Gabarito dos Exercícios de Confiabilidade Industrial

ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues GABARITO DOS EXERCÍCIOS MATERIAL DE APOIO 4 EXERCÍCIOS SÉRIE 1 1 Para estimar a vida media das bobinas fabricadas a empresa submete a testes de confiabilidade um total de 150 bobinas As bobinas foram observadas e as falhas anotadas resultando na seguinte distribuição Intervalos de tempo horas Falhas Observadas De 0 a 1000 16 De 1001 a 2000 24 De 2001 a 3000 26 De 3001 a 4000 46 De 4001 a 5000 38 Estime a função densidade ft a função de risco ht a função confiabilidade Rt e a função de probabilidade acumulada Ft Utilize as fórmulas 𝑓𝑡 𝑛𝑓𝑡 𝑛0Δ𝑡 ℎ𝑡 𝑛𝑓𝑡 𝑛𝑠Δ𝑡 𝑅𝑡 𝑓𝑡 ℎ𝑡 𝐹𝑡 1 𝑅𝑡 Solução Intervalos de tempo horas Falhas Observadas Acum Decres fti 104 hti 104 Rti Fti De 0 a 1000 16 150 1066667 1066667 100000 000000 De 1001 a 2000 24 134 1600000 1791045 089333 010667 De 2001 a 3000 26 110 1733333 2363636 073333 026667 De 3001 a 4000 46 84 3066667 5476190 056000 044000 De 4001 a 5000 38 38 2533333 10000000 025333 074667 150 Função densidade ft 𝑓𝑡1 16 150 1000 10000 1066667 𝑓𝑡2 24 150 1000 10000 1600000 ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 𝑓𝑡5 38 150 1000 10000 2533333 Função de risco hti ℎ𝑡1 16 150 1000 10000 1066667 ℎ𝑡2 24 134 1000 10000 1791045 ℎ𝑡5 38 38 1000 10000 10000000 Função Confiabilidade Rti 𝑅𝑡 𝑓𝑡 ℎ𝑡 𝑅𝑡1 1066667 1066667 100000 𝑅𝑡2 1600000 10791045 089333 𝑅𝑡5 2533333 10000000 025333 Função probabilidade acumulada Ft 𝐹𝑡 1 𝑅𝑡 𝐹𝑡1 1 100000 000000 𝐹𝑡1 1 089333 010667 ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 𝐹𝑡5 1 025333 07466 2 Os dados a seguir são os tempos até a falha medidos para 50 componentes eletromecânicos Elabore uma distribuição de frequência adotando intervalo de 100 horas e estime a função densidade ft a função de risco ht a função confiabilidade Rt e a função de probabilidade acumulada Ft 15 23 62 78 80 85 97 105 110 112 119 121 125 128 132 137 140 145 149 153 158 162 167 171 175 183 189 190 197 210 218 225 230 237 243 255 264 273 282 301 312 330 345 360 383 415 436 457 472 572 Solução Devese elaborar a distribuição de frequência com h 100 com intervalo fechado à esquerda e fazer os mesmos cálculos descritos no exercício anterior intervalo 100 Freq Freq Decr ft 103 ht 103 Rt Ft 0 100 7 50 14000 14000 10000 00000 100 200 22 43 44000 51163 08600 01400 200 300 10 21 20000 47619 04200 05800 300 400 6 11 12000 54545 02200 07800 400 500 4 5 08000 80000 01000 09000 500 600 1 1 02000 100000 00200 09800 50 3 A tabela abaixo reproduz os resultados obtidos em testes com um componente mecânico que falha por fadiga Estime a função densidade ft a função de risco ht a função confiabilidade Rt e a função de probabilidade acumulada Ft 62 65 79 82 83 85 87 90 92 95 95 95 98 99 99 101 103 105 106 108 109 109 119 120 125 126 131 132 134 139 Solução Percorrendo os mesmos passos dos dois exercícios anteriores e adotando intervalo igual a 10 do tipo fechado à esquerda temse ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues intervalo 10 Freq Freq Decr ft 103 ht 103 Rt Ft 62 72 2 30 66667 66667 10000 00000 72 82 1 28 33333 35714 09333 00667 82 92 5 27 166667 185185 09000 01000 92 102 8 22 266667 363636 07333 02667 102 112 6 14 200000 428571 04667 05333 112 122 2 8 66667 250000 02667 07333 122 132 3 6 100000 500000 02000 08000 132 142 3 3 100000 1000000 01000 09000 30 Todavia podese adotar o critério de