Fundamentos de Álgebra Vetorial: Introdução ao Eletromagnetismo na Engenharia

Capítulo 1 Fundamentos de Álgebra Vetorial 11 Introdução Uma possível definição para o termo Engenharia é a aplicação da Física para resolução de problemas práticos em benefício da Sociedade Como exemplos podemos citar a aplicação da Mecânica Clássica e da Termodinâmica na Engenharia Mecânica e a aplicação da Estática na Engenharia Civil Em particular a Engenharia Elétrica e suas áreas correlatas Engenharia de Telecomunicações e Engenharia Eletrônica estão embasadas nos princípios da área da Fí sica conhecida como Eletromagnetismo Tal ciência estuda o comportamento a interação e a influência de grandezas elétricas em meios materiais A relevância do Eletromagnetismo pode ser observada em diferentes áreas do conhecimento Algumas das aplicações mais populares são Engenharia Elétrica estudo de máquinas elétricas e transformadores Engenharia de Telecomunicações circuitos transmissores e receptores em microondas e sistemas de comunicação sem fio ou por fibra óptica Medicina radioterapia e ressonância magnética Outras aplicações civis e militares radares radares de abertura sintética para imagea mento de áreas geográficas e sistema de posicionamento global GPS O Eletromagnetismo foi desenvolvido através de descobertas realizadas por vários cientistas Charles Augustin de Coulomb foi um dos precursores e estudou a interação atraçãorepulsão entre cargas elétricas puntuais Em seguida vieram Alessandro Volta AndréMarie Ampère Carl Friederich Gauss Michael Faraday entre outros Nesse período a Eletricidade e o Mag netismo eram tratados separadamente até que o físico inglês James Clerk Maxwell unificou estas duas ciências ao que hoje conhecemos como Eletromagnetismo Por isso em homenagem a ele esta área é governada por quatro equações conhecidas como equações de Maxwell que são descritas na sua forma diferencial por 1 Prof Marcos V T Heckler 2 Fundamentos de Álgebra Vetorial E M t B 11 H J t D 12 D ρe 13 B ρm 14 Os termos constantes destas equações serão abordados nos próximos capítulos No momento basta analisarmos a forma e os operadores matemáticos envolvidos rotacionais e divergen tes Tais operadores têm diferentes representações matemáticas de acordo com o sistema de coordenadas que deve ser escolhido de acordo com a geometria do problema em questão Na próxima seção serão abordados os sistemas de coordenadas clássicos Na sequência apresentase uma revisão de álgebra vetorial Finalmente os operadores vetoriais serão apre sentados para os três sistemas de coordenadas mais comumente empregados no Eletromagne tismo 12 Sistemas de Coordenadas Clássicos De acordo com 2 existem onze sistemas de coordenadas clássicos para solução de problemas associados à teoria de campos Os três sistemas mais comumente empregados são o retangular ou cartesiano o cilíndrico e o esférico O primeiro tem sua nomenclatura justificada porque a representação de pontos ou vetores no espaço relembra um paralelepípedo O cilíndrico tem suas coordenadas representadas por uma estrutura cilíndrica Finalmente o sistema esférico relembra uma geometria esférica Cada sistema será descrito por uma base ortonormal com três versores que são representados com orientações seguindo a mão direita Assim existe somente uma orientação relativa aceita para os versores conforme será apresentado nas próximas subseções 121 Sistema de coordenadas cartesianas O sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares é definido pelos versores ˆx ˆy e ˆz conforme a Fig 11 Nesse sistema um ponto A é definido pelas coordenadas x y e z e é descrito como P xyz As coordenadas podem assumir qualquer valor real ou seja x y z Prof Marcos V T Heckler 12 Sistemas de Coordenadas Clássicos 3 x y z P xyz ˆx ˆy ˆz Figura 11 Base ortonormal e representação de um ponto no sistema de coordenadas cartesia nas x Axˆx y Ayˆy z Azˆz ˆx ˆy ˆz A Figura 12 Representação de um vetor em coordenadas cartesianas Um vetor A é definido como sendo A AxˆxAyˆy Azˆz 15 onde as grandezas Ax Ay e Az representam as componentes do vetor A ao longo das direções ˆx ˆy e ˆz respectivamente conforme ilustrado na Fig 12 As orientações relativas dos versores devem ser tais que seguem a regra da mão direita estando ˆx orientado com o polegar ˆy ao longo do indicador e ˆz alinhado ao dedo médio Uma vez que a geometria básica desse sistema de coordenadas é o retângulo indicase este sistema para geometrias com retângulos e paralelepípedos Uma característica da base cartesiana é que os versores mantêm a mesma orientação independentemente do ponto de observação Prof Marcos V T Heckler 4 Fundamentos de Álgebra Vetorial x y z Aρφz φ ρ ˆρ ˆφ ˆz Figura 13 Representação de um ponto no sistema de coordenadas cilíndricas 122 Sistema de coordenadas cilíndricas O sistema de coordenadas cilíndricas é definido pelos versores ˆρ ˆφ e ˆz conforme a Fig 13 O versor ˆρ aponta