Cálculo Diferencial e Integral IV - 1a Prova 2016 - Resolucao e Gabarito

Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral IV Turma TX Profo Edson 1a Prova 2o Semestre 2016 Data 13 de Fevereiro de 2017 Duracao 1830 2030 Problema 1 Resolvas as equacoes diferenciais a x2 dy dx y xy y1 1 b ex ex dy dx y2 Problema 2 Determine as solucoes para a equacao y 4xy x3ex2 Problema 3 Resolva a x2 y2 dx x2 2xydy 0 b 3x2 y dx x2y xdy 0 Problema 4 Encontre todas as solucoes possıveis y 2 dx 2x y 4 dy Problema 5 Resolva y xy dx xdy Boa Sorte Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Profº Edson 2º Semestre Gabarito 1ª Prova 2016 Data Terçafeira 21 de Março Turma TX Exercício 1 a Desejase resolver o seguinte problema de valor inicial x² dydx y xy y1 1 Para isto devese resolver inicialmente a equação diferencial ordinária x² dydx y xy Usando a separação de variáveis observe que x² dydx y xy x² dy 1 x y dx dyy 1xx² dx dyy 1 xx² dx ln y 1x² 1x dx ln y 1x ln x c y e1x lnx c y e1x c x y e1x c x y e1x c x Usando agora a condição inicial dada seguese que y1 1 e1c 1 1 e1c 1 1 c 0 c 1 Portanto a solução do PVI dado é yx e1x 1 x b Desejase resolver a seguinte edo ex ex dydx y² Usandose separação de variáveis observe que ex ex dydx y² ex ex dy y² dx dyy² dx ex ex dyy² ex e2x 1 dx dyy² ex e2x 1 dx 1y arctgex c y 1 arctgex c onde c R Exercício 2 Desejase determinar todas as soluções da edo y 4xy x³ ex² Observe que tratase de uma edo linear de 1ª ordem cujo fator integrante é dado por μx e 4xdx e2x² c₁ Desta forma considerando c₁ 0 seguese que μxyx μx yx μx yx 4x e2x² yx e2x² yx e2x² 4xyx yx Ou seja multiplicandose ambos os lados da edo dada por μx temse e2x²4xy y e2x² x³ ex² μ y x³ e3x² μ y x³ e3x² dx μ y e3x² 16 x² 118 c₂ y 1μx e3x² 16 x² 118 c₂ y 1e2x² e3x² 16 x² 118 c₂ y ex² 16 x² 118 c₂ e2x² Com c₂ R Exercício 3 a Para resolver a equação x² y² dx x² 2xy dy 0 Inicialmente considere Mxy x² y² Nxy x² 2xy e observe que Mtx ty t² x² y² t² Mxy Ntx ty t² x² 2xy t² Nxy Ou seja as funções M e N são homogêneas de grau 2 Assim colocando y² em evidência temse y² x²y² 1 dx x²y² 2 xy dy 0 x²y² 1 dx x²y² 2 xy dy 0 1 Considere xy u x uy Seguese disto que dx y du u dy e substituindose em 1 temse u² 1y du u dy u² 2u dy 0 u² 1 y du u³ u² 3u dy 0 u³ u² 3u dy u² 1 y du dyy 1 u²u³ u² 3u du dyy 1 u²u³ u² 3u du ln y 1 u²u³ u² 3u du Em virtude do grau de dificuldade de resolução desta última integral este item do problema foi cancelado e o seu valor 10 ponto será computado a todos os alunos que participaram da prova b Para resolver a equação 3x² y dx x² y x dy 0 Inicialmente considere Mx y 3x² y Nx y x² y x e observe que My Nx N 1 2xy 1 x² y x 2 2xy x² y x 2 1 xy x 1 xy 2 x depende apenas da variável x ou seja o fator integrante μx e 2x dx e2 lnx eln x2 1x² transforma a equação dada através da multiplicação por μx em ambos os lados numa equação equivalente que é exata μx 3x² y dx x² y x dy 0 1x² 3x² y dx x² y x dy 0 3 yx² dx y 1x dy 0 Assim as soluções da edo em questão obedece a equação φx y c₁ Onde φx y 3 yx² y 1x Em outras palavras φx 3 yx² φy y 1x Resolvendose este sistema encontrase φxy y²2 yx 3x c₂ c₂ R Então as soluções da equação dadas de forma implícita são y²2 yx 3x c₂ c₁ y²2 yx 3x c₂ c₁ y²2 yx 3x c c R Exercício 4 Para resolver a equação y 2 dx 2x y 4 dy Considere a seguinte mudança de variáveis Y y 2 X x 3 com dY dx dX dy Substituido na edo dada temse Y dX 2X Y dY 2 dX 2 XY 1 dY Tome u XY X uY e observe que dX Y du udY Convém observar que com esta escolha para a variável u estarse buscando soluções para a edo dada tendo y como variável livre e x dependente de y ou seja x xy Retornado à equação 2 temse Y du udY 2u 1 dY Y du u 1 dY du u 1 dY Y du u 1 dY Y ln u 1 ln Y c₁ u 1 eln Y c₁ u ec₁ Y 1 u c₂ Y 1 Seguese disto que X Y c₂ Y 1 X c₂ Y² Y Retornando para as variáveis x e y temse x 3 c₂ y 2² y 2 xy c₂ y 2² y 1 com c₂ R Exercício 5 Para resolver a edo y xy dx x dy observe que y xy dx x dy y xyx dx dy yx xyx dx dy yx xyx² dx dy yx yx dx dy Considere u yx Ou seja y ux e dy xdu udx Substituindo na edo dada temse u u dx xdu udx u u u dx xdu udx xdu dxx duu dxx duu ln x c₁ 2u 12 ln x c₁2 u u ln x c₂² Portanto yx ux x x ln x c₂² com c₂ ℝ Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral IV Turma TX Profo Edson 2a Prova 2o Semestre 2016 Data 03 de Abril de 2017 Duracao 1830 2030 Problema 1 A funcao y1t e uma solucao da equacao diferencial dada Encontre uma segunda solucao y2t linearmente independente 1 t2y 2ty 2y 0 y1t t Problema 2 Encontre uma solucao particular da edo y 4y 4y teαt onde α R Problema 3 Determine a solucao geral a y y tg x b y y sec2x Problema 4 Encontre a solucao geral da equacao diferencial xy 4y x4 Problema 5 Use a substituicao y x x0m e encontre a solucao geral da equacao x 32y 8x 3y 14y 0 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 2º Semestre Gabarito 2ª Prova 2016 Data Terçafeira 04 de Abril de 2017 Turma TX Exercício 1 Sabese que y₁t t é uma solução da equação diferencial 1 t² y 2t y 2y 0 Observe inicialmente que 1 t² 0 t 1 Supondo que esta equação seja parte de um problema com valor inicial t 0 seguese que 1 t 1 é o maior intervalo contendo t₀ 0 Para outros casos as devidas considerações devem ser feitas Usando a redução de ordem considere y₂t ut y₁t ut t Assim temse y₂t tut ut y₂t ut tut ut 2ut tut Como desejase que y₂t seja também uma solução da equação diferencial dada seguese que 1 t² y₂ 2t y₂ 2y₂ 0 ou seja t t³ ut 2 4t² ut 0 1 Considere ωt ut Disto seguese que ωt ut e a equação 1 tornase 1 t² t ωt 2 1 2t² ωt 0 Usando separação de variáveis temse 1 t² t ωt 2 1 2t² ωt ωtωt 2 1 2t² 1 t² t ωtωt dt 2 1 2t² 1 t² t dt Usando frações parciais perceba que 1 2t² 1 t² t 1t 12 1 t 12 1 t 1t t 1 t² Ou seja ωtωt dt 2 1t t 1 t² dt ln ωt 2 ln t ln 1 t² c₁ ωt e2 ln t e ln 1 t² ec₁ ωt c₂ t2 1 t²1 ωt c₂ t² 