Exercícios Gerais sobre Pesquisa Salarial entre Homens e Mulheres

ESZG00217 MATERIAL DE APOIO 3 EXERCÍCIOS GERAIS 1 O sindicato dos metalúrgicos efetuou uma pesquisa em uma grande montadora automobilística instalada na Região do ABC com a finalidade de comparar os salários dos homens e das mulheres Os dados coletados estão descritos na tabela abaixo Faixas Salariais Mensais R 250¾500 500¾750 750¾1000 1000¾1250 1250¾1500 1500¾1750 Nº Homens 2 5 10 8 4 2 Nº Mulheres 5 8 14 10 3 1 Com base nessas distribuições foram calculados Para os homens 30375 32859375 31 Para as Mulheres 36125 35515625 41 Com 90 de confiança pedese a A amostra já é suficiente para estimar o salário médio das mulheres considerando uma margem de erro de R 7000 SOLUÇÃO O objetivo é estimar o salário médio populacional 𝜇 das mulheres com variância populacional 𝜎 desconhecida Devese usar distribuição t de Student Sendo 𝑆 1 𝑛 1 𝑥 𝐹 𝑥𝐹 𝑛 0 𝑆 1 41 1 35515625 36125 41 0 9214939025 𝑆 9214939025 3035612 Tabela t de Student com 𝛼 10 e 𝜑 𝑛 1 40 𝑡 16839 A fórmula para estimar a média com variância desconhecida 𝑛 𝑡 𝑠 𝑑 𝑛 16839 3035612 70 6 533248 54 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 Interpretação Para estimar o salário médio das mulheres com 90 de confiança e erro máximo de R 7000 é necessário uma amostra de 54 mulheres Como a amostra piloto utilizada é composta por 41 mulheres ela é insuficiente à n 41 54 a amostra é insuficiente b A amostra já é suficiente para estimar a proporção de homens que ganham acima de R 100000 admitindo um erro de 10 SOLUÇÃO å XiFi å i 2 Xi F å iF å XiFi å i 2 Xi F å iF O objetivo é estimar a proporção populacional de homens que ganham acima de R 100000 Consultando a distribuição fornecida constatase que acima de R 100000 tem se 842 homens 14 A proporção amostral 𝑓 04516 Tabela Z com 𝛼 10 𝑍 16449 O erro amostral 𝑑 é de 10 010 A fórmula para estimar proporção com f conhecida é 𝑛 𝑍 𝑑 𝑓 1 𝑓 𝑛 16449 010 6 04516 1 04516 67 Interpretação Para estimar a proporção de homens com salário acima de R 1000 com 90 de confiança e erro máximo de 10 é necessário uma amostra de 67 homens Como a amostra piloto utilizada é composta por 31 homens ela é insuficiente à n 31 67 a amostra é insuficiente 2 Em um processo de inspeção de qualidade foram amostrados vinte peças com a finalidade de verificar o tempo médio em minutos para a sua fabricação Os resultados obtidos para essas 20 peças foram 13 15 12 14 17 15 16 15 14 16 17 14 16 15 15 13 14 15 16 15 Conhecendose 297 4443 pedese verificar se o tamanho dessa amostra já é suficiente para a estimativa do tempo médio gasto para a fabricação de todas as peças fabricadas por esta empresa admitindose uma precisão de 30 segundos e uma confiança de 95 SOLUÇÃO Objetivo é estimar o tempo médio com variância populacional desconhecida Logo 𝑆 3 1 𝑛 14 67 𝑥 𝑥 𝑛 𝑆2 3 1 20 14 64443 2972 20 17132 𝑆 17132 13090 Tabela t com 𝛼 5 e 𝜑 𝑛 1 19 𝑡 20930 å Xi å Xi2 A fórmula para estimar a média com variância desconhecida 𝑛 𝑡 𝑠 𝑑 O erro 𝑑 de 30 segundos é igual a 05 minuto 𝑛 20930 13090 05 6 300246 31 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 Interpretação Para estimar o tempo médio de fabricação de todas as peças com 95 de confiança e erro máximo de 30 segundos 05 minuto é necessário uma amostra de 31 peças Como a amostra piloto utilizada é composta por 20 mulheres ela é insuficiente à n 20 31 a amostra é insuficiente 3 Qual a quantidade de pessoas que seria necessária pesquisar caso o objetivo fosse conhecer a proporção de