Equação de Bernoulli e seu Aplicativo em Mecânica dos Fluidos

18 Equação de Bernoulli UFABC Fenômenos Térmicos Prof Germán Lugones MÓDULO 1 MECÂNICA DOS FLUIDOS 62 A equação de Bernoulli Consideremos o fluxo de um fluido ideal por um segmento de cano de área não uniforme em um intervalo de tempo Trabalho sobre o segmento de fluido no intervalo onde é o volume de fluido passando pelo ponto 1 ou pelo ponto 2 Ambos são iguais porque o fluido é incompressível Δt Δt W1 F1Δx1 P1A1Δx1 P1V W2 F1Δx1 P2A2Δx2 P2V V O trabalho resultante no intervalo de tempo é Parte desse trabalho muda a energia cinética do segmento de fluido e parte muda a energia potencial gravitacional do sistema Δt W P1 P2 V A variação na energia cinética do segmento de fluido é ΔK 1 2 mv2 2 Kcinza 1 2 mv2 1 Kcinza 1 2 mv2 2 1 2 mv2 1 onde m é a massa das porções azuis do fluido nas duas partes da Figura Como os volumes das duas porções são iguais elas também têm a mesma massa A variação na energia potencial do segmento de fluido é ΔU mgy2 Ucinza mgy1 Ucinza mgy2 mgy1 Agora usamos o teorema de trabalhoenergia o trabalho total realizado sobre o sistema pelo fluido fora do segmento é igual à variação na energia mecânica do sistema Substituindo cada um desses termos Dividindo cada termo pelo volume da porção e lembrando que temos Rearranjando os termos obtemos a equação de Bernoulli W ΔK ΔU P1 P2 V 1 2 mv2 2 1 2 mv2 1 mgy2 mgy1 V ρ mV P1 P2 1 2 ρv2 2 1 2 ρv2 1 ρgy2 ρgy1 P1 1 2 ρv2 1 ρgy1 P2 1 2 ρv2 2 ρgy2 Essa equação pode ser reescrita na forma Isto significa que a grandeza do lado esquerdo da equação tem o mesmo valor em todos os pontos ao longo da linha de fluxo ATENÇÃO A equação de Bernoulli vale somente para o escoamento estacionário de um fluido incompressível sem viscosidade Por ser uma equação simples e fácil de usar pode surgir a tentação de usála em situações para as quais ela não é válida P 1 2 ρv2 ρgy constante Caso particular fluido em repouso Quando o fluido está em repouso temos Portanto a equação de Bernoulli fica Está equação concorda com a equação que já obtivemos para a variação da pressão com a altura v1 v2 0 P1 P2 ρg y2 y1 ρgh