1 t² c₂ ec₁ Como 1 t 1 seguese que 1 t 0 1 t 1 t 1 t 0 1 t 1 t e 1 t² 1 t 1 t 1 t1 t 1 t² Portanto ωt c₂ t² 1 t² ut c₂ t² 1 t² ut c₂ dt t² 1 t² Observe que 1 t² 1 t² 1 t² 1 2 1 t 1 2 1 t Ou seja ut c₂ dt t² 1 t² c₂ dt t² dt 2 1 t dt 2 1 t c₂ 1t 12 ln 1 t 12 ln 1 t c₃ Tomando c₃ 0 e c₂ 1 uma possível escolha para a função ut seria ut 1t 12 ln1 t 12 ln1 t e y₂t t ut 1 t2 ln1 t t2 ln1 t 1 t2 ln1 t² Ou seja yt teαt α 2² 2eαt α 2³ α 2 Quando α 2 temse a seguinte equação diferencial y 4y 4y te2t cujas soluções da parte homogênea são y₁t e2t y₂t te2t Assim perceba que W e2t te2t 2e2t 1 2t e2t e4t Além disso W₁ 0 te2t te2t 1 2t e2t t² e4t W₂ e2t 0 2e2t te2t te4t Logo pelo método da variação dos parâmetros u₁ W₁ W t² u₁t t³ 3 c₁ u₂ W₂ W t u₂t t² 2 c₂ e tomando c₁ c₂ 0 uma solução paraticular da equação é dada por yₚt y₁t u₁t y₂t u₂t e2t t³ 3 te2t t² 2 56 t³ e2t cujas soluções são k i e donde seguese que as soluções da edo são construídas a partir das funções y1x cos x y2x sen x Usandose o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea temse W1 ex y1 y2 y1 y2 cos x sen x sen x cos x 1 W1 0 y2 gx y2 0 sen x tg x cos x tg x sen x W2 y1 0 y1 gx cos x 0 sen x tg x tg x cos x Portanto u1x W1 W tg x sen x u2x W2 W tg x cos x e assim u1x tg x sen x dx sen2 x cos x dx 1 cos2 x cos x dx 1 cos x cos x dx sec x dx cos x dx ln sec x tg x sen x c3 e u2x tg x cos x dx sen x dx cos x c4 Considerando c3 c4 0 uma solução particular da edo é dada por ypx y1x u1x y2x u2x cos xln sec x tg x sen x sen x cos x cos xln sec x tg x sen x sen x cos x ln sec x tg x Logo a solução geral da equação dada é yx c1 y1x c2 y2x ypx c1 cos x c2 sen x cos x ln sec x tg x b A equação homogênea correspondente à equação dada é a mesma do item a ou seja y1x cos x y2x sen x e usando novamente o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea temse W 1 ex y1 y2 y1 y2 cos x sen x sen x cos x 1 W1 0 y2 gx y2 0 sen x sec2x cos x sec2x sen x W2 y1 0 y1 gx cos x 0 sen x sec2x sec2x cos x Portanto u1x W1 W sec2x sen x u2x W2 W sec2x cos x Ou seja u1x sec2x sen x dx sen x dx cos2x 1 cos x c3 e u2x sec2x cos x dx dx cos x sec x dx ln sec x tg x c4 Considerando c3 c4 0 uma solução particular da edo é dada por ypx y1x u1x y2x u2x cos x 1 cos x sen x ln sec x tg x sen x ln sec x tg x 1 Logo a solução geral da equação dada é yx c1 y1x c2 y2x ypx c1 cos x c2 sen x sen x ln sec x tg x 1 Exercício 4 Observe que a equação dada x y 4 y x4 é uma equação de Euler uma vez que pode ser reescrita como x2 y 4x y 0 y x5 através de uma multiplicação por x em ambos os lados da mesma Assim para solução da equação homogênea correspondente considere como proposta de solução a função yx xm e observe que yx m xm1 yx mm1 xm2 Substituindo na equação dada temse x mm1 xm2 4m xm1 0 mm1 xm1 4m xm1 0 m2 5m xm1 0 m2 5m 0 Donde seguese que m 5 ou m 0 ou seja y1x x0 1 y2x x5 Usando o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea temse W 1 ex y1 y2 y1 y2 1 x5 0 5x4 5x4 W1 0 x5 gx 5x4 1 x5 x3 5x4 x8 W2 y1 0 y1 gx 1 0 0 x3 x3 Portanto u1x W1 W x8 5x4 x4 5 u2x W2 W x3 5x4 1 5x Ou seja u1x 15 x4 dx x5 25 c3 e u2x 15 1x dx 15 ln x c4 Considerando c3 c4 0 uma solução particular da edo é dada por ypx y1x u1x y2x u2x x5 25 x5 5 ln x Logo a solução geral da equação dada é yx c1 y1x c2 y2x ypx c1 c2 x5 x5 25 x5 5 ln x x5 5 ln x c5 x5 c1 Exercício 5 Considere como proposta de solução a função yx x3m observe que yx m x3m1 yx mm1x3m2 e substituindo na equação dada temse mm1x3m 8mx3m 14x3m 0 mm1 8m 14 x3m 0 m2 9m 14 x3m 0 m2 9m 14 0 Donde seguese que m 7 ou m 2 Ou seja y1x x32 y2x x37 e a solução geral da equação dada é ycx c1 x32 c2 x37 sendo c1 c2 R Universidade Federal do Vale do São Francisco Colegiado de Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Turma TX Prof Edson 3ª Prova 2º Semestre 2016 Data 15 de Maio de 2017 Duração 1830 2030 Problema 1 Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries a n0 3ⁿ 4x5ⁿ b n1 1 n²n 3x1ⁿ Problema 2 Encontre a série de Maclaurin e seu intervalo de convergência para a função fx 1 2x Problema 3 Determine as duas soluções em séries de potências em torno do ponto x0 para a equação diferencial x² 2 y 3xy y 0 Problema 4 Determine as duas soluções em séries de potências em torno do ponto x0 para a equação diferencial 3xy 2x y y 0 Problema 5 Resolva o seguinte problema de valor inicial y 4y 6e³ᵗ 3eᵗ y0 1 y0 1 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 2º Semestre Gabarito 3ª Prova 2016 Data Quartafeira 24 de Maio Turma TX Exercício 1 a Observe que aₙ 3ⁿ 4x5ⁿ 4x5ⁿ 3ⁿ 4x53 ⁿ Perceba que naₙ n 4x53 ⁿ 4x53 Segundo o teste da raiz a série será absolutamente convergente quando limn naₙ 1 Ou seja 4x53 1 4x5 3 4x 54 3 x 54 34 Portanto a série é convergente no intervalo 34 x 54 34 12 x 2 com raio de convergência r 34 b Observe que aₙ 3x1ⁿ n n1 e aₙ₁ 3x1ⁿ¹ n1n2 Perceba que aₙ₁ aₙ 3x1ⁿ¹ n1n2 nn1 3x1ⁿ n n2 3x1 Segundo o teste da razão a série será absolutamente convergente quando limn aₙ₁ aₙ 1 Ou seja 3x 1 1 3x 13 1 x 13 13 Portanto a série é convergente no intervalo 13 x 13 13 0 x 23 com raio de convergência r 13 Exercício 2 Da série geométrica também conhecida por progressão geométrica sabese que 1 1x 1 x x² x³ n0 xⁿ para x 1 Observe que 12x 12 1 1 x2 12 1 1 x2 Trocando x por x2 na série geométrica temse que 1 1 x2 1 x2 x2² x2³ n0 x2ⁿ n0 1ⁿ xⁿ 2ⁿ Assim 1 2x 12 1 1 x2 12 n0 1ⁿ xⁿ 2ⁿ n0 1ⁿ xⁿ 2ⁿ¹ desde que x2 1 ou seja x 2 Exercício 3 Suponha que yx n0 aₙ xⁿ Então yx n1 n aₙ xⁿ¹ yx n2 nn1 aₙ xⁿ² Substituindo na equação diferencial x² 2y 3xy y 0 temse x² 2 n2 nn1 aₙ xⁿ² 3x n1 n aₙ xⁿ¹ n0 aₙ xⁿ 0 n2 nn1 aₙ xⁿ n0 2 nn1 aₙ xⁿ² n1 3n aₙ xⁿ n0 aₙ xⁿ 0 n2 nn1 aₙ xⁿ n0 2n2n1 aₙ₂ xⁿ n1 3n aₙ xⁿ n0 aₙ xⁿ 0 4a₂ a₀ 12a₃ 2a₁ x n2 n² 2n 1 aₙ 2n2n1 aₙ₂ xⁿ 0 Assim 4a₂ a₀ 0 12a₃ 2a₁ 0 n² 2n 1aₙ 2n2n1aₙ₂ 0 Ou seja a₂ a₀ 4 a₃ a₁ 6 aₙ₂ n² 2n 1 2n2n1 aₙ onde