pessoas que gostariam de receber sinais de TV a Cabo em suas residências admitindose uma margem de erro de no máximo 5 e uma confiança de 98 SOLUÇÃO Neste caso o objetivo é estimar a proporção populacional de pessoas que gostariam de receber o sinal de TV a cabo em suas residências Todavia não se conhece nenhuma informação sobre essa proporção Só se conhece o nível de confiança e o erro amostral Nessa situação devese adotar a fórmula 𝑛 𝑍 2𝑑 Tabela Z com 𝛼 5 𝑍 196 Sendo 𝑑 5 𝑛 196 2 0056 38416 385 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠 Também se poderia empregar a formula com f conhecido utilizando o f 050 que maximiza o tamanho da amostra para o estudo 𝑛 𝑍 𝑑 𝑓 1 𝑓 𝑛 196 0056 05 1 05 38416 385 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠 Interpretação Para estimar a proporção de pessoas interessadas em sinal de TV a cabo com 95 de confiança e erro máximo de 5 é necessário uma amostra de 385 pessoas quando não se tem nenhuma informação adicional sobre a população 4 Um determinado instituto foi contratado para efetuar uma pesquisa de marketing a respeito de um novo produto alimentício a ser lançado no mercado por uma determinada empresa Na pesquisa foram ouvidas 150 pessoas das quais após conhecerem todas as informações necessárias desse novo produto 57 afirmaram que comprariam o novo produto Esta amostra já seria suficiente para determinar a proporção populacional de futuros compradores do novo produto com uma confiança de 95 e precisão de 8 no valor da estimativa SOLUÇÃO Pretendese definir se o tamanho da amostra utilizada na pesquisa era suficiente para estimar a proporção de interessados na compra do novo produto Nesse caso f é conhecido A proporção amostral 𝑓 038 Tabela Z com 𝛼 5 𝑍 196 Erro amostral 𝑑 8 008 A fórmula para estimar proporção com f conhecida é 𝑛 𝑍 𝑑 𝑓 1 𝑓 𝑛 196 0086 038 1 038 1414189 142 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠 Interpretação Para estimar a proporção de novos compradores do produto com 95 de confiança e erro máximo de 8 é necessário uma amostra de 142 pessoas Como a amostra piloto utilizada é composta por 150 pessoas ela é suficiente à n 150 142 a amostra é suficiente 5 De uma população normal formada de 120 empresas industriais de pequeno porte retirouse uma amostra piloto aleatória de 15 estabelecimentos Em cada um desses estabelecimentos da amostra foram encontradas respectivamente as seguintes quantidades de empregados 8 12 15 9 22 7 4 17 18 21 23 14 7 15 4 Dados SXi 196 SXi2 3132 Pedese a Verificar se esta amostra piloto de 15 elementos já tem tamanho suficiente para estimar o número médio de funcionários dos 120 estabelecimentos da população com a certeza de 98 que o erro máximo cometido nessa estimativa é de 3 empregados SOLUÇÃO Nesse caso a população N 120 é conhecida e a amostra piloto de n 15 elementos forneceu A variância populacional não é conhecida o que recomenda o uso da tabela t de Student Assim 𝑆 3 1 𝑛 14 67 𝑥 𝑥 𝑛 𝑆2 3 1 15 14 63132 1962 15 407810 𝑆 40781 63860 Tabela t com 𝛼 2 e 𝜑 𝑛 1 14 𝑡 26245 O erro amostral 𝑑 é de 3 empregados A fórmula para estimar a média com variância desconhecida e população finita 𝑛 𝑡 𝑆 𝑁 𝑑 𝑁 1 𝑡 𝑆 𝑛 26245 63860 120 3120 1 26245 63860 249338 25 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑠 Interpretação Para estimar o número médio de funcionários desse segmento empresarial composto por 120 empresas com 98 de confiança e erro máximo de 3 empregados é necessário uma amostra de 25 Como a amostra piloto utilizada é composta