Exercícios Resolvidos Analise de Sistemas de Controle Diagramas de Bode e Nyquist

1 Um sistema possui a função de transferência Gs 100s100 Para este sistema a determinar a expressão analítica para a magnitude da resposta em frequência b determinar a expressão analítica para a fase da resposta em frequência c determinar o diagrama de bode assintótico para a magnitude d determinar o diagrama de bode assintótico para a fase 3 Para a função de transferência em malha aberta Gs Ks1s2s3 a determinar os valores do ganho K para que o sistema seja estável b para qual valor do ganho K o sistema é mais estável K10 ou K30 ou seja para qual valor de K o sistema está mais longe do ponto crítico 10 c se o denominador de Gs fosse igual a s1s2s3 o que aconteceria com o contorno de Nyquist em relação aos itens anteriores Este sistema seria estável para algum valor de K positivo Discutir OBS Esta questão deve ser respondida obrigatoriamente utilizando o critério de estabilidade de Nyquist A resposta em frequência de um sistema linear e invariante no tempo é representada pelo seguinte diagrama de Bode a a função de transferência que melhor se encaixa no diagrama de Bode apresentado na figura acima é escolher uma opção e justificar a resposta a1 s1s10s10 a2 s10s1s10 a3 s10s1s10 a4 s10s1s10 a5 s10s1s10 b qual o valor da magnitude para a frequência de 20 rads c qual o valor da nova fase para a frequência de 1 rads caso o numerador da função de transferência seja multiplicado por 10 1 a Primeiro fazemos z jw Gjw 100 jw 100 Dessa forma determinando o módulo Gjw 100 w2 1002 mw 100 w2 1002 b Para determinar o fase devemos subtrair ou seja a fase do numerador menos a fase do denominador φw 100 jw100 φw 0 tg1 w100 φw tg1 w100 c Simplificando a expressão GΩ GΩ 1 Ω100 1 Para Ω 100 Gjw 1 mw 20 log 1 0 Para Ω 100 Gjw 1 Ω100 100 w mw 20 log 100 20 log w mw 40 20 log w Portanto teremos duas retas assintóticas no diagrama de Bode de Magnitude Uma horizontal fixada em mw0 e outra inclinada com lei mw40 20 log w Logo mw d Para Ω 100 φw tg1 0 0 Para Ω 100 φw tg1 1 45 Para Ω 100 φw tg1 90 Dessa forma o diagrama de Bode da fase possui 3 assíntotas Iniciase em 0 para a frequência de quebra temos 45 e termina com 90 Logo 2 a Tratase da expressão de a5 Gs s10s1s10 Simplificando Gs 1010 s101s1s101 Gs s101s1s101 Gs s101s210 11s10 1 Para baixas frequências Gjw 1 1 180 Para altas frequências Gjw s10s210 1jw Gjw 1w 90 Equivale ao diagrama de magnitude pois para baixas frequências Mw 20 log 1 0 e para altas frequências Mw 20 log 1w 20 log w o que é verificado pela assíntota decrescente de 20 dBdécada O diagrama de fase também equivale pois para baixas frequências ϕw 180 e para altas frequências ϕw 90 b Temos Gjw jw10 1 jw102 1110 jw 1 Gjw w²100 1 1 w²10² 1110 w² Para w 20 Rads m20 20²100 1 1 20²10² 121100 20² m20 005 c Temos Gs 10s 100 s 1s 10 Logo φw 10jw 100 jw 1 jw 10 φ1 100 j10 1 j 10 j φ1 1743 45 57 φ1 12359 3 a Substituindo jw em Gs temos Gs 1 s³ 6s² 11s 6 Gjw 1 jw³ 6w² 11 jw 6 Gjw 1 6 6w² j11 w w³ Gjw 6 6w² jw³ 11 w w⁶ 34 w⁴ 49 w² 36 O diagrama de Nyquist cruza o eixo real quando a parte imaginária de Gjw é nula logo w3 11w 0 w2 11 w 11 Rod 1s w 3 32 Rod 1s Para essa frequência temos Gjw 6 6112 116 14114 49112 36 Gjw 160 Portanto o sistema é estável para K 60 b Para K 60 o sistema é marginalmente estável assim para K 10 o sistema possui uma estabilidade melhor que para K 30 c Para esse caso o diagrama de Nyquist seria simétrico em relação ao eixo jw Dessa forma teríamos Gjw 160 Assim o sistema será estável em K 60 Portanto não há ganho positivo para estabilidade