Sistemas Lineares: Espaços e Subespaços Vetoriais - Exercícios de 14 de Março de 2022

Lista 2 Sistemas Lineares Espacos e Subespacos Vetoriais 14 de marco de 2022 Instrucoes gerais Todas as respostas devem ser devidamente justificadas Nao se aceitarao resolucoes por forca bruta tentativa e erro etc Salvo mencao explıcita em contrario assumese a utilizacao do corpo R nos exercıcios abaixo Questoes 1 x y e z sao inconitas que representam o tempo decorrido em dias Se hoje e domingo e x y z quintafeira 2x y z quintafeira 4x 6y 6z sabado quanto valem x y e z a assumindo que em x y e z assumam valores em K7 0 1 2 3 4 5 6 b assumindo que em x y e z assumam valores inteiros Sugestao Estabeleca e resolva um sistema linear em K7 0 1 2 3 4 5 6 obser vando que as operacoes algebricas de soma e multiplicacao em K7 sao definidas por 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 0 2 2 3 4 5 6 0 1 3 3 4 5 6 0 1 2 4 4 5 6 0 1 2 3 5 5 6 0 1 2 3 4 6 6 0 1 2 3 4 5 e 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1 2 a Determine α R para que o sistema linear homogˆeneo 1x 0y 2z 0 2x 1y 7z 0 0x 1y 3z 0 3x 2y αz 0 admita solucoes nao triviais Substitua α por esse valor no segue b Obtenha S1 o conjunto das solucoes do sistema linear homogˆeneo do item 2a expressandoo em sua forma geometrica c Encontre um vetor v R3 tal que S1 gerv d S1 e um subespaco vetorial de R3 Por quˆe e Descreva um sistema linear homogˆeneo nas inconitas a b c d para que o sistema linear nao homogˆeneo 1x 0y 2z a 2x 1y 7z b 0x 1y 3z c 3x 2y αz d seja consistente f Obtenha a expressao geometrica de S2 o conjunto das quadruplas a b c d R4 que tornam o sistema linear nao homogˆeneo do item 2e consistente g Encontre vetores v w R4 tais que S2 gerv w h S2 e um subespaco vetorial de R4 Por quˆe i Exprima as trˆes colunas da matriz principal do sistema linear do item 2a como combinacao linear dos vetores v e w j O conjunto das trˆes colunas da matriz principal do sistema linear do item 2a e li k O conjunto v w e li l Podemos afirmar que gerv w corresponde precisamente ao subespaco gerado em R4 pelas trˆes colunas da matriz principal do sistema linear do item 2a