sempre na direção radial em relação à origem e sempre será paralelo ao plano z 0 ou plano xy O versor ˆφ apontará sempre normalmente ao plano formado pelos versores ˆρ e ˆz com orientação partindo do eixo x e estando também paralelo ao plano xy Assim sendo as orientações dos versores ˆρ e ˆφ não são independentes enquanto que ˆz sempre aponta na mesma direção normal ao plano xy Nesse sistema um ponto P é definido pelas coordenadas ρ φ e z e é descrito como P ρφz As linhas tracejadas na Fig 13 mostram que a localização do ponto P é dada a partir de uma seção de cilindro de raio ρ e com ângulo φ medido a partir do eixo x φ 0 no plano z 0 A coordenada z é a mesma do sistema cartesiano As coordenadas cilíndricas podem assumir os valores conforme abaixo 0 ρ 0 φ 2π z Um vetor A é definido como sendo A AρˆρAφ ˆφAzˆz 16 onde as grandezas Aρ Aφ e Az representam as componentes do vetor A ao longo das direções ˆρ ˆφ e ˆz respectivamente Uma vez que a geometria básica desse sistema de coordenadas é o cilindro indicase este sistema para geometrias com círculos e cilindros Prof Marcos V T Heckler 12 Sistemas de Coordenadas Classicos 5 z NX oA y 4 ON ly ls a 2 Figura 14 Conversao entre os sistemas de coordenadas cartesianas e cilindricas Conversao de coordenadas cartesianas para cilindricas A conversao de coordenadas cartesianas para cilindricas pode ser realizada observandose a Fig 14 Uma andalise da geometria mostra que os segmentos representando as coordenadas x ye p formam um tridngulo retangulo com angulo entre o eixo x e 0 segmento correspondente a coordenada p Assim empregandose trigonometria e o teorema de Pitaégoras obtémse as seguintes relagdes para conversao de coordenadas cartesianas para cilindricas px2y 17 y arctan 2 18 x A coordenada z é a mesma nos dois sistemas de coordenadas e portanto nao precisa ser convertida Para conversao de vetores a andlise deve ser feita no plano ry A estratégia é realizar a projecao dos versores do sistema cilindrico sobre cada versor do sistema cartesiano A Fig 15 mostra a relagaéo dos versores fp 6 e A projecao de f sobre resulta no vetor vermelho enquanto que a projecao de sobre resulta no vetor azul Realizando a soma das projecées resulta que pcos gsing 19 O versor pode ser descrito em fungao de pe a partir da geometria mostrada na Fig 16 A projecao de f sobre g resulta no vetor vermelho enquanto que a projecao de sobre g resulta no vetor azul Realizando a soma das projecoes resulta que 9 psing écos 110 Prof Marcos V T Heckler 6 Fundamentos de Algebra Vetorial y P oi A a a x Figura 15 Projecao dos versores f e sobre y y A a x Figura 16 Projecao dos versores e b sobre 4 Um vetor descrito em coordenadas cartesianas pode ser reescrito em coordenadas cilindricas introduzindose 19 e 110 em 15 Fazendose isso resulta que AA pcos osind Ay Asind Gos AZ Reagrupando em termos de b e 2 resulta A A cos Aysin p Asing Ay cos b Az2 111 ee SS ee Ap Ag Assim Ap Ar cos Aysing 112 Ag Azsing A cos 113 Conversao de coordenadas cilindricas para cartesianas De maneira semelhante ao caso anterior podemse obter as relagdes para conversdéo de coor denadas cilindricas para cartesianas aplicandose geometria de triangulos retangulos Desta forma observandose a Fig 14 obtémse x pcos 114 Prof Marcos V T Heckler 12 Sistemas de Coordenadas Classicos 7 Yy aA Ir np os A x a x Figura 17 Projegéo dos versores e sobre y psing 115 Para converséo de vetores devese realizar a projecao dos versores do sistema cartesiano sobre cada versor do sistema cilindrico A Fig 17 mostra a relagao dos versores p e j A projegao de sobre f resulta no vetor vermelho enquanto que a projecao de sobre resulta no vetor azul Realizando a soma das projecoes resulta que pcosd Hsing 116 O versor db pode ser descrito em fungao de e a partir da geometria mostrada na Fig 18 A projecao de sobre resulta no vetor vermelho enquanto que a projecao de sobre resulta no vetor azul Realizando a soma das projecoes resulta que b sind cos 117 Um vetor descrito em coordenadas cilindricas pode ser reescrito em coordenadas cartesianas introduzindose 116 e 117 em 16 Fazendose isso resulta que A Acosgsin Ag sing Jos Az2 Reagrupando em termos de 7 e 2 resulta A Ap cos Ag sing E 4 sing Ag cos G AZZ 118 hh Ar Ay Assim A Apcos Agsing 119 Ay Apsind Ag cos 120 A componente A é a mesma nos dois sistemas de coordenadas e portanto nao precisa ser transformada Prof Marcos V T Heckler 8 Fundamentos de Álgebra Vetorial x y A φ φ ˆx ˆy ˆx ˆφ Figura 18 Projeção dos versores ˆx e ˆy sobre ˆφ 123 Sistema de coordenadas esféricas O sistema de coordenadas esféricas é definido pelos versores ˆr ˆθ e ˆφ conforme a Fig 19 O versor ˆr aponta sempre na direção radial em relação à origem O versor ˆθ apontará sempre com orientação angular partindo do eixo z A coordenada φ é a mesma do sistema de coordenadas cilíndricas No sistema esférico as orientações de todos os versores não são independentes portanto