Plano de Ensino: Geometria Analítica

Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Plano Beto Rober B Saavedra UNIVASF June 2 2022 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Sumário 1 Introdução 2 1Aula 3 2Aula 4 3Aula 5 4Aula 6 5Aula 7 6 Aula Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Introdução Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Escopo Norteador Gerais 1 Munir de técnicas e habilidades próprias da disciplina necessárias na formação de um engenheiro Específicos 1 Ensinar o conteúdo básico da Geometria Analítica 2 Aprender a escrever a solução dos exercícios de uma forma conexa passo a passo e com sentenças explicativas e não uma fileira de fórmulas desconexas Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Epigrafe1 Jamais considere seus estudos como uma obrigação mas como uma oportunidade invejável para aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do espírito para seu próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer Albert Einstein Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Epigrafe2 Não existe uma estrada real para a ciência e somente aqueles que não temem a fadiga de galgar suas trilhas escarpadas têm chance de atingir seus cumes luminosos Tirado do Prefácio da Edição Francesa do O Cápital Karl Marx Londres 18 de março de 1872 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Epigrafe3 Ex nihilo nihil fit Nada surge da nada 1 Poeta e Filósofo Lecrecio 1Enuncio este princípio na sua obra De Rerum Natura Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Epigrafe4 Muitas das atuais teorias matemáticas surgiram da ciência aplicada e só depois adquiriram aquel aspecto axiomático e abstrato que tanto dificulta o seu aprendizado VI ArnoldEminente Matemático Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula 1Aula Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Construção1 Agora veremos a construção que permite estabelecer uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de números reais x y 1 Considerar o plano definido pelo par de retas perpendiculares X e Y tal como mostra a Figura 1 2 Seja o comprimento de OA a unidade de comprimento assumida 3 Seja P um ponto qualquer do plano 4 Por P podemos traçar uma única paralela xo a reta Y e uma única paralela yo a reta X 5 Estas paralelas interceptam as retas X e Y respectivamente nos pontos Pxo e Pyo Seja x o número real correspondente á distância dirigida do segmento OPxo e y o número real correspondente à distância dirigida do segmento OPyo 6 Assim chegamos a uma relação biunívoca entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de números reais x y Os números x e y são chamados respectivamente abscissa e ordenada do ponto P eles constituem as coordenadas de P Para indicar que o ponto P tem abscissa x e ordenada y usamos a notação Px y Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Construção2 Figura 1 Distancia entre dois Pontos 3 Sejam Px 1 QX2 y2 dois pontos do plano Como mostra a Figura 2 a partir de Pe Q podemos construir 0 triangulo retangulo PSQ A medida dos catetos deste triangulo sao X Xe e y1 ye2 Logo a medida de sua hipotenusa é vf 41 2 Mi Ye Este numero é chamado distancia de PaQ e indicado por dP Q isto é por definigao aP Q x1 x2 Ni ye Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Distância entre dois Pontos 4 Figura 2 Vetores no Plano 5 Um objeto ao qual se pode associar os conceitos de direcao sentido e médulo comprimento é chamado de veior ou seta Se xy 4 00 além do ponto podemos também fazer corresponder ao par ordenado xy um vetor 7 contido num plano Cartesiano A seguir explicamos esta correspondéncia ver Figura 3 Colocamos o origem do vetor 7 num ponto qualquer Ax 1 Logo observamos que a extremidade do vetor coincide com 0 ponto BXxe y2 Assim ao vetor 7 fazemos corresponder o par ordenado xy onde XX2X Yye2N Esta correspondéncia nao depende da escolha do ponto Ax1 y Para lidar com os vetores identificamos qualquer vetor 7 com seu correspondente par ordenado x y Isto é v xy Por convengao assumimos que 0 par ordenado 00 corresponde ao vetor nulo O méddulo comprimento do vetor 7 xy é 7 Vx y Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Vetores no Plano 6 Figura 3 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Operações com Vetores 7 Sejam os vetores u x1 y1 v x2 y2 e k R Definimos a u v x1 x2 y1 y2 b u