Prismas-Definicao-Elementos-e-Calculo-de-Volume

Prisma 134 Definição Consideremos um polígono convexo região poligonal convexa ABCD MN situado num plano α e um segmento de reta PQ cuja reta suporte intercepta o plano α Chamase prisma ou prisma convexo à reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ com uma extremidade nos pontos do polígono e situados num mesmo semiespaço dos determinados por α Prisma convexo limitado ou prisma convexo definido ou prisma convexo é a reunião da parte do prisma convexo ilimitado compreendida entre os planos de duas secções paralelas e distintas com essas secções Prisma ilimitado Prisma 135 Elementos O prisma possui 2 bases congruentes as secções citadas acima n faces laterais paralelogramos n 2 faces n arestas laterais 3n arestas 3n diedros 2n vértices e 2n triedros Prisma hexagonal 136 A altura de um prisma é a distância h entre os planos das bases Devemos observar que para o prisma é válida a relação de Euler V A F 2n 3n n 2 2 V A F 2 VII Volume de um sólido 151 Volume de um sólido ou medida do sólido é um número real positivo associado ao sólido de forma que 1º sólidos congruentes têm volumes iguais 2º se um sólido S é a reunião de dois sólidos S₁ e S₂ que não têm pontos interiores comuns então o volume de S é a soma dos volumes de S₁ com S₂ Os sólidos são medidos por uma unidade que em geral é um cubo Assim o volume desse cubo é l Se sua aresta medir 1 cm um centímetro seu volume será 1 cm³ um centímetro cúbico Se sua aresta medir 1 m seu volume será 1 m³ VIII Volume do paralelepípedo retângulo e do cubo V medida de a medida de b medida de c que será representada simplesmente por V a b c 154 Conclusões 1ª O volume de um paralelepípedo retângulo é o produto das medidas de suas três dimensões 2ª Tomando como base a face de dimensões a e b indicando por B a área dessa base B a b e a altura c por h podemos escrever V B h Isto é O volume de um paralelepípedo retângulo é igual ao produto da área da base pela medida da altura Aplicação 01 253 Calcule a área total e o volume dos paralelepípedos cujas medidas estão indicadas abaixo a cubo b paralelepípedo retângulo c cubo 254 Represente através de expressões algébricas a área total e o volume dos paralelepípedos cujas medidas estão indicadas abaixo a paralelepípedo retângulo b cubo c paralelepípedo retângulo 255 Calcule a medida da aresta de um cubo de 27 m³ de volume 256 Calcule a diagonal a área total e o volume de um paralelepípedo retângulo sabendo que as suas dimensões são 5 cm 7 cm e 9 cm Volume do prisma V B h 162 Conclusão O volume de um prisma é o produto da área da base pela medida da altura O ângulo entre a e h também é θ ângulos de lados respectivamente perpendiculares Donde sai h a cos θ Aplicação 02 302 Calcule a área lateral a área total e o volume dos prismas cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo a Prisma reto triangular b Prisma regular hexagonal c Prisma oblíquo base quadrada 303 Represente através de expressões algébricas a área lateral a área total e o volume dos prismas cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo a Prisma regular triangular b Prisma regular hexagonal c Prisma reto triangular 305 Calcule o volume e a área total de um prisma sendo sua secção reta um trapézio isósceles cujas bases medem 30 cm e 20 cm e cuja altura mede 10 raiz 2 cm e a área lateral 640 cm2 Pirâmide 170 Definição Consideremos um polígono convexo região poligonal