Lista 4 - Álgebra Linear: Exercícios sobre Produto Escalar e Propriedades de Espaços Vetoriais

Universidade Federal do ABC Lista 4 ALGEBRA LINEAR TuRMA NASA 2922 Prof Pedro Lauridsen Ribeiro Produto escalar Assumimos que todo espaco vetorial real V é imbuido de um produto escalar fixo z No caso em queV R 3 2 a2n 9 1 In 459 ea xj 0 produto escalar candnico de modo que a base canonica de R é ortonormal ver eg o Exercicio 1 abaixo Se S é base de V ent4o 4Xns5 ya xje a representacdo de V em termos de suas componentes em S se por exemplo V R e S éa base can6nica entao 41 Xpns 41 Xp Se pt at bt c um polinodmio de grau 2 a bc R a 0 0 discriminante de pt é dado por A b 4ac de modo que as raizes de pt sio dadas por ts abevA Adotamos as seguntes abreviacées c combinacio linear d linearmente dependentes 1i linearmente independentes Exercicios ou itens estrelados sao mais trabalhosos meira e segunda variaveis 1 Mostre que a forma bilinear 5 0 xy b Mostre que w4 um produto escalar em V ne J se e somente se A A A 0 A2 Oe em V R é um produto escalar real em V 1 2 denominado o produto escalar canénico em R Se det A 0 S éé a base canonica deV ex V t d see DNS PONS SEND 4 SejaV Mex9R ver Exercicio 8 da Lista 1 n e t xa Z6 jl TR A B TrAB Y AyjBiy ijl 411 Bi A19Bi2 Ao Bai AgoBog m2 2 Seja o espacgo vetorial VY R e considere onde Tr C Cy Coo 0 traco da matriz C os vetores 12 ey I 1 Encontre Cij V Ge Cj a entrada de C na iésima linha z 21 29 V tal que 2 le G2 3 e jésima coluna e C C é a transposta de C Mostre que 4 B um produto escalar em V 8 Seja S 219 a base canénica de V R 2 ed Mgx2R Defnawy V R por 5 Seja VV Ca 6 R espaco vetorial das wa4 9 tS As fung6es continuas de a b em R munido das ope a Mostre que wy é bilinear ie satisfaz as pro ragdes vetoriais pontuais f gt ft gd priedades de linearidade com respeito a pri aft aft fg Vat R Mostre que fgy fgat é um produto escalar em V d Mostre que se dim n e dim WV k entao dim W nk Dica estendaa base on S deW auma base de V e ortonor 6 SejaV PaR f RRS malize usando GramSchmidt Conclua ag ayt agt ap a1 ag R 0 espaco vetorial usando o item c que se S com as operagées pontuais de espacos de fungées a base on de V obtida a partir de S entao dos polindmios de ordem 2 com coeficientes re Sr S S 41 n base de W ais ver Exercicio 11 r da Lista 1 e S fj41 4 t 7 0 1 2 a base canénica deV a Mostre que se ft a9 ayt agt gt 8 Seja um produto escalar em V os pon bo bit bgt so vetores em I entaio tos denotam os argumentos do produto escalar 9 cuja norma euclidiana é dada por z 7 2 Aj9k e Sp éé um conjunto ortogonal em V ra festa Deets Py 2 b Mostre que f g define um produto escalar jl lel emV Dica use 0 Exercicio 5 Para provar a projecao ortogonal de V ao longo de W LS que f f 0 implica f 0 notar que a pri com respeito a Exercicio 7 meira identidade implica pelo Exercicio 5 a Mostre que Z2 Py22Py 22 que f se anula em qualquer ponto de 0 1 para todo x V Dica demonstre primeiro a seguinte forma do Teorema de Pitdgoras se Z 3 0 entao yl 2 III 7 SeV um espaco vetorial real eW é um su b Demonstre a desigualdade de Bessel para todo bespaco vetorial de V 0 complemento ortogonal de W 5 é dado por ver k ye a9 ee sia W V 5 0 para todo WW ja esl com igualdade se e somente se W Dica a Mostre que W subespago vetorial de V use 0 teorema de Pitaégoras para obter que b Seja S uma base on de VW Pw ZI2 ean oe Conclua empre de modo que dim W k e considere a gando 0 resultado do item a projecao ortogonal Py ao longo de W k Py VG Z 9 Use ortonormalizagao de GramSchmidt para jl obter uma base on S do subespaco vetorial VW LS de dimensio dim W k do espaco vetorial Mostre ae Pip Pw t W see somente Va partir da base dada de W nos seguintes casos se Pye x e que Py x y Py 0 para a V R2 i 3 4 todo V Conclua dai que Py 0 se 5 e somente set W b V W RS fh 00D4 c Mostre que se V ento existe uma 10 Df 0 3 HD unica escolha de W 1 W tais que ec VRieS f 0014 LXYX Conclua dai que WW NW 0 2 3 1 2 Dica use o item b 2 10 Use as bases ons obtidas no Exercicio 9 para escrever a projecdo ortogonal Py z de V R sobre W nos itens ac desse Exercicio em termos das componentes de Z na base can6nica Use os re sultados obtidos para construir uma base on do complemento ortogonal W de W ver o Exercicio 7 acima nos itens a e c Dica procure vetores tais que f i Py 0 HW SejaV My 2R munido do produto esca lar dado no Exercicio 4 acima Obtenha o comple mento ortogonal W ver o Exercicio 7 acima dos seguintes subespacos vetoriais W Cc V abaixo a W A Ajj V Aij Aji b W 4 Ajj V A al onde 1 10 é a matriz identidade 0 1 ce W A eV Ajj 0sei j 12 SejaV PoR e f g o produto escalar dado no Exercicio 6 a SejaW Lft 1 Encontre W tal como definido no Exercicio 5 b Aplique ortonormalizacaio de GramSchmidt a base canénica del 3 Respostas parciais dos exercicios 3 a Notar que se Z a1 22 e 199 entdio 9 a S a 3 4 w4 x1 Ajy1 Afye x9Ajy1 A592 b S3 a 45 0 45 éy 45 0 b esboco Mostre que wy ser simétrico 60 mesmo que va v2 vae v2 exigir A A Notar ainda que se a y e A A e3 0 1 0 entao w4 Aja 2AF ry AGy use os casos c So A 4 0 t particulares z 1 0 0 1 para mostrar que wy ser positiva definida implica Ai Ag 0 Seja o polindmio By Vs Vz Ve a pa de grau 2 em x dado por px w4 Z y é visto aqui como uma constante mostre que o discri minante de px é dado por A 4ydet A e conclua 10 a Py a x2 Sa Bayon h 1 0 dai que wy ser positiva definida implica detd 0 Con Py 1 0 48 S éo 3 3 versamente se Ai 43 0 e detA 0 mostre que px 0 para todo y 0 e caso y 0 temos px 0 a W B Bj V By Bji se e somente se x 0 b W B Bij V TrB 0 c W B Bij V Bi Bog 0 4