Equações de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal

Capítulo 4 Equações de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal 41 Introdução Um grande número de descobertas relativas à Eletricidade e ao Magnetismo foram realizadas no final do século 18 De maneira geral os estudos realizados naquela época tratavam essas duas áreas da Ciência de maneira totalmente independente A Eletricidade era tratada basicamente como Eletrostática estudandose galvanismo e descargas atmosféricas O Magnetismo era estudado a partir de ímãs e do campo magnético terrestre O caminho dessas ciências foi radicalmente mudado em 1820 quando um cientista dina marquês chamado Hans Christian Ørsted demonstrou que o ponteiro de uma bússola modifi cava sua orientação sempre que corrente elétrica passava por um condutor localizado em sua proximidade Para Ørsted ficou claro que a corrente elétrica induzia uma força no ponteiro magnetizado da bússola e que consequentemente Eletricidade e Magnetismo não eram áreas independentes Essa visão iniciou a unificação de ambas as áreas para o que se conhece desde então como Eletromagnetismo Nos capítulos anteriores as análises foram realizadas considerando os campos elétrico e mag nético de maneira independente Neste capítulo pretendese estabelecer as relações pertinentes ao Eletromagnetismo O capítulo se inicia tratando da evolução das principais leis do Eletro magnetismo conhecidas como equações de Maxwell até a forma como as conhecemos hoje Em seguida as equações de Maxwell são apresentadas para campos com variação harmônica Esta particularização é relevante especialmente do ponto de vista de ondas eletromagnéticas para sistemas de comunicação Na sequência será estabelecido o balanço de potência empregando a teoria de campo Finalmente a análise de campos eletromagnéticos na interface entre dois meios será desenvolvida e as relações de campo para diversas condições de contorno na interface entre dois meios homogêneos serão obtidas Prof Marcos V T Heckler 42 As leis do Eletromagnetismo antes e após Maxwell Até cerca de 1860 as principais equações que governavam Eletricidade e Magnetismo eram as Leis de Faraday de Ampère e de Gauss para a Electricidade e para o Magnetismo Para o caso de circuitos operando em corrente contínua as equações mostradas anteriormente são adequadas Entretanto para o caso de correntes variantes no tempo como ocorre em sistemas de comunicação e de transmissão de energia Maxwell mostrou que a Lei de Ampère até então enunciada como sendo H J não era capaz de modelar todos os fenômenos envolvidos Para demonstrar esta limitação podese tomar o caso de um capacitor de placas paralelas conectado a uma fonte de tensão alternada conforme mostrado esquematicamente na Fig 41 Neste circuito a fonte é conectada ao capacitor por meio de condutores nos quais flui corrente elétrica J embora as placas do capacitor estejam isoladas por um material dielétrico Assim sendo não há corrente elétrica fluindo entre as placas mas há corrente chegando à placa superior e deixando a placa inferior em um dado instante de tempo t₀ Para ilustrar melhor o que ocorre podese tomar uma superfície fechada que engloba a placa superior como ilustrado na Fig 42 e considerar que a relação entre corrente e densidade de corrente elétrica seja dada por I s J dS Por inspeção da figura é possível compreender que haverá densidade de corrente elétrica adentrando a superfície fechada na face superior sem que haja fluxo de corrente deixando esta superfície Matematicamente a análise desta figura significa dizer que s J dS 0 Finalmente o emprego do teorema da divergência permite adaptar 42 para v J dv 