construção de classes descrito no capítulo 2 do livro Estatística Geral e Aplicada Martins e Domingues para variável contínua 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑅 𝑋𝑛 𝑋1 139 62 77 𝐾 1 332 log𝑁 1 332 log30 59040 6 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑠 ℎ 𝑅 𝑘 77 59040 1304 13 intervalo 13 Freq Freq Decr ft 103 ht 103 Rt Ft 62 75 2 30 5128205128 5128205128 100000 000000 75 88 5 28 1282051282 1373626374 093333 006667 88 101 8 23 2051282051 2675585284 076667 023333 101 114 7 15 1794871795 358974359 050000 050000 114 127 4 8 1025641026 3846153846 026667 073333 127 140 4 4 1025641026 7692307692 013333 086667 30 FOI UTILIZADO COMO CRITÉRIO DE CONTAGEM O INTERVALO FECHADO À ESQUERDA ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues EXERCÍCIOS SÉRIE II 1 Sabese que o 15o componente de uma amostra a falhar durou 597 horas antes de falhar e que o 16o componente apresentou falha com 600 horas Estime a taxa de risco sabendo que a amostra tinha 25 componentes Solução Neste caso será utilizada a fórmula do estimador da taxa de risco para pequenas amostras ℎ𝑡𝑖 1 𝑡𝑖1 𝑡𝑖𝑛 𝑖 07 ℎ𝑡𝑖 1 𝑡16𝑎 𝑡15𝑎25 15 07 ℎ𝑡𝑖 1 600 59725 15 07 0031152648 Resp 0031152648 2 Os dados a seguir representam o tempo de uso de milhares de horas de um microprocessador antes que esse apresentasse falha Estime a taxa de risco para o tempo de uso de 200 mil horas 37 49 52 70 73 99 123 159 200 223 259 280 307 349 390 Solução A taxa de risco para 200 mil horas é dada por ℎ𝑡𝑖 1 223000 20000015 9 07 000000649 Resp 000000649 3 A tabela a seguir reproduz os tempos até a falha expressos em milhares de horas de trabalho dos componentes de uma amostra de 20 circuitos eletrônicos Estime a taxa de risco de um circuito trabalhando 159000 horas 15 29 37 58 75 99 118 139 159 177 200 215 246 268 281 304 321 339 347 375 ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues Solução A taxa de risco para 159000 horas é dada por ℎ𝑡𝑖 1 177000 15900020 9 07 0000004748 Resp 0000004748 4 Os dados a seguir representam o número de componentes que falharam em determinados períodos de tempo Estimar a taxa de risco para um intervalo de 40000 a 80000 utilizações No de Utilizações Número de falhas Número de falhas Decrescente De 0 a 40000 163 750 De 40000 a 80000 218 587 De 80000 a 120000 148 369 De 120000 a 160000 126 221 Acima de 160000 95 95 750 Solução Neste caso será empregada a fórmula para grandes amostras ℎ𝑡𝑖 𝑛𝑠𝑡 𝑛𝑠𝑡 Δ𝑡 𝑛𝑠𝑡 Δ𝑡 Para 80000 utilizações a taxa de risco é dada por ℎ𝑡𝑖 587 369 587 40000 00000093 Resp 00000093 5 Os dados a seguir representam as falhas de um motor de caminhão Estime a taxa de risco para a faixa de 100000 a 150000 quilômetros de uso Quilometragem Número de falhas Número de falhas De 0 a 50000 12 110 De 50000 a 100000 21 98 De 100000 a 150000 27 77 De 150000 a 200000 33 50 Acima de 200000 17 17 110 ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues Solução Neste caso será empregada a fórmula para grandes amostras ℎ𝑡𝑖 𝑛𝑠𝑡 𝑛𝑠𝑡 Δ𝑡 𝑛𝑠𝑡 Δ𝑡 Para 80000 utilizações a taxa de risco é dada por ℎ𝑡𝑖 77 50 77 50000 00000070 Resp 00000070 Exercícios Série III 1 Foram testadas 25 unidades de uma determinada peça Todas as peças foram ativadas no tempo t 0 e o teste foi interrompido após 1000 horas Nesse intervalo observaramse falhas nos seguintes tempos 80 180 300 420 550 640 720 800 870 940 990 Supondo que os dados estejam distribuídos exponencialmente