convexa ABC MN situado num plano alpha e um ponto V fora de alpha Chamase pirâmide ou pirâmide convexa à reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do polígono V é o vértice e o polígono ABC MN a base da pirâmide 171 Elementos Uma pirâmide possui l base a secção acima citada n faces laterais triângulos n 1 faces n arestas laterais 2n arestas 2n diedros n 1 vértices n 1 ângulos poliédricos e n triedros Para uma pirâmide é válida a relação de Euler V A F n 1 2n n 1 2 V A F 2 172 Altura A altura de uma pirâmide é a distância h entre o vértice e o plano da base 173 Superfícies Superfície lateral é a reunião das faces laterais da pirâmide A área dessa superfície é chamada área lateral e indicada por A r Superfície total é a reunião da superfície lateral com a superfície da base da pirâmide A área dessa superfície é chamada área total e indicada por A t 174 Natureza Natureza de uma pirâmide uma pirâmide será triangular quadrangular pentagonal etc conforme a base for um triângulo um quadrilátero um pentágono etc Volume da pirâmide V 13 B h 183 Conclusão O volume de uma pirâmide é um terço do produto da área da base pela medida da altura IV Área lateral e área total da pirâmide 184 A área lateral de uma pirâmide é a soma das áreas das faces laterais Ar soma das áreas dos triângulos que são faces laterais 185 A área total de uma pirâmide é a soma das áreas das faces laterais com a área da base At Ar B em que B área da base 186 Pirâmide regular Numa pirâmide regular sendo 2p medida do perímetro da base m medida do apótema da base m medida do apótema da pirâmide temos Volume V 13 B h V 13 pm h Aplicação 03 384 Calcule a área lateral a área total e o volume das pirâmides regulares cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo a b 385 De um tetraedro regular de aresta a calcule a a área total At b a medida h da altura c o seu volume V 388 Calcule a altura e o volume de um tetraedro regular de área total 123 cm² Cilindro 193 Elementos O cilindro possui 2 bases círculos congruentes situados em planos paralelos as secções citadas acima Geratrizes são os segmentos com uma extremidade em um ponto da circunferência de centro O e raio r e a outra no ponto correspondente da circunferência de centro O e raio r r é o raio da base 196 Classificação Cilindro oblíquo Cilindro reto Cilindro de revolução Áreas lateral e total Portanto a área lateral do cilindro é Af 2πrh Área total A área total de um cilindro é a soma da área lateral Af com as áreas das duas bases B πr² logo At Af 2B At 2πrh 2πr² At 2πr h r Volume do cilindro Conclusão O volume de um cilindro é o produto da área da base pela medida da altura Se B π r² temos V π r²h Aplicação 4 494 Calcule a área lateral a área total e o volume dos sólidos cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo a cilindro equilátero b cilindro reto c semicilindro reto 495 Represente através de expressões algébricas a área lateral a área total e o volume dos cilindros cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo a cilindro equilátero b cilindro reto c semicilindro reto 498 Calcule a medida da área lateral de um cilindro circular reto sabendo que o raio da base mede 4 cm e a geratriz 10 cm Cone 206 Definição Consideremos um círculo região circular de centro O e raio r situado num plano α e um ponto V fora de α Chamase cone circular ou cone à reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo 208 Elementos O cone