a₀ a₁ R Deduzindo alguns termos da solução a₄ 796 a₀ a₅ 7120 a₁ a₆ 1615760 a₀ a₇ 17720 a₁ a₈ 108192160 a₀ a₉ 52751840 a₁ Portanto a solução geral da equação diferencial é dada por ycx a₀ y₁x a₁ y₂x Sendo y₁x 1 14 x² 796 x⁴ 1615760 x⁶ 108192160 x⁸ y₂x x 16 x³ 7120 x⁵ 17720 x⁷ 52751840 x⁹ Exercício 4 Observe que a equação diferencial 3xy 2x y y 0 possui um ponto singular regular em x0 Assim suponha que sua solução seja dada por yx n0 aₙ xⁿʳ sendo r R Disto seguese que yx n0 nr aₙ xⁿʳ¹ yx n0 nrnr1 aₙ xⁿʳ² e substituindo na equação temse 3x n0 n rn r 1an xnr2 2 x n0 n ran xnr1 n0 an xnr 0 n0 3n rn r 1an xnr1 n0 2n ran xnr1 n0 n ran xnr n0 an xnr 0 xr n0 n r3n 3r 1an xn1 n0 n r 1an xn 0 n1 n 1 r3n 2 3ran1 xn n0 n r 1an xn 0 r3r 1a0 x1 n0 n r 1 3n 2 3ran1 an xn 0 Seguese disto que r3r 1 0 r 0 ou r 13 e an1 n r 1an n 1 r3n 2 3r an 3n 2 3r Quando r 0 temse an1 an 3n 2 e a0 ℝ a1 12 a0 a2 110 a0 a3 180 a0 a4 1880 a0 Ou seja y1x 1 12 x 110 x2 180 x3 1880 x4 x0 1 12 x 110 x2 180 x3 1880 x4 Quando r 13 temse an1 an 3n 1 e a0 ℝ a1 13 a0 a2 118 a0 a3 1162 a0 a4 11944 a0 Ou seja y2x 1 13 x 118 x2 1162 x3 11944 x4 x13 x13 13 x43 118 x73 1162 x103 11944 x133 Exercício 5 Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação dada temse 𝓛y 4y 𝓛6e3t 3et 𝓛y 4𝓛y 6𝓛e3t 3𝓛et s² Ys sy0 y0 4 sYs y0 6 s 3 3 s 1 Sabese que y0 1 y0 1 Logo s² Ys s 1 4sYs 4 6 s 3 3 s 1 s² 4s Ys s 5 6 s 3 3 s 1 4 Gabarito 3a Prova Y s s3 7s2 10s 30 s s 4 s 3s 1 Decompondo esta expressao em fracoes parciais temse que Y s 5 2s 11 10 s 4 2 s 3 3 5 s 1 e usando a transforma de Laplace inversa obtemse yt 5 2L11 s 11 10L1 1 s 4 2L1 1 s 3 3 5L1 1 s 1 5 2 11 10e4t 2e3t 3 5et Universidade Federal do Vale do São Francisco Colegiado de Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Turma TX Prof Edson Prova Final 1 Semestre 2016 Data 22 de Maio de 2017 Duração 1830 2030 Problema 1 Resolva 3x² y dx x² y x dy 0 Problema 2 Resolva y xy dx xdy Problema 3 Encontre a solução geral da equação diferencial xy 4y x⁴ Problema 4 Determine as duas soluções em séries de potências em torno do ponto x 0 para a equação diferencial 3xy 2 x y y 0 Problema 5 Resolva o seguinte problema de valor inicial y 4y 6e3t 3et y0 1 y0 1 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 2 Semestre Gabarito Prova Final 2016 Data Quartafeira 24 de Maio de 2017 Turma TX Exercício 1 Para resolver a equação 3x² ydx x² y xdy 0 Inicialmente considere Mxy 3x² y Nxy x² y x e observe que My Nx N 1 2xy 1 x² y x 2 2xy x² y x 21 xy x1 xy 2 x depende apenas da variável x ou seja o fator integrante μx e2x dx e2 lnx elnx2 1x² transforma a equação dada através da multiplicação por μx em ambos os lados numa equação equivalente que é exata μx 3x² ydx x² y xdy 0 1x²3x² ydx x² y xdy 0 3 yx² dx y 1x dy 0 Assim as soluções da edo em questão obedece a equação φxy c₁ Onde φxy 3 yx² y 1x Em outras palavras φx 3 yx² φy y 1x Resolvendose este sistema encontrase φxy y²2 yx 3x c₂ c₂ ℝ Então as soluções da equação dadas de forma implícita são y²2 yx 3x c₂ c₁ y²2 yx 3x c₂ c₁ y²2 yx 3x c c ℝ Exercício 2 Para resolver a edo y xy dx xdy observe que y xy dx xdy y xyx dx dy yx xyx dx dy yx xyx² dx dy yx yx dx dy Considere u yx Ou seja y ux dy xdu udx Substituindo na edo dada temse uu dx xdu udx uu u dx xdu u dx xdu dxx duu dxx duu ln x c₁ 2u 12 ln x c₁2 u u ln x c₂² Portanto yx uxx x ln x c₂² com c₂ ℝ Exercicio 3 Observe que a equação dada xy 4 y x⁴ é uma equação de Euler uma vez que pode ser reescrita como x² y 4xy 0y x⁵ através de uma multiplicação por x em ambos os lados da mesma Assim para solução da equação homogênea correspondente considere como proposta de solução a função yx xᵐ e observe que yx mxᵐ¹ yx mm 1xᵐ² Substituindo na equação dada temse xmm 1xᵐ² 4mxᵐ¹ 0 mm 1xᵐ¹ 4mxᵐ¹ 0 m² 5m xᵐ¹ 0 m² 5m 0 Donde seguese que m 5 ou m 0 ou seja y₁x x⁰ 1 y₂x x⁵ Usando o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea temse W1 eˣ y₁ y₂ y₁ y₂ 1 x⁵ 0 5x⁴ 5x⁴ W₁ 0 x⁵ gx 5x⁴ 1 x⁵ x³ 5x⁴ x⁸ W₂ y₁ 0 y₁ gx 1 0 0 x³ x³ Portanto u₁x W₁W x⁸5x⁴ x⁴5 u₂x W₂W x³5x⁴ 15x Ou seja u₁x 15 x⁴ dx x⁵25 c₃ e u₂x 15 1x dx 15 ln x c₄ Considerando c₃ c₄ 0 uma solução particular da edo é dada por yₚx y₁x u₁x y₂x u₂x x⁵25 x⁵5 ln x Logo a solução geral da equação dada é yx c₁ y₁x c₂ y₂x yₚx c₁ c₂ x⁵ x⁵25 x⁵5 ln x x⁵5 ln x c₅ x⁵ c₁ Exercicio 4 Observe que a equação diferencial 3xy 2 x y y 0 possui um ponto singular regular em x 0 Assim suponha que sua solução seja dada por yx ⁿ0 aₙ xⁿʳ sendo r ℝ Disto seguese que yx ⁿ0 n r aₙ xⁿʳ¹ yx ⁿ0 n rn r 1 aₙ xⁿʳ² e substituindo na equação temse 3x ⁿ0 n rn r 1 aₙ xⁿʳ² 2 x ⁿ0 n r aₙ xⁿʳ¹ ⁿ0 aₙ xⁿʳ 0 ⁿ0 3n rn r 1 aₙ xⁿʳ¹ ⁿ0 2n r aₙ xⁿʳ¹ ⁿ0 n r aₙ xⁿʳ ⁿ0 aₙ xⁿʳ 0 xʳ ⁿ0 n r3n 3r 1 aₙ xⁿ¹ ⁿ0 n r 1 aₙ xⁿ 0 ⁿ1 n 1 r3n 2 3r aₙ1 xⁿ ⁿ0 n r 1 aₙ xⁿ 0 r 3r 1 a₀ x¹ ⁿ0 n r 1 3n 2 3r aₙ1 aₙ xⁿ 0 Seguese disto que r 3r 1 0 r 0 ou r 13 e aₙ1 n r 1 aₙ n 1 r 3n 2 3r aₙ 3n 2 3r Quando r 0 temse aₙ1 aₙ 3n 2 e a₀ ℝ a₁ 12 a₀ a₂ 110 a₀ a₃ 180 a₀ a₄ 1880 a₀ Ou seja y₁x 1 12 x 110 x² 180 x³ 1880 x⁴ x⁰ 1 12 x 110 x² 180 x³ 1880 x⁴ Quando r 13 temse aₙ1 aₙ 3n 1 e a₀ ℝ a₁ 13 a₀ a₂ 118 a₀ a₃ 1162 a₀ a₄ 11944 a₀ Ou seja y₂x 1 13 x 118 x² 1162 x³ 11944 x⁴ x13 x13 13 x43 118 x73 1162 x103 11944 x133 Exercicio 5 Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação dada temse 𝓛y 4y 𝓛6e³ᵗ 3eᵗ 𝓛y 4 𝓛y 6 𝓛e³ᵗ 3 𝓛eᵗ s² Ys sy0 y0 4 s Ys y0 6s 3 3s 1 Sabese que y0 1 y0 1 Logo s² Ys s 1 4 s Ys 4 6s 3 3s 1 s² 4s Ys s 5 6s 3 3s 1 Ys s³ 7 s² 10 s 30 s s 4 s 3 s 1 Decompondo esta expressão em frações parciais temse que Ys 52s 1110 s 4 2s 3 35 s 1 e usando a transforma de Laplace inversa obtemse yt 52 𝓛¹1s 1110 𝓛¹1s 4 2 𝓛¹1s 3 35 𝓛¹1s 1 52 1110 e⁴ᵗ 2e³ᵗ 35 eᵗ Universidade Federal do Vale do São Francisco Colegiado de Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Turma C4 Profº Edson 1ª Prova 1º Semestre 2017 Data 25 de Julho Duração 1600 1800 