v x1 x2 y1 y2 c ku kx1 ky1 A operação definida no item a chamase adição de vetores A operação definida no item b chamase diferença de vetores A operação definida no item c chamase multiplicação de um vetor por um número Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Operações com Vetores 8 Soma de Vetores Diferença de Vetores Multiplicação de um Escalar por um Vetor Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercícios 9 1 Graficar os pontos 12 e 24 no plano Cartesiano 2 Graficar os vetores 12 e 24 no plano Cartesiano 3 Sejam os vetores u v w e os números reais k1 k2 Provar as seguintes propriedades 1 u v v u 2 u v w u v w 3 u O u onde O 0 0 é o vetor nulo 4 k1u v k1u k1v 5 k1 k2u k1u k2u 6 k1k2u k1k2u 7 1u u e 0u 0 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercícios 10 4 Sejam os vetores u v representar graficamente os vetores u v u v 5 O vetor 1u é indicado por u e chamado o oposto do vetor u Dado um vetor qualquer u graficar o oposto Dados dois vetores u v demonstrar que u v u 1v 6 O vetor ku e u são vetores da mesma direção isto é são paralelos Se k 0 os sentidos de u e ku coincidem Se k 0 os sentidos de u e ku são opostos Mostrar graficamente estes fatos 7 Sejam dois pontos A B quaisquer Demonstrar que AB B A Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercícios 11 8 Sejam u e v vetores e k um número real Demonstrar as seguintes propriedades 1 ku k u 2 ku 0 k 0 ou u 0 3 u 0 e u 0 u 0 4 u v u v Desigualdade Triangular 9 Sejam o vetor u e o número real k O que acontece com o vetor ku se 0 k 1 E quando k 1 10 Sejam os vetores nãoparalelos 1 3 e 2 1 Encontrar os números reais α e β tal que α1 3 β2 1 0 0 11 Sejam os vetores nãoparalelos v w Os símbolos α β denotam dois números reais Demonstrar que α v β w O α β 0 1 Os vetores v w que têm a propriedade 1 são chamados linearmente independentes abreviadamente L I Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula 2Aula Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Ponto Médio e Vetor Unitário 1 Ponto Médio Sejam os pontos Ax1 y1 e Bx2 y2 As coordenadas do ponto médio M do segmento AB são M x1 x2 2 y1 y2 2 1 Provar a fórmula 1 Vetor Unitário Um vetor de módulo 1 é chamado vetor unitário Qualquer que seja o vetor nãonulo v o vetor 1 v v v v 2 é unitário Provar que o vetor dado em 2 é unitário Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Produto Escalar 2 Definimos o produto escalar dos vetores u x1 y1 e v x2 y2 como sendo o número u v x1x2 y1y2 1 O símbolo u v deve ser lido assim u escalar v Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Propriedades do Produto Escalar 3 Sejam dois vetores quaisquer u x1 y1 e v x2 y2 e um número real qualquer k Da definição decorrem as seguintes propriedades do produto escalar 1 u u u 2 2 u v v u 3 u v w u v u w 4 k u v u k v 5 u v u v Desigualdade de CauchySchwartz Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Ângulo entre vetores 4 Sejam os vetores u 0 e v 0 então u v 0 Pela propriedade 5 do produto escalar temos u v u v 1 o que é equivalente a 1 u v u v 1 Logo existe um único ângulo θ medido em radianos entre 0 e π tal que cosθ u v u v Este ângulo é definido como ângulo entre os vetores u e v Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercicios 5 1 Se u 1 2 e v 1 2 encontrar o ângulo θ entre estes vetores 2 Demonstrar que u é perpendicular a v u v 0 θ π 2 3 Provar a desigualdade triangular Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Projeção de Vetores6 Sejam os vetores u 0 e v 0 colocados sobre o mesmo ponto O e o ponto P a projeção ortogonal ou perpendicular do ponto final do vetor u ver figura 4 Então o vetor OP chamado projeção de u sobre v que será denotado por Proj v u é igual a OP Proj v u u v v 2 v Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Projeção de Vetores7 Figura 4 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercicios 1 Se u 1 2 e v 1 3 calcular Proj v u 2 Se u v 0 o que acontece com os vetores Proj v u e v 3 Se u v 0 o que acontece com os vetores Proj v u e v 4 Provar a fórmula 5 Verificar se a definição do ângulo entre vetores coincide com a usual da geometria Euclideana 6 a Verifique que o triângulo cujos vértices são A3 3 B0 1 e C1 6 é retângulo em A b Calcule a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC Para isto usar a lei dos cosenos c Determine o pé da altura do triângulo relativo ao