Guia Teórico Prático: Subespaços Geradores e Bases

Guia Teérico Pratico I Subespacos Geradores Indepéndéncia Linear Bases e Dimensao 11 de julho de 2022 1 Teoria Sejam v1 V2Un vetores em um espaco vetorial V de dimensao finita m sobre R ou qualquer outro corpo de escalares e S ger v1 V2Un Para obter uma base B para S e expressar os vetores U1 U2Un em termos dessa base podemos seguir 0 seguinte procedimento Passo 1 formulamos a equagao linear U1 VUp Va94n Vn Ov nas inc6nitas escalares 11 222n ER Passo 2 obtemos um sistema linear homogéneo SLH com m equagées nas inconitas 21 2n ER Passo 3 os vetores associados as varidveis pivotas do SLH do Passo 2 consti tuirao a base B procurada para o subespaco vetorial S do espaco vetorial V Passo 4 para expressar os demais vetores em termos dos vetores da base B encontrada no Passo 3 associamos o valor 1 varidvel livre associada a esse vetor e o valor 0 as demais varidveis livres do SLH dimS a dimensao de S serd a quantidade de vetores em B a base encontrada para S que por sua vez corresponde a quantidade de varidveis pivotais no SLH 4 e 2 Pratica Exercicio 1 Sejam U 14 5 2 v2 2 1 3 0 U3 1 3 2 2 V4 0 7 7 4 R Obtenha B C v1 v2 v3 v4 que seja base para S gere1 v2 U3 U4 e expresse os vetores V1 U2U3U4 como combinagao linear dos vetores da base B Solucao 21 Vi 2QvQg 2303 4 244 Oy 000 0 1 la 242 lag O44 O 4eay Ilaq 323 Tag O a 2 5a 3822 243 Tae O 2 Org 243 4a O lay 2 1x3 Or4 O 72 743 Tag O Tr Tr Tra 0 3 Agog 43 4a O lat 2x2 la Or O 4 lrg Ila3 las O 21 e x2 Sdo varidveis pivotais logo B v1v2 é a base buscada para S gerv1 v2 v3 v4 e fazendo 73 le 24 0 em 4 obtemos r2 1 e a1 1 Substituindo em 1 segue que v3 v1 v2 v3g 0 vetor de coordenadas de v3 na base B é portanto 11 e fazendo x3 0 e x4 1 em 4 obtemos x2 1 e a1 2 Substituindo em 1 segue que v4 2 v1 v2 v4pB 0 vetor de coordenadas de v4 na base B é portanto 21 e Concluimos que 1 S gerv1 v2 v3v4 6 um subespago vetorial bidimensional imerso no espaco vetorial R 2 B v1 v2 6 uma base para S 3 Os vetores de coordenadas ou simplesmente coordenadas dos vetores v1 v2 U3 v4 R na base B sao respectivamente v1 10 v2 01 v3B 11 e vag 21 Alternativamente também se escreve v1 10 v2 01 v3 11B ec va 21B Observe alternativamente que esse exercicio poderia ter sido feito segundo os mes mos passos do Exercicio 2 da Lista 2 Tente fazélo dessa outra forma e compare os resultados Exercicio 2 Sejam p 14 4 4 5a 203 pp 2424 327 pg 143e 2x 2x3 py Tx Tx 423 Ps 0 espaco dos polindmios com grau menor ou igual a 3 Obtenha B C pip2psp4 que seja base para S gerpip2p3pa expresse os polinémios vetores pi p2p3 Pa como combinagao linear dos polindmios vetores da base B Solucao L1pit22p223p324pa O0p 0 polindmio nulo de P3 1 lay 2 143 Org O 4oy lao 323 Txg O a 2 5a 322 243 Tae O 2 Org 243 4aq4 O lay 2 143 Org O Ta2 7Ta3 Tr4 O 7 73 Tm 0 7 4o 43 4raqg O laf 242 lag Org O 4 la 1le3 la O 21 e x2 So varidveis pivotais logo B pip2 é a base buscada para S gerp1p2p3p4 e fazendo x3 le 24 0 em 4 obtemos rg 1 e a1 1 Substituindo em 1 segue que p3 p1 p2 p3B 0 vetor de coordenadas de p3 na base B 6 portanto 11 e fazendo x3 0 e x4 1 em 4 obtemos x2 1 e a1 2 Substituindo em 1 segue que pa 2p1 p2 pa 0 vetor de coordenadas de pa na base B é portanto 21 e Concluimos que 1 S gerpi p2p3pa um subespaco vetorial bidimensional imerso no espaco vetorial quadridimensional P3 2 B p1p2 uma base para S 3 Os vetores de coordenadas ou simplesmente coordenadas dos polinémios vetores pi p2 p3 pa P3 na base B so respectivamente p1g 10 p2p 01 p3p 11 ec pap 21 Alternativamente também se escreve pi 10g p2 01B p3 11B e pa 21p Exercicio 3 1 4 2 1 1 3 0 7 Sejam an 2 a 3 os Ma 2 m 9 7 Matzeo Obtenha B c M Mz M3 M4 que seja base para S gerM M2 M3 My e expresse as matrizes vetores M M2 M3 M como combinagao linear das matrizes vetores da base B Resposta e BM1 M2 e M 1M0Me2 Mz 0M1Mo M3 1M1Mo My 2M1Mo Exercicio 4 Seja S p Ps p1 p0 0 e p1 p0 Of 1 Mostre que S é um subespaco vetorial de P3 2 Obtenha uma base para S 3 Qual a dimensao de S Solucao 1 SepqeE SeaER entao p a1 p 40 v1 41 PO 49 PA p0 a0 000 1 p a1 p 40 w 1 pO 40 p0 G1 g0 000 2 a p1 a p0 ap1 ap0 ap1 p0 a00 3 a p1 p0 ap1 ap0 ap1 p0 a00 4 De 1 e 2 concluimos que S é fechado em relagdo 4 soma de vetores De 3 e 4 conclufmos que S é fechado em relagao 4 multiplicagéo de vetor por escalar Segue portanto que S é um subespaco vetorial de P3 2 Sea ba cx dx S entdo 2a 1b 1c Id O Oa 1b Ie Id O cuja solugao é 0e dcd R cd R Portanto S c dx cx dx Ps cd R ca da 23dER gera 2 x Como o conjunto a a 3 6 claramente 11 explique porqué segue que B x x a x3 é a base desejada 3 Como a base B de S tem dois vetores a dimensao de S é igual a 2 S é portanto um subespaco bidimensional imerso no espago quadridimensional 73 dos polinédmios com grau menor ou igual a trés