Prova de Álgebra Linear - 1a Avaliação - Sistemas Lineares e Espaços Vetoriais

Algebra Linear 1a Avaliacao 29720223172022 Instrucoes para a Prova Todas as respostas devem ser devidamente justificadas Nao se aceitarao resolucoes por forca bruta tentativa e erro etc Na questao 1 utilizase o corpo K5 0 1 2 3 4 conforme as especificacoes da Lista 1 Na questao 2 utilizase o corpo R dos numeros reais como escalares e assumem se as respectivas operacoes usuais de soma vetorial e multiplicacao por escalar no espaco vetorial R4 1 Considere o seguinte sistema linear em K5 1x 2y 1z 2 3x 0y 4z 2 4x 1y 3z 2 a Obtema uma forma escalonada equivalente ao sistema linear especificando as variaveis pivotais e a variavel livre 2 pontos b Obtenha todas as solucoes compatıveis com o sistema linear fazendo a variavel livre assumir os cinco valores de K5 2 pontos 2 a Determine α R para que o sistema linear homogˆeneo 1x 2y 0z 3w 0 2x 0y 4z 2w 0 0x 1y 1z 2w 0 1x 1y αz αw 0 apresente duas linhas nulas na forma escalonada Substitua α por esse valor no segue 075 ponto b Obtenha S1 o conjunto das solucoes do sistema linear homogˆeneo do item 2a expressandoo em uma forma geometrica 075 ponto c Encontre vetores u v R4 tal que S1 geru v 075 ponto d Encontre uma base B1 para S1 Qual e a dimensao de S1 075 ponto e Descreva um sistema linear homogˆeneo nas inconitas a b c d para que o sistema linear nao homogˆeneo 1x 2y 0z 3w a 2x 0y 4z 2w b 0x 1y 1z 2w c 1x 1y αz αw d seja consistente 075 ponto f Obtenha uma expressao geometrica para S2 o conjunto das quadruplas a b c d R4 que tornam o sistema linear nao homogˆeneo do item 2e consistente 075 ponto g Encontre vetores r s R4 tais que S2 gerr s 075 ponto h Encontre uma base B2 para S2 Qual e a dimensao de S2 075 ponto z3 4y3 2x0 logo y2 x0 conjunto solução 023 z4 4y2 2x4 logo y3 x2 conjunto solução 234 2 a 1x 2y 0z 3w 0 2x 0y 4z 2w 0 0x 1y 1z 2w 0 1x 1y αz αw 0 L matriz aumentada 1 2 0 3 0 2 0 4 2 0 0 1 1 2 0 1 1 α α 0 Escolhendo o matriz pelo método de Gauss L2 L2 2L1 L4 L4 L1 1 2 0 3 0 0 4 4 8 0 0 1 1 2 0 0 3 α α3 0 L2 L24 1 2 0 3 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 0 3 α α3 0 L3 L3 L2 L4 L4 3L2 1 2 0 3 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 α3 α3 0 por α 3 Temos 1 2 0 3 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Portanto α 3 o sistema linear homogêneo apresenta duas linhas nulas b Variáveis pivotais x y Variáveis linhas z w x 2y 3w 0 y z 2w 0 Y z 2w X 2z w Conjunto solução x y z w 2z w z 2w z w Logo S 2 1 1 0 z 1 2 0 1 w é um plano que passa pelo origem Digitalizado com CamScanner c Como encontrado no item anterior os vetores diretores do Plano são 2 1 1 0 e 1 2 0 1 Portanto S é ger2 1 1 0 1 2 0 1 então u 2 1 1 0 v 1 2 0 1 d Hipóteses B1 2 1 1 0 1 2 0 1 é base do S1 x12 1 1 0 α2 1 2 0 1 0 2x1 α2 x1 2x2 α1 α2 0 Logo x10 α20 Portanto B1 é L e grupo S1 logo B1 é base do S1 Obs Já tinha sido demonstrado antes pois no conjunto solução é um plano necessariamente os vetores diretores dei Li e Sabendo que α 3 L matriz aumentada 1 2 0 3 a 2 0 4 2 b 0 1 1 2 c 1 3 3 d L2 L2 2L1 L4 L4 L1 es 1 2 0 3 a 0 4 4 8 b 2a 0 1 1 2 c 0 3 3 6 d a 1 2 0 3 a 0 1 1 2 2a b4 0 0 0 0 c 2a b4 0 0 0 0 d a 34 2a b L3 L3 L2 L4 L4 3L2 c 20b4 d a 34 2c b Logo 2a b 4c 0 2a 3b 4d 0 Digitalizado com CamScanner 1x 2y 1z 2 3x 0y 4z 2 4x 1y 3z 2 L Matriz aumentada 1 2 1 2 3 0 4 2 4 1 3 2 a Escalonando o matriz pelo método do Gauss Obs atentos para os operações definidas pelo corpo Ks 0 1 2 3 4 L2 L2 3L1 L3 L3 4L1 1 2 1 2 0 1 1 1 0 4 1 1 como 1 1 2 1 2 0 1 1 1 0 1 1 1 L3 L3 L2 1 2 1 2 0 1 1 1 0 0 0 0 como 1 4 logo 1 2 1 2 0 4 1 1 0 0 0 0 Portanto o sistema escalonado fica 1x 2y 2 2 4y z 1 A 1º e 2º coluna possuem pivôs então X Y são variações pivotais o c 3º coluna não possui pivô então Z é variável livre b Z0 4y 1 2x 3 Logo Y4 x4 conjunto solução 4 1 0 Z1 4y0 2x2 Logo Y0 x1 conjunto solução 1 0 1 Z2 4y1 2x1 Logo Y1 x3 conjunto solução 3 1 2 Digitalizado com CamScanner a 2a b 4c 0 0 o sistema podido 2a 3b 0c 4d 0 L vetoriz aumentado 2 1 4 0 0 L2 L2 L1 2 1 4 0 0 2 4 4 0 L Variações Probitas ab Variações Lirus cd 2a b 4c 0 2b 4c 4d 0 Logo b 2c 2d a 3c d conjunto solucção abcd 3c d 2c 2d c d Logo S2 3210 c 1 2 0 1 d é um pleno que para no origem g Os vetores diretor do pleno são 3210 1 2 0 1 Portanto S2 gen 3210 1 2 0 1 então n 3210 s 1 2 0 1 b Hipotese B2 3210 1 2 0 1 boar do S2 α1 3210 α2 1 2 0 1 0 3α1 α2 2α1 2α2 α1 α2 0 Logo α1 0 α2 0 logo B2 é li Com Imo B2 é li e gero S2 logo B2 é base B2 3210 1 2 0 1