Gabarito da Prova de Física IV - P3 - 2019

Fisica IV 4323204 Escola Politécnica 2019 GABARITO DA P3 P3 21 de novembro de 2019 Questao 1 Uma particula de massa m se move em uma dimensao na presenca de um poco de potencial de profundidade Up e largura 2L conforme a figura abaixo A particula se encontra num estado estacionario de energia E Ub L 0 L x a 10 ponto Escreva a equacao de Schrédinger independente do tempo desta particula para L x Le sua solugao geral b 10 ponto Escreva a equagao de Schrédinger independente do tempo desta particula para x LexLesua solucao geral Qual solucao é fisicamente aceitavel c 05 ponto Encontre as condigdes de contorno que as constantes arbitrarias intro duzidas nos itens a e b devem satisfazer nao é necessario resolver o sistema d 10 ponto Calcule a probabilidade de encontrar a particula na regiao x L como funcao dessas constantes 1 Solucao da questao 1 a A equacaéo de Schrodinger independente do tempo é dada por a hn dP SF E 5 gt BUa A solucao geral neste caso é dada por wx Acos kx Bsin ky x com k ven b Para x L a equagao de Schrodinger independente do tempo é dada por b quag g P p P hn dP om ge Up x Eyyx A solugao geral neste caso é dada por wx Ce De onde ky vena Para x L a solucao fisicamente aceitavel é dada por We De enquanto para x L a solucao fisicamente aceitavel é wx Ce c A condigao de contorno em x L fornece a relagaéo AcoskL Bsin kL De e a condicao de contorno em L fornece a relagao Acos kL Bsin kL Ce d Usando a relagao Pa x b pr wxdx encontramos que a probabilidade da particula ser encontrada na regiao x L ou x L é dada por L 0 2 2koL 22koL Ce Dre sL C koe gy D 2k2x 2 a pa x x Oks Iho 2 Questao 2 PARTE I 10 ponto Um atomo de hidrogénio sofre uma transicéo eletrénica do estado 2p para o estado 1s emitindo um foton A transicao transcorre num intervalo de tempo 7 denomi nado tempo de vida do estado 2p Admitindo que a incerteza na posicao do féton seja igual ao comprimento do pulso de luz associado ao féton emitido estime a incerteza no momento linear do féton PARTE II Um elétron encontrase num pogo de potencial unidimensional com barreiras infinitas situado entre 0 L No instante t 0 a fungao de onda deste elétron é dada por Uxt 0 iAx L2 sendo A uma constante reall a 10 ponto Encontre a derivada He na posigao L4 no instante t 0 Expresse sua resposta em termos de A L e das constantes universais b 10 ponto Justifique se o estado acima é estacionario 3 Solucgao da questao 2 PARTE I De acordo com o principio da incerteza ApAx A Uma vez que o féton possui tempo de vida T e se propaga com velocidade c podemos estimar sua incerteza na posicao por Ax ct Portanto obtemos Ap sh OBS Caso seja usada a relagao ApAx A obtémse Ap 4 PARTE II a De acordo com a equacao de Schrédinger é dada por inea HWzxt No caso do pogo infinito Vx 0 entre 0 x LI ela tornase OV xt h 0 L jh V rt Ax ot 2m Ox 21 GAe 3 Utilizando o lado direito da equacaéo acima obtemos wee She A b Para o estado ser estaciondrio devemos ter Vx t xe sendo E a energia do elétron de forma que MG W xt Uma vez que no presente caso Mee WVzt em t 0 0 estado acima nao é estacionario 4 Questao 3 A fungao de onda do elétron no atomo de hidrogénio no estado 1s é dada por W100 r 0 Ce onde ag 6 0 raio de Bohr e C é uma constante real a 10 ponto Determine a regiao do espaco em torno do proton onde a energia deste elétron na descricao da mecanica quantica 6 menor do que a energia potencial do elétron na descricgao da mecanica cladssica Apresente a resposta em termos do raio de Bohr ao b 05 ponto Use a condigéo de normalizacao para determinar o valor de C c 10 ponto Para este estado escreva a expressao da distribuigao de probabilidade radial densidade de probabilidade radial Calcule 0 valor de r para o qual ela é maxima d 10 ponto Calcule o valor numérico da probabilidade de encontrar o elétron a uma distancia maior do que ag Utilize as estimativas para poténcias de e e 27 e 74 e 20 et 55 5 Solucgao da questao 3 a A energia do dtomo de hidrogénio é dada por F Bata A regido em que ela 6 menor que sua energia potencial satisfaz a condicao me e 3262h12n Amegr No estado n 1 equivale a r Sn hea 27a sendo dg 0 raio de Bohr b A constante de normalizacao é obtida lembrandose que 2r 2r Ce 4rr7dr 1 inc e ordr1 0 0 Efetuando os calculos obtemos que 2 2 3 oo Qor aor Ga 2r 1 4rC F 4073 1 C 9 9 4 0 Jras c Dada a distribuigao de probabilidades radial 1 2 rzre pr nas o valor de r no qual pr é maximo satisfaz a condigao 1 Qr ar pr3 2 e Temos entao que pr 0r a 6 d A probabilidade de encontrarmos o elétron na regiao r ao é dada por Se lt xs pr a ze 4rrdr ag 7G Efetuando a integral acima obtemos 4 aor aarag 2r a f2 SB 2he 1 plr ao SSB edi 4 ag apg ag 220 9 24 042 a 5e 0675 2 a 5 1 2 7 Formulario 34 19 h h7x10Js leV16x107J AxAp 3 hh2r L C4 1h Lmh S Vss41h S m h 2 J senaxdx 5 senor En 308 enn do ary Co CO 2 CO 2 1 Jo wre tdeanl feedrVrat S ae dr gv a7 32 ipAea HWVzt Wxt wxe onde E é a energia h dx 2a om da UxUx2 Evx2 dV drdydz dV rsinédrdédd fe aedx 2 d 2d 2e4e f a2edx d 2d 2e 8