suas orientações dependerão da localização do ponto P rθφ no espaço As linhas tracejadas na Fig 13 mostram que a localização de um ponto P é dada a partir de uma seção de esfera com raio r e os ângulos θ e φ As coordenadas podem assumir os valores conforme abaixo 0 r 0 θ π 0 φ 2π Um erro comum é associar valores a θ maiores que π ou 180 para representar pontos na parte negativa das coordenadas x e y Entretanto os limites de validade da coordenada θ sempre devem ser observados Um vetor A é definido como sendo A Arˆr Aθˆθ Aφ ˆφ 121 onde as grandezas Ar Aθ e Aφ representam as componentes do vetor A ao longo das direções ˆr ˆθ e ˆφ respectivamente Uma vez que a geometria básica desse sistema de coordenadas é a esfera indicase a aplicação deste sistema para geometrias com círculos e esferas Conversão de coordenadas esféricas para cilíndricas As relações para conversão de coordenadas esféricas para cilíndricas podem ser obtidas aplicandose geometria de triângulos retângulos Desta forma observandose a Fig 19 obtêm Prof Marcos V T Heckler 12 Sistemas de Coordenadas Classicos 9 z a é Ar00 SG TF y p x Figura 19 Representagao de um ponto no sistema de coordenadas cilindricas se prsind 122 zrcosé 123 Para conversao de vetores a andlise fica facilitada se for realizada em um plano constante A estratégia é realizar a projecao dos versores do sistema cilindrico sobre cada versor do sistema esférico A Fig 110 mostra a relagdéo dos versores 7 e 2 A projecdo de p sobre f resulta no vetor vermelho enquanto que a projecao de 2 sobre f resulta no vetor azul Realizando a soma das projecoes resulta que fr psiné Zcosé 124 O versor 6 pode ser descrito em fungao de f e Z a partir da geometria mostrada na Fig 111 A projecao de f sobre resulta no vetor vermelho enquanto que a projecao de 2Z sobre 6 resulta no vetor azul Realizando a soma das projecoes resulta que 6 pcosé sin 8 125 Um vetor descrito em coordenadas esféricas pode ser reescrito em coordenadas cilindricas introduzindose 124 e 125 em 121 Fazendose isso resulta que A A psin 2cos0 Ag Acos 2sin Agd Reagrupando em termos de b e 2 resulta A Asin Agcos8 p Agd A cos Agsin 2 126 SS eS SS Ap Az Assim A A sin Ag cos é 127 Prof Marcos V T Heckler 10 Fundamentos de Algebra Vetorial Zz Zr wn vA QF p Figura 110 Projegao dos versores p e 2 sobre f em um plano constante Zz z ne 0 ao 3 7 0 p Figura 111 Projegao dos versores p e 2 sobre 6 em um plano constante A Acosé Agsind 128 A componente Ay comum aos dois sistemas de coordenadas e portanto nao precisa ser transformada Conversao de coordenadas cilindricas para esféricas As relagdes para conversao de coordenadas cilindricas para esféricas podem ser obtidas aplicandose geometria de triangulos retangulos Desta forma observandose a Fig 19 obtém se r p2 129 6 arctan 2 130 Zz Para conversao de vetores considerase novamente um plano constante A estratégia é realizar a projecao dos versores do sistema esférico sobre cada versor do sistema cilindrico A Fig 112 mostra a relagao dos versores f 9 e p A projecao de f sobre f resulta no vetor vermelho enquanto que a projecao de sobre resulta no vetor azul Realizando a soma das projecdes resulta que pFsind 6cosd 131 Prof Marcos V T Heckler 12 Sistemas de Coordenadas Classicos 11 z ft ei 60 6 p Figura 112 Projecao dos versores f e sobre p em um plano constante z z A A Y Ff Orx A 60 Q p Figura 113 Projecéo dos versores 7 e 6 sobre em um plano constante O versor 2 pode ser descrito em fungao de 7 e ba partir da geometria mostrada na Fig 113 A projecao de f sobre 2 resulta no vetor vermelho enquanto que a projecao de sobre 2 resulta no vetor azul Realizando a soma das projecoes resulta que 2 FcosdOsind 132 Um vetor descrito em coordenadas esféricas pode ser reescrito em coordenadas cilindricas introduzindose 131 e 132 em 16 Fazendose isso resulta que A Ap Fsind 0cos0 AgdAz Fcosd Osind Reagrupando em termos de 7 be d resulta A Asin A cosf Acosé Asin8 6 Ago 133 en ee S A Ag Assim A Apsiné A cosé 134 Ag Acos Asin 135 Prof Marcos V T Heckler 12 Fundamentos de Algebra Vetorial Conversao de coordenadas esféricas para cartesianas A conversao do sistema esférico para o cartesiano pode ser facilitada se empregarmos o sistema cilindrico como intermedidrio Assim a partir de 114 e 122 resulta que x pcosdrsincos 136 Introduzindo 122 em 115 resulta que y psingrsinésin 137 A obtengao da coordenada z ja foi definida em 123 Para conversao de vetores podese partir da equacao 126 substituindose f e pelas expressoes 116 e 117 respectivamente Isso resulta em A A sin Agcos cos sing Ag Fsing cos A cosé Agsin 2 138 Reagrupando em termos de 7 e 2 resulta A Ar sin 6 cos Ag cosOcos Agsin E A sinOsing Ag cosOsing Agcos g Ax Ay Acos Agsin 2 139 eS Az Assim A Asin cos Ag cos cos Agsind 140 A A sinsin Ag cossin Ag cos 141 A Acos6é Agsin6é 142 Conversao de coordenadas cartesianas para esféricas A conversao do sistema cartesiano para o esférico também