Pontos Singulares Regulares e Irregulares em Equações Diferenciais - Exemplos Resolvidos

2 Inspecionando Px e Qx vemos que a primeira condição não é satisfeita Concluímos então que x 2 é um ponto singular irregular Para que x 2 seja uma singularidade regular a multiplicidade do fator x 2 no denominador de Px tem de ser no máximo 1 e no denominador de Qx no máximo 2 Verificamos que essas condições são satisfeitas Logo x 2 é uma singularidade regular Volume 1 Cap 6 Equações diferenciais com coeficientes variáveis 309 EXEMPLO 2 Tanto x 0 quanto x 1 são pontos singulares da equação diferencial x²x 1²y x² 1y 2y 0 Inspecionando Px x 1 x²x 1 e Qx 2 x²x 1² vemos que x 0 é uma singularidade irregular pois a multiplicidade do fator x 0 no denominador de Px é 2 Note porém que x 1 é uma singularidade regular EXEMPLO 3 a x 1 e x 1 são pontos singulares regulares de 1 x²y 2xy 30y 0 b x 0 é um ponto singular irregular de x³y 2xy 5y 0 pois Qx 5 x³ c x 0 é um ponto singular regular de xy 2xy 5y 0 pois Px 2 e Qx 5 x Na parte c do Exemplo 3 note que x 0 e x 0² nem mesmo aparecem nos denominadores de Px e Qx respectivamente Lembrese esses fatores podem aparecer no máximo dessa maneira Para um ponto singular x x₀ qualquer potência não negativa de x x₀ menor que um a saber zero e potência não negativa menor que dois a saber zero e um nos denominadores de Px e Qx respectivamente implicam x₀ um ponto singular regular Ainda lembrese de que pontos singulares podem ser números complexos Deve ficar claro que x 3i e x 3i são singularidades regulares da equação x² 9y 3xy 1 xyy 0 pois Px 3x x 3ix 3i e Qx 1 x x 3ix 3i