Lista de Exercícios: Transformações Lineares em Álgebra Linear

y Universidade Federal do ABC Lista 5 ALGEBRA LINEAR TurMA NASA 20922 Prof Pedro Lauridsen Ribeiro TransformacGées lineares Assumimos que todo espaco vetorial real V é imbufdo de um produto escalar fixo No caso em que V R 3 a2n9 91 59ns 59 ea xj 0 produto escalar candnico de modo que a base can6nica de R é ortonormal ver eg o Exercicio 1 abaixo Se S 1 é base de V entéo x1Xns Di vie a representagdo de x V em termos de suas componentes em S se por exemplo V R e S é a base canOnica entaéo x1 Xns 41Xn Dado um subespaco vetorial W de um espaco vetorial V o complemento ortogonal de W é 0 subespaco vetorial W EV Zy O paratodoyeW CV Adotamos as seguntes abreviacées cl combinacio linear 1d linearmente dependentes 1i linearmente independentes t transformagio linear Exercicios ou itens estrelados sao mais trabalhosos AB C onde B B uma matriz 2 x 38 fixa d 4 e AB C Cj onde 1 Mostre que a aplicagio T V R V dada Cy An Bij AigBo por T 21 29 a 2x9 8x1 rg umatl em Vv d Vy MixnR Vo R FA TrA ea Ajj traco de A onde A Ajj e Vy V MaxnR FA A transposta 2 Mostre que a aplicacio T V R Vg R de A onde A 4 A Aji dada por T 21 x9 3 221 x9 xg xq 4g f Vi MoxoR V2 R FA 344 uma tl de V7 em Vo 4Aj9 Ao Ago onde A Aji g Vi Mox2R Vo R FA 441 3 Verifique se a funcio F V Vo uma tl do 419 onde A 4ij espaco vetorial no espaco vetorial Vg nos seguintes h Y Yo FRR f R R casos Ff2 1 fa a Vi Ve R Fa2903 i VY Wg FRR ff R Rj xov3 rgV2 31 L138 Liye Lay1 onde Ffx f 2 9179 93 R um vetor fixo b VY R Vo R F2 Ja 42 A I 4 Sejag R R fixa e defina a funcio T Via FR R FR R como Tx f gx c Vi MyyoR Vy MaxgR FA fee a Prove que 7 é uma transformacaio linear dimV neTV W umatl de V no es b Suponha agora que g um polindmio de P vetorial W grau m e defina T Pe R FR R a Mostre que se Té 0 para todo é S entao como acima Mostre que entao Tf é um po T 0 lindmio e determine o maior grau que Tf b Mostre que seW V e Té para todo pode ter éSentao T 1 5 Obtenha a formula geral da tl TVoW 8 Sejam 7 79 R2 R2 tls Obtenhaa fér do espago vetorial V no espaco vetorial W dada em mula para as tls T 7 T Ty no caso em que termos dos elementos da base S de V nos seguintes Tyx y Qy Bx e Tox y 9 2 casos a VWRS f 18 1 0 Thi 1 2 T fa 41 Expresse a 9 Calcule o produto ToT To o T das tls resposta em termos das bases canOnicas de T V WTW X ondeVWX sao V eW eusea formula obtida para calcular SPaOS vetoriais nos seguintes casos T5 3 a V W X R T2y 22 8y b V R2W RS f 2 fp To xy y 2 9 1 3 TA 1 20 To 0 8 5 b V W X R T2y x 8y 0 Expresse a resposta em termos das bases Toa y 4x Sy 3x By canonicas de V eW e use a formula obtida c V X RW R38 Tiay Para calcular T2 8s 5 22 3y xy Toa9 z xy 2 3 c VW R S fi lUfA d V X RW R Ti 29 x4y y 11 0 A 10 O Th 2 l 4 2 xr z Tox 9 z 0 x y 2 T fo 80 1 Tfg 1 5 1 E a fy fs wPresse e V W Mo 9R xX R TA Al a resposta em termos das bases can6nicas de ToA TrA Aj1 Aoo onde A éa V eW eusea formula obtida para calcular transposta de 4 ie 4 ij A ji d V RW R5 f 120 4 2 9 0 3 34 TA 19 10 Calculeo produto T3T9T T3ToT das tls T fo 1 1 Tf 0 1 Expresse a res T V WTyW X7T3 X Y onde posta em termos das bases can6nicasdeV py yR2ewexX R3 nos seguintes casos e W e use a formula obtida para calcular a Ty xy 2y 3x x 2y To2x 9 z T7 138 7 Q z x T39 z x Zy z b Tix 9 ety 9 Tox y 0 2 6 Sejam 1 Zo Z3 vetores num espaco vetorial V yz 8y T32 y z 8x42y 4zx3y eT V R umatl tal que T7 1 1 2 T Zo 0 82 e T3 8 12 Calcule T 221 8 4 433 Wl SejamW espacos vetoriaise T V W uma tl Mostre que 0 nicleo ker T V Tx 0 de T é subespaco vetorial de V e a imagem 7 Seja S uma base de um espaco vetorial VY ImT y W Tz paraalgum z V é 2 subespaco vetorial de W Mostre também que T é TP T eTm py injetora injetora se e somente se ker T 0 15 SejamlW espacos vetoriais eT V W 12 SejaT V R V atl dada por umat oe re 1 correspondents auma TOs a Uma pseudoinversa de T umatl T W tacao e me radianos ao re or da origem Mostre V tal que TTT T Mostre que se T que Tr 0 para todo x eV é uma pseudoinversa de T entéio TT é uma projecao linear em V com ker TtT 18 SejaV um espaco vetorial de dimensio finita ker T e TT é uma projegao linear em W Dada uma tl T VY W lembrar que a ad com Im TT