pode ser obtida empregandose o sistema cilindrico como intermedidrio Utilizando 17 para o valor de p em 129 resulta pa Pa pre 143 Introduzindo 17 em 130 resulta 2 2 6 arctan ee 144 z Prof Marcos V T Heckler 12 Sistemas de Coordenadas Classicos 13 A expressao para a coordenada jd foi apresentada na equagao 18 Para conversao de vetores podese partir da equacgao 111 substituindose f e 2 pelas expressoes 131 e 132 respectivamente Isso resulta em A A cos A sind Fsind 0cos0 Azsing Ay cos bAz Feosd sind 145 Reagrupando em termos de 7 6 e resulta A A cos siné Aysingsin A cos Az cos cos Aysin dcosé A sin0 6 SS Ar Ag Asing A cos 146 ee SS Ag Assim A A cososin Ay sin dsiné A cos 147 Ag A cos cosé Aysincosé A sind 148 Ag Asing A cos 149 124 Exemplos Exemplo 1 Realizar a transformacao dos seguintes pontos dados em coordenadas cartesianas para coor denadas cilindricas e esféricas a P345 b Q453 c R8612 Resolugao a1 Transformacao para coordenadas cilindricas p 22 y2 p 3 4 p 4 o arctan arctan 5 x 3 5313 Prof Marcos V T Heckler 14 Fundamentos de Algebra Vetorial Portanto em coordenadas cilindricas P553135 a2 Transformagao para coordenadas esféricas r V2 y22 5r324425 r 707 Vr y V32 4 arctan ee arctan oS z 6 45 Portanto em coordenadas esféricas P707455313 b1 Transformagao para coordenadas cilindricas pr2y p 4 5 p 640 5 o arctan arctan x 4 arctan 125 Colocandose este valor na calculadora obtémse normalmente 5134 Entretanto este valor esta fora da faixa de valores permitida para Para auxiliar na determinagao de pode se realizar a projecao de Q no plano xy conforme mostra a Figura 114 onde fica claro que o valor de deve estar no intervalo 90180 Dada a natureza periddica da fungao tangente devese verificar qual 4ngulo neste intervalo que equivale a arctan125 Uma vez que a funcao tangente tem periodo de 180 o préximo valor pode ser obtido por 5134 180 12866 Portanto em coordenadas cilindricas Q640128663 b2 Transformagao para coordenadas esféricas ryarty2 ors y4 5 3 Prof Marcos V T Heckler 12 Sistemas de Coordenadas Classicos 15 y Projecao de Q 45 Pte Figura 114 Determinacao do valor verdadeiro para r 707 72 y2 42 52 arctan po arctan por z arctan 213 Novamente neste caso a calculadora nos fornece 6 6490 que esta fora dos limites permi tidos Desta forma dada a periodicidade da funcao tangente ser de 180 o valor correto para dé 6 6490 180 11510 Portanto em coordenadas esféricas Q7071151012866 c1 Transformagao para coordenadas cilindricas pary p 8 6 p 10 6 o arctan arctan x 8 arctan 075 Colocandose este valor na calculadora obtémse 3687 Entretanto como ambos os valores de x e y sao negativos o valor de deve ser correspondente ao 32 quadrante do plano xy ou Prof Marcos V T Heckler 16 Fundamentos de Algebra Vetorial seja 180 270 Uma vez que a funcao tangente tem periodo de 180 o proximo valor pode ser obtido por 3687 180 21687 Portanto em coordenadas cilindricas R10402168712 c2 Transformagao para coordenadas esféricas r a2y22 sr 826 12 r 1562 y2 y2 82 62 arctan yore arctan ys 6 z 12 arctan 083 6 3981 Portanto em coordenadas esféricas R1562398121687 Exemplo 2 Obter o vetor Axy2 5y 4ayG 222 em coordenadas cilindricas no ponto P51809 Resolugao A coordenada 180 do ponto P indica que y 0 Portanto podese representar 0 ponto no plano xz conforme mostrado na Figura 115 Com o grafico podese verificar que x 5 Assim A509 50450g 592 A509 452 Portanto A 509 0 Ay 509 0 A 509 45 A transformacao de A para coordenadas cilindricas é realizada por Ap Ar cos Aysind Prof Marcos V T Heckler 13 Álgebra Vetorial 17 x z 9 5 P ρ Figura 115 Representação do ponto P no plano xz Aρ 51809 0cos180 0sin180 Aρ 51809 0 Aφ Ax sinφAy cosφ Aφ 51809 0sin180 0cos180 Aφ 51809 0 Portanto em coordenadas cilíndricas A51809 45ˆz no ponto P51809 13 Álgebra Vetorial De um modo geral as grandezas físicas podem ser classificadas como Escalar é uma grandeza que é caracterizada somente por uma amplitude como carga elétrica potencial elétrico e corrente elétrica Vetor é uma grandeza que é caracterizada por uma amplitude e uma orientação como força velocidade e aceleração Campo é uma grandeza descrita em uma determinada região do espaço podendo ser campos escalares como potencial elétrico em uma região ou campos vetoriais como os campos elétrico e magnético Nas seções seguintes serão desenvolvidas as principais operações algébricas com vetores Prof Marcos V T Heckler 18 Fundamentos de Algebra Vetorial eee GE A Figura 116 Soma de vetores empregando a regra do paralelogramo a A A Figura 117 Subtracao de vetores empregando a regra do paralelogramo 131 Adicao e subtragao de vetores A soma de vetores pode ser realizada graficamente empregandose a regra do paralelogramo representada na Fig 116 A técnica consiste em tragar linhas paralelas aos vetores a serem somados vetores A e B O vetor resultante é tragado do ponto inicial dos vetores A e B ao ponto de encontro das linhas paralelas a esses vetores gerando