Problema 1 Resolvas as equações diferenciais a y 10xy b dydx y3 2yx2 3x y1 1 Problema 2 Determine as soluções para a equação x 1 dydx x 2y 2xex Problema 3 Encontre todas as soluções possíveis x dydx 2xex y 6x2 Problema 4 Encontre todas as soluções possíveis 1 2y sen x dy cos x dx 0 Problema 5 Encontre todas as soluções possíveis dydx y xy3 1 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Profº Edson 1º Semestre Gabarito 1ª Prova 2017 Data Segundafeira 21 de Agosto Turma C4 Exercício 1 a Desejase resolver a seguinte edo y 10xy Para isto observe inicialmente que a equação dada pode ser reescrita como dydx 10x 10y Usando separação de variáveis temse dy10y 10x dx 10y dy 10x dx 10y dy 10x dx eln 10y dy eln 10x dx ey ln 10 dy ex ln 10 dx ey ln 10ln 10 ex ln 10ln 10 c0 10yln 10 10xln 10 c0 10y 10x c0 ln 10 c1 10x 10y c1 onde c1 ℝ b Desejase resolver o seguinte problema de valor inicial dydx y3 2yx2 3x y1 1 Usandose separação de variáveis para a resolução da edo temse dyy3 2y dxx2 3x Observe porém que 1y3 2y 1y y2 2 12y y2 y2 2 e 1x2 3x 1x x 3 13x 13 x 3 Ou seja dyy3 2y dxx2 3x 12y y2 y2 2 dy 13x 13 x 3 dx 12 lny 14 ln y2 2 13 ln x 13 ln x 3 c0 ln y 4 y2 2 ln xx 3 c0 y 4 y2 2 eln xx 3 ec0 y 4 y2 2 ec0 xx 3 y 4 y2 2 c1 xx 3 ⁴y2y2 2 c134 xx 3 y2y2 2 c14 xx 343 y2y2 2 c2 xx 343 onde c2 ℝ Usando a condição inicial y1 1 ou seja x 1 e y 1 temse 11 2 c2 11 343 13 c2 144 c2 4 43 Ou seja a solução procurada na forma implícita é dada por y2y2 2 43 4 xx 343 3y2y2 2 4xx 343 3y2y2 23 4xx 34 Exercício 2 Desejase determinar todas as soluções da edo x 1 dydx x 2y 2xex Observe que tratase de uma edo linear de 1ª ordem Considerandose inicialmente apenas a parte homogênea desta equação ou seja x 1 dydx x 2y 0 e resolvendo por separação de variáveis temse x 1 dydx x 2y dyy x 2x 1 dx dyy x 2x 1 dx ln y 1 1x1 dx ln y x ln x 1 c0 ln y ln x 1 x c0 ln y x 1 x c0 y x 1 ex c0 y x 1 ec0 ex c1 y c1 ex x 1 Considerando c1 1 tome y1 x ux yx ux 1ex x 1 ux ex x 1 Disto seguese que dy1dx ux ex x 1 ux ex x 1 ex e2x x 12 ex ux x 1 ux x 2 e2x x 12 ux x 1 ux x 2 ex x 12 Substituindo na edo original temse x 1 dy1dx x 2y1 2xex uxex x 2ex x 1 ux x 2ex x 1 2xex uxex 2xex ux 2x ux x2 c2 Portanto y1 x ux ex x 1 y1 x x2 c2 ex x 1 Com c2 ℝ Exercício 3 Desejase resolver a equação x dydx 2xex y 6x2 Reescrevendo esta equação temse 2xex y 6x2 dx x dy 0 Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 1º Semestre Gabarito 2ª Prova 2017 Data Sextafeira 1 de Setembro Turma C4 Exercício 1 Sabese que y1 x12 ln x é uma solução da equação diferencial 4x² y y 0 Observe que esta equação pode ser reescrita como y 14x² y 0 Ou seja o coeficiente do termo de primeira ordem é a função px 0 Segundo o método de redução de ordem uma outra solução linearmente independente para a edo em questão é dada por y2 uxy1x sendo ux e px dxy1² dx e 0 dxx ln² x dx e⁰x ln² x dx dxx ln² x Considerando ω ln x temse que dω dxx Ou seja ux dxx ln² x dωω² 1ω c₀ 1ln x c₀ onde c₀ R Tomando c₀ 0 seguese que a outra solução procurada é y2 uxy1x 1ln x x12 ln x x12 Exercício 2 A equação diferencial y 2y 2 0 pode ser reescrita como y 2y 2 possui coeficientes constantes e a equação auxiliar da parte homogênea é dada por m² 2m 0 cujas soluções são m₁ 0 m₂ 2 Ou seja duas soluções linearmente independentes para a edo homogênea são dadas por y₁ 1 y₂ e2x E a sua solução complementar é yc c₁ y₁ c₂ y₂ c₁ c₂ e2x ou seja ky y² dy y³3 c₀ Portanto φx y y² sen x ky y² sen x y³3 c₀ e a solução da edo é dada por φx y c₁ y² sen x y³3 c₀ c₁ y² sen x y³3 c₁ c₀ y² sen x y³3 c₂ com c₂ R Exercício 5 Para resolver a edo dydx y xy³ 1 observe que esta equação pode ser reescrita como dydx xy⁴ y y y xy⁴ y4 y y3 x Considere u y3 e observe que u 3y4 y Assim seguese que y4 y y3 x u3 u x u 3u 3x Ou seja a edo resultante é linear cujo fator integrante é dado por μx e3 dx e3xc₀ Tomando c₀ 0 e multiplicando ambos os lados da edo em u temse e3x u 3e3x u 3x e3x ddx u e3x 3x e3x u e3x 3x e3x dx u e3x 13 e3x 3x 1 c₁ ux 13 3x 1 c₁ e3x Portanto u y3 u 1y³ y³ 1u yx u13 ou seja yx 13 3x 1 c₁ e3x 13 com c₁ R Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral IV Turma C4 Profo Edson 2a Prova 1o Semestre 2017 Data 31 de Agosto Duracao 1600 1800 Problema 1 Sabendo que y1 x 1 2 ln x e uma solucao da equacao diferencial 4x2y y 0 Determine uma outra solucao y2 desta equacao linearmente independente Problema 2 Encontre a solucao geral da equacao y 2y 2 0 Problema 3 Encontre a solucao geral da equacao y y 2y 0 Problema 4 Encontre a solucao geral da equacao y y 2x sen x Problema 5 Encontre a solucao geral da equacao y 9y 9x e3x Boa Sorte Considerando Px y 2x ex y 6x² Qx y x temse que Qx Py 1 1 0 Ou seja a equação dada é exata Portanto existe uma função φx y tal que φx P 1 φy Q 2 φx 2x ex y 6x² 3 φy x 4 Integrando 4 em relação a y obtemse φx y xy kx 5 e derivando 5 em relação a x φx y kx 6 Igualando as equações 6 e 3 resulta em kx 2x ex 6x² ou seja kx 2x ex 6x² dx 2x 1 ex 2x³ c₀ Portanto φx y xy kx xy 2x 1 ex 2x³ c₀ e a solução da edo é dada por φx y c₁ xy 2x 1 ex 2x³ c₀ c₁ xy 2x 1 ex 2x³ c₁ c₀ xy 2x 1 ex 2x³ c₂ com c₂ R Exercício 4 Para resolver a equação 1 2y sen x dy cos x dx 0 7 considere Px y cos x Qx y 1 2y sen x e observe que Qx Py 2y cos x 0 0 Ou seja a edo em questão não é exata Porém perceba que Qx Py cos x 2y cos x cos x 2y O que significa que esta equação diferencial pode ser transformada numa edo exata equivalente Para isto considere μy e Qx PyP dy e 2y dy e2 lny c₀ ec₀ y² c₁ y² Tomando c₁ 1 e multiplicando ambos os lados da equação 7 por μy temse y² cos x dx y² 1 2y sen x dy 0 que é exata Assim existe uma função φx y tal que φx y² cos x 8 φy y² 2y sen x 9 Integrando 8 e relação a x temse φx y y² sen x ky 10 e derivando 10 em relação a y resulta em φy 2y sen x ky 11 Igualando as equações 11 e 9 temse ky y² Com c1c2 R Usando