Gabarito dos Exercícios de Confiabilidade Industrial

ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues Gabarito dos Exercícios Material de Apoio às Aulas 6 1 Em um sistema em série constituído por 30 componentes idênticos qual deveria ser a confiabilidade mínima necessária em cada um desses componentes para que se obtenha uma confiabilidade total de 92 Solução Considerando que os sistemas estão ligados em série a fórmula geral é 𝑅𝑡 𝑅 Então 092 𝑅𝑡 𝑅𝑡 𝑅𝑡 092 𝑅𝑡 𝑅𝑡 092 09972 9972 Outra forma aproximada Para confiabilidades idênticas 𝑅𝑡 1 𝑛𝑅3𝑡 092 1 𝑛𝑅3𝑡 1 092 30𝑅3𝑡 008 30 𝑅3𝑡 0002667 09973 9973 Resp 9972 2 Um sistema é composto por 11 componentes cuja confiabilidade individual é de 95 e por quatro componentes cuja confiabilidade unitária é de 99 Sabendo que esse sistema está ligado em série calcular a confiabilidade de todo o sistema Solução Como os sistemas estão ligados em série a fórmula geral é 𝑅𝑡 𝑅 Então 𝑅𝑡 𝑅𝑡 𝑅𝑡 𝑅𝑡 𝑅𝑡 𝑅𝑡 𝑅𝑡 𝑅𝑡 𝑅𝑡 𝑅𝑡 095 099 05464 5464 ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 2 Resp 5464 3 Calcule a confiabilidade de um sistema constituído por cinco componentes arranjados em paralelo cuja confiabilidade unitária é 50 Solução Neste caso os 5 componentes estão ligados em paralelo Chamando de Ri confiabilidade do componente i i 1 2 3 4 5 temse a solução exaustiva construída da seguinte forma empregando o teorema da soma de probabilidades 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 𝑅 505 10025 100125 500625 0031255 𝑅 25 25 125 03125 0031255 𝑅 096875 09688 9688 ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 3 Solução por complemento 𝑅 1 𝑅3𝑅3𝑅3𝑅3𝑅3 𝑅 1 𝑅3 𝑅 1 05 096875 09688 9688 Também é possível uma solução empregando o modelo da distribuição binomial já que as probabilidades são constantes e há apenas a probabilidade da confiabilidade e da não confiabilidade onde n 5 Sucesso cada componente ter confiabilidade p 050 1p 050 x pelo menos 1 em 5 1 2 3 4 5 nx 4 3 2 1 0 A fórmula geral da Binomial 𝑃𝑋 𝑥 𝐶 𝑝 1 𝑝 𝑃𝑋 1 𝐶 05 1 050 015625 𝑃𝑋 2 𝐶 05 1 050 03125 𝑃𝑋 3 𝐶 05 1 050 03125 𝑃𝑋 4 𝐶 05 1 050 015625 𝑃𝑋 5 𝐶 05 1 050 003125 Cuja soma é igual a 096875 Novamente como é uma solução exaustiva existe um caminho mais curto utilizando o complemento que é 𝑃𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 𝑥 5 1 𝑃𝑥 0 𝑃𝑋 0 𝐶 05 1 050 003125 𝑃𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 𝑥 5 1 003125 096875 Resp 9688 4 Considere um sistema em paralelo com dois componentes com standby e taxa de falha constante igual a 00614 Qual a sua probabilidade no tempo t 10 sabendo que a chave de troca é livre de risco ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 4 Solução Neste caso devese recorrer a fórmula da distribuição exponencial que considera a chave de troca livre de risco a saber 𝑹𝒔𝒏𝒕 𝒆𝝀𝒕 𝟏 𝝀𝒕 𝑅𝑡 𝑒 1 00614 10 𝑅𝑡 𝑒 1614 0873467 08735 8735 Resp 8735 5 Compare a confiabilidade de dois sistemas com 9 componentes considerando uma confiabilidade de 95 para todos os componentes do sistema sendo a um paraleloserie com três subsistemas em paralelo cada um constituído de três componentes em série Solução 𝑅𝑡 1 1 𝑅𝑡0 𝑅𝑡 1 1 095 0997098 09971 9971 b sérieparalelo com três subsistemas em série cada um constituído de três componentes em paralelo Solução 𝑅𝑡 1 1 𝑅𝑡0 𝑅𝑡 1 1 095 0999625 09996 9996 Resp a 9971 b 9996 6 Calcule a confiabilidade para os seguintes arranjos de sistemas a ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 5 Solução Empregando o teorema da soma conjugado com o teorema do produto paa eventos independentes pelo fato das confiabilidades não serem idênticas temse 𝑅 099 090 099 090 095 094905 09491 9491 Resp 9491 b 12 componentes com R 078 O sistema é do tipo série em paralelo cuja fórmula para confiabilidades idênticas dos componentes é 𝑅𝑡 1 1 𝑅𝑡0 𝑅𝑡 1 1 