Distribuição de Velocidades Moleculares e Teoria Cinética dos Gases

27 Distribuição das velocidades moleculares UFABC Fenômenos Térmicos Prof Germán Lugones MÓDULO 2 TEMPERATURA E A TEORIA CINÉTICA DOS GASES A Distribuição de Velocidades Moleculares Para responder tais questões precisamos saber como os possíveis valores das velocidades estão distribuídos entre as moléculas A velocidade média quadrática nos fornece uma ideia geral das velocidades moleculares em um gás numa dada temperatura Mas frequentemente queremos mais do que isso Por exemplo Qual é a fração das moléculas que têm velocidades maiores do que Qual é a fração das moléculas que têm velocidades maiores do que o dobro de vrms vrms vrms Esquema experimental para medir velocidades moleculares Oo wt Camara Molécula Moléculas com altas de vacuo velocidades saem do forno A wee Ts SS Motor NW l W 5 Fendas fixas criam x vt um feixe estreito de moléculas Discos Detector giratorios Uma molécula com velocidade v esta passando pela fenda do primeiro disco giratdrio Quando ela atinge o segundo disco ambos giraram de um angulo de selegao Se v wx6 a molécula passa pela tenda do segundo disco e atinge o detector Para descrever os resultados de tais medidas definimos uma função denominada função de distribuição é definida de forma que seja a fração de moléculas com velocidades entre e Podemos dizer também que a probabilidade de que uma molécula escolhida ao acaso tenha velocidade no intervalo entre e é dada por Logo é a probabilidade por unidade de intervalo de velocidade ela não é igual à probabilidade de que uma molécula tenha velocidade exatamente igual a Como a probabilidade é um número puro possui unidades de inverso de velocidade fv fv fvdv v v dv v v dv fvdv fv v fv sm A tungao fv pode ser determinada através do experimento mostrado antes mas também pode ser deduzida a partir de consideragdes de Mecanica Estatistica Em 1852 o fisico escocés James Clerk Maxwell determinou fv Seu resultado conhecido como a distribuigao de velocidades de Maxwell Boltzmann é Massa de Massa de uma Velocidade umamolécula Velocidade Funcio da molécula de gas molecular de gas molecular ee eeeaeee ee de Maxwell f v Aor aakT Ue s alten Boltzmann TKS a Constante de Boltzmann Temperatura absoluta do gas Uma forma equivalente de fv pode ser obtida usando mk MR onde M é a massa molar e R é a constante dos gases uM 3 fv dAz p2eMv2RT 20RT Curvas da fungao de distribuigao de MaxwellBoltzmann fv para trés temperaturas Fv T 71 7T Ty Is U O Quando a temperatura aumenta a curva é achatada 0 pico é deslocado para velocidades maiores Pela definição de é fácil ver que a área total sob a curva de distribuição corresponde à fração das moléculas cujos valores das velocidades estão entre zero e infinito Todas as moléculas se encaixam nesta categoria de modo que o valor desta área total é um ou seja A fração de moléculas com velocidades entre e é dada por A fração de moléculas com velocidades maiores que é fv 0 fvdv 1 fr v1 v2 frv1 v2 v2 v1 fvdv vA frvA vA fvdv As áreas sombreadas sob a curva representam a fração de moléculas cujas velocidades se encontram em determinado intervalo A velocidade mais provável vmp em uma dada temperatura é o pico da curva Em princípio podemos encontrar a velocidade média das moléculas em um gás ponderando cada valor de na distribuição Ou seja multiplicamos pela fração das moléculas com velocidades em um intervalo diferencial centrado em Depois adicionamos integramos todos estes valores de Na Eq anterior substituímos A integral pode ser realizada utilizando O resultado é vmed v v fvdv dv v vfvdv vmed 0 v fv dv fv 4π M 2πRT 32 v2eMv22RT 0 x3eax2dx 1 2a2 a 0 vmed 8RT πM Velocidade Média De forma semelhante podemos encontrar a média dos quadrados das velocidades Substituímos e integramos igual que antes usando a fórmula O resultado é Este resultado esta de acordo com o que obtivemos numa aula anterior usando outro método v2 rms 0 v2fvdv fv 0 x4eax2dx 3 π 8a52 a 0 v2 rms 3RT M vrms 3RT M Velocidade Quadrática Média A velocidade mais provável é a velocidade na qual é máxima Para calcularmos fazemos a inclinação da curva é nula no máximo da curva e então resolvemos para Fazendo isso encontramos É mais provável que uma molécula tenha uma velocidade do que qualquer outra velocidade mas algumas moléculas terão velocidades muito maiores do que Essas moléculas estão na cauda de altas velocidades da curva de distribuição vmp fv vmp dfdv 0 v vmp 2RT M vmp vmp Velocidade mais provável vmp 2RT M vmed 8RT πM vrms 3RT M