possui uma base o círculo de centro O e raio r ou a secção citados acima geratrizes são os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da circunferência da base vértice o ponto V citado acima r é o raio da base 211 Classificação Os cones podem ser classificados pela posição da reta VO em relação ao plano da base Se a reta VO é oblíqua ao plano da base temos um cone circular oblíquo Se a reta VO é perpendicular ao plano da base temos um cone circular reto Cone oblíquo Cone reto Cone de revolução 212 Secção meridiana É a interseção do cone com um plano que contém a reta VO A secção meridiana de um cone circular reto ou cone de revolução é um triângulo isósceles 213 Cone equilátero É um cone cuja secção meridiana é um triângulo equilátero g 2r h r3 Áreas lateral e total 215 A área lateral do cone pode então ser calculada como segue a comprimento área do do arco setor 2 π g π g² 2 π r Aₗ Aₗ 2 π r π g² 2 π g Aₗ π r g 216 Área total A área total de um cone é a soma da área lateral Aₗ com a área da base B π r² logo Aₜ Aₗ B Aₜ π r g π r² Aₜ π r g r Volume do cone Conclusão O volume de um cone é um terço do produto da área da base pela medida da altura Se B πr² temos V 13 πr²h Aplicação 5 591 Calcule a área lateral a área total e o volume dos cones cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo a cone equilátero b cone reto c semicone g 22 cm r 11 cm 20 cm 5 cm 4 cm 3 cm 592 Represente através de expressões algébricas a área lateral a área total e o volume dos sólidos cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo a cone reto b cone equilátero c semicone equilátero h h2 2r r d d 593 Determine a medida da altura de um cone cuja geratriz mede 10 cm sendo 12 cm o diâmetro de sua base Esfera 218 Esfera Consideremos um ponto O e um segmento de medida r Chamase esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço tais que a distância OP seja menor ou igual a r 219 Superfície Chamase superfície da esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço tais que a distância OP seja igual a r A superfície de uma esfera é também a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no eixo 221 Elementos pólos equador paralelo meridiano Pólos relativos a uma secção da esfera são as extremidades do diâmetro perpendicular ao plano dessa secção Considerando a superfície de uma esfera de eixo e temos pólos são as interseções da superfície com o eixo equador é a secção circunferência perpendicular ao eixo pelo centro da superfície paralelo é uma secção circunferência perpendicular ao eixo É paralela ao equador meridiano é uma secção circunferência cujo plano passa pelo eixo 222 Distância polar Distância polar é a distância de um ponto qualquer de um paralelo ao pólo Um ponto A da superfície de uma esfera tem duas distâncias polares P₁ A e P₂ A Área e volume 223 Área da esfera A área da superfície de uma esfera de raio r é igual a 4 π r² A 4 π r² 224 Volume da esfera Conclusão O volume de uma esfera de raio r é 43 πr3 V 43 πr3 Fuso e cunha 225 Fuso esférico É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro ou setor diedral cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica O ângulo α medida do diedro medido na secção equatorial é o que caracteriza o fuso 226 Área do fuso Sendo α a medida do diedro temos a com α em graus 360 4πr2 α Afuso Afuso πr2α 90 Volume da cunha a com α em graus 360 43 πr3 α Vcunha Vcunha πr3α 270 b com α em radianos 2π 43 πr3 α Vcunha