078 1 1 078 093994792 093994792 𝑅𝑡 08835 8835 Resp 8835 c Se a confiabilidade do sistema é 094 determine a confiabilidade de cada componente Ri Solução 094 1 1 𝑅 1 𝑅 1 1 𝑅 ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 6 Resolvendo por iteração tentativa Rt 0775 Resp 775 d Solução Construindo a solução de forma fracionada para cada parcela do sistema temse 1a parte em série 𝑅 097 0985 095545 2a parte em paralelo 𝑅 092 094 08648 𝑅 093 𝑅 1 1 086481 093 0990536 3a parte um único componente 𝑅 096 4a parte em paralelo três componentes com confiabilidades iguais 𝑅 1 1 075 0984375 Confiabilidade total do sistema componentes em série com confiabilidades diferentes 𝑅𝑡 𝑅 𝑅𝑡 095545 0999536 096 0984375 0894355202 08944 8944 Resp 8944 ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 7 e Solução Neste sistema há vários componentes ligados em paralelo mas um dos caminhos tem confiabilidade igual a 1 ou 100 Logo mesmo que todos os caminhos tenham confiabilidades inferiores todos ficam subordinados a este Assim a confiabilidade desse sistema pode ser considerada igual a 1 ou 100 Mas para comprovar 1a parte 𝑅 075 1 1 068 06732 2a parte 𝐴 095 085 08075 𝐵 1 𝑅 𝐴 𝐵 08075 1 08075 1 1000 3a parte 𝑅 062 077 04774 𝑅𝑡 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅𝑡 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅𝑡 06732 10 04774 06732 10 06732 04774 10 04774 06732 10 04774 𝑅𝑡 21506 06732 032138568 04774 032138568 100 Resp 100 ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 8 7 Um sistema com 5 componentes em paralelo necessita que pelo menos 3 deles estejam funcionando pra que esteja operante Sabendo que a confiabilidade dos componentes é de 088 calcule a confiabilidade do sistema Solução Tratase de um caso de sistemas k em n cuja solução passa pelo emprego do modelo da distribuição Binomial onde n 5 Sucesso cada componente funcionar p 088 1p 012 x pelo menos 3 em 5 3 4 5 nx 2 1 0 A fórmula geral da Binomial 𝑃𝑋 𝑥 𝐶 𝑝 1 𝑝 𝑃𝑋 3 𝐶 088 1 088 009813 𝑃𝑋 4 𝐶 088 1 088 035982 𝑃𝑋 5 𝐶 088 1 088 052773 Cuja soma é igual a 098568 986 O mesmo resultado é obtido pelo emprego da fórmula geral do sistema k em n 𝑅𝑘 𝑛 𝑅 H I𝑛 𝑖 K 𝑅1 𝑅 2 𝑅3 5 088 I5 3K 088 1 088 009813 𝑅4 5 088 I5 4K 088 1 088 035982 𝑅5 5 088 I5 5K 088 1 088 052773 Cuja soma é exatamente a mesma obtida pelo cálculo do modelo da distribuição binomial Resp 986 8 Considere uma planta industrial com sete linhas de produção Para atender a sua demanda a planta necessita que pelo menos cinco linhas estejam produzindo ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 9 Qual a probabilidade dessa indústria não atender à sua demanda sabendo que a confiabilidade de cada linha é de 075 Solução Tratase de um caso de sistemas k em n cuja solução passa pelo emprego do modelo da distribuição Binomial onde n 7 linhas Sucesso cada linha funcionar p 075 1p 025 x pelo menos 5 em 7 5 6 7 nx 2 1 0 A fórmula geral da Binomial 𝑃𝑋 𝑥 𝐶 𝑝 1 𝑝 𝑃𝑋 5 𝐶3 075 1 0753 0311462 𝑃𝑋 6 𝐶34 0754 1 07534 0311462 𝑃𝑋 7 𝐶33 0753 1 07533 00133484 Cuja soma é igual a 0756409 que corresponde à confiabilidade de pelo menos 5 das 7 linhas funcionar Como o objetivo é calcular a indústria não funcionar 𝑃𝑁ã𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 1 𝑃𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑃𝑁ã𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 1 0756409 0243591 244 Resp 244 9 Suponha que três dispositivos tenha uma lei de falhas dada pela distribuição exponencial com parâmetros l1 l2 e l3 respectivamente Suponha que esses três dispositivos funcionam independentemente e estejam ligados em paralelo para formar um único sistema a Estabeleça a expressão Rt a confiabilidade do sistema Solução Se os três componentes estão ligados em paralelo a configuração básica do sistema deve ser ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 10 Sabendo que a taxa de falha de cada componente é respectivamente 𝜆 𝜆 𝑒 𝜆 respectivamente e que são constantes podese recorrer ao modelo da distribuição exponencial para confiabilidade Para um componente isolado 𝑅𝑡 𝑒56 Considerando três dispositivos ligados em paralelo é possível escrever 𝑅𝑡 𝐶 𝐶 𝐶 Pelo Teorema da soma temse que 𝑅𝑡 𝑒56 𝑒56 𝑒56 𝑒556 𝑒556 𝑒556 𝑒5556 b Admita que a confiabilidade de cada dispositivo é de 70 para x horas de vida Calcule a confiabilidade do sistema Solução Se Rt 070 para x horas sendo n 3 dispositivoscomponentes temse 𝑅𝑡 1 1 𝑅𝑡 𝑅𝑡 1 1 070 0973 973 c Estabeleça a expressão do valor esperado de falhas do sistema Solução Para três componentes usando a mesma base do teorema da soma para o valor esperado 𝐸𝑇 1 𝜆 1 𝜆 1 𝜆 1 𝜆𝜆 1 𝜆𝜆 1 𝜆𝜆 1 𝜆𝜆𝜆 10 Três componentes que funcionam independentemente estão ligados em um sistema único como está indicado na figura abaixo Suponha que a confiabilidade ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 11 de cada componente para um período t de operação seja dada por 𝑅𝑡 𝑒6 sendo t horas a Expresse a fórmula de confiabilidade do sistema Rt Solução Cada componente tem 𝑅𝑡 𝑒6 A confiabilidade do sistema pode ser expressa por 𝑅𝑡 𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶 𝑅𝑡 𝑒6 𝑒6 𝑒6 𝑒6 𝑒6 𝑒6 𝑒6 𝑅𝑡 𝑒46 𝑒46 𝑒96 𝑅𝑡 2𝑒46 𝑒96 b Qual é a confiabilidade do sistema para 100 horas Solução Para t 100 horas 𝑅𝑡 2𝑒46 𝑒96 𝑅𝑡 2𝑒4 𝑒9 𝑅𝑡 00049575 000012341 000483409 04834 c Qual é a confiabilidade do sistema formado somente pelo componente C1 e C2 para 50 horas Solução Para esses componentes o sistema fica ligado em paralelo 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶𝐶 𝐶 𝐶 𝑒6 𝑒6 𝑒6𝑒6 𝐶 𝐶 2𝑒6 𝑒46 Para 50 horas ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 12 𝐶 𝐶 2𝑒 𝑒4 𝐶 𝐶 044626032 004978707 039647325 3965 d Considere somente os componentes C2 e C3 e calcule a confiabilidade para 75 horas Solução Para C2 e C3 o sistema fica ligado em série 𝑅𝑡 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝑒6 𝑒6 𝐶 𝐶 𝑒46 Para t 75 horas 𝐶 𝐶 𝑒43 0011109 111 11 Suponha que n componentes que funcionem independentemente sejam ligados em série Admita que a duração até falhar de cada componente seja normalmente distribuída com média 50 horas e desvio padrão de 5 horas a Se n 4 qual será a confiabilidade para 52 horas de funcionamento do sistema Solução A primeira providência consiste em calcular a probabilidade de um componente ter vida superior a 52 horas usando a distribuição normal ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 13 𝑧 52 50 5 040 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 01554 𝑃𝑇 52 05000 01554 03446 3446 Se n 4 componentes ligados em série 𝑅𝑡 03446 00141 141 b Se n 3 qual será a probabilidade de que o sistema continue funcionando depois de 58 horas Solução Da mesma forma devese calcular a probabilidade de um componente resistir acima de 58 horas 𝑧 58 50 5 160 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 04452 𝑃𝑇 58 05000 04452 00548 548 Se n 3 componentes ligados em série 𝑅𝑡 00548 0000165 00165 c Qual deverá ser o número de componentes para que a probabilidade de falhar durante as primeiras 55 horas seja de aproximadamente 1 Solução ESZG00217 Confiabilidade Industrial em Sistemas de Gestão Prof Dr Osmar Domingues 14 Inicialmente devese calcular a probabilidade de um sistema funcionar até 55 horas 𝑧 55 50 5 10 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 03413 𝑃𝑇 55 05000 03413 08413 8413 A probabilidade de falhar nas primeiras 55 horas é 1 08413 01587 Para n componentes ligados em série tenham probabilidade de falhar igual a 1 temse 001 01587 ln001 𝑛 ln01587 460517019 𝑛184073965 𝑛 460517019 184073965 25 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