vértice A 7 Calcule o ângulo entre u v e u v sabendo que u 3 v 1 e que o ângulo entre u e v é 30o Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula 3Aula Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Equações Paramétricas da Reta 1 Seja v a b um vetor nãonulo e Axo yo um ponto do plano Estes dois objetos determinam uma única reta r ver figura 5 Isto é um ponto Px y pertence à reta r se e somente se AP t v para algum número real t Ou em termos de coordenadas x xo y yo ta b Esta equação é equivalente ao sistema de equações x xo ta y yo tb chamadas equações paramétricas de r Para determinar a direção de uma reta é suficiente tomar dois pontos quaisquer da reta A e B e considerar o vetor AB ou BA que determina a direção da reta Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Figura 5 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercicios 2 1 Uma partícula está animada de um movimento tal que no instante t ela se encontra no ponto x y 2 3t 1 4t a Determine sua posição nos instantes t 0 t 1 e t 2 b Determine o instante no qual a partícula atinge o ponto 11 13 c A partícula passa pelo ponto 5 6 d Descreva sua trajetória e Determine sua velocidade no instante t 2 Sejam o ponto Axo yo e o vetor não nulo v a b Se w é um vetor não nulo paralelo a v demonstrar que os vetores v w determinam a mesma reta r que passa por A Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Equação Cartesiana da Reta 3 Sejam o vetor nãonulo v a b e o ponto Qxo yo O vetor v b a é perpendicular ao vetor v pois v v ab ab 0 Também o ponto Q e o vetor v determinam uma reta r que passa pelo ponto Q na direção do vetor v como segue ver figura 6 Um ponto Px y pertence à reta r se e somente se v QP v P Q 0 Ou em termos de coordenadas ay bx ayo bxo I Fazendo A b B a e C bxo ayo podemos escrever a equação de r assim Ax By C 0 II que é chamada Equação Cartesiana de r Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Equação Cartesiana da Reta 4 Figura 6 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Equação Cartesiana da Reta 5 Figura 7 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Equação Cartesiana da Reta 6 Reciprocamente toda equação da forma II tem como gráfico uma reta r De fato não é dificil mostrar que existe um ponto xo y0 tal que Ax0 Byo C 0 III Por outro lado o vetor A B é perpendicular ao vetor B A Pois A BB A 0 Pela equação III a equação II é equivalente a Ax xo By yo 0 Interpretando este resultado como o produto escalar dos vetores A B e x xo y yo vemos que o conjunto solução de II é constituído de todos os pontos x y tais que os vetores x xo y yo e A B são perpendiculares Isto significa que o gráfico de II é a reta r que contém xo yo e tem a direção do vetor B A Se B 0 o gráfico da equação II é uma reta paralela ao eixo das ordenadas Y que passa pelo ponto xo 0 C A 0 Ver figura 7 A equação II é equivalente a x xo Se B 0 Por um lado sabemos que a equação II determina uma reta r na direção do vetor B A Logo como se vê na figura 8 o número m A B tgθ onde θ é o ângulo que r faz com o eixo das abscissas X é a declividade de r Fazendo k C B a equação II é equivalente a y mx k IV A constante k pode ser interpretada como a ordenada do ponto de interseção da reta r com o eixo das ordenadas Y pois 0 k satisfaz a equação IV Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Equação Cartesiana da Reta 7 Figura 8 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercicios8 1 Seja o vetor nãonulo v perpendicular aos vetores nãonulos w 1 e w 2 Provar que w 1 é paralelo ao vetor w 2 2 Seja a equação não trivial Ax By C 0 Provar que existe um ponto xo yo tal que Axo Byo C 0 3 Determinar o gráfico correspondente da equação π 3 arctangy x 4 Determinar o gráfico correspondente da equação π 3 arctangx y Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula 4Aula Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercicio sobre Ângulos 1 Determine o menor dos ângulos entre as retas r e s cujas equações são respectivamente y 2x 2 e y x 4 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Distância de um ponto a uma reta 2 A distância do ponto Pxo yo à reta r de equação y mx k é definida como sendo a distância de P a A onde Ax1 y1 é o pé da perpendicular baixada de P a r Indicando por dP r a distância de P a r temos dP r yo mxo k 1 m2 1 Provar a fórmula 1 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Equações