o vetor resultante C A subtragaéo de vetores também pode ser realizada com a regra do paralelogramo Tal procedimento é mostrado na Figura 117 A subtragao DBA pode ser reescrita por DBA Assim graficamente devese obter o vetor A como vetor de mesmo comprimento e sentido exatamente oposto ao A Matematicamente a adicaéo de vetores é dada pela adicéo das componentes que apontam para a mesma direcao Sejam AApAyA22 e Prof Marcos V T Heckler 13 Algebra Vetorial 19 entao C AB AAgj A2Bt Byij B2 AByAy By Az Bz 2 150 v Cr Cy C De maneira similar a subtragéo pode ser operada matematicamente como D BA B Byj B2Ari Ayj Az2 eéVJS oS eé Dx Dy Dz A adicao e a subtracao de vetores satisfazem as seguintes propriedades Propriedade Comutativa ABBA 152 Propriedade Associativa ABC AB6 153 132 Produto entre vetores Vetores podem ser multiplicados por constantes ou por outros vetores A multiplicagao de um vetor A por uma constante k é realizada multiplicandose cada componente do vetor pela constante Matematicamente dado um vetor A A AyGAz2 entao A multiplicagéo de vetores com constantes obedecem a propriedade distributiva Propriedade Distributiva k AB kAkB 155 Prof Marcos V T Heckler 20 Fundamentos de Algebra Vetorial A diviséo de um vetor por uma constante pode ser convenientemente utilizada para norma lizacgdéo de um dado vetor isto 6 dado um vetor A podese obter um vetor d com intensidade unitdria e orientacao idéntica a A A normalizacao é6 matematicamente dada por A sendo A VlAol Ayl Ae 157 A multiplicagéo de vetores pode ser dada de duas formas Denominase produto escalar quando o resultado da multiplicacao for uma grandeza escalar Matematicamente esta operacao é executada por AB AB cosaap 158 onde ap 0 menor angulo formado pelos vetores AcB ou AB ABAyByABz 159 A partir das expressoes acima concluise que se Ae B sao ortogonais entao a4p 90 e AB0 Adicionalmente se A for um vetor com componentes complexas e A A AyG A224 entao o conjugado deste vetor sera A Av Abt ATE Fazendose A A A Aj AyAy AzAz e empregando a seguinte propriedade dos numeros complexos ZZ Z obtémse 5 2 2 2 7 Ap Ay AyAy Az Az AZ Aj Az A ou 5 AAAl 160 O produto escalar satisfaz as seguintes propriedades Propriedade Comutativa oo ABBA 161 Prof Marcos V T Heckler 13 Algebra Vetorial 21 B an vo B ann vo Area A x B vo Area B x A vo en AB c ABA C AxB A BxA A a b Figura 118 Interpretacao grafica do produto vetorial a vetor resultante saindo da pagina b vetor resultante entrando na pagina Propriedade Distributiva ABCABAC 162 O outro tipo de produto é denominado produto vetorial cujo resultado é um vetor Geo metricamente o vetor resultante do produto A x B seré normal ao plano formado por A e B e sua intensidade equivalera a area do paralelogramo formado por Ae B Tal situacao esta representada na Figura 118 A orientacao do vetor resultante é dada pela regra da mao direita sendo que o polegar deve estar alinhado com o primeiro vetor e o indicador com o segundo Matematicamente o produto vetorial pode ser operado da seguinte maneira Ax BAABlsinoap 163 onde fi corresponde a um vetor unitario que aponta na diregao normal ao plano formado pelos vetores Ae B e agp equivale ao menor Angulo formado por esses vetores Outra forma de calcular o produto vetorial é através do calculo do seguinte determinante YY 2 B By B O produto vetorial obedece as seguintes propriedades Propriedade Anticomutativa Ax BBxA 165 Propriedade Distributiva Ax BC Ax BAxC 166 Prof Marcos V T Heckler 22 Fundamentos de Algebra Vetorial 133 Exemplos Exemplo 3 Dados os vetores A 5392 B 479102 C 659 calcular a D3AB os ja2 3 b EClBA c FCxB Resolugao a D3AB D 35839 2 4 79 102 D 15899 324879 102 D1549793102 D 19 169 132 os a2 3 b BCBA EC2CCBrAr ByAy BzAz E 67 57 074 45 73101 E10 Prof Marcos V T Heckler 14 Operadores Vetoriais 23 0 FGx B g Gg 2 F 6 5 O 4 7 10 F 50 422 202 609 F 50 609 222 14 Operadores Vetoriais A seguir estao descritos os principais operadores vetoriais utilizados no Eletromagnetismo 141 Gradiente O gradiente de um campo escalar V resulta em um campo vetorial que representa a magnitude e a orientacéo da maxima taxa de variacao espacial de V em cada ponto do espaco Graficamente o principio do gradiente é mostrado na Fig 119 onde a intensidade de um campo escalar U é denotada por tons de cinza acentuandose do perimetro para o centro do circulo O gradiente deste campo escalar resulta no campo vetorial mostrado pelas setas vermelhas na figura de forma a mostrar ponto a ponto a direcéo da maxima taxa de variacao de U O gradiente é calculado de maneiras diferentes em cada um dos sistemas de coordenadas conforme abaixo Coordenadas cartesianas OU OU OU VU i4jy2 167 Ox Oy yt Oz Coordenadas cilindricas OU 10U OU VU p 4 52 168 Coordenadas esféricas OU 10U 1 OU VU f 64 169 Or ve Oo sind 56 Prof Marcos V T Heckler 24 Fundamentos de Algebra Vetorial Figura 119 Gradiente de um campo escalar U 142 Divergente A divergéncia do campo