e levando em consideração os dados censurados calcule a MTTF Solução Admitindo o emprego do estimador para o modelo exponencial com censura tipo I λ 𝑟 𝑡𝑖 𝑛 𝑟𝑡0 𝑟 𝑖1 𝑡𝑖 80 180 990 6490 11 𝑖1 λ 11 6490 25 111000 00005368472426 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 Então 𝑀𝑇𝑇𝐹 1 𝜆 1 00005368472426 1862727273 186373 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues Resp 186373 horas 2 Um teste foi feito em 10 peças mas devido a limitações financeiras foi interrompido após a 7a falha Os dados seguem uma distribuição exponencial considerando censura tipo II Calcule a MTTF sabendo que os resultados obtidos foram os descritos a seguir sendo a última informação correspondente ao momento em que o teste foi interrompido 18 56 98 147 204 273 359 Admitindo o emprego do estimador para o modelo exponencial com censura tipo II λ 𝑟 𝑡𝑖 𝑛 𝑟𝑡𝑟 𝑟 𝑖1 𝑡𝑖 18 56 359 1155 7 𝑖1 λ 7 1155 10 7359 0003136200717 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 Então 𝑀𝑇𝑇𝐹 1 𝜆 1 0003136200717 3188571429 31886 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Resp 31886 horas 3 Um teste feito em uma amostra de 15 unidade foi interrompido após a décima falha Os tempos em minutos até a falha encontrados foram 4737 5498 12380 22182 22468 25655 35941 38718 43791 54680 Supondo que os dados de falhas obedeçam a uma distribuição de Weibull determine a MTTF utilizar 𝛽 111 Solução Utilizando o valor estimado do parâmetro 𝛽 111 Para obter 𝛼 devese empregar a equação ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 𝛼 𝑡𝑖 𝛽 𝑛 𝑟𝑡𝑟 𝛽 𝑟 𝑖1 𝑟 1 𝛽 𝑡𝑖 𝛽 4737111 5498111 54680111 𝑟 𝑖1 834955 𝛼 834955 15 1054680111 10 1 111 5270116433 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 A MTTF da distribuição de Weibull é obtida pela expressão utilizando os parâmetros estimados 𝑀𝑇𝑇𝐹 𝛼Γ 1 1 𝛽 Assim Γ 1 1 𝛽 Γ 1 1 111 Γ1900900901 0962074768 Ou empregando a Planilha Excel EXPGAMMALN1900900901 Excel for Mac 0962074768 Logo 𝑀𝑇𝑇𝐹 5270116433 0962074768 5070256945 minutos Resp 5070257 minutos 4 Em um teste realizado com 12 controladores eletrônicos observaramse os seguintes tempos até a falha expressos em horas 15 40 327 685 722 901 914 943 943 943 943 943 Sabendo que é indicativo de dado censurado e supondo dados exponencialmente distribuídos calcule a MTTF ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues Admitindo o emprego do estimador para o modelo exponencial com censura tipo II já que o teste foi interrompido após um tempo λ 𝑟 𝑡𝑖 𝑛 𝑟𝑡𝑟 𝑟 𝑖1 𝑡𝑖 15 40 943 4547 8 𝑖1 λ 8 4547 12 8943 000961654045 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 Então 𝑀𝑇𝑇𝐹 1 𝜆 1 000961654045 1039875 10399 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Resp 10399 horas 5 Supondo que os dados do exercício anterior possam ser modelados segundo a distribuição de Weibull qual seria a MTTF adotando 𝛽 09945 Solução Utilizando o valor estimado do parâmetro 𝛽 09945 Para obter 𝛼 devese empregar a equação 𝛼 𝑡𝑖 𝛽 𝑛 𝑟𝑡𝑟 𝛽 𝑟 𝑖1 𝑟 1 𝛽 𝑡𝑖 𝛽 1509945 4009945 94309945 8 𝑖1 4440177276 𝛼 4440177276 12 894309945 8 1 09945 104114262 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues A MTTF da distribuição de Weibull é obtida pela expressão utilizando os parâmetros estimados 𝑀𝑇𝑇𝐹 𝛼Γ 1 1 𝛽 Assim Γ 1 1 𝛽 Γ 1 1 09945 Γ2005530417 1002350784 Ou empregando a Planilha Excel EXPGAMMALN2005530417 Excel for Mac 1002350784 Logo 𝑀𝑇𝑇𝐹 104114262 1002350784 1043590119 horas Resp 104359 horas