por 15 empresas ela é insuficiente à n 15 25 a amostra é insuficiente b Verificar se esta amostra piloto já tem tamanho suficiente para se estimar a proporção de estabelecimentos cujo número de empregados é maior que 10 ao nível de significância de 10 e um erro de 3 em pontos percentuais SOLUÇÃO Pretendese estimar a proporção populacional de estabelecimentos com mais de 10 empregados Nesse caso o f pode ser obtido na amostra A proporção amostral 𝑓 060 Pois são 9 empresas na amostra com 10 ou mais empregados Tabela Z com 𝛼 10 𝑍 16449 Erro amostral 𝑑 3 003 A fórmula para estimar proporção com f conhecida é 𝑛 𝑍 𝑓1 𝑓 𝑁 𝑑 𝑁 1 𝑍 𝑓1 𝑓 𝑛 16449 061 060 120 003120 1 16449 061 06 1030105 103 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑠 Interpretação Para estimar a proporção de empresas desse segmento empresarial composto por 120 empresas com mais de 10 empregados com 90 de confiança e erro máximo de 3 é necessário uma amostra de 103 empresas Como a amostra piloto utilizada é composta por 1 empresas ela é insuficiente à n 15 103 a amostra é insuficiente 6 Em um grande Shopping de São Paulo foi efetuada uma pesquisa piloto em um certo número de lojas a respeito do seu faturamento mensal em R 100000 obtendo se os seguintes valores Faixas Faturamento R mil 50¾150 150¾250 250¾350 350¾450 450¾550 550¾650 Nº de Lojas da amostra 3 12 20 35 10 4 Dados 30100 11850000 84 Ao nível de significância de 5 pedese a O tamanho da amostra utilizada já seria suficiente para estimar o faturamento médio de todas as lojas do shopping admitindo uma precisão de R 2500000 SOLUÇÃO Objetivo é estimar o tempo médio com variância populacional desconhecida Logo 𝑆 1 𝑛 1 𝑥 𝐹 𝑥𝐹 𝑛 0 𝑆 1 84 1 11850000 30100 84 0 128218514 𝑆 128218514 1132311 Tabela t com 𝛼 5 e 𝜑 𝑛 1 83 80 𝑡 19901 A fórmula para estimar a média com variância desconhecida 𝑛 𝑡 𝑠 𝑑 O erro 𝑑 de R 25000 25 mil pois os valores estão expressos em R mil 𝑛 19901 1132311 25 6 81245 82 𝑙𝑜𝑗𝑎𝑠 å XiFi å i 2 Xi F å iF Interpretação Para estimar o faturamento médio de todas as lojas do shopping com 95 de confiança e erro máximo de R 25 mil é necessária uma amostra de 82 lojas Como a amostra piloto utilizada é composta por 84 lojas ela é já é suficiente à n 84 82 a amostra é suficiente b Qual seria a sua resposta em relação ao item anterior se esse shopping tivesse um total de 500 lojas SOLUÇÃO Nesse caso a população N 500 é conhecida e a amostra piloto de n 84 lojas forneceu A variância populacional não é conhecida o que recomenda o uso da tabela t de Student Assim 𝑆 1 𝑛 1 𝑥 𝐹 𝑥𝐹 𝑛 0 𝑆 1 84 1 11850000 30100 84 0 128218514 𝑆 128218514 1132311 Tabela t com 𝛼 5 e 𝜑 𝑛 1 83 80 𝑡 19901 A fórmula para estimar a média com variância desconhecida e população finita 𝑛 𝑡 𝑆 𝑁 𝑑 𝑁 1 𝑡 𝑆 𝑛 19901 1132311 500 25500 1 19901 1132311 700099 70 𝑙𝑜𝑗𝑎𝑠 Interpretação Para estimar o faturamento médio de todas as lojas do shopping com 95 de confiança e erro máximo de R 25 mil sabendose que o shopping tem 500 lojas é necessária uma amostra de 70 lojas Como a amostra piloto utilizada é composta por 84 lojas ela é já é suficiente à n 84 70 a amostra é suficiente c Qual o tamanho ideal de amostra se a estimativa fosse a proporção real das lojas desse shopping cujo faturamento mensal fossem iguais ou superiores a R 45000000 admitindose uma precisão de 5 SOLUÇÃO Pretendese definir se o tamanho da amostra utilizada na pesquisa era suficiente para estimar a proporção de lojas com faturamento igual ou superior a R 450 mil Nesse caso f é conhecido A proporção