Geometria Espacial - Perpendicularidade entre Planos Diagonais em Cubo

Em um cubo ABCDEFGH mostre que os planos diagonais ABHG e EFDC são perpendiculares Guru Márcio Peixoto A Solução Vamos provar que os planos EFCD e ABGH são perpendiculares A reta CF possui dois pontos distintos C e D no plano EFCD Assim pelo Axioma da Inclusão CF EFCD Analogamente as retas BG e GH estão contidas no plano ABGH Como a face BCGF do cubo é um quadrado suas diagonais são perpendiculares Ou seja as retas CF e BG são perpendiculares Por outro lado a reta GH é perpendicular às retas GF e CG pois as faces EFGH e CDHG são quadrados Como estas retas GF e CG são concorrentes e estão contidas na face BCGF concluímos que GH é perpendicular ao plano BCGF Já a reta CF possui dois pontos distintos C e F na face BCGF Logo pelo Axioma da Inclusão CF está contida no plano BCGF Ora sendo GH perpendicular a BCGF e CF contida em BCGF temos que GH forma 90 com CF Assim CF forma 90 com duas retas do plano ABGH as retas BG e CF Além disso estas retas são concorrentes pois possuem um ponto em comum o ponto G e são distintas Portanto CF é perpendicular ao plano ABGH Ora se CF é perpendicular ao plano ABGH e CF está contida no plano EFCD concluímos pela definição de planos perpendiculares que os planos EFCD e ABGH são perpendiculares 1 A 1 Guru Márcio Peixoto Solução Vamos provar que os planos 𝐸𝐹𝐶𝐷 e 𝐴𝐵𝐺𝐻 são perpendiculares A reta 𝐶𝐹 possui dois pontos distintos 𝐶 e 𝐷 no plano 𝐸𝐹𝐶𝐷 Assim pelo Axioma da Inclusão 𝐶𝐹 𝐸𝐹𝐶𝐷 Analogamente as retas 𝐵𝐺 e 𝐺𝐻 estão contidas no plano 𝐴𝐵𝐺𝐻 Como a face 𝐵𝐶𝐺𝐹 do cubo é um quadrado suas diagonais são perpendiculares Ou seja as retas 𝐶𝐹 e 𝐵𝐺 são perpendiculares Por outro lado a reta 𝐺𝐻 é perpendicular às retas 𝐺𝐹 e 𝐶𝐺 pois as faces 𝐸𝐹𝐺𝐻 e 𝐶𝐷𝐻𝐺 são quadrados Como estas retas 𝐺𝐹 e 𝐶𝐺 são concorrentes e estão contidas na face 𝐵𝐶𝐺𝐹 concluímos que 𝐺𝐻 é perpendicular ao plano 𝐵𝐶𝐺𝐹 Já a reta 𝐶𝐹 possui dois pontos distintos 𝐶 e 𝐹 na face 𝐵𝐶𝐺𝐹 Logo pelo Axioma da Inclusão 𝐶𝐹 está contida no plano 𝐵𝐶𝐺𝐹 Ora sendo 𝐺𝐻 perpendicular a 𝐵𝐶𝐺𝐹 e 𝐶𝐹 contida em 𝐵𝐶𝐺𝐹 temos que 𝐺𝐻 forma 90 com 𝐶𝐹 Assim 𝐶𝐹 forma 90 com duas retas do plano 𝐴𝐵𝐺𝐻 as retas 𝐵𝐺 e 𝐶𝐹 Além disso estas retas são concorrentes pois possuem um ponto em comum o ponto 𝐺 e são distintas Portanto 𝐶𝐹 é perpendicular ao plano 𝐴𝐵𝐺𝐻 Ora se 𝐶𝐹 é perpendicular ao plano 𝐴𝐵𝐺𝐻 e 𝐶𝐹 está contida no plano 𝐸𝐹𝐶𝐷 concluímos pela definição de planos perpendiculares que os planos 𝐸𝐹𝐶𝐷 e 𝐴𝐵𝐺𝐻 são perpendiculares