0 A igualdade acima será satisfeita desde que J 0 Para verificar a validade desta observação a partir da lei de Ampère na forma como era conhecida antes de Maxwell podese tomar o divergente de 41 que resulta em H J Empregando a propriedade vetorial H 0 Prof Marcos V T Heckler 42 As leis do Eletromagnetismo antes e após Maxwell 79 Terminais Placa superior Placa inferior Figura 41 Visão esquemática de um capacitor de placas paralelas Terminais Placa superior Placa inferior Superfície de integração I I Figura 42 Superfície fechada de integração envolvendo a placa superior Prof Marcos V T Heckler 45 Este resultado é incoerente com o que foi encontrado em 43 e com a realidade mostrada na Fig 42 Como resposta a este paradoxo Maxwell propôs uma correção à lei de Ampère indicando que no exemplo do capacitor enunciado acima a entrada de corrente pela superfície fechada que envolve a placa superior causa uma variação no tempo da carga elétrica Qe acumulado na interior dessa superfície fechada Matematicamente esta relação corresponde a dizer que s J dS t Qe que é conhecida como a lei da continuidade de carga na forma integral A interpretação desta equação tornase mais fácil quando se considera a análise para um volume v envolto por uma superfície fechada S com carga elétrica inicial neutra ou seja Qe 0 Considerando que o sentido convencional da corrente elétrica é resultado do deslocamento de cargas elétricas positivas então a saída da densidade de corrente através de S resultará em carga elétrica líquida negativa Qe 0 no volume v Por outro lado caso J assuma sentido de entrada passando por S a integral de superfície fechada assumirá valor negativa Este sinal cancelará o sinal negativo do lado direito de 46 resultando em carga elétrica líquida acumulada Qe 0 em v Embora a raciocínio acima tenha sido elaborado para a condição inicial Qe 0 devese atentar que 46 tem validade geral destacandose que uma J saindo de v resulta em saída de cargas positivas fazendo com que a variação da carga total em função do tempo tornese negativa enquanto que J entrando a v resulta em adição de cargas positivas resultando em variação positiva da carga total Pelo teorema da divergência a equação 46 pode ser transformada para a sua forma diferencial resultando em J t ρe com Qe v ρe dv Pela lei de Gauss na forma diferencial a densidade volumétrica de carga elétrica pode ser escrita em função da densidade de fluxo elétrico como sendo ρe D Assim introduzindo 49 em 47 chegase a J t D ou J t D Prof Marcos V T Heckler 43 Equações de Maxwell para campos em regime permanente senoidal As equações de Maxwell apresentadas na seção anterior consistem em grandezas vetoriais descritas no espaço tridimensional e variantes no tempo Em geral as funções de onda que governam a variação espacial podem ser separadas da função de onda no tempo Assim sendo para fins de representação porém sem perda de generalidade o campo elétrico pode ser escrito no sistema de coordenadas cartesianas como sendo Ex y z t Ex y z fωt Até o momento a formulação foi escrita de maneira completamente geral podendo a função do tempo fωt assumir qualquer formato Casos típicos são funções pulso importantes para o caso de radares e funções trigonométricas seno ou cosseno típicas de sinais utilizados em sistemas de comunicação Assumindose que o enfoque do presente estudo do Eletromagnetismo se destine ao segundo caso podese considerar que fωt cosωt Da análise complexa sabese que uma função exponencial com expoente imaginário pode ser representada por uma combinação de funções seno e cosseno conhecida como fórmula de Euler descrita matematicamente por ejα cosα j sinα sendo j 1 a constante