Gabarito da Prova de Física IV - P3

Fısica IV 4320402 Escola Politecnica 2013 GABARITO DA P3 26 de novembro de 2013 Questao 1 Um foton com energia igual a energia de repouso do eletron sofre espalhamento Compton O ˆangulo de espalhamento do foton e tal que a energia cinetica do eletron apos a colisao e maxima a 10 ponto Qual e o ˆangulo de espalhamento do foton apos a colisao Justifique b 05 ponto Determine a diferenca entre os comprimentos de onda do foton espalhado e incidente Expresse sua resposta em termos da constante de Planck da massa de repouso do eletron e da velocidade da luz c 10 ponto Determine a razao R entre os comprimentos de onda do foton depois e antes da colisao A resposta deve ser numerica 1 Solucao da questao 1 a A energia cinetica do eletron e Ecin h c λ h c λ onde λ e λ sao respectivamente os comprimentos de onda do foton antes e depois da colisao Desta relacao vemos que a energia cinetica do eletron e maxima quando λ for maximo A relacao entre λ e λ e λ λ h mc1 cos θ Portanto λ e Ecin serao maximos para θ π b O deslocamento do comprimento de onda do foton e λ λ λ h mc1 cos π λ 2h mc c No espalhamento considerado no problema a energia cinetica do foton e igual a energia de repouso do eletron portanto Eγ hc λ mc2 λ h mc Mostramos no item b que λ λ 2h mc λ 3λ λ λ 3 2 Questao 2 Luz ultravioleta com comprimento de onda na faixa 120 nm λ 400 nm atravessa um tubo transparente preenchido com gas helio Z 2 ionizado uma vez He a 05 ponto Determine o intervalo de energia dos fotons incidentes em eV b 10 ponto Adotando o modelo de Bohr e supondo que o atomo esta no estado excitado com n 2 qual e maior comprimento de onda λmax da luz incidente absorvida pelo gas c 10 ponto Determine o modulo da variacao do momento linear p do He ao absorver um desses fotons de comprimento de onda λmax Dˆe a resposta em kgms 3 Solucgao da questao 2 a A energia do foton E é h 1230 Ey eVnm Assim 3leV FE 10 eV b O atomo pode absorver fétons com energia igual as diferencas de energia entre o estado com n 2 e os estados com n 2 he 2 1 1 Para n 3 E 76 eV paran 4 FE 102 eV Para n 4 a energia cai fora do intervalo do item a O comprimento de onda maximo é obtido com a energia minima e vale he 1230 16x 10 nm E 76 6 X nm c O médulo da variagéo do momento do elétron é igual ao médulo do momento do fdton absorvido h 41 x 1071516 x 10719 P p Vméx 1 6 x 107 x g ms 4 Questao 3 I 15 ponto Considere a fungao de onda do estado fundamental do atomo de hidrogénio W5rt Wisre onde 1 that err ras e dg 6 0 raio de Bohr Para o atomo de H no estado fundamental calcule a proba bilidade de encontrar o elétron a uma distancia menor do que o raio de Bohr II 10 ponto Considere 0 movimento unidimensional de uma particula em que a incerteza na medida de sua posicao seja igual a A27 onde A é 0 comprimento de onda de de Broglie associado Determine a minima incerteza relativa App na medida do momento p desta particula efetuada simultaneamente 4 medida da posicao 5 Solucgao da questao 3 I A probabilade de encontrar o elétron numa casca esférica de raio r e espessura dr no estado fundamental do H é 2 2 dr 2ra Prdr 4rr15rdr Je dr 49 Portanto a probabilidade de achar o elétron a uma distancia menor do que ao é ao 2 Ar 1 1 Pr a e77 dp 3 ere 5 a r42e 9 15e 0 32 6 0 II E dado que a incerteza na posicao da particula é da ordem do comprimento de onda de Broglie A A Ar x 27 p A relacgao de incerteza de Heisenberg fornece Ap h hp Ap 1 Ap P 9Rr Oh p 2 6 Questao 4 A dinamica de uma particula subat6mica de massa m pode ser estudada modelandoa confinada em um poco unidimensional de largura ZL como mostra a figura CO CO Zh U 0 L x a 05 ponto Escreva a equacao de Schrédinger para esta particula com energia EF no pogo b 10 ponto Obtenha resolvendo a equacao do item a as fungdes de onda norma lizadas Wn c 10 ponto Qual é a separacao AF em enegia entre os estados da particula corres pondentes aos dois niveis mais baixos de energia nesse poco 7 Solucgao da questao 4 a A equacao de Schrédinger na regiéo 0 x L se escreve como h dw F 2m dx v b Multiplicando a equagao do item a por 2mh obtemos wy 2nE 9 awe ee onde k V2mEh A solugao geral pode ser escrita como wx Asen kx Bcoskz Impondo as condicoes de contorno obtemos v0 0B0 wWL0AsenklL klLnr n123 Portanto Wnx Asen or 2 L Determinamos a constante A normalizando a funcao de onda L L 5 nt J enPaw 1 sen Sx de 1A 2 0 0 Finalmente 2 Unx Fs ay c Primeiramente determinamos a energia F através de k 2m nq hn Bh k B nh Li 8mL Logo 3h AE Ey E 8 Formulario h 41 x 107 eVs c 30 x 10ms leV 16 x 10719J h h Ehfhc Epe Lnh NA1cosd p mec Ap Ax h2 AEAth2 hh2zr h Px FED 5 Ueyya BV0 m dx Vg L 01h Le mh S sst1h Smh E 1365 eV fedxe fredrxlje fare dxr 4 24 4 2e 9 x sen 2z 9 sen 2x J senxdx 50 cos xdx 5 9