o método dos coeficientes a determinar considere como proposta de solução a função yp Ax Substituindo na equação dada temse yp 2yp 2 0 2A 2 A 1 ou seja yp x Portanto a solução geral da equação em questão é y yc yp c1 c2e2x x Exercício 3 Desejase resolver a equação y y 2y 0 Observe que tratase de uma equação diferencial linear de 3ª ordem com coeficientes constantes cuja equação auxiliar é dada por m3 m2 2 0 As soluções desta equação são m1 1 m2 1 i m3 1 i Donde seguese que três soluções linearmente independentes da edo em questão são dadas por y1 ex y2 ex cos x y3 ex sen x e a solução geral é y c1y1 c2y2 c3y3 c1ex c2ex cos x c3ex sen x com c1c2c3 R Exercício 4 Desejase resolver a edo y y 2xsen x Iniciando pela parte homogênea desta equação observe que sua equação auxiliar é m2 1 0 cujas soluções são m1 i m2 i Ou seja y1 cos x y2 sen x e a solução complementar dáse por yc c1y1 c2y2 c1 cos x c2 sen x Usando o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular temse como proposta de solução a seguinte função yp Ax2 Bx sen x Cx2 Dx cos x donde seguese que yp 2A 2D B 4C x Ax2 sen x 2B 2C 4A D x Cx2 cos x e yp yp 2x sen x 2A 2D B 4C x Ax2 sen x 2B 2C 4A D x Cx2 cos x Ax2 Bx sen x Cx2 Dx cos x 2x sen x 2A 2D 4Cx sen x 2B 2C 4Ax cos x 2x sen x ou seja 2A 2D 0 4C 2 2B 2C 0 4A 0 A 0 B 12 C 12 D 0 Assim yp 12 x sen x 12 x2 cos x e a solução geral da edo é y yc yp c1 cos x c2 sen x 12 x sen x 12 x2 cos x com c2c3 R Exercício 5 Para resolver a equação y 9y 9xe3x Observe inicialmente que a parte homogênea desta edo possui equação auxiliar m2 9 0 e cujas soluções são m1 3 m2 3 Ou seja duas soluções linearmente independentes para esta equação são dadas por y1 e3x y2 e3x Logo a solução complementar da edo é yc c1y1 c2y2 c1e3x c2e3x Usando o método da variação de parâmetros para determinar uma solução particular da equação diferencial em questão temse que W y1 y2 y1 y2 e3x e3x 3e3x 3e3x 6 W1 0 y2 9xe3x y2 0 e3x 9xe3x 3e3x 9x e6x W2 y1 0 y1 9xe3x e3x 0 3e3x 9xe3x 9x Além disso u1 W1W 9x e6x6 32 x e6x ou seja u1 32 x e6x dx 124 e6x 6x 1 c3 e u2 W2W 9x6 32 x ou seja u2 32 x dx 34 x2 c4 com c3c4 R Portanto tomando c3 c4 0 uma solução particular da equação diferencial é dada por yp u1y1 u2y2 124 e6x 6x 1 e3x 34 x2 e3x 124 14 x 34 x2 e3x e a solução geral é y yc yp c1e3x c2e3x 124 14 x 34 x2 e3x c1e3x c2 124 14 x 34 x2 e3x c1e3x c5 14 x 34 x2 e3x com c1c5 R Universidade Federal do Vale do São Francisco Colegiado de Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Turma C4 Profº Edson 3ª Prova 1º Semestre 2017 Data 17 de Outubro Duração 1600 1800 Problema 1 Determine o raio de convergência da série n0 1n 3n n12 x12n Problema 2 Calcule L¹ 1 3s s2 2s 5 Problema 3 Encontre a solução geral da equação y y xy 0 Problema 4 Resolva a edo xy 5y xy 0 Problema 5 Resolva a edo y 3y 2y 0 com y0 3 e y0 1 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Profº Edson 1º Semestre Gabarito 3ª Prova 2017 Data Domingo 22 de Outubro Turma C4 Exercicio 1 Observe que o termo geral desta série é dado por an 1n x12n 3n n12 Assim seguese que an1 1n1x12n1 3n1n22 e an1an 1n1x12n1 3n1n22 3n n12 1n x12n 1n 1x12nx12 3n 3 n22 3n n12 1n x12n 13 n1 n22 x12 13 n1 n22 x12 13 n1 n22 x12 Portanto lim n an1an lim n 13 n1 n22 x12 13 12 x12 13 x12 Usando o teste da razão a série dada será absolutamente convergente quando lim n an1an 1 Ou seja quando 13 x12 1 x12 3 x1 3 3 x1 3 1 3 x 1 3 Logo o raio de convergência é R 3 Exercício 2 Observe inicialmente que o polinômio s2 2s 5 é irredutível não possui raízes reais Assim completando seu quadrado temse s2 2s 5 s2 2s 5 1 1 s12 4 Além disto temse que 1 3s s2 2s 5 1 3s s12 4 1 3s1 1 s12 4 1 3s1 3 s12 4 4 3s1 s12 4 Logo aplicando L¹ e usando a sua linearidade obtémse L¹ 1 3s s2 2s 5 L¹ 4 3s 1 s12 4 2L¹ 2 s 12 4 3L¹ s 1 s12 4 2L¹ 2 s2 4 ss1 3L¹ s s2 4 ss1 2et sen 2t 3et cos 2t Exercício 3 Observe que x 0 é um ponto ordinário para a edo y y xy 0 Portanto considere a seguinte proposta de solução y n0 an xn Seguese disto que y n1 n an xn1 y n2 nn1 an xn2 Substituindo na equação dada obtemse y y xy 0 n2 nn1 an xn2 n1 n an xn1 n0 an xn1 0 n0 n2n1 an2 xn n1 n1 an1 xn n1 an1 xn 0 2a2 n1 n2n1 an2 xn a1 n1 n1 an1 xn n1 an1 xn 0 12pt 2a2 a1 n1 n2n1 an2 n1 an1 an1 xn 0 Portanto 2a2 a1 0 n2n1 an2 n1 an1 an1 0 a2 a1 2 an2 n1 an1 an1 n2n1 Tomando a0 1 e a1 0 temse a2 a1 2 0 a3 16 a4 124 a5 1120 Ou seja y1x a0 a1 x a5 x5 1 16 x3 124 x4 1120 x5 Tomando agora a0 0 e a1 1 temse a2 a1 2 12 a3 16 a4 124 a5 130 Ou seja y2x a0 a1 x a5 x5 x 12 x2 16 x3 124 x4 130 x5 E a solução geral da edo é dada por yx c1 y1x c2 y2x com c1 c2 ℝ Exercício 4 Observe que x 0 é um ponto singular regular da equação xy 5y xy 0 Deste modo considere a seguinte proposta de solução segundo o método de Frobenius y Σ from n0 to an xnr Seguese disto que y Σ from n0 to n r an xnr1 y Σ from n0 to n rn r 1an xnr2 e substituindo na equação temse xy 5y xy 0 xΣ from n0 to n rn r 1an xnr2 5Σ from n0 to n ran xnr1 xΣ from n0 to an xnr 0 Σ from n0 to nrnr1an xnr1 5Σ from n0 to nran xnr1 Σ from n0 to an xnr1 0 xr Σ from n0 to nrnr1an xn1 5Σ from n0 to nran xn1 Σ from n0 to an xn1 0 Σ from n0 to nrnr1an xn1 5Σ from n0 to nran xn1 Σ from n2 to an2 xn1 0 rr1a0 x1 r1r a1 Σ from n2 to nrnr1an xn1 5 r a0 x1 5 r1 a1 5 Σ from n2 to nr an xn1 Σ from n2 to an2 xn1 0 r4r a0 0 r2 6r 5 a1 Σ from n2 to nr4nr an an2 xn1 0 Logo r4 r a0 0 r2 6r 5 a1 0 nr4nr an an2 0 r4 r 0 ou a0 0 r2 6r 5 0 ou a1 0 an an2 nr4nr 1º Caso Suponha a0 0 e a1 0 Então r2 6r 5 0 r 1 ou r 5 e para r 1 an an2 n3n1 a2 15 a0 0 a3 112 a1 a4 121 a2 0 a5 1384 a1 a6 0 a7 123040 a1 Ou seja y1 x1 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a1 112 a1 x2 1384 a1 x4 123040 a1 x6 a1 1 112 x2 1384 x4 123040 x6 Para r 5 an an2 n1n5 e neste caso a relação de recorrência não está definida para n 5 indicando que a solução