imaginária Empregandose o operador parte real ℜ em ambos os lados de 421 resulta que ℜejα ℜcosα j sinα ou cosα ℜejα Assim cosωt ℜejωt Prof Marcos V T Heckler 42 As leis do Eletromagnetismo antes e após Maxwell 81 Comparandose os argumentos dos operadores divergente em ambos os lados da equação Maxwell verificou que o termo t D não se constitui em uma corrente de condução dada pelo deslocamento de elétrons mas em um efeito que possui característica e unidade de medida típicas de uma densidade de corrente elétrica Assim sendo Maxwell postulou que Jd t D 411 corresponde a uma densidade de corrente elétrica de deslocamento Esta condição existe sempre que houver variação no tempo da densidade de fluxo elétrico D de forma que seu efeito inexistirá em casos estáticos respeitando a teoria aceita preliminarmente à contribuição realizada por Maxwell Como homenagem a esta importante contribuição que unificou a Eletricidade e o Magne tismo e demonstrou o acoplamento entre campos elétricos e magnéticos variantes no tempo o conjunto formado pelas quatro equações fundamentais do Eletromagnetismo é comumente chamado de Equações de Maxwell A forma diferencial dessas equações é dada por E B t M 412 H J D t 413 D ρe 414 B ρm 415 Em relação ao que é comumente mostrado em livros de Física básica verificase nas equa ções acima a existência do termo M em 412 correspondente a uma densidade de corrente magnética bem como o termo ρm em 415 correspondente a uma densidade volumétrica de cargas magnéticas Estas grandezas foram incluídas para deixar as equações com maior sime tria Embora não haja cargas magnéticas isoladas na natureza pois sempre haverá um pólo norte associado a um pólo sul e viceversa mesmo que o material seja sucessivamente dividido em partes menores a sua consideração teórica pode ser realizada pois possibilita a resolução de diversos problemas de irradiação e espalhamento eletromagnético de maneira mais eficiente e elegante O emprego dos teoremas de Stokes e da Divergência permitem escrever as Equações de Maxwell em seu formato integral resultando em L E dl t S B dS S M dS 416 L H I t S D dS 417 Prof Marcos V T Heckler 43 Equações de Maxwell para campos em regime permanente senoidal 83 84 Equaçõe de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal 43 Equações de Maxwell para campos em regime permanente senoidal 85 então Hφ z kE0 ρσωμ ksinωt kz Introduzindo 449 em 447 resulta H ρ k²E0 ρσωμ sinωt kz Resolvendose a integral resulta em H ρ k²E0 ρσωμ sinωt kz dt Resolverse a integral resulta em H ρ k²E0 ρσωμ cosωt kz ω Conforme será demonstrado mais adiante k² ω²με Portanto após rearranjo de termos Hρ φ z ρ E0 ρ cosωt kz Vm Método 2 Emprego da lei de Ampère no domínio espacial e obtenção de E a partir de H Considerandose J 0 a lei de Ampère no domínio espacial equivalente a H jωεE Isolandose o campo elétrico resulta que E 1 jωε H A partir da expressão dada no enunciado verificase que Hp0 e Hz0 Assim a expressão para o rotacional do campo magnético em coordenadas cilíndricas equivalente a H ρ Hφ z z 1 ρ ρHφ ρ Prof Marcos V T Heckler 43 Equações de Maxwell para campos em regime permanente senoidal 87 Sendo Hφρ φ z kE0 ρσωμ ejkz então Hφ z kE0 ρσωμ jkejkz ρHφ ρ 0 O rotacional de H é equivalente a H ρ jk²E0 ρσωμ Introduzindo 456 em 454 resulta E 1 jωε ρ jk²E0 ρσωμ ejkz Conforme já comentado acima k² ω²με Após rearranjo de termos E ρ E0 ρ ejkz Vm Substituindo 458 em 427 resulta que Eρ φ z t ℜe ρ E0 ρ ejkzjωt Utilizando as equações 441 e 443 resulta Eρ φ z t ℜe ρ E0 ρ cosωt kz j sinωt kz ou Eρ φ z t ρ E0 ρ cosωt kz Vm No exemplo acima verificase que a aplicação da lei de Ampère no domínio do tempo implica na