vetorial A em um dado volume v envolto por uma superficie fechada S é equivalente ao fluxo liquido que deixa a superficie fechada S a medida que o volume se reduz a zero em torno de um ponto P O divergente de um campo vetorial A é ilustrado esquematicamente na Fig 120 Na Fig 120a o campo vetorial A apresenta mais linhas saindo do que entrando no ponto P resultando em um fluxo liquido positivo de linhas saindo do ponto e portanto um divergente positivo Por outro lado a Fig 120b mostra um ntimero maior de linhas entrando no ponto P tal situacaéo resulta em um fluxo liquido negativo de linhas que saem do ponto resultando em um divergente negativo Quando o nimero de linhas que entram em um dado ponto for igual ao nimero de linhas que saem temse fluxo liquido nulo e portanto o divergente de A sera zero O divergente possui as seguintes formas nos trés principais sistemas de coordenadas Coordenadas cartesianas OA A Az V A 444 170 Ox Oy Oz Coordenadas cilindricas l1dpA 10Ag OA vy A 1eAy LOA OA 171 p Op p 0b Oz Coordenadas esféricas v7 OrA 1 alsindy 1 Ap A 2 Or rsinOd 00 rsind 0d Prof Marcos V T Heckler 14 Operadores Vetoriais 25 A P a A P b A P c Figura 120 Divergência de campos vetoriais a Divergente positivo b Divergente negativo e c Divergente nulo A P a A P b A P c Figura 121 Rotacional de campos vetoriais a circulação no sentido antihorário rotacional aponta para fora da página b circulação no sentido horário rotacional aponta para dentro da página e c circulação inexistente rotacional nulo 143 Rotacional O rotacional do campo vetorial A resulta em um vetor cuja magnitude indica a máxima cir culação de A por unidade de área à medida que a área tende a zero A orientação do vetor resultante segue a regra da mão direita conforme ilustrado na Fig 121 No caso da Fig 121a o campo vetorial A gira no sentido antihorário A direção de apontamento do rotacional é ob tida pela direção do polegar quando os demais dedos da mão direita acompanharem o giro de A ou seja neste caso a resultante de A apontará para fora da página Na Fig 121b o rotacional apontará para dentro da página No caso da Fig 121c o rotacional será nulo uma vez que não há circulação do campo vetorial A Prof Marcos V T Heckler 26 Fundamentos de Algebra Vetorial Coordenadas cartesianas OA OA OA OA OA OA A 224 yj p Ya 173 vx at 9S we 3S Oy Coordenadas cilindricas 10A 04g 9A OAz 1 ApAs OA Ap FP g 174 vx Od 72 6F i al Op Od 174 Coordenadas esféricas 1 OAsinAg OA 1 1 0A OrA 1drAg OA Vx Af AsinAs OAg 6 1 0A ArAs OrAg OAr rsin Oo Oo r siné 0 Or r Or Oo 175 144 Laplaciano Laplaciano é um operador diferencial de segunda ordem E empregado para resolucao de varios problemas tal como a equagao de onda ou equagao de Helmholtz que descreve a propagacao de ondas eletromagnéticas Este operador existe em duas formas laplaciano escalar e laplaciano vetorial Nos trés principais sistemas de coordenadas o laplaciano escalar é descrito por Coordenadas cartesianas OV PV AV VV 34554 5 176 Ox Oy 02 176 Coordenadas cilindricas 10O0V 18V V 2 Ve ps a 177 v san ap eae toe 77 Coordenadas esféricas 10 dV 1 0 OV 1 OV 2 2 ee me 178 V r2 Or Or r2sin6 060 sn 00 t r2sin 0 0 178 O laplaciano vetorial por sua vez pode ser calculado por VAVVAVxVxA 179 em qualquer sistema de coordenadas Prof Marcos V T Heckler 14 Operadores Vetoriais 27 145 Exemplos Exemplo 4 Dados os campos vetoriais abaixo calcular o divergente e o rotacional a Ay zy 2 b B pcosdpsindd Resolugao a1 De acordo com a notagao do vetor A fica evidente que 0 mesmo encontrase descrito em coordenadas cartesianas O divergente de um campo vetorial pode ser calculado portanto por Az t4 S24 Vv Ox Oy Oz O O O A 2 V jn W By 20 5s VAz a2 Em coordenadas cartesianas o rotacional de um campo vetorial pode ser calculado por OA OA OA OA OA OAyz Rag C82 Cu gp CAe OAs CAy Oe vx alee Ox re Ox Oy d1 0 Ay a1 a Oy vx ta 2Dalew 2M acy avy atv Oy Oz Oz Ox Ox Oy Vx A0y900202y V x A ye2y Prof Marcos V T Heckler 28 Fundamentos de Algebra Vetorial b1 De acordo com a notacao do vetor B verificase que 0 mesmo encontrase descrito em coordenadas cilindricas O divergente de um campo vetorial pode ser calculado portanto por 10pB 10By OB VB 10pBp ove 77 p Op p 0b Oz Ff 12lepeosd 1Asing 0 p Op p Oo Oz 1 VB2p41cos p b2 Em coordenadas cilindricas o rotacional de um campo vetorial pode ser calculado por 10A OA OA OA 1pAe OA VxA aoe Oe o 2 ApAs Ay p Ob Oz Oz Op p Op Od ox B p 1210 Aesino 3 2peose 90 1 Aosind Apeose p Oo Oz Oz Op p Op Oo vx B me py e p 15 Integrais de linha superficie e volume Integrais de linha superficie e volume séo vastamente empregadas no Eletromagnetismo Por esta razao também justificase apresentar os conceitos a seguir 151 Integrais de linha A integral r Aad 180 L é definida como a integral da componente tangencial do campo vetorial A ao longo de um caminho de integracao L O vetor dl esta orientado tangencialmente pontoaponto ao caminho de integracao conforme ilustrado