B resulta que A Reciprocamene sabese que X para todo conjunto X logo A 12 b i A inclusão A A B é imediata veja Exercício 10 item d Por outro lado se x A A B então x A ou x A B e em qualquer um dos casos resulta x A 13 a Se x A então como A B x B Como por hipótese B C de x B segue que x C Como isso vale para qualquer x resulta A C 14 b ii Temos que x A Bᶜ x A B o que ocorre se e somente se x A ou x B ou seja x Aᶜ ou x Bᶜ o que equivale a x Aᶜ Bᶜ 15 a Mostremos primeiro que A B A B B Para isso assumimos que A B e verificamos a igualdade A B B A inclusão B A B vale sempre Por outro lado dado x A B temos que x A ou x B Mas uma vez que A B resulta em qualquer caso x B Mostremos agora que A B B A B ou seja assumimos que A B B e provamos que A B 16 a Dica Ao mostrar a inclusão B C considere para cada x B dois casos x A x A O mesmo para a outra inclusão b Dica Ao comparar um elemento x de um conjunto ou do outro considere o subconjunto unitário x c Dica Se A B não fosse vazio seja C A B e logo C A B b Seja C A B então C A ou C B Desta forma se c C então c A ou c B ou seja c A B Logo C A B ou seja C A B 17 a Demonstraremos apenas uma das inclusões A B A B Se C A B então C A e C B e pela definição de conjunto potência C A e C B logo se c C temos que c A e c B ou seja c A B ou 19 a a A ax A x B C x B C x B x C ax A x B ax A x C ax A x B A x C 5 Prove por indução que um caixa eletrônico pode entregar ao usuário qualquer valor maior ou igual a R 4 usando apenas notas de R 2 e de R 5 Atenção Antes de iniciar a demonstração é importante formular algebricamente a propriedade a ser demonstrada 6 Prove por indução as desigualdades a n 2ⁿ n ℕ b 2n 1 2ⁿ n 3 7 Prove que para qualquer inteiro positivo n o número 2²ⁿ 1 é divisível por 3 8 Demonstre que para todo inteiro positivo n vale a 1³ 2³ n³ ½ nn 1² b 1 2½ 3½² n½ⁿ¹ 4 n22ⁿ¹ c 11 123 1nn1 nn1 Parte II 9 Utilize o PIF para provar que as propriedades abaixo valem para todo natural n 1 a k1 to n 2ᵏ 2ⁿ¹ 2 b k1 to n k² nn 12n 1 6 c i1 to n 12i 12i 1 n 2n 1 d j1 to n jj 1 nn 1n 2 3 e j1 to n 2j 1 n² f i1 to n ii n 1 1 14 Mostre que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados n 3 é n 2π 10 Prove por indução as seguintes propriedades do somatório a k1 to n aₖ bₖ k1 to n aₖ k1 to n bₖ aditividade b k1 to n c aₖ c k1 to n aₖ homogeneidade c k1 to n aₖ aₖ₁ aₙ a₀ telescópica 11 Use as propriedades do exercício anterior para mostrar que a k1 to n 2k 1 n² Dica Use que 2k 1 k² k 1² b k1 to n k n²2 n2 Dica Use o item anterior c k1 to n k² n³3 n²2 n6 Dica k³ k 1³ 3k² 3k 1 Exercícios Complementares 12 Sejam a e r dois números inteiros r 1 Considere a progressão geométrica de razão r a₁ a a₂ ra a₃ r²a aⱼ rʲ¹a Prove pelo PIF que a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é Sₙ rⁿa a r 1 13 Use indução para mostrar que qualquer conjunto finito com n elementos possui 2ⁿ subconjuntos 15 Prove por indução as desigualdades a n 2n² n 5 b 1 xⁿ 1 nx n 2 em que x é um inteiro positivo fixado c i1 to n 1i² 2 1n n 1 Respostas dos Exercícios 1 Pn é certamente verdadeira 𝜈 n 4 Qn certamente é verdadeira para n 1 Nada podemos afirmar sobre o valorverdade de Pn e Qn para outros valores de