resolução de uma integral o que é evitado quando se resolve o problema com o método 2 Portanto sempre que possível sugerese que a maior parte das operações para resolução do problema seja conduzida no domínio espacial Isso será novamente demonstrado no exemplo a seguir Prof Marcos V T Heckler Exemplo 42 Dado o campo elétrico Eρ φ z t ρ E0 ρ sinωt kz Vm descrito no domínio do tempo obter o campo magnético correspondente no domínio espacial considerandose ausência de densidade de corrente magnética no meio Resolução Novamente aqui o problema pode ser resolvido por dois caminhos distintos Método 1 Emprego da lei de Faraday no domínio do tempo e obtenção de H a partir de E Considerandose E 0 a lei de Faraday no domínio do tempo equivalente a E μ H t Aplicandose a integral ao longo do tempo em ambos os lados da equação acima e isolandose o campo magnético resulta que H 1 μ E dt A partir da expressão dada no enunciado verificase que Eφ 0 e Ez 0 Assim a expressão para o rotacional deste campo em coordenadas cilíndricas pode ser simplificada e equivale a E φ Eφ z z 1 ρ Eφ φ Sendo E φ Eφ z z 1 ρ Eφ φ Prof Marcos V T Heckler Introduzindo 465 em 463 resulta vecH frac1μ int left hatφ frackE0ρ cosωtkz right dt Pela propriedade da potenciação podese escrever ejωtkz ejωtejkz Isolandose o campo magnético resulta que vecH frac1jωμ vecE 92 Equações de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal Resolução A solução para este problema pode ser realizada empregandose a lei de Gauss tanto na forma integral quanto diferencial Nesta última forma no entanto fazse necessário aplicar uma integral de volume para cálculo da carga total acumulada conforme será demonstrado a seguir Método 1 Emprego da lei de Gauss na forma integral A forma integral da lei de Gauss já foi descrita pela equação 437 Como a superfície de integração dada é um cilindro a integral de superfície fechada em 437 será S D dS 1 Dz 0dS1 2 Dz 5dS2 3 Dρ 2dS3 489 sendo as integrais 1 a 3 referentes às superfícies de base de topo e lateral do cilindro respecti vamente Na base do cilindro dS1 ˆzρdρdφ Assim a integral 1 equivalerá a 1 Dz 0dS1 ˆ 2 0 ˆ 2π 0 ρcosφ0 ˆρˆzρdρdφ 490 Sendo ˆρˆz 0 então 1 Dz 0dS1 0 491 No topo do cilindro dS2 ˆzρdρdφ Assim a integral 2 equivalerá a 2 Dz 5dS2 ˆ 2 0 ˆ 2π 0 ρcosφ5 ˆρ ˆzρdρdφ 492 Sendo ˆρ ˆz 0 então 2 Dz 0dS2 0 493 Na superfície lateral do cilindro dS3 ˆρρdφdz Assim a integral 3 equivalerá a 3 Dρ 2dS3 ˆ 2π 0 ˆ 5 0 2cosφz ˆρ ˆρ2dφdz 494 Sendo ˆρ ˆρ 1 então 3 Dρ 2dS3 2 ˆ 2π 0 ˆ 5 0 2cosφzdφdz 495 Prof Marcos V T Heckler 43 Equações de Maxwell para campos em regime permanente senoidal 93 ou 3 Dρ 2dS3 4 ˆ 2π 0 ˆ 5 0 cosφdφdz 2 ˆ 2π 0 ˆ 5 0 zdφdz 496 Realizando o cálculo da integral resulta que 3 Dρ 2dS3 050π 497 ou 3 Dρ 2dS3 50π 498 Portanto Qe S D dS 0050π 499 ou Qe 50π C 4100 Método 2 Emprego da lei de Gauss na forma diferencial A forma diferencial da lei de Gauss é dada pela equação 433 Para a determinação da densidade volumétrica de carga elétrica ρe no interior do cilindro devese calcular o divergente de D Do enunciado verificase que Dφ 0 e Dz 0 Assim o divergente de D é dado por D 1 ρ ρDρ ρ 4101 Sendo Dρ ρφz ρcosφz então ρe 1 ρ ρ ρρcosφz 4102 Executando o cálculo das derivadas resulta que ρe 1 ρ 2ρcosφz 4103 ou ρe ρφz 2cosφ z ρ Cm3 4104 A carga total acumulada no interior do cilindro pode ser determinada a partir de Qe v ρedv 4105 Prof Marcos V T Heckler Sabendose que dν ρdρdφdz em coordenadas cilíndricas e introduzido 4104 em 4105 resulta Qe v 2 cos φ zρ ρdρdφdz ou Qe 05 02π 02 2ρ cos φ zdρdφdz Resolvendose a integral chegase a Qe 50π C 44 Conservação de potência do ponto de vista eletromagnético Para a demonstração do