amostral 𝑓 01667 Tabela Z com 𝛼 5 𝑍 196 Erro amostral 𝑑 5 005 A fórmula para estimar proporção com f conhecida é 𝑛 𝑍 𝑑 𝑓 1 𝑓 𝑛 196 0056 01667 1 01667 2134564 214 𝑙𝑜𝑗𝑎𝑠 Interpretação Para estimar a proporção de lojas com faturamento igual ou superior a R 450 mil com 95 de confiança e erro máximo de 5 é necessário uma amostra de 214 lojas Como a amostra piloto utilizada é composta por 84 pessoas ela é insuficiente à n 84 214 a amostra é insuficiente d Qual seria sua resposta ao item anterior se soubesse que o número total de lojas nesse shopping é de 500 lojas SOLUÇÃO As informações são as mesmas do item anterior mudando apenas a fórmula para população finita A fórmula para estimar proporção com f conhecida é 𝑛 𝑍 𝑓1 𝑓 𝑁 𝑑 𝑁 1 𝑍 𝑓1 𝑓 𝑛 196 016671 01667 500 005500 1 196 016671 01667 1498031 150 𝑙𝑜𝑗𝑎𝑠 Interpretação Para estimar a proporção de lojas com faturamento igual ou superior a R 450 mil com 95 de confiança e erro máximo de 5 sabendose que o shopping possui 500 lojas é necessário que se tenha uma amostra de 150 lojas Como a amostra piloto utilizada é composta por 84 pessoas ela é insuficiente à n 84 150 a amostra é insuficiente 7 Na produção de uma determinada peça foi feita uma amostragem piloto para verificar se o seu comprimento está dentro das normas de qualidade previstas obtendose a seguinte distribuição Comprimento das peças em cm 170 175 180 185 190 195 Nº de peças 2 8 15 10 7 1 Ao nível de confiança de 95 pedese a Verificar se esta amostra já tem tamanho suficiente para estimar o comprimento médio de todas as peças fabricadas por esta empresa com uma precisão de 19 mm SOLUÇÃO Objetivo é estimar o comprimento médio das peças com variância populacional desconhecida mas é possível estimála utilizando a variância amostral com as informações disponíveis Comprimento das peças em cm 170 175 180 185 190 195 somas Nº de peças 2 8 15 10 7 1 43 XiFi 340 1400 2700 1850 1330 195 7815 Xi2Fi 57800 245000 486000 342250 252700 38025 1421775 Logo 𝑆 1 𝑛 1 𝑥 𝐹 𝑥𝐹 𝑛 0 𝑆 1 43 1 1421775 7815 43 0 343854 𝑆 343854 58639 Tabela t com 𝛼 5 e 𝜑 𝑛 1 42 40 𝑡 20211 A fórmula para estimar a média com variância desconhecida 𝑛 𝑡 𝑠 𝑑 O erro 𝑑 de 19 mm 19 cm pois as medidas das peças estão em centímetros 𝑛 20211 58639 19 6 389082 39 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 Interpretação Para estimar o comprimento médio de todas as peças com 95 de confiança e erro máximo de 19 mm é necessário uma amostra de 39 lojas Como a amostra piloto utilizada é composta por 43 lojas ela é já é suficiente à n 43 39 a amostra é suficiente b Qual o tamanho da amostra caso se pretendesse avaliar a proporção de peças produzidas com comprimento entre 180 e 185 cm admitindo uma margem de erro máximo de 35 SOLUÇÃO Pretendese definir se o tamanho da amostra para avaliar a proporção de peças fabricadas com comprimento entre 180 e 185 cm A proporção amostral 𝑓 05814 Tabela Z com 𝛼 5 𝑍 196 Erro amostral 𝑑 35 0035 A fórmula para estimar proporção com f conhecida é 𝑛 𝑍 𝑑 𝑓 1 𝑓 𝑛 196 00356 05814 1 05814 7632210 764 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 Interpretação Para estimar a proporção de peças com tamanho entrre 180 e 185 cm com 95 de confiança e erro máximo de 35 é necessário uma amostra de 764 peças Como a amostra piloto utilizada é composta por 43 pessoas ela é insuficiente à n 43 764 a amostra é insuficiente 8 Uma determinada empresa distribuidora de combustíveis bandeira X afirma que nos postos que distribuem seus produtos na região do ABC a variação do