n 2 a Pn 2 4 2n n n 1 Dem Caso base P1 2 2 1 é V Passo indutivo Se vale Pk então 2 4 2k 2k 1 k1 HI kk12k1 k1k2 ou seja Pk 1 é V Conclusão Pelo PIF Pn é verdadeira para todo n 1 4 O passo indutivo é válido somente para k 2 enquanto que o caso base foi verificado para n0 1 O uso do Princípio de Indução pressupõe que o passo indutivo seja válido para todo k n0 o que não ocorre nesse caso 5 Formulação algébrica Pn a b N 2a 5b n Caso base n0 4 Tomando a 2 e b 0 temse que 22 50 4 Passo indutivo Dado k 4 suposição que existam a e b naturais tais que 2a 5b k Queremos achar coeficientes a e b tais que 2a 5b k 1 Para isso observe que 23 51 1 Então k 1 2a5b2351 2a35b1 Assim tomando a a3 e b b1 resulta 2a 5b k 1 Entretanto o número b só é natural se b 1 Tornase necessário então analisar o caso b 0 Nesse caso devemos ter necessariamente a 2 caso contrário seria k 4 Observando que 22 51 1 seguimos com a mesma ideia de antes k 1 2a 5b 22 51 2a 2 5b 1 Assim tomando a a 2 note que a N e b b 1 resulta 2a 5b k 1 Conclusão Pelo PIF Pn vale para todo n 4 6 a Caso base n0 0 0 1 2⁰ Passo indutivo Dado k 0 suponha k 2k Então k 1 2k 1 2k 2k HI 2k 2k 2k 1 Conclusão Pelo PIF a desigualdade vale para todo n 0 b Caso base n0 3 231 7 8 2³ Passo indutivo Dado k 3 suponha 2k 1 2k Então 2k1 1 2k1 2k HI 2k 2 2k 2k 2 2k 1 Conclusão Pelo PIF a desigualdade vale para todo n 3 7 Queremos demonstrar para todo n Z Pn existe m Z tal que 2²ⁿ 1 3m Caso base n0 1 P1 tomando m 1 resulta 2²1 1 3 1 Passo indutivo Dado k 1 suponhamos Pk verdadeira existe m Z tal que 2²ᵏ 1 3m Então 2²ᵏ1 1 2²ᵏ2 1 2²ᵏ2ᵏ 1 32ᵏ 2ᵏ 1 32ᵏ 2k 1 32k 2k 1 HI 32k 3m 32k m Assim tomando m 2k m resulta 2²ᵏ1 3m Conclusão Pelo PIF Pn vale para todo n 1 8 c Caso base n 1 1 1 1 1 1 Passo indutivo Dado k 1 suponha 1 k 1 k1 Então 1 1 1 1 1 HI k k1 kk1 k1k2 k1 Conclusão Pelo PIF a igualdade vale para todo n 1 14 Dica Para o passo indutivo ao tomar um polígono convexo com k 1 lados dividao em duas partes uma das quais é um triângulo formed por 3 vértices consecutivos do polígo no 15 b Caso base n0 2 1x² 1 2x x² 1 2x Passo indutivo Dado k 2 suponha 1 xk 1 kx Então 1 xk 1 1 xk1 x HI 1 kx1 x 1 x kx kx² 1 x kx 1 k 1x Conclusão Pelo PIF a desigualdade vale para todo n 2 19 Números Reais Parte I 1 Este exercício trata da ordenação dos números reais e sua relação com as operações de soma multiplicação e potências a Sabendo que a 0 podemos afirmar que a a² b Sabendo que a 0 podemos afirmar que a a² c Sabendo que 0 a 1 coloque em ordem crescente os números 0 1 a a² a³ a¹º d Sabendo que 0 a b coloque em ordem crescente os números 1a e 1b e Sabendo que a b 0 coloque em ordem crescente os números 1a e 1b f Sabendo que a 0 b coloque em ordem crescente os números 1 e 1b g Sabendo que 0 a 1 coloque em ordem crescente os números 0 1 1 a a 1a 1a h Sabendo que a b 0 e a 0 coloque em ordem crescente os números 0 a a b b i Sabendo que a 1 0 b 1 e ab 1 0 coloque em ordem crescente 0 1 1 a a b b 1a 1b 1a 1b j Sabendo que 0 a 1 b 1 b coloque em ordem crescente os números 1 a b ab k Sabendo que 0 a 1 b coloque em ordem crescente os números a a² b b² l Sabendo que 0 a 1 b e a²b 1 coloque em ordem crescente os números