na Fig 122 Prof Marcos V T Heckler 15 Integrais de linha superfície e volume 29 B C A Caminho L dl α Figura 122 Integral de linha de um campo vetorial A ao longo do caminho L Para um dado sistema de coordenadas o vetor de comprimento infinitesimal irá depender do caminho L Para o sistema cartesiano incrementos infinitesimais ao longo de cada coordenada são dados por Ao longo de x dx Ao longo de y dy Ao longo de z dz Assim de maneira genérica o comprimento infinitesimal em coordenadas cartesianas é dado por dl dxˆxdyˆy dzˆz 181 Em coordenadas cilíndricas devese tomar um cuidado adicional uma vez que a coordenada φ não representa dimensão de comprimento por se tratar de um ângulo Assim ao longo dessa coordenada devese trabalhar com um arco infinitesimal que depende da coordenada radial ρ juntamente com φ Dessa forma os comprimentos infinitesimais ao longo de cada coordenada são Ao longo de ρ dρ Ao longo de φ ρdφ Ao longo de z dz Assim de maneira genérica o comprimento infinitesimal em coordenadas cilíndricas é dado por dl dρˆρρdφˆφdzˆz 182 Em coordenadas esféricas além da coordenada φ a coordenada θ também corresponde a uma variável angular O arco diferencial ao longo de θ é obtido diretamente multiplicandose este ângulo pela componente radial r Para obtenção do arco diferencial ao longo de φ deve se obter a projeção da componente radial sobre o plano xy Tais observações resultam nos seguintes comprimentos infinitesimais ao longo das coordenadas Prof Marcos V T Heckler 30 Fundamentos de Álgebra Vetorial Superfície S A dS α Figura 123 Integral de superfície de um campo vetorial A ao sobre uma superfície S Ao longo de r dr Ao longo de θ rdθ Ao longo de φ rsinθdφ Assim de maneira genérica o comprimento infinitesimal em coordenadas esféricas é dado por dl drˆr rdθˆθ rsinθdφˆφ 183 Quando o caminho L for fechado ou seja o ponto inicial equivale ao ponto final da inte gração então temse uma integral de linha fechada cuja notação é dada por I L Adl 184 152 Integrais de superfície A integral I S AdS 185 é definida como a integral da componente normal à superfície S do campo vetorial A sendo dS o vetor normal à superfície de integração S conforme mostrado na Fig 123 O vetor de área infinitesimal irá depender da superfície de integração As superfícies canô nicas no sistema de coordenadas retangulares estão representadas na Fig 124 Para cada caso as áreas infinitesimais estão indicadas nas figuras e foram obtidas multiplicandose os comprimentos infinitesimais ao longo das coordenadas envolvidas Empregando os incrementos infinitesimais ao longo de ρ φ e z podemse obter as áreas infinitesimais canônicas para o sistema de coordenadas cilíndricas que estão mostradas na Fig 125 Os incrementos infinitesimais ao longo de r θ e φ permitem obter as áreas infinitesimais canônicas para o sistema de coordenadas esféricas conforme mostrado na Fig 126 Prof Marcos V T Heckler 15 Integrais de linha superficie e volume 31 z z c dady WG dS dadzi a yy f A da dzi da dy y y x x a b z dy ZL dx dS dydz y x c Figura 124 Areas infinitesimais candnicas no sistema de coordenadas cartesianas Quando a superficie de integracgao S for fechada entao temse uma integral de superficie fechada cuja notacao é dada por I fp A d8 136 S Teorema de Stokes A integral do rotacional de um campo vetorial ao longo da superficie S representada na Figura 127 equivale a integral de linha fechada desse campo vetorial ao longo do percurso L correspondente ao contorno da superficie S Matematicamente o teorema de Stokes assegura que f Adl ff vx Aa8 187 L S Prof Marcos V T Heckler 32 Fundamentos de Álgebra Vetorial x y z dφ ρ dz ρdφ dS ρdφdzˆρ a x y z dφ ρ dρ ρdφ dS ρdρdφˆz b x y z φ dρ dz dS dρdz ˆφ c Figura 125 Áreas diferenciais em coordenadas cilíndricas 153 Integrais de volume A integral I v adv 188 é definida como a integral do campo escalar a no interior do volume v Empregrandose os comprimentos infinitesimais ao longo das três dimensões do sistema retangular obtémse dv dxdydz 189 Empregrandose os comprimentos infinitesimais ao longo das três dimensões do sistema cilíndrico obtémse dv ρdρdφdz 190 Prof Marcos V T Heckler 15 Integrais de linha superficie e volume 33 z z dS r sin ddbder oA Airdo 9 A005 dS rdrdog Ov aN vn dé 477 Shri ae 11 a rsin 6d y y 3 aor 3 en x x a b z rsin Odd dr A ON Ni di rsinddrded y 3 San x c Figura 126 Areas diferenciais em coordenadas esféricas Empregrandose os comprimentos infinitesimais ao longo das trés dimensoes do sistema esférico obtémse dv r sin Odrdéd 191 Teorema da divergéncia A integral do divergente de um campo vetorial no volume v representado na Figura 128 equivale a integral de superficie fechada desse campo vetorial ao longo da superficie S que envolve o volume v Matematicamente o teorema da divergéncia assegura que gp Aa5 fff vA du 192 S v Prof Marcos V T Heckler 34 Fundamentos de Algebra Vetorial ds Caminho fechado L Superficie S Figura 