preço da gasolina é relativamente pequena dado à concorrência existente e que o preço médio do litro do combustível nestes postos é da ordem de R 150 Um órgão de pesquisa econômica fez um levantamento em 63 postos da bandeira da distribuidora na região e verificou que o preço médio praticado foi de R 1545 com um desvio padrão de R 017 Verificou ainda que nos postos pesquisados 8 deles apresentavam preço superior a R 160 por litro Ao nível de 95 pedese Verificar se a amostra já seria suficiente para estimar o preço médio desse combustível em todos os postos da bandeira X na região do ABC admitindo uma precisão de 3 SOLUÇÃO Objetivo é estimar o preço médio dos combustíveis nos postos da bandeira X com variância populacional desconhecida e a amostra forneceu 𝑆 𝑅 017 Tabela t com 𝛼 5 e 𝜑 𝑛 1 62 60 𝑡 20003 A fórmula para estimar a média com variância desconhecida 𝑛 𝑡 𝑠 𝑑 O erro 𝑑 de 3 da média da amostra de 63 postos R 1545 x 003 R 004535 𝑛 2003 017 004535 6 563774 57 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 Interpretação Para estimar o preço médio dos combustíveis nos postos da bandeira X com 95 de confiança e erro máximo de 3 R 004535 é necessário uma amostra de 57 postos Como a amostra piloto utilizada é composta por 63 postos ela é já é suficiente à n 63 57 a amostra é suficiente 9 O departamento de pessoal de uma determinada empresa preocupado com o constante aumento do número de faltas de seus funcionários está estudando uma forma de instituir um prêmio para os funcionários mais assíduos e com isso espera que haja uma diminuição nas faltas Um levantamento amostral efetuado no último ano pelo sindicato da categoria verificou que o número de faltas nessa empresa apresentou a seguinte distribuição Nº Faltas 0¾2 2¾4 4¾6 6¾8 8¾10 10¾12 Nº de Funcionários 4 7 15 10 6 4 Dados 268 1902 46 e 2 pedese a Com qual margem de erro em valores relativos foi realizada esta pesquisa tendo como finalidade encontrar o número médio de faltas de todos os funcionários desta empresa SOLUÇÃO Objetivo é identificar a margem de erro utilizada para estimar número médio de faltas dos funcionários com variância populacional desconhecida e a amostra forneceu 𝑆 1 𝑛 1 𝑥 𝐹 𝑥𝐹 𝑛 0 𝑆 1 46 1 1902 268 46 0 75691 𝑆 75691 27512 Tabela t com 𝛼 2 e 𝜑 𝑛 1 45 𝑡 24121 A fórmula para estimar a média com variância desconhecida 𝑛 𝑡 𝑠 𝑑 O erro 𝑑 de 3 da média da amostra de 63 postos R 1545 x 003 R 004535 46 24121 27512 𝑑 6 09784 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎𝑠 Interpretação A margem de erro utilizada para estimar o número médio de faltas dos funcionários com 98 de confiança foi 09784 faltas b Para que esta margem de erro calculada no item anterior seja reduzida para no máximo 10 qual deveria ser o tamanho mínimo da amostra a ser pesquisada pelo sindicato Solução O erro deve ser utilizado na mesma unidade da média amostral que pode ser obtida por å XiFi å i 2 Xi F å iF a 𝑋P 𝑥𝐹 𝐹 268 46 58261 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎𝑠 Assim 10 da média equivale a 58261 x 010 05826 faltas Considerando esse erro o tamanho da amostra que deveria ser utilizada e dado pela fórmula para estimar a média com a variância populacional desconhecida 𝑛 𝑡 𝑠 𝑑 𝑛 24121 27512 05826 6 1297460 130 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠 Interpretação Para estimar a média de faltas dos funcionários com 98 de confiança e erro equivalente a 10 da média 05826 devese utilizar uma amostra de 130 funcionários 10 Pretendese estimar a proporção de empresas