não se enquadra na forma de série de potências 2º Caso Suponha a0 0 e a1 0 Então r4 r 0 r 0 ou r 4 Para r 0 a relação de recorrência tornase an an2 n4 n Ou seja a2 112 a0 a3 121 a1 0 a4 1384 a0 a5 145 a3 0 a6 160 a4 123040 a0 a7 177 a5 0 Portanto y2 x0 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a0 112 a0 x2 1384 a0 x4 123040 a0 x6 a0 1 112 x2 1384 x4 123040 x6 y1 Para r 4 a relação de recorrência tornase an an2 n n4 que não está definida para n 4 ou seja a solução para este caso não encontrase na forma de série de potências Universidade Federal do Vale do São Francisco Colegiado de Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Turma C4 Profº Edson Prova Final 1º Semestre 2017 Data 24 de Outubro Duração 1600 1800 Problema 1 Resolvas a equações diferencial y 10xy Problema 2 Encontre todas as soluções possíveis dydx y xy3 1 Problema 3 Encontre a solução geral da equação y 2y 2 0 Problema 4 Encontre a solução geral da equação y y xy 0 Problema 5 Resolva a edo y 3y 2y 0 com y0 3 e y0 1 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 1º Semestre Gabarito Prova Final 2017 Data Quartafeira 25 de Outubro Turma C4 Exercício 1 Desejase resolver a seguinte edo y 10xy Para isto observe inicialmente que a equação dada pode ser reescrita como dydx 10x 10y Usando separação de variáveis temse dy10y 10x dx 10y dy 10x dx 10y dy 10x dx eln 10 y dy ex ln 10 dx ey ln 10 dy ex ln 10 dx ey ln 10 ln 10 ex ln 10 ln 10 c0 10y ln 10 10x ln 10 c0 10y 10x c0 ln 10 c1 10x 10y c1 onde c1 R Exercício 2 Para resolver a edo dydx y x y3 1 observe que esta equaçãopode ser reescrita como dydx x y4 y y y x y4 y4 y y3 x Considere u y3 e observe que u 3 y4 y Assim seguese que y4 y y3 x w3 u x u 3 u 3 x Ou seja a edo resultante é linear cujo fator integrante é dado por μx e3 dx e3xc0 Tomando c0 0 e multiplicando ambos os lados da edo em u temse e3x u 3 e3x u 3 x e3x ddx u e3x 3 x e3x u e3x 3 x e3x dx u e3x 13 e3x 3 x 1 c1 ux x 13 c1 e3x Portanto u y3 u 1 y3 y3 1 u yx u13 ou seja yx x 13 c1 e3x13 com c1 R Exercício 3 A equação diferencial y 2 y 2 0 pode ser reescrita como y 2 y 2 possui coeficientes constantes e a equação auxiliar da parte homogênea é dada por m2 2 m 0 cujas soluções são m1 0 m2 2 Ou seja duas soluções linearmente independentes para a edo homogênea são dadas por y1 1 y2 e2x E a sua solução complementar é yc c1 y1 c2 y2 c1 c2 e2x Com c1 c2 R Usando o método dos coeficientes a determinar considere como proposta de solução a função yp A x Substituindo na equação dada temse yp 2 yp 2 0 2 A 2 A 1 ou seja yp x Portanto a solução geral da equação em questão é y yc yp c1 c2 e2x x Seguese disto que y n1 to n an xn1 y n2 to n n 1 an xn2 Substituindo na equação dada obtemse y y x y 0 n2 to n n 1 an xn2 n1 to n an xn1 n0 to an xn1 0 n0 to n 2 n 1 an2 xn n0 to n 1 an1 xn n0 to an1 xn 0 a1 n1 to n 1 an1 xn n1 to an1 xn 0 12 pt 2 a2 a1 n1 to n 2n 1 an2 n 1 an1 an1 xn 0 Portanto 2 a2 a1 0 n 2 n 1 an2 n 1 an1 an1 0 a2 a1 2 an2 n1 an1 an1 n2 n1 Tomando a0 1 e a1 0 temse a2 a1 2 0 a3 16 a4 124 a5 1120 Ou seja y1x a0 a1 x a5 x5 1 16 x3 124 x4 1120 x5 Tomando agora a0 0 e a1 1 temse a2 a1 2 12 a3 16 a4 124 a5 130 Ou seja y2x a0 a1 x a5 x5 x 12 x2 16 x3 124 x4 130 x5 E a solução geral da edo é dada por yx c1 y1x c2 y2x com c1 c2 R Exército 5 Usando a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial y 3 y 2 y 0 y0 3 y0 1 Obtemse Ly 3 y 2 y L 0 Ly 3 L y 2 L y 0 s2 L y s y0 y0 3 s L y y0 2 L y 0 Considerando L y Y e lembrando que y0 3 e y0 1 temse s2 Y 3 s 1 3 s Y 9 2 Y 0 s2 3 s 2 Y 8 3 s 0 Y 8 3 s s2 3 s 2 5 s 1 2 s 2 Aplicando agora a transformada inversa yt L1 5 s 1 2 s 2 5 L1 1 s 1 2 L1 1 s 2 5 et 2 e2 t Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral IV Turma C4 Profo Edson 1a Prova 1o Semestre 2019 Data 28 de Maio Duracao 1600 1800 Problema 1 Resolvas as equacoes diferenciais a xdy dx 1 y2 b y xyex2 y0 1 Problema 2 Determine as solucoes para a equacao y 2y xe2x Problema 3 Encontre todas as solucoes possıveis ydx xdy 2x3 sen x dx Problema 4 Encontre todas as solucoes possıveis y2 x2y xy y Problema 5 Encontre todas as solucoes possıveis xy 2y x5y3ex 0 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Profº Edson 1º Semestre Gabarito 1ª Prova 2019 Data Quartafeira 5 de Junho Turma C4 Exercício 1 a Desejase resolver a seguinte edo x dydx 1 y2 Usando separação de variáveis a equação dada pode ser reescrita como dy1y2 dxx dy1y2 dxx 11y lnx c1 1lnx c1 1 y y 1 1lnx c1 onde c1 R b Desejase resolver o seguinte problema de valor inicial y xyex2 y0 1 Usandose separação de variáveis para a resolução da edo temse dyy x ex2 dx Ou seja dyy x ex2 dx lny ex22 c1 c1R y eex22 ec1 y c2 eex22 c2R y c2 eex22 y c3 eex22 onde c3 R Usando a condição inicial y0 1 ou seja x 0 e y 1 temse 1 c3 e02 1 c3 e12 c3 e12 Ou seja a solução procurada é dada por y e12 eex22 y eex212 Exercício 2 Desejase determinar todas as soluções da edo y 2y x e2x Observe que tratase de uma edo linear de 1ª ordem Considere px 2 e observe que px dx 2x c0 c0 R Tomando c0 0 temse que o fator integrante da equação dada é μx e px dx e2x Assim multiplicando ambos os lados da edo por μx temse μx y 2y μx x e2x ddx μx yx e2x x e2x μx yx x dx e2x yx x22 c0 yx e2x x22 c0 Com c0 R Exercício 3 Desejase resolver a equação y dx x dy 2x3 sen x dx Reescrevendo esta equação temse y 2x3 sen x dx x dy 0 x dydx y 2x3 sen x dydx 1x y 2x2 sen x Ou seja a equação dada é linear Considere px 1x e observe que px dx ln x c0 c0 R Tomando c0 0 temse que o fator integrante da equação dada é μx e px dx eln x 1x Escolhendo μx 1x e multiplicando ambos os lados da edo por μx temse μx dydx 1x y μx 2 x2 sen x ddx μx yx 1x 2 x2 sen x μx yx 2 x sen x dx 1x yx 2 x cos x 2 sen x c0 yx 2 x2 cos x 2 x sen x c0 x Com c0 R Exercício 4 Para resolver a equação y2 x2 y x y y Observe que é possível reescrevêla