Vcunha 2r3α 3 Aplicação 6 669 Calcule a área e o volume das esferas cujas medidas estão indicadas abaixo a b r 16 cm 670 Represente nas esferas abaixo através de expressões algébricas a a área do fuso b a área total e o volume da cunha 671 Obtenha o raio de uma esfera sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raio 20 cm sendo 21 cm a distância do plano ao centro da esfera Aplicação 1 Resolução 253 a AT 622 64 24 cm2 V 23 8 cm3 b AT 2452 23515 2352 AT 6 105 14 AT 305 cm2 V 35452 V 105 cm3 c AT 6152 135 cm2 V 153 3375 cm3 254 a AT 2a2 4 a2 2 2a2 2a2 9a2 V aaa2 a3 2 b AT 6b2 V b3 c AT 22xx 22x1x 22x6 2x 1 AT 4x2 4x2 2x 8x2 4x AT 16x2 6x V 2x2x1x V 2x22x1 Y 4x3 2x2 255 Se é um cubo aaa 27 m³ a 27 a 3 concluímos que a aresta é 3 m 256 d² 9² 5² d² 81 25 d² 106 d 106 D² 106 49 D² 155 D 155 cm AT 2 9 5 2 7 5 2 9 7 AT 286 cm² V 9 5 7 V 315 cm³ Aplicações 302 a AL 5 35 3 35 4 35 AL 175 105 14 AL 42 cm² AT 42 2 4 3 2 AT 54 cm² V 4 3 35 2 V 21 cm³ b AL 6 1 25 15 cm² AT 15 6 1² 3 4 2 15 3 3 3 5 3 cm² V 33 2 25 75 3 2 cm³ c h 5 3 2 h 53 2 AL 4 3 53 2 30 3 2 cm² AT 18 303 2 6 3 53 cm² V 9 53 2 45 3 2 cm³ 303 a AL 3 2a² 6a² AT 6a² 2a² 3 4 AT 24a² 2a² 3 4 AT 12 3 2 a² V a² 3 4 2a V a³ 3 2 b AL x 5x 2 6 15 x² AT 3 2 x² 3 2 15 x² AT 3 x² 3 5 V 3x² 3 2 5x 2 15 4 x³ 3 c Área lateral 73 k² Área total 196 k² Volume 512 k³ 305 B 30 b 20 h 10 x 2 L lados iguais do trapézio H altura do prisma L 15 h 8 Área da base trapezoidal 250 2 cm² V 2000 2 cm³ Aplicação 3 384 a Área lateral 4 3 4 5² 25 3 cm² Área total 25 3 25 25 3 1 cm² V 25 125 6 cm³ b Área lateral 4 6 2 4 6 48 6 cm² Área total 48 6 3 2 16 3 24 3 2 2 1 Volume 48 7 cm³ 385 a Área total 4 B 4 12 a a 3 2 a² 3 b altura h Δ A G B h² a² 36² h² a² a 3 3² h² 6 a ² 3 h a 6 3 c Volume V 1 3 B h em que B a² 3 4 h a 6 3 a³ 2 12 V 388 Se Área total 12 3 a² 3 a 2 3 aresta Volume 2 3³ 2 12 8 3 3 2 12 24 6 12 2 6 cm³ Altura h 2 3 6 3 2 18 3 2 2 cm Aplicação 4 494 a Área lateral 2π 1 2 cm² 4π cm² Área Total 2π 4π 6π cm² Volume π 2 2π cm³ b Área lateral 2π 1 25 5π cm² Área total 2π 5π 7π cm² volume π 25 25 π cm² c Área lateral π 8 15 240 120π 240 mm² Área total 64π 120π 240 184π 240 mm² Volume 64π 15 2 32π 15 480 mm³ 495 a Área lateral 2π X 2X 4π x² Área total 2π x² 4π x² 6π x² Volume π x² 2x 2π x³ b Área lateral 2π R 7 R 7 π R² Área total 7 π R² 2π R² 9 π R² Volume π R² 7 R 2 7 π R³ 2 c Área lateral π a 2a 4a² 2a²π 2 Área total π a² 2 a²π 2 Área total 3 π 4 a² V π a² 2a 2 2π a³ 2 π a³ 498 8π 10 80 π cm² Aplicação 5 591 a Área lateral 11 22 π 242 π cm² Área total π 11 22 11 242 π 121 π 363 π cm² Volume Ab h 121 π 113 3 1331 3 π 3 cm³ b Área lateral π 10 3 53 50 53 π cm² Área total 50 53 100 π 50 53 2 π cm² Volume 13 π 100 35 3500 π 3 cm³ c Área lateral 35 π 2 6 4 2 15 π 2 24 2 1 2 15 π 24 cm² Área total 15 π 2 9 π 2 24 2 12 n 1 cm² volume 1 6 π 9 4 1 π 3 2 6 π cm³ 592 a Área lateral π h 2 h5 2 h²5 4 π Área total π h² 4 h²5 4 π Volume 1 3 π h 2² h π 12 h³ b Área lateral π R g π r 2 r 2 π R² Área total 2 π R² π R² 3 π R² Volume 1 3 π R² k3 3 3 π R³ c AL d²3 4 π d d 4 d² 3 4 d² π 4 d² 4 3 π AT Ab AL d² 8 n d² 4 3 π V d² 4 π d3 2 1 2 1 3 593 D 2 R 12 2 R R 6 g 10 h 10 6 10² h² 6² 100 h² 36 h² 64 h 8 cm Aplicação 6 669 a r 16 cm Área 4pi162 1024 pi cm2 Volume 43pi163 546 pi cm3 b r 5 Área 4pi25 100 pi cm2 Volume 43pi125 5003 pi cm3 670 a AF 2R2α AF 2x24pi6 AF pix212 b AT pi3 x2 V 2x39pi613 x3pi1463 pi x372 671 R2 212 202 R2 441 400 R2 841 R 841 R 29 cm