Lista 1: Álgebra Linear - Espaços Vetoriais

ao y ae TRO DE MATEMATICA COMPUTACAO E COGNICAO Universidade Federal do ABC Lista 1 ALGEBRA LINEAR TurMA NASA 20922 Prof Pedro Lauridsen Ribeiro Espacos Vetoriais vetoriais entrada a entrada se 1 Sejam zi 8210 3 47 8 2 e Gyo oct Ain by ves bin i 5 2 8 1 vetores em R Calcule A Be toc td a o3 Aam1 Amn bmi Omn b 2a 70 entao c i 0 40 ayy tby4 eee Qin t On d 6u 80 AB my e U wW Amt Omi see Ann Omn f 63 4 3 OAT An aA me Wan Wann 2 D 0 1 2 1 vo 2 1 2 ados os vetores v1 CL 2 2 1 2 Dadas as matrizes 2 x 84 B C Moy3R vg 8 8 2 evs 1 5 1 em R calcule a i 809 Wg Hy yui 2 pi 2 2 9 oo el lel 8 2 1 2 38 1 b v v 09 0304 4 8 4 13 4s Cc W 03 gV9 3U c33 13 fs a Calcule 834 2BC 3 O espago MmxnR das matrizes com m linhas b Encontre nimeros reais a 8 diferentes de n colunas entradas reais zero tais que aA BB C tenhaa primeira coluna s6 com zeros Q1 Qin m1 Qmn 4 Encontre os vetores 3 R tais que as compo aij Rilmj10 nentes de u sejam todas iguais a viltima componente de 0 é iguala 38 eu 0 1 2 3 4 um espaco vetorial real se imbuido das operagées 5 Dados uw 1238 0 820 ew a V R 3 Z ay92 ay2 2 0 0 encontre ntimeros reais a B y tais que a y 2 at2 yty 2 At y2z au Botyw 11 1 Ax 9 Z3 b V R 3 ay92 xyz a y 2 at2 yty 2 At y2z 6 Mostre que nado existem escalares reais 0 0 0 a By tais que a1010 B1 0 2 1 y2 0 12 1 2 28 c V R2 5 z 29 ay 29 at2y9 9 Ax 9 QAz 2Ay d V R com as operagées usuais de soma e 7 Dados os vetores 1 28 y 8 2 lhe multiplicagaéo em R z 8 2 7 em R obtenha ntimeros reais a B e V z0 R x R comas opera tais que aX BY Quantas solugées admite esse des usuais de soma vetorial e multiplicacgao problema escalar em R f V ay R x 0 com as opera 8 Sejam os vetores Z 11 7 12 des usuais de soma vetorial e multiplicagao Zz 21 em R Encontre ntimeros reais ndo escalar em RY nulos abc a bc satisfazendo a a b D g V ax R x R comas opera cCeartbhyt ce aa tth etc des usuais de soma vetorial e multiplicagao escalar em R h V R Z 29 ty 9 9 Defina a média de dois vetores quaisquer cta1yy 1 Az y Az Ay num espaco vetorial V como i 3 gi 50 Prove que 4 BY Hz 2B y BZ see somente se xX Zz i V 12 R2 x R 1y 1y yy AC 9 C Ay 10 Dados dois espacos vetoriais V V2 consi j V R 9 9 4 90 9 dere o produto Cartesiano V VY x Vg de Yy Ax 9 Ax Ay e Vg Mostre que as operagées de soma vetorial k Vo R ay 29 a2 yy 49 29 4 2 9 e multiplicacaio Aa9 Aa Ay escalar Az y AZ Ay sAo operagdes vetoriais lL V R x y2 y 8x8e dy5y em I Ax y Ax ay m l1 Sao listados nos itens abaixo conjuntos V mu a nidos de operagées de soma vetorial e multiplicagao V 1b E UMlax9R abe a escalar Determine quais deles tem essas operacdes bem definidas para todos os seus elementos no sen com as operacdes usuais de soma vetorial e tido de definirem elementos de V e quais destes multiplicacao escalar em Jlg9R ver Exer satisfazem os axiomas de um espaco vetorial real cicio 8 acima Justifique por que os restantes nao s4o espacos veto n riais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaco vetorial falha ou que uma das duas operacées y a 0 MoxoR abe a nao é sempre bem definida em lV 0 b 2 com as operacoes usuais de soma vetorial e multiplicacao escalar em Jlg9IR ver Exer cicio 38 acima 0 3 etoate ab b com as operacoes usuais de soma vetorial e multiplicacao escalar em Jlg9IR ver Exer cicio 8 acima p VxeRaOatyayAxra expA log x q V a4 R diy Ajxj 0 com as operagdes usuais de soma ve torial e multiplicagao escalar em R aqui AyAan ER r V fR R fa ax bx c abc R ajax bya 1 agu box cq ay tagx by hgx cy 9 Aax bx c Aax Abx Ac 3 Respostas parciais dos exercicios 1 a 1911 1 Uma solucio possivel dessas equagées é dada por b 22 58 19 14 aw 8 B y 1 Tomandose a 4 a 1 c 18 18 36 2 b10 2c 1c Q verificase a formula d 90 114 60 36 desejada e 9 3 5 3 f 27 29 27 9 10 A prova é igual a do caso em que 1 Vo R 2 a 00 0 5 15 oe b 15 2 ll a O axioma e A w AX pz falha a 0 0 b O axioma h 1 Z falha coe c O axioma g 21 192 A1 AQ falha 5 17 10 e V espaco vetorial 38 a3842BC a 25 25 4 F f O axioma d falha b a 2 B 3 h O axioma f 1y Az Ay falha j Os axiomas a 9 F e b 9 4Z F V 4 u1111v 0 1 2 3 falham baat l ola k O axioma f A 9 AX AY falha 3B 5 Y qo x m A soma vetorial de dois elementos de V nao pertence 7 Atinica solucio é dada por a 8 B 2 al p V espaco vetorial 8 Esboco trateaa abb Beccy q V espaco vetorial como varidveis Obtemos dai que a 8B e B y 4