que efetuam vendas pela Internet cujo faturamento é superior a X Para tanto se pretende utilizar a lista das 500 maiores empresas segundo a classificação da revista Y Qual o tamanho da amostra a ser considerado caso se pretenda ter uma confiança de 94 de que o erro máximo a ser cometido nessa estimativa é de 008 ponto percentual SOLUÇÃO Sabese apenas o nível de confiança que é de 94 a margem de erro que é de 008 e que a população é formada pelas 500 maiores empresas do segmento FINITA segundo a classificação de certa revista especializada A proporção amostral f é desconhecida mas recomendase utilizar 050 que maximiza o tamanho da amostra e a fórmula para população finita é 𝑛 𝑍 𝑓1 𝑓 𝑁 𝑑 𝑁 1 𝑍 𝑓1 𝑓 Tabela Z com 𝛼 6 𝑍 18808 Erro amostral 𝑑 008 𝑛 18808 051 05 500 008500 1 18808 051 05 1084309 109 Interpretação Para estimar a proporção de empresas com faturamento superior a X com 94 de confiança e erro máximo de 008 a partir da lista das 500 maiores lojas do setor como sendo a população alvo é necessário que se tenha uma amostra de 109 empresas 11 Uma cadeia de lojas que só vende roupas masculinas tem na região do ABC duas de suas lojas com maior movimento Uma delas está localizada no Shopping Metrópole em São B do Campo e a outra no Shopping Plaza ABC em Sto André Para poder comparar suas eficiências e assim classificálas durante o último mês de outubro em 26 dias úteis fezse um levantamento em ambas as lojas considerando as vendas médias diárias e o índice de inadimplência no período obtendose os seguintes resultados Ao nível de confiança de 95 pedese Verificar se a amostra do número de dias pesquisados já seria o suficiente para se estimar as vendas médias populacionais da loja do Shopping Metrópole admitindose um erro 35 Caso seja construa e interprete o intervalo para estas vendas médias SOLUÇÃO Objetivo é estimar o preço médio dos combustíveis nos postos da bandeira X com variância populacional desconhecida e a amostra forneceu 𝑆 𝑅 265 Tabela t com 𝛼 5 e 𝜑 𝑛 1 25 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑡 20595 A fórmula para estimar a média com variância desconhecida 𝑛 𝑡 𝑠 𝑑 O erro 𝑑 de 35 da média da amostra de 26 dias R 3280 x 0035 R 11480 𝑛 20595 265 11480 6 226012 23 𝑑𝑖𝑎𝑠 Interpretação Para estimar o valor médio das vendas da filial do shopping Metrópole com 95 de confiança e erro máximo de 35 R 11480 é necessário uma amostra de 23 dias Como a amostra piloto utilizada é composta por 26 dias ela é já é suficiente à n 26 23 a amostra é suficiente 12 Uma grande concessionária de serviços de utilidade pública que atende cidades litorâneas preocupadas com a crescente procura de turistas por estas cidades no verão deseja comparar o consumo de energia elétrica domiciliar entre duas cidades por ela servida Para tanto fez uma pesquisa amostral por ocasião do último verão LOCALIZAÇÃO VENDAS MÉDIAS DIÁRIAS DESVIOPADRÃO INADIMPLÊNCIA PLAZA ABC R 385000 R 31000 146 METRÓPOLE R 328000 R 26500 153 em 60 domicílios de cada uma destas cidades encontrando os resultados da tabela abaixo LOCALIDADE CONSUMO MÉDIO MENSAL DE EE DESVIO PADRÃO CONSUMO MENSAL ACIMA DE 250 KWH CIDADE A 245 KWH 38 KWH 35 DOMICILIOS CIDADE B 228 KWH 30 KWH 18 DOMICILIOS Ao nível de confiança de 90 perguntase A mostra coletada já seria o suficiente para se estimar a proporção populacional de todos os domicílios cujo consumo mensal esteja abaixo de 250KWH para a cidade A com um erro de 12 SOLUÇÃO Pretendese definir se o tamanho da amostra para avaliar a proporção de