Paramétricas da Circunferência 3 Na figura 9 representamos uma circunferência de centro Cxo yo e raio r Seja Px y um ponto qualquer desta circunferência e t o ângulo formado pelos vetores CP e CA onde Axo r yo x xo rcost 2 y yo rsent Provar a fórmula 2 Figura 9 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Equação Cartesiana da Circunferência 4 Eliminando t nas equações paramétricas obtemos a equação cartesiana da circunferência de centro Cxo yo e raio r Isto é x xo2 y yo2 r 2 3 Provar a fórmula 3 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercicios 5 1 Escreva uma equação cartesiana da circunferência que passa pelos pontos A1 1 B1 2 e C2 3 2 Descreva a trajetória de uma partícula animada de um movimento tal que no instante t ela se encontra no ponto x y 2cos3t 2sen3t 3 Sejam dois pontos diferentes A e B Seja X um ponto da reta AB tal que X A mB A i Para quais valores de m o ponto X é interno ao segmento AB ii Para quais valores de m o ponto X é externo ao segmento AB Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula 5Aula Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercícios 1 1 Dados A2 y e B3 3 determine y para que o módulo do vetor AB seja 5 2 Dado B3 4 e sendo AB 2 qual é o valor máximo que a primeira coordenada de A pode assumir E o mínimo 3 Sejam Ax1 y1 e Bx2 y2 pontos do plano Demonstre que dA B AB 4 Determine vetores u e v tais que u 2 v 2 u v 2 5 Dados os pontos A2 3 e B5 4 determine um ponto C tal que AC seja paralelo ao vetor u 2 1 e AC AB Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercícios 2 1 Dados A1 1 e B3 5 determine o ponto C no segmento de extremos A e B tal que a AC 1 2 AB b AC CB 1 2 c AC CB 2 3 2 Dados os pontos A B e C exprima o vetor CM em função dos vetores CA e CB sendo M a o ponto médio do segmento AB b um ponto de AB tal que 3 AM AB Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercícios 3 1 Demonstre que os segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual á sua metade 2 Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados nãoparalelos de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é a semisoma das medidas das bases 3 Num triângulo ABC é dado X sobre AB tal que AX 2 XB e é dado Y sobre BC tal que BY 3 YC Mostre que as retas CX e AY se cortam Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula 6 Aula Exercicios 1 a x F a ah cB x Num triangulo ABC sejam X a intersegao do lado AB com a bissetriz interna do Angulo ACB e supondo CAI CB Y aintersegao da reta AB com uma das bisetrizes externas do Angulo ACB Ver figura 0 Tyg x B Figura on cB oh cB a Provar que os vetores C4 CB CA CB 545 respectivamente paralelosa CX e CY ICA CBI CA CB CA CB g CA NCBI b Prove que I e Sf S iAX I BX AY II BY zat mz c Exprima CX CY emfungaode CA e CB Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercicio 2 M N P são os pontos das bissectrizes internas do triângulo ABC que passam pelos pontos C A B respetivamente a Exprima BP AN CM em função de AB e AC b Prove que os vetores BP AN e CM não são paralelos dois a dois c Prove que num triângulo as três retas suportes de as bissectrizes internas se encontram num único ponto Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercicio 3 Na figura M N P são pontos médios de AB BC e CA respectivamente a Exprima BP AN CM em função de AB e AC b Prove que num triângulo as retas suportes de duas medianas se interseptam c Prove que as medianas de um triângulo se encontram num mesmo ponto que divide cada uma na razão 2 1 a partir do vértice correspondente Exercicio 4 Dado um triangulo qualquer mostre que existe outro com lados paralelos e congruentes as medianas do primeiro Sejao triangulo da figura Sendo fh CX aalturado A ABC relativa ao vértice C exprima CX eX em fungdo de A CAe CB Cc A x B Figura Efetuar o mesmo do exercicio anterior quando o Angulo A éobtuso Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercicio 5 M N P são as projeções ortogonais dos vértices C B A respetivamente a Exprima BP AN CM em função de AB e AC b Prove que os vetores BP AN e CM não são paralelos dois a dois c Prove que num triângulo as retas suportes de dois alturas se encontram num único ponto Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6 Aula Exercicio 6 Sejam o quadrado ABCD e o triângulo isosceles DEF tais que AB DE EF DF 1 Achar a área do triângulo sombreado