da seguinte maneira y2 dx x2 dy x y dy y2 dx x2 x y dy 0 Ou seja a equação dada é homogênea de grau 2 Assim x2 y2 x2 dx 1 yx dy 0 yx2 dx 1 yx dy 0 Tomando u yx y u x temse dy x du u dx e substituindo na equação u2 dx 1 ux du udx 0 u dx 1 u x du 0 dxx u 1u du dxx u 1u du ln x u ln u c0 ln x ln u u c0 ln x u u c0 ln y yx c0 y ex ec0 y c1 ex y c1 ex y c2 ex com c2 R e observe que u 2 y3 y e substituindo na edo dada temse u 4x u 2 x4 ex Ou seja a edo resultante é linear cujo fator integrante é dado por μx e 4x dx e4 ln x c0 ec0 x4 Tomando c0 0 e multiplicando ambos os lados da edo em u temse μx u 4x u 2 x4 ex μx ddx μx ux 2 ex 1x4 ux 2 ex dx 1x4 ux 2 ex c1 ux 2 ex x4 c1 x4 Portanto u y2 u 1y2 y2 1u yx 1sqrt2 ex x4 c1 x4 com c1 R Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral IV Turma C4 Profo Edson 2a Prova 1o Semestre 2019 Data 18 de Julho Duracao 1600 1800 Problema 1 Sabendo que y1 x ln x e uma solucao da equacao diferencial x2y xy y 0 Determine uma outra solucao y2 desta equacao mesma equacao que seja linearmente independente Problema 2 Encontre a solucao geral da equacao 8y y 0 Problema 3 Encontre a solucao geral da equacao 4y 25y x cos x Problema 4 Sabendo que y1 x e y2 x ln x com x 0 sao solucoes da equacao homogˆenea associada a equacao y 1 xy 1 x2y 1 x Encontre uma solucao particular para esta equacao Problema 5 Encontre a solucao geral da equacao 4y 4y 3y cos 2x Boa Sorte Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Profº Edson 1º Semestre Gabarito 2ª Prova 2019 Data Quintafeira 15 de Agosto Turma C4 Exercício 1 Observe inicialmente que a equação dada pode ser reescrita como y 1x y 1x² y 0 Assim considerando px 1x e usando o método de redução de ordem temse que a outra solução que desejase encontrar é dada por y₂ y₁ epxdxy₁² dx Perceba que pxdx 1x dx lnx c₀ Tomando c₀ 0 e considerando x x esta é uma das soluções possíveis e qualquer uma serve aos propósitos deste problema temse que y₂ y₁ eln xy₁² dx x ln x xx² ln² x dx x ln x dxx ln² x x ln x 1ln x c₁ Tomando c₁ 0 novamente estamos interessados em uma solução qualquer temse y₂ x Para verificar que y₁ e y₂ são linearmente independentes poderíamos usar o Wronskiano mas isto é desnecessário uma vez que o método de redução de ordem garante que a solução y₂ encontrada é linearmente independente de y₁ Exercício 2 Sendo 8y y 0 a equação diferencial dada temse que sua equação auxiliar é dada por 8m³ m² 0 Ou seja m² 8m 1 0 e esta equação possui soluções m₁ 0 m₂ 0 m₃ 18 Seguese disto que y₁ em₁ x 1 y₂ x y₁ x y₃ em₃ x ex8 Sendo portanto a solução geral da equação diferencial dada yc c₁ y₁ c₂ y₂ c₃ y₃ c₁ c₂ x c₃ ex8 com c₁ c₂ c₃ ℝ Exercício 3 Resolvendo inicialmente a equação homogênea associada ou seja 4y 25y 0 temse como equação auxiliar 4m² 25 0 cujas soluções são m₁ 52 i m₂ 52 i Ou seja y₁ cos52 x y₂ sen52 x Donde seguese que a solução complementar da edo dada é y c₁ y₁ c₂ y₂ c₁ cos52 x c₂ sen52 x Para encontrar uma solução particular o método do coeficientes a determinar apresenta como proposta de solução a função yp Ax B cos x Cx D sen x Onde yp Cx A D cos x Ax C B sen x yp Cx D 2A sen x Ax B 2C cos x Substituindo na equação dada 4yp 25 yp x cos x 21D 8A 0 21B 8C 0 21A 1 21C 0 A 121 B 0 C 0 D 8441 Ou seja yp 121 x cos x 8441 sen x E a solução geral da edo dada é yg yc yp c₁ cos52 x c₂ sen52 x 121 x cos x 8441 sen x com c₁ c₂ ℝ Exercício 4 Usando o método da variação de parâmetros a solução particular yp que desejase encontrar é dada por yp u₁ y₁ u₂ y₂ Onde u1 W₁W u2 W₂W e W y₁ y₂ y1 y2 x x ln x 1 ln x 1 x W₁ 0 y₂ g y2 0 x ln x 1x ln x 1 ln x W₂ y₁ 0 y1 g x 0 1 1x 1 sendo gx 1x função que torna a equação não homogênea Assim u1 ln x x u₁ ln² x 2 u2 1x u₂ ln x e yp ln² x2 x ln x x ln x 12 x ln² x Exercício 5 A equação homogênea associada possui equação auxiliar dada por 4m² 4m 3 0 cujas soluções são m₁ 12 m₂ 32 Ou seja y₁ ex2 y₂ e3x2 e a solução complementar da edo dada é yc c₁ y₁ c₂ y₂ c₁ ex2 c₂ e3x2 com c₁ c₂ ℝ Usando o método dos coeficientes a determinar uma proposta de solução particular é dada por yp A cos 2x B sen 2x Donde seguese que yp 2A sen 2x 2B cos 2x yp 4A cos 2x 4B sen 2x e substituindo na equação 4yp 4yp 3yp cos 2x 18A 8B cos 2x 18B 8A sen 2x cos 2x 8A 19B 0 8B 19A 1 A 19425 B 8425 Ou seja yp 19425 cos 2x 8425 sen 2x e a solução geral da equação diferencial dada é yg yc yp c₁ ex2 c₂ e3x2 19425 cos 2x 8425 sen 2x Universidade Federal do Vale do São Francisco Colegiado de Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Turma C4 Profº Edson 3ª Prova 1º Semestre 2019 Data 29 de Agosto Duração 1600 1800 Problema 1 Determine o intervalo de convergência da série n0 2n x 3n n 3 Problema 2 Calcule ℒ¹s 1 s³ 2s Problema 3 Encontre a solução geral da equação 1 x²y xy xy 0 Problema 4 Resolva a edo x² xy 2y 2y 0 Problema 5 Resolva a edo y 5y 6y 0 com y0 1 e y0 3 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Profº Edson 1º Semestre Gabarito 3ª Prova 2019 Data Quartafeira 4 de Setembro Turma C4 Exercício 1 Observe que o termo geral desta série é dado por an 2n x 3n n 3 Assim seguese que an1 2n1 x 3n1 n 4 e an1 an 2n1 x 3n1 n 4 n 3 2n x 3n 2x 3 n 3 n 4 2 n 3 n 4 x 3 2 n 3 n 4 x 3 Portanto lim n an1 an lim n 2 n 3 n 4 x 3 2 x 3 lim n n 3 n 4 2 x 3 Usando o teste da razão a série dada será absolutamente convergente quando lim n an1 an 1 Ou seja quando 2 x 3 1 x 3 12 12 x 3 12 3 12 x 3 12 52 x 72 Logo o intervalo de convergência é I 52 72 havendo ainda a possibilidade de convergência nos extremos deste intervalo dispensado de fazer Exercício 2 Observe que s 1 s³ 2s s 1 s s² 2 12 1s 12 s s² 2 1 s² 2 Logo aplicando ℒ¹ e usando a sua linearidade obtemse ℒ¹ s 1 s³ 2s ℒ¹ 12 1s 12 s s² 2 1 s² 2 12 ℒ¹ 1s 12 ℒ¹ s s² 2 12 ℒ¹ 2 s² 2 12 12 cos 2t 12 sin 2t Exercício 3 Observe que x 0 é um ponto ordinário para a edo 1 x²y xy xy 0 Portanto