Avaliação de Álgebra Linear: Sistema Linear Não Homogêneo e Equações Modulares

Algebra Linear 1a Avaliacao Resolucao ECE 2426 de abril de 2020 1 a Discuta e resolva em K3 0 1 2 o seguinte sistema linear nao homegˆeneo x y z 0 x y z 1 x y z 2 lembrando que as operacoes algebricas de soma e multiplicacao em K3 sao defi nidas por 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 e 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1 b utilize o resultado do item 1a para apresentar todas as triplas de numeros inteiros em Z3 que satisfazem o sistema de equacoes modulares x y z 3 0 x y z 3 1 x y z 3 2 onde 3 denota o resto da divisao por 3 Por exemplo fazendo x 9 y 13 e z 5 as trˆes equacoes modulares acima sao satisfeitas logo 9 13 5 Z3 e uma dessas triplas Resolucao a Subtraindo a primeira equacao da segunda obtemse 2y 1 y 1 1 e subtraindo a primeira equacao da terceira obtemse 2z 2 z 2 2 onde 1 e 2 seguem pois 2 1 em K3 Substituindo 1 e 2 na primeira equacao obtemse x 1 2 0 x 0 0 3 x 0 4 b A triplas de numeros inteiros que satisfazem as trˆes equacoes modulares simultane amente sao as triplas da forma 3k 3l 1 3m 2 k l m Z Isso se deve pois quando se trata do resto da divisao por trˆes os numeros da forma 3k sao equivalen tes a 0 os numeros da forma 3l 1 sao equivalentes a 1 e os numeros da forma 3m 2 sao equivalentes a 2 Fazendo k 3 l 4 e m 1 obtemos a tripla 9 13 5 do exemplo acima 2 Em relacao aos itens abaixo explique o porquˆe em caso negativo ou apresente um exemplo em caso afirmativo a Existe algum espaco vetorial sobre R que utilize os numeros reais como escalares com exatamente dois vetores distintos b Existe algum espaco vetorial com exatamente dois vetores distintos Resolucao a Nao Se ha dois vetores em um espaco vetorial V sobre R um deles chamemolo vetor v nao e 0V o vetor nulo de V pois conforme o exercıcio 28 da secao 51 resolvido nas notas de aula so existe um vetor nulo em V Considere agora o vetor w 2v w 0V pelo item d do Teorema 41 das notas de aula ou item d do Teorema 511 do livro texto e w v pois w v w v 2v 1v 2 1v 2 1v 1v v 0V Assim os vetores 0V v e w sao dois a dois distintos e V tem pelo menos trˆes vetores distintos Naturalmente esse racicınio pode ser aplicado para mostrar que V nao e finito Ou seja se um espaco vetorial V sobre R nao for o espaco vetorial nulo V 0V entao V contera necessariamente infinitos vetores distintos b Sim Basta observar que V K2 0 1 e um espaco vetorial sobre K2 A verificacao dos oito axiomas e imediata nesse caso 3 Em relacao aos itens abaixo apresente pelo menos um axioma nao verificado em caso ne gativo ou verifique todos os axiomas em caso positivo a O conjunto dos numeros reais nao negativos 0 com as operacoes usuais de soma e multiplicacao e um espaco vetorial sobre R b O conjunto dos numeros reais nao negativos 0 com as operacoes de soma e multiplicacao por escalar definidas por x y def xy e λ x def xλ e um espaco vetorial sobre R Resolucao a Nao Os axiomas A3 vetor nulo e A4 vetor inverso sao claramente violados nesse caso b Sim A verificacao dos oito axiomas foi feita em sala de aula Em particular 0V 1 A3 x 1x A4 e k x y k xy xyk xk yk xk yk k x k y M3