princípio da conservação de potência para o caso do Eletromagnetismo considerarseá o volume genérico v envolto por uma superfície fechada S composto de material homogêneo com parâmetros constitutivos ε μ e σ com a convenção mostrada na Figura 43 em que Ji e Mi são densidades de corrente elétrica e magnética impostas pelas fontes de potência elétrica e magnética respectivamente existentes no interior de v A existência de tais fontes causam o aparecimento de campos elétrico E e magnético H Além dessas grandezas uma vez que em geral 0 σ então pode haver aparecimento de uma densidade de corrente elétrica Jc σE induzida no meio Assim a densidade de corrente elétrica total resultante equivalerá a J Ji Jc com Jc σE que representa a equação de conservação de potência do ponto de vista da teoria eletromagnética em sua forma diferencial Esta equação é também conhecida por representar o teorema de Poynting que recebeu este nome em homenagem ao seu criador o cientista britânico John Henry Poynting A equação 4120 também pode ser representada em sua versão integral Essa representação pode ser obtida tomandose a integral de volume de 4120 resultando em v E H HMi EJi EJc HMi EJc dv 0 45 Condições de contorno na interface entre dois meios 97 ou no caso de energia armazenada no campo elétrico Finalmente a parcela da potência fornecida que não foi dissipada ou convertida em variação da energia armazenada deverá deixar o volume v atravessando a superfície fechada S Esta parcela pode ser portanto quantificada por Pe S E H dS 4127 Portanto a conservação de potência é obtida através da substituição dos termos em 4122 por seus equivalentes resultando em Pe Pi Pd t We Wc 0 4128 Por fim cabe destacar que o termo J E H 4129 medido em Wm2 modela a densidade de potência instantânea da onda eletromagnética que deixa o volume v atravessando a superfície fechada S Em homenagem a seu descobridor o campo vetorial J também é comumente denominado vetor de Poynting instantâneo 45 Condições de contorno na interface entre dois meios Como visto anteriormente a densidade de fluxo elétrico depende do meio em que se aplica o campo elétrico Assim quando o meio for não homogêneo devemse estabelecer condições de transição adequadas Serão estudados os dois casos mais típicos e em seguida serão apresentadas as condições de contorno generalizadas 451 Interface entre dois meios dielétricos Esta situação é apresentada na Fig 44 De acordo com o sistema de coordenadas indicado ficará convencionado que o vetor normal à interface estará apontado para o interior do meio 2 Portanto no presente caso n z Além disso será considerado que não haja correntes elétricas ou magnéticas em nenhum dos meios nem mesmo na interface ou seja J 0 e M 0 Também considerase a ausência de cargas livres em ambos os dielétricos e na interface de forma que ρe 0 e ρm 0 Adotandose um caminho fechado L0 que engloba uma área S0 com dimensões Δy e Δz conforme ilustrado na Fig 45 Para estabelecer as condições de contorno na interface fazse Δz 0 Aplicandose a lei de Faraday descrita em 435 com M 0 resulta que L0 E dl E1 yΔy E2 yΔy 4130 Prof Marcos V T Heckler 98 Equações de Maxwell para Campos em Regime Permanente Sinoidal Figura 44 Meio não homogêneo composto de dois dieletricos Figura 45 Aplicação da lei de Faraday na interface entre dois meios dielétricos e S0 B dS 0 4131 de forma que E1 yΔy E2 yΔy 0 4132 Efetuando os produtos escalares na equação acima resulta Ey1 Ey2 0 4133 Raciocínio semelhante pode ser adotado para o plano xz e a conclusão será que Ex1 Ex2 0 4134 Portanto verificase que as componentes de campo elétrico tangenciais à interface devem ser contínuas Os resultados