considere a seguinte proposta de solução y n0 an xn Seguese disto que y n1 n an xn1 y n2 nn 1 an xn2 2 Gabarito 3ª Prova Substituindo na equação dada obtemse 1 x² y xy xy 0 1 x² n2 nn 1 an xn2 x n1 n an xn1 x n0 an xn 0 n2 nn 1 an xn2 n2 nn 1 an xn n1 n an xn n0 an xn1 0 n0 n 2n 1 an2 xn n2 nn 1 an xn n1 n an xn n1 an1 xn 0 2 a2 6 a3 a1 a0 x n2 n 2n 1 an2 xn n2 nn 1 an xn n2 n an xn n2 an1 xn 0 2 a2 6 a3 a1 a0 x n2 n 2n 1 an2 n² an an1 xn 0 Portanto 2 a2 0 6 a3 a1 a0 0 n2n1 an2 n² an an1 0 a2 0 a3 a1 a0 6 an2 n² an an1 n2n1 Tomando a0 1 e a1 0 temse a2 0 a3 16 a4 0 a5 340 a6 1180 Ou seja y1x a0 a1 x a5 x5 1 16 x3 340 x5 1180 x6 Tomando agora a0 0 e a1 1 temse a2 0 a3 16 a4 112 a5 340 a6 120 Ou seja y2x a0 a1 x a5 x5 x 16 x3 112 x4 340 x5 120 x6 E a solução geral da edo é dada por yx c1 y1x c2 y2x com c1 c2 ℝ Exercício 4 Observe que x 0 é um ponto singular regular da equação x² x y 2y 2y 0 Deste modo considere a seguinte proposta de solução segundo o método de Frobenius y n0 an xnr Seguese disto que y n0 n r an xnr1 y n0 n rn r 1 an xnr2 Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Profº Edson 1º Semestre Gabarito Prova Final 2019 Data Quartafeira 4 de Setembro Turma C4 Exercício 1 Desejase determinar todas as soluções da edo y 2y xe2x Observe que tratase de uma edo linear de 1ª ordem Considere px 2 e observe que pxdx 2x c0 c0 ℝ Tomando c0 0 temse que o fator integrante da equação dada é μx epxdx e2x Assim multiplicando ambos os lados da edo por μx temse μxy 2y μxxe2x ddx μxyx e2xe2x μxyx xdx e2xyx x22 c0 yx e2x x22 c0 Com c0 ℝ Exercício 2 Desejase resolver a equação ydx xdy 2x3sen x dx Reescrevendo esta equação temse y 2x3sen x dx xdy 0 x dydx y 2x3sen x dydx 1x y 2x2sen x Ou seja a equação dada é linear Considere px 1x e observe que pxdx lnx c0 c0 ℝ Tomando c0 0 temse que o fator integrante da equação dada é μx epxdx elnx 1x Escolhendo μx 1x e multiplicando ambos os lados da edo por μx temse μxdydx 1x y μx2x2sen x ddx μxyx 1x 2x2sen x μxyx 2x sen x dx 1x yx 2x cos x 2sen x c0 yx 2x2 cos x 2x sen x c0 x Com c0 ℝ Exercício 3 Resolvendo inicialmente a equação homogênea associada ou seja 4y 25y 0 temse como equação auxiliar 4m2 25 0 e substituindo na equação temse x2 xy 2y 2y 0 x2 xnrnr1an xnr2n0 2nran xnr1n0 2an xnrn0 0 nrnr1an xnrn0 nrnr1an xnr1n0 2nr an xnr1n0 2an xnrn0 0 xr nrnr1an xnn0 nrnr1an xn1n0 2nr an xn1n0 2an xnn0 0 nrnr1an xnn0 nrnr1an xn1n0 2nr an xn1n0 2an xnn0 0 nrnr1 2 an xnn0 nrnr1 2nr an xn1n0 0 nrnr1 2 an xnn0 nr1nr 2nr1 an1 xnn1 0 r3 r a0 x1 nrnr1 2 an nr2nr1an1 xn 0 n0 r3 r a0 0 nrnr1 2 an nr2nr1 an1 0 r3 r 0 ou a0 0 an1 nr2nr1nrnr1 2 an r 3 ou r 0 an1 nr2nr1 nrnr1 2 an 1º Caso Suponha a0 0 e r 0 an1 n2n1 nn1 2 an n2 n 2 n2 n 2 an an a0 1 a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 a5 1 Ou seja y1 x0 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 1 x x2 x3 x4 x5 11x 2º Caso Suponha a0 0 e r 3 A relação de recorrência tornase an1 n1n4 n3n2 2 an n2 5n 4 n2 5n 4 an an Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral IV Turma C4 Profo Edson Prova Final 1o Semestre 2019 Data 03 de Setembro Duracao 1600 1800 Problema 1 Determine as solucoes para a equacao y 2y xe2x Problema 2 Encontre todas as solucoes possıveis ydx xdy 2x3 sen x dx Problema 3 Encontre a solucao geral da equacao 4y 25y x cos x Problema 4 Encontre a solucao geral da equacao 4y 4y 3y cos 2x Problema 5 Encontre a solucao geral da equacao 1 x2y xy xy 0 Boa Sorte Ou seja a0 1 a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 a5 1 Portanto y2 x3 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 x3 1 x x2 x3 x4 x5 x3 11x x3 1 x Assim a solução geral da equação dada é yc c1 y1 c2 y2 c1 11x c2 x31x 11x c1 c2 x3 sendo c1 c2 ℝ Exercício 5 Usando a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial y 5y 6y 0 y0 1 y0 3 Obtemse Ly 5y 6y L0 Ly 5Ly 6Ly 0 s2 Ly sy0 y0 5s Ly y0 6 Ly 0 Considerando Ly Y e lembrando que y0 1 e y0 3 temse s2 Y s 3 5sY 5 6Y 0 s2 5s 6 Y 2 s 0 Y s 2s2 5s 6 s 2s 3s 2 1s 3 Aplicando agora a transformada inversa yt L1 1s 3 L1 1s 3 e3t Universidade Federal do Vale do São Francisco Colegiado de Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Turma C4 Prof Edson 1ª Prova 1º Semestre 2019 Data 28 de Maio Duração 1600 1800 Problema 1 Resolva a equação 21 x1 yy y 22 0 Problema 2 Resolva a equação x2 dydx 2xy 2 x y1 1 Problema 3 Resolva a equação 4xy 1x dx 2x2 1y dy 0 Problema 4 Resolva a equação y 2x2 y2xy Problema 5 Resolva a equação dydx 2y sen x 2y2 sen x Boa Sorte cujas soluções são m1 52i m2 52i Ou seja y1 cos 52 x y2 sen 52 x Donde seguese que a solução complementar da edo dada é y c1 y1 c2 y2 c1 cos 52 x c2 sen 52 x Para encontrar uma solução particular o método do coeficientes a determinar apresenta como proposta de solução a função yp Ax B cos x Cx D sen x Onde yp Cx A D cos x Ax C B sen x yp Cx D 2A sen x Ax B 2C cos x Substituindo na equação dada 4yp 25 yp x cos x 21D 8A 0 21B 8C 0 21A 1 21C 0 A 121 B 0 C 0 D 8441 Ou seja yp 121x cos x 8441 sen x E a solução geral da edo dada é yg yc yp c1 cos 52 x c2 sen 52 x 121 x cos x 8441 sen x com c1 c2 R Exercício 4 A equação homogênea associada possui equação auxiliar dada por 4 m2 4m 3 0 cujas solução são m1 12 m2 32 Ou seja y1 ex2 y2 e3x2 e a solução complementar da edo dada é yc c1 y1 c2 y2 c1 ex2 c2 e3x2 com c1 c2 R Usando o método dos coeficientes a determinar uma proposta de solução particular é dada por yp A cos 2x B sen 2x Donde seguese que yp 2 A sen 2x 2 B cos 2x yp 4 A cos 2x 4 B sen 2x e substituindo na equação 4 yp 4 yp 3 yp cos 2x 18 A 8 B cos 2x 18 B 8 A sen 2x cos 2x 8 A 19 B 0 8 B 19 A 1 A 19425 B 8425 Ou seja yp 19425 cos 2x 8425 sen 2x e a solução geral da equação diferencial dada é yg yc yp c1 ex2 c2 e3x2 19425 cos 2x 8425 sen 2x Exercício 5 Observe que x 0 é um ponto ordinário para a edo 1 x2 y xy xy