Im 7 ver Exercicio ante junta de T é a tinica tl T W V tal que rior Em particular se 7 é invertivel entao le ie T 3 Z T3 paraZ V quaisquer No caso T a tinica pseudoinversa de T em que W V dizemos que T é autoadjunta ou b Se Tj e Ty sao pseudoinversas de T com hermitiana se T T e ndonegativa se x TZ 0 TT TST PeTTY TTy Q mos para todoz eV tre que ker J Ty ImQ ImT e a Mostre que se W VV entao Im TY Ty ker P ker 7 Conver z T T 0 para todo Z V Con samente se T 6 uma pseudoinversa de T clua daf que se T é naionegativa entao TT com TT P TTY Qe To W V também uma tl tal que ker 79 ImQ ImT 5 b Dadaumatl 7 V W qualquer mostre e Im Zo ker P ker 7 entéo Ty TT nionevativa TY To também é uma pseudoinversa de T u va i com TT P e TT Q c Sejax V Mostre que TTZ 0 se e so mente se TZ 0 c Sejam PV VQW W projecoes li neares tais que ker P ker J e ImQ ImV Mostre que Tt Tin P Q éa 14 SejaV um espaco vetorial Uma projegao linear unica pseudoinversa de T tal que TT P éumatl PV V tal que P P TT QeT uma pseudoinversa de T a Mostre que 1 P também é uma projecio Conversamente se T é uma pseudoinversa linear de T tal que TT P e TT Q entao T TTT Dica use o item e do Exer b Mostre que para todo V temos que 5 5 cicio 14 x ImP se e somente se X PZ e portanto Im1 P se e somente se d Seja 7 a pseudoinversa de T obtida a partir ZzP2 de P Q tais como no item d e suponha To WV tal item c Se 7 c Mostre que ker P Im1 P e ImP sous no item Se Toler Q ker 1 P é uma bijecdo de ker Q Im 1 Q em ker P ker JT mostre que T T Tp d Mostre que uma projecao linear P anto é uma pseudoinversa invertivel de T Em par adjunta se e somente se Im1P ImP ticular pelo item b T no pode ser uma pseudoinversa de T nesse caso e SejaW outro espaco vetorial eT V W uma tl SeP V V uma projecio li near tal que ker P ker 7 mostre que 16 Sejam VW espacos vetoriais dim 3 n codimW m eT V W uma tl com adjuntaT W V a Mostre que ker T ImT e ImT ker T Dica para provar a segunda iden tidade troque os papeis de T e T e use a projecdo ortogonal ao longo de ImT para concluir que Im T ImT Veja o Exercicio 7 da Lista 4 para mais detalhes Conclua dai que a restricao de T a ImT é injetora Dica use o item c do Exercicio 18 em particular notar que a restricao de TT a Im7 também é injetora b Se P Pyercr a projegio ortogonal ao longo de ker T P 1 P e Q Pim a projecdo ortogonal ao longo de Im T entao mostre que T T p py 1Q é uma pseudoinversa de T tal que TTZ é o vetor em ker 7 mais pr6ximo de X V e TTy 0 vetor em ImT mais pr6ximo de y W Essa pseudoinversa é conhecida como pseudoinversa de MoorePenrose c Mostre que podemos escrever a pseudoin versa de MoorePenrose de 7 obtida no item b como T TTimcry 1T Dica use o item a 17 SejaV um espaco vetorial S 1 én uma base on de V de modo que dim V n eT VLVRzV tais que Tx 0 Mostre que atl rs Ty Py Tet é uma projecao linear ver o Exercicio 14 acima e que Z kerT se e somente se TZ z Dica use o Lema de Riesz Tx 7Z onde IT di Tee eS éé base on de V Conclua nesse caso que Ty z 5 com igualdade se e somente se y ker T Dica use a desigualdade de CauchySchwarz 4 Respostas parciais dos exercicios 3 Os itens a c A e f e i sdo t1s O item b 8 7 Toa y Ty a 9 Toa y 89 42 nao preserva multiplicacdo por escalares negativos T T9a 7 2 y Toa y 22 o item g nao preserva multiplicagéo por escalares diferentes de zero ou 1 e 0 item h nao preserva 9 a ToT xy 2 8y 2x 8y soma de vetores b ToT xy 4a 12y 3x 9y c T2T 2x y 2x 8y x 2y 4 b O maior grau que Tf pode ter é mn d ToT xy 0 2x 5 a 2 2129 x 21 29s TE 2912 4 ANA Ta Tr an 41 4a 529 x1 8x9 T5 8 10 a TsToTi xy 8x 2y2 b f aya Bate nie b T3T2T 2 y Ay 6y TE 2120 22085 a Set jnsl0m T2 8 2 6 20 14 dy esbogo Notar que temos que PZ 1 Py 0 c 11 2923 1929 2901 295 TE para Ts quaisquer se e somente se PX 29 2 1 4 29 t98 0 1 a1 291 5 1 Px Py para 2 y cr quaisquer Em particular tro 1 4iry 2g 5 59 2g 0 803 T2 4 1 cando os papeis de x e y e usando a simetria do pro 15 9 1 duto escalar concluimos da segunda identidade que é Pi P53 2 PI Pi PH PS PF 5 para 6 T 22 8 473 21 1 2 80 8 2 Xx EV quaisquer Conversamente se P é autoadjunta 48 1 2 10 5 6 e PZ y Py 0 para todo V tomando em particular Py concluimos que Py 0 e portanto 7 Use a definigao de base yyPy 5