domicílios cujo consumo mensal esteja abaixo de 250 kWH É conhecido o numero de domicílios com consumo superior a esse limite na amostra da cidade A que é de 35 Assim abaixo temse 25 domicílios na amostra de 60 residências A proporção amostral 𝑓 0 04167 Tabela Z com 𝛼 10 𝑍 16449 Erro amostral 𝑑 12 012 A fórmula para estimar proporção com f conhecida é 𝑛 𝑍 𝑑 𝑓 1 𝑓 𝑛 16449 012 6 04167 1 04167 456701 46 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑐í𝑙𝑖𝑜𝑠 Interpretação Para estimar a proporção de domicílios com consumo inferior a 250 KWH com 90 de confiança e erro máximo de 12 é necessário uma amostra de 46 domicílios Como a amostra piloto utilizada é composta por 60 domicílios ela é insuficiente à n 60 46 a amostra é insuficiente 13 Admitindo probabilidade de falha de 4 em 200000 ciclos qual o tamanho de amostra necessário para estudar a probabilidade desse produto falhar ao nível de significância de 5 SOLUÇÃO Considerando que Bp é o tempo no qual 4 das peças em um estudo falham em 200000 ciclos e que se deseja determinar qual o tamanho da amostra n adequada para verificar se um produto atende o requisito Bp com base nas seguintes suposições H0 As n peças serão testadas por 200000 ciclos H1 O produto atende ao requisito Bp se nenhuma peça falhar no período 200000 ciclos Essas hipóteses conduzem ao emprego da distribuição Binomial de probabilidades Sendo n número de peças submetidas ao ensaio teste verificação p probabilidade do sucesso cada peça falhar em 200000 ciclos 4 1p probabilidade do insucesso cada peça não falhar 96 𝑃𝑋 0 𝐶1 𝑝 1 𝑝13 Lembrando ainda que nos testes estatísticos podem ser cometidos o erro tipo I que é cometido com probabilidade 𝛼 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑓𝑖𝑐â𝑛𝑐𝑖𝑎 somente quando rejeitamos H0 𝛼 𝑃𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑟 𝐻 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐻 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐼 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑓𝑖𝑐â𝑛𝑐𝑖𝑎 Nessa situação é possível determinar o tamanho da amostra 𝑛 ln 𝛼 ln 1 𝑝 ln 005 ln 1 004 7338525 74 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 Interpretação Para estimar a probabilidade de as peças falharem ao nível de significância de 5 sabendo que 4 das peças falham em 200000 ciclos é necessário utilizar uma amostra de 74 peças 14 Um produto tem a probabilidade de falhar igual a 8 em 400000 ciclos Qual o tamanho de amostra necessário para estudar a chance de ele falhar em 1000000 de ciclos ao nível de confiança de 90 SOLUÇÃO Este caso é semelhante ao descrito no tipo de ensaio em que o período t é diferente do período em que t Bp010 foi calculado Devese então empregar a distribuição Weibull para determinar a probabilidade de falha para em seguida determinar o tamanho da amostra Neste caso vamos empregar uma distribuição de Weibull com p parâmetro 𝛽 2 admitindo desgaste natural Mas antes devese determinar o parâmetro 𝛼 para 400000 ciclos 𝛼 𝑡 ln 1 𝑝5 400000 ln 1 008 1385239465 Com o valor de 𝛼 1385239465 para 400000 ciclos calculase a probabilidade de pt pra 1000000 ciclos 𝑝6 𝑃𝑇 1000000 1 𝑒376 8 𝑝6 𝑃𝑇 𝑡 1 𝑒 37 08 𝑝6 𝑃𝑇 𝑡 1 0593846116 0406153883 Conhecendo a probabilidade de falha em 800000 ciclos podese determinar o tamanho necessário da amostra para o nível de significância de 10 𝑛 ln 𝛼 ln 1 𝑝6 ln 010 ln 1 0406153883 4418403765 5 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜𝑠 Resp Ao nível de confiança de 10 a amostra deve ser composta por 5 produtos