127 Representacao grafica para o Teorema de Stokes ds Superficie fechada S Volume v ds ds Figura 128 Representacao grafica para o Teorema da Divergéncia 154 Exemplos Exemplo 5 Dado 0 campo vetorial A psindp5cosd e o caminho de integragcao indicado na figura abaixo no plano z 0 calcular a integral p Adl L Em seguida verificar a resposta utilizando o teorema de Stokes Resolugao A integral de linha indicada acima corresponde 4a integral de linha fechada ao longo do caminho L Iniciando a integragao no ponto A temse an B 3 C an D an A an fp Aas Audi Adly Audly Adlq L A B Cc D No percurso entre os pontos A e B a tunica coordenada varidvel é p com 30 e z0 Neste percurso dlj dppf Assim B os 4 Adly psin df 5cos dé Adp A 2 Prof Marcos V T Heckler 15 Integrais de linha superficie e volume 35 y Superficie S C a Caminho L D B co 120 7 A SY 30 2 4 x Zz Figura 129 Caminho de integracéo para o Exemplo 5 B os 4 Adly psin dp pdp 5cosdo pdp A 2 Sendo pp1 aw p 0 entao Bo 4 Adl sino pdp A 2 Bo 4 0 4 Adl sin30 f pdp sin 30 F A 2 2 2 e B Adl 3 A No percurso entre os pontos B e C a nica coordenada varidvel com p4e z0 Neste percurso dlz pdé Assim Co 120 oe Adlg psin df 5cos 6pd B 30 Prof Marcos V T Heckler 36 Fundamentos de Algebra Vetorial Cl 120 A dls psin dp dpdo5cosod bpd B 30 Sendo pg0 e Q Q 1 entao Co 120 Adlz 5p cos d B 30 C A diy 54 sind35 B e C Adly 10V31 B No percurso entre os pontos C e D a tinica coordenada varidvel 6 p com 120 e z0 Neste percurso dl3 dppf Assim D oo 2 Adly psin f 5cosé Adp Cc 4 D os 2 Adl3 psin dp pdp 5cosdo pdp Cc 4 Sendo ppl e Q p 0 entao D 2 Adlysino pdp Cc 4 DD 2 0 2 Adl3 sin 120 pdp sin 120 q Cc 4 2 4 e D Adl3 3V3 C Prof Marcos V T Heckler 15 Integrais de linha superficie e volume 37 No percurso final entre os pontos D e A a tnica coordenada varidvel é com p2 e z0 Neste percurso dl4 pddd Assim A an 30 x n Adl4 psin f 5cosd6 dpd D 120 A 3 30 n a Adly psin op dpdé 5cosd dpdé D 120 Sendo pd0 aw aw Q 1 entao AL 30 Adl4 5p cos d D 120 A ae A dl 52 sind 3990 D e A Adly51V3 D A integral de linha fechada equivale a f Adl310v31 3V35v31 L fp Anal 93 2 1464 L Para validar a resposta anterior o teorema de Stokes pode ser empregado Assim fp Aal ff Vv x A d8 L S Em coordenadas cilindricas 0 rotacional do campo vetorial A equivale a 10A 0As 0A OA 12e46 OA Ap6222 UP 7 2 f VY 7 P vx a2 Od wt 4S Op er Op Od vx A 100 O5cos 44 Opsing 00 vel Op5cos Opsing pO Oz Oz Op p Op Oo Prof Marcos V T Heckler 38 Fundamentos de Algebra Vetorial Vx da 2 S25 p p A diferencial de superficie para o presente caso equivale a dS 2pdpd Assim 120 4 I vx 4 is joose 60 2 2pdpdd S 30 J2 P Sendo 221 entao 100 aa cos Leayas O 20 otoasy S 30 2 P oe 120 4 120 4 I vx 4 is Seoscdpdo pcos ddpde S 30 2 30 2 I Vv x A dS 232 1464 S que corresponde ao mesmo valor encontrado anteriormente com a integral de linha fechada Exemplo 6 Dado 0 campo vetorial Asind 4cosd0 e considerando o hemisfério superior com raio 5 e o plano xy formando uma superficie fechada calcular a integral fp AdS S Em seguida verificar a resposta utilizando o teorema da divergéncia Resolugao Conforme o enunciado a integral de superficie fechada pode ser calculada por fp Aad ff Aa5 ff 4asy Ss 1 2 Prof Marcos V T Heckler 15 Integrais de linha superficie e volume 39 No hemisfério superior a coordenada r 5 enquanto que variara no intervalo 090 e a coordenada no intervalo 0360 Desta forma para a superficie do hemisfério superior temse que dS fr sin dod e a integral de superficie é dada por s Qn pr 2 I AdS sin 0 4c0s60 Fr sin Oddde 1 0 0 s Qa pm 2 I Ad sinoF Fr sin 0d0dé 4cos00 fr sin odode 1 0 0 Sendo PF1 aw 0F0 entao s Qn pr2 I AdS sin Ord0d 1 0 0 s Qn pr 2 I AdS 5 sin 0d0d 1 0 0 Qn I Aed 1 2 No plano xy temse que 6 90 enquanto que r varia no intervalo 05 e no intervalo 0360 Nesta face a diferencial de superficie equivale a dSo Orsin Odrdd e a integral de superficie equivale a QT 5 x I A dS sin 6 4cos66 dr sin Bdrdg 2 0 0 QT 5 n no I AdSy sin OF OrsinOdrdé 4cos00 Or sin Odrd6 2 0 0 Sendo r00 aw aw 001 Prof Marcos V T Heckler 40 Fundamentos de Algebra Vetorial entao Ss 27 fd ae 4r sin cos Odrd 2 0 0 os 27 fd as 2 r sin 20drd 2 0 0 I AdS0 2 Assim 5 5 rr fp Ad 40 gS 2 2 fp Aag S 2 Para validar a resposta anterior o teorema da divergéncia pode ser empregado Assim fp Aa5 ff vA ae S v Em coordenadas esféricas 0 divergente do campo vetorial A equivale a og L2lrP4r 1 alsinép 1 Ag 2 Or rsin0 Oo rsin Od vAK 1 Or sind 4 1 Osin4cos6 4 1 00 re Or rsind Oo rsinO 0d Vv aE inn 4 460826 0 r rsind Vv aE 2sin0 4 400826 r rsind A integral de volume equivale a Qn pm2 pd 9 II VA4dv a oe r sin Odrd0do 0 Jo 0 r rsind Qn pr2 pd Qn pr2 pd II v 4 dv 2 rsin edrasas4 f rcos 26drdédé v 0 0 0 0 0 0 Prof Marcos V T Heckler 15 Integrais de linha superficie e volume 41 que apos resolucao equivale a 251 VAdv v 2 O resultado acima corresponde ao mesmo valor encontrado anteriormente com a integral de superficie fechada Prof Marcos V T Heckler