Exercícios de Variáveis Aleatórias Discretas

Introdução à Probabilidade e Estatística Exercícios de Variáveis Aleatórias Discretas Aviso Alguns exercícios possuem asteríscos ao lado da numeração indicando o nível de dificudade Aqueles que com 1 ou mais asteriscos deverão ser considerados desafios A dificuldade pode ser de estruturação do problema ou puramente operacional 1 Dada a função de distribuição acumulada 𝐹𝑥 0 se 𝑥 1 01 se 1 𝑥 2 03 se 2 𝑥 3 07 se 3 𝑥 4 08 se 4 𝑥 5 1 se 5 𝑥 Calcule a função de probabilidade da variável 𝑋 cuja fda é 𝐹 Calcule ainda o valor esperado e a variância de 𝑋 2 Um atirador acerta o centro do alvo em 20 dos tiros Em um dia de treino ele decide atirar diveras vezes até acertar o centroSuponha que a cada tiro ele acerta o centro de maneira independente dos demais tiros Qual o número esperado de tiros que o atirador deve dar até acertar o centro 3 Um livro de jogos de azar recomenda a seguinte estratégia de vitóriapara o jogo de roleta aposte R 100 no vermelho Se der vermelho pegue o lucro de R100 e desista Se o vermelho não aparecer e você perder a aposta faça apostas adicionais de R 100 no vermelho em cada um dos próximos dois giros da roleta e então desista Se 𝑋 representa seu lucro quando você sair da mesa a determine P𝑋 0 b você está convencido de que a estratégia é de fato uma estratégia de vitória Explique a sua resposta c calcule E𝑋 e 𝑉𝑎𝑟𝑋 Observação No jogo de Roleta um pequela bola é jogada em uma roleta giratória com 18 casas vermelhas 18 pretas e duas verdes Quando a roleta para de girar a bola cai em uma das casas Antes da roleta parar um jogador deve apostar algo sobre o resultado como por exemplo a cor da casa onde vai parar Se ele aposta que a bola cairá em uma casa vermelha ele pega de volta o que apostou e ganha a mesma quantia como prêmio caso contrário ele perde o que apostou 4 A cada noite diferentes meteorologistas nos dão a probabilidade de chuva no dia seguinte Para julgar quão boa é a previsão do tempo feita por essas pessoas vamos classificálas da seguinte maneira se um meteorologista diz que choverá com probabilidade 𝑝 então ele ou ela receberá uma nota de 1 1 𝑝2 se chover 1 𝑝2 se não chover Vamos então anotar as notas ao longo de um determinado período de tempo e concluir que o meteorologista com a maior nota média é aquele que melhor prevê o tempo Suponha agora que certo meteorologista esteja ciente de nosso mecanismo de notas e queira maximizar sua nota esperada Se essa pessoa acredita verdadeiramente que choverá amanhã com probabilidade 03 que valor de 𝑝 ele ou ela deve declarar de forma a maximizar a nota esperada 5 Seja 𝑋 uma variável aleatória discreta com P𝑋 0 025 P𝑋 1 0125 P𝑋 2 0125 P𝑋 3 05 Faça um gráfico da função de probabilidade e da função de distribuição acumulada Calcule o valor esperado e a variância de 𝑋 e determine as seguintes probabilidades P0 𝑋 1 P𝑋 2 P𝑋 3 P𝑋 25 6 Um alvo é feito com uma tábua quadrada pintada de branco com exceção de um círculo no seu centro que é pintado de preto As regras de uma prova são definidas da seguinte forma o atirador que acertar no centro preto ganha 18 pontos se acertar na parte branca da tábua ganha 8 pontos e se não acertar na tábua perde 2 pontos a Um atirador atira no alvo defina formalmente o espaço dos resultados deste experimento e a variável aleatória 𝑋 número de pontos b O desempenho do atirador pode ser assim resumido Pacertar no centro 02 e Pacertar na parte branca 07 Calcule média e variância do número de pontos para o atirador 7 Um bit 0 ou 1 de informação é transmitido por um canal com ruído Seja 𝑝 a probabilidade de que seja erradamente recebido Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três ou seja enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes Dado 𝑁 o total de bits corretamente recebidos em um decodificador de maioria de 2 em 3 faça o que se pede a Para que valores de 𝑝 temos 𝐸𝑁 1 b Para quais valores de 𝑝 o decodificador de maioria de dois em três tem maior probabilidade de transmitir corretamente que a transmissão de única tentativa 8 Problema de Huygens Dois jogadores A e B jogam dados Cada um joga um par de dados em sua vez se A fizer seis pontos antes de B fazer sete A ganha senão B ganha Considere que A começa a jogar a Encontre a função de probabilidade da variável aleatória 𝑁 que conta o total de rodadas jogadas até o jogo terminar b Qual é sua probabilidade de A vencer o jogo 9 Um jogador costuma acertar 80 de suas tentativas de lance livre no jogo de basquete Ele nos porpôs um desafio terá direito a dez lances livres e registraremos como pontuação a quantidade de cestas que ele fizer acima de cinco por exemplo se fizer 7 registramos 2 se fizer 4 registramos 1 Suponha que acerta cada cesta independentemente das demais Com isso responda o que se pede a Qual é a probabilidade desse jogador errar todas as cestas b Qual é a probabilidade de não pagarmos nem recebermos qualquer quantia c Qual é a probabilidade de recebermos algo diferente de zero d Se 𝑁 é o total de cestas que o jogador acerta escontre a função de probabilidade de 𝑁 e Se concordarmos em pagar 𝑅100 por ponto neste jogo qual será o valor esperado que pagaremos ou receberemos se for negativo 10 Um supermercado vende uma caixa com 20 lâmpadas das quais 4 são defeituosas e as restantes boas Um comprador decide testar 5 das lâmpadas obviamente sem reposição escolhidas ao acaso e comprar a caixa caso haja no máximo duas defeituosas entre as lâmpadas testadas Quais são a função probabilidade esperança e variância do número de itens defeituosos Qual é a probabilidade de comprar a caixa 2