mostrados em 4133 e 4134 podem ser obtidos com uma única expressão se utilizarmos da propriedade do rotacional Matematicamente temse que n E1 E2 0 4135 Aplicandose a lei de Amperè descrita em 436 com I 0 resulta que L0 H dl H1 yΔy H2 yΔy 4136 Prof Marcos V T Heckler 99 45 Condições de contorno na interface entre dois meios Figure 46 Aplicação da lei de Gauss na interface entre dois meios dielétricos vista lateral e S0 D dS 0 4137 de forma que H1 yΔy H2 yΔy 0 4138 Efetuando os produtos escalares na equação acima resulta Hy1 Hy2 0 4139 Fazendose o mesmo procedimento matemático para o plano xz obtémse Hx1 Hx2 0 4140 De maneira análoga ao caso para o campo elétrico os resultados das equações 4139 e 4140 podem ser obtidos com uma única expressão dada por n H1 H2 0 4141 Pelas expressões acima verificase que na interface entre dois dielétricos devese assegurar a continuidade das componentes de campo elétrico e magnético que forem tangenciais à interface entre os meios Tomandose agora um volume v0 englobado por uma superfície fechada S0 com área de base A0 e altura Δz que está colocado na interface como mostrado esquematicamente na Fig 46 em vista lateral Fazendose Δz 0 e aplicando a lei de Gauss na forma integral ao longo da superfície fechada e com Qe 0 resulta que D z zA0 D1 zA0 0 4142 Efetuando os produtos escalares na equação acima resulta D z2 D z1 0 4143 Prof Marcos V T Heckler Equações de Maxwell para Campos em Regime Permanente Sinusoidal 45 Condições de contorno na interface entre dois meios 452 Interface entre dielétrico e condutor perfeito 45 Condições de contorno na interface entre dois meios 103 e S0 J dS JS ˆxy 4149 onde JS é uma densidade superficial de corrente elétrica que se estabelece na interface entre os materiais Esta grandeza é medida em ampères por metro Am Substituindo os resultados anteriores na lei de Ampère resulta que H2 ˆyy JS ˆxy 4150 Efetuando os produtos escalares na equação acima resulta Hy2 JSx 4151 Fazendose o mesmo procedimento matemático para o plano xz obtémse Hx2 JSy 4152 Os resultados das equações 4151 e 4152 podem ser obtidos com uma única expressão dada por ˆn H2 JS 4153 Tomandose um volume v0 englobado por uma superfície fechada S0 com área de base A0 e altura z que está colocado na interface Fazendose z 0 e aplicando a lei de Gauss na forma integral ao longo da superfície fechada resulta que D2 ˆzA0 Q 4154 sendo Q a carga elétrica líquida englobada pela superfície S0 Efetuando o produto escalar presente na equação acima resulta que Dz2A0 Q 4155 ou Dz2 Q A0 4156 Definindo ρeS Q A0 4157 como sendo a densidade superficial de cargas elétricas temse que Dz2 ρeS 4158 Portanto concluise que as componentes tangenciais de campo elétrico devem ser nulas na interface de um dielétrico com um condutor perfeito podendo no entanto existir densidade de fluxo elétrico e consequentemente campo elétrico normal à interface Além disso o campo magnético induz uma densidade superficial de corrente elétrica que existirá somente na interface entre os dois meios Prof Marcos V T Heckler 104 Equações de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal 453 Interface entre dois meios dieléctricos com cargas e correntes na interface caso geral A Fig 48 apresenta o caso geral em que existe uma interface entre dois meios podendo haver cargas acumuladas na interface Adoptandose a metodologia usada nas subseções anteriores resultam as seguintes expressões nE2E1MS 4159 nH2H1JS 4160 nD2D1ρes 4161 nB2B1ρms 4162 onde MS corresponde a uma densidade superficial de corrente magnética e ρms é uma densidade superficial de cargas magnéticas existente na interface entre os meios 1 e 2 Prof Marcos V T Heckler