a a² b b² 1b 2 Dados a b c R não nulos coloque em ordem crescente os números 0 1 a b c a b c a² b² c² 1a 1b 1c sabendo que 12 a b 1 14 c a b² 3 Demonstre as propriedades abaixo no universo dos números reais utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto associatividade comutatividade elemento neutro existência de oposto na soma e inverso no produto distributiva a a b b c a c b a 0 a b a c b c c a b 0 a 0 b 0 d a b a b a b 4 Utilizando os axiomas de ordem mostre que a b c d R a a c b d a b c d b a b c 0 a c b c 5 Para cada inequação abaixo mostre que seu conjunto solução em R é o conjunto S dado a x 3 1 x S 1 b x² 3 1 x S 1172 1 1 1172 20 Parte II 6 Para cada afirmação abaixo determine se é verdadeira ou falsa a O conjunto Q não possui nem supremo nem ínfimo b O ínfimo do conjunto 3 1n4 n N é 3 c O supremo do conjunto 4 1n1 n N é 4 7 Em cada conjunto abaixo determine seu ínfimo e seu supremo caso existam a A mmn m N n N b B 1n 1m m n N c C x R 1 x 2 d D a b a 1 2 b 3 4 e E x R x² 7 f F 1ⁿ n N g G 1 1ⁿ n N h H n1ⁿn n N i I nn1 n N j J 13ᵐ 5n m N n N Parte III 8 Escreva as seguintes expressões sem utilizar sinais do valor absoluto separando em dois ou mais casos quando for necessário veja o modelo abaixo x 2 1 x 3 se x 2 x 1 se x 2 a x 1 b a a a c x 1 2 x d x 3 2 9 Resolva em R as seguintes equações a x 3 8 b x x c x x 2 d x 2 2x 1 e 5x x² 6 x² 5x 6 10 Resolva em R as seguintes equações a x 1 x 1 0 b x 1 x 2 3 c x 1 x 2 1 d x 1 x 2 5 e x 1 2x 2 3 x 3 4 f x 1 2 3 g x 1 2 3 h 2 x x 3 4 11 Resolva em R as seguintes inequações a x 3 8 b x 4 2 c 2 x 3 d x 3 x 1 e x 2 x 3 f x 1 x 2 1 g x 1 x 1 2 h x 1 x 1 2 12 Em cada caso abaixo expresse as condiçãoões dadas em termos de equações ou inequações envolvendo valores absolutos e determine os respectivos conjuntossolução a x está mais próximo de 5 do que de 2 b A diferença entre as distâncias de x a 2 e 3 é exatamente igual a 5 c A distância entre x e 1 não supera 3 e x está mais perto de 6 do que de 8 13 Resolva as seguintes inequações a x 2 xx 2 1 b x² 4 2x 1 0 c 1 x 3 2 14 Determine o domínio da inequação abaixo e seu conjuntosolução 9 x 5 3 x 2 Parte IV 15 Prove as seguintes propriedades a x x x R b xy xy x y R c 1x 1x x R 16 Dada uma constante r 0 e um número real a qualquer mostre que para todo x R a x r r x r b x a r a r x a r c x r x r x r d x a r x a r x a r 17 Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações a x 2 3 x 3 x R b x 2 1 x 4 x R c x 3 1 x² 6x 5 0 x R d x 3 2 xx 4 0 x R e x 1 5 x² 4x 3 0 x R f x 5 2 x² 5x 6 0 x R 18 Em cada caso determine para quais valores de r r 0 a implicação é verdadeira a x 4 r x² 10x 9 0 x R b x 3 r x² 10x 9 0 x R Exercícios Complementares 19 Prove as seguintes propriedades a Desigualdade Triangular x y x y x y R b x y x y x y R c x y x y x y R d x y z x y z x y z R 20 Use a Desigualdade Triangular para mostrar que a Se x 3 0 005 e y 1 0 005 então x y 4 0 01 b Se x x₀ ε 2 e y y₀ ε 2 então x y x₀ y₀ r 21 Determine para quais valores de r r 0 podese afirmar se x 1 0 001 e y 2 r então x y 3 0 02 22 Use a Desigualdade Triangular para mostrar que a Se x 3 5 1000 e y 1 5 1000 então x y 2 100 b Se x x₀ ε 2 e y y₀ ε 2 então x y x₀ y₀ ε 23 Determine para quais valores de r r 0 podese afirmar se x 1 0 001 e y 2 r então x y 1 0 02 Respostas dos Exercícios 1 a Não Por exemplo 12² 12 c 0 a¹⁰ a³ a² a 1 e 1b 1a g 1a 1 a 0 a 1 1a i 1b a 1 1a b 0 b 1a 1 a 1b k 0 a² a 1 b b² 2 c 1b a 0 1c a² a b² b 1 1a c 6 a V c F 7 a infA 0 supA 1 c infC 1 supE 2 e Não é limitado inferiormente nem superiormente g infG 12 supD 2 i infI 0 supI 1 8 a x 1 se x 1 1 x se 0 x 1 x 1 se 1 x 0 x 1 se x 1 c 1 se x 2 2x 3 se 1 x 2 1 se x 1 9 b Sol 0 e Sol 2 3 10 b Sol 121 2 121 2 c Sol Ø e Sol 1 2 5 h Sol 52 32 11 b Sol 6 2 c Sol 1 5 f Sol 1 2 g Sol 1 1 12 b x 2 x 3 5 Sol 3 c x 1 3 e x 6 x 8 Sol 1 4 13 a Sol x R 2 x 313 2 ou x 2 c Sol 6 0 14 Dom R2 8 Sol 1 2 8 5 3 15 b Dica estude a igualdade em cada um dos casos x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0 e x 0 y 0 16 c É equivalente ao item a d É equivalente ao item b 17 a F c V e V 18 b 0 r 4 19 a x x x e y y y Somando as desigualdades temos x y x y x y ie x y x y x y donde a tese b Basta observar que x x y y e aplicar a Desigualdade Triangular 22 a Dica observe que x y 2 x 3 1 y Funções Parte 1 1 Sejam dados A e B conjuntos não vazios a Defina rigorosamente o conceito de função de A em B b Defina rigorosamente os conceitos de função injetora sobrejetora e bijetora 2 Dados os conjuntos A a e i o u e B 1 2 3 4 5 diga quais das relações abaixo definem uma função f A B Para cada uma destas diga se é injetora sobrejetora ou bijetora a R e 1 o 2 b R a 1 e 1 i 1 o 2 u 2 c R a 1 e 2 i 3 o 4 u 5 d R a 1 e 1 e 2 i 1 u 2 u 5 e R a 3 e 3 i 3 o 3 u 3 f R a 1 e 3 i 3 o 2 u 2 g R a 2 e 1 i 4 o 5 u 3 3 Determine o domínio maximal D R das seguintes funções f D R a fx 1xx43x1 b fx 1x² 1 c fx 1xx² 4 d fx 1 x x e fx 1 x x² f fx 1 x 3 4 Determine o domínio maximal D N das seguintes funções f D R a fn 1nn43n1 b fn 1 n n² 5 Para cada uma das seguintes funções determine se são injetoras sobrejetoras ou bijetoras justificando ie provando ou dando contraexemplos a Se A 1 2 3 4 5 6 7 e f A A dada por fx x se x é ímpar x2 se x é par b Se A 1 2 3 4 5 6 7 e f A A dada por fx x 1 se x 7 1 se x 7 c f N N fn 3n 1 d f Z Z fn n n e f R R fx ax b com a 0 f f R R fx 2x² g f 0 R fx 1x h f R R fx 1x² i f 0 R fx x 6 Determine o conjunto imagem da função f N Z dada por fn 1ⁿ n 7 Considerando a função f do Exercício 6 determine o conjunto imagem da função g N Z dada por gn fn fn 1 Sejam dadas as seguintes funções a f N N fn 3n 1 b g R R gx x x 2² 1 c h 0 R hx x 1 x Determine as préimagens abaixo a f¹2 b f¹2k k N c g¹1 d g¹31 e h¹1 f h¹13 12 Exercícios Complementares 9 Para cada uma das seguintes funções determine se são injetoras sobrejetoras ou bijetoras justificando ie provando ou dando contraexemplos a f R R R fx xx b f R R R fx x x c f R R R fxy x y d f R R R R fxy xy³ 10 Seja dada uma função f A B Se X e Y são subconjuntos do domínio A e se V e W são subconjuntos do contradomínio B mostre que a Se X Y então fX fY b Se V W então f¹V f¹W c X f¹fX d Se f é injetora então X f¹fX 11 Com os mesmos dados do Exercício 10 mostre que a fX Y fX fY b fX Y fX fY c Se f é injetora então fX Y fX fY d f¹V W f¹V f¹W e f¹V W f¹V f¹W 12 Considere a função f R R R dada por fxy y x a Calcule f¹0 b Calcule f¹0 13 Seja A um conjunto não vazio com n elementos e seja B um conjunto qualquer Mostre cada uma das seguintes afirmações a Se existe uma função injetora f A B então B possui pelo menos n elementos b Se existe uma função sobrejetora f A B então B possui no máximo n elementos c Conclua das afirmações acima a seguinte propriedade dois conjuntos finitos possuem o mesmo número de elementos se e somente se existe uma função bijetora entre tais conjuntos Respostas dos Exercícios 1 a Uma função f A B é uma relação entre os conjuntos A e B de modo que a cada elemento x A corresponde um único elemento y B 2 c É função bijetora d Não é função f É função nem injetora nem sobrejetora 3 c D 20 2 d D 1 152 2 f D 3 3 4 a D N b D 01 5 a Nada b Bijetora c A função é injetora pois fn fn 3n 1 3n 1 n n Entretanto não é sobrejetora pois 5 pertence ao contradomínio mas não existe n N tal que fn 5 pois 3n 1 5 3n 4 e claramente não existe nenhum natural com essa propriedade d Nada e A função é injetora pois fx fx ax b ax b ax ax e como a 0 temos que x x A função é sobrejetora pois dado y R fx y ax b y x y ba ou seja fy ba y f Nada g Injetora h Nada i Injetora 6 Im f 2n n N 2n 1 n N 7 Im f 11 8 a b n N n é ímpar e múltiplo de 3 c 1 d 30 e 0 f 169 169 9 a A função não é sobrejetora pois 10 pertence ao contradomínio mas não existe x R tal que fx 10 A função é injetora pois fx fx xx xx x x b Injetora c Sobrejetora A função não é injetora pois f01 1 f0 1 d Bijetora 11 a Se X Y a afirmção é trivial Caso contrário seja a fX Y Então existe b X Y tal que fb a Como b X ou b Y então a fX ou a fY Assim fX Y fX fY Por outro lado se a fX fY então existe b X ou b Y tal que fb a Em qualquer um dos casos existe b X Y tal que fb a Logo fX Y fX fY c A inclusão fX Y fX fY é objeto do item b Mostremos somete a inclusão fX fY fX Y Se fX fY a inclusão é trivial Senão seja dado a fX fY Então existem b X e c Y tais que fb a e fc a Como a função f é injetora hipótese do exercício deve resultar b c Assim b X Y e portanto a fX Y e Se V W então a inclusão f¹V W f¹V f¹W é trivial Senão seja x f¹V W Como fx V W então fx V e fx W e assim resulta x f¹V f¹W Logo vale f¹V W f¹V f¹W Viceversa se f¹V f¹W a inclusão f¹V f¹W f¹V W é trivial Senão seja x f¹V f¹W Então fx V e fx W ou seja fx V W Logo x f¹V W o que prova a inclusão f¹V f¹W f¹V W 12 a xx x R b xy R² y x 13 No que se segue denotaremos o número de elementos de um conjunto X por X Antes de considerar cada caso observemos que dados dois conjuntos quaisquer XY com X n temse que 1 Se X Y então Y possui pelo menos n elementos uma vez que os n elementos de X estão em Y 2 Se Y X então Y possui no máximo n elementos pois não poderia ter elementos que não estão em X Além disso na notação do enunciado temse sempre que 3 fA B pela definição de função 4 fA n pois os n elementos de A geram no máximo n imagens distintas a Se f é injetora então os n elementos de A geram n imagens distintas ie fA n Pelas observações 1 e 3 acima B possui ao menos n elementos b Se f é sobrejetora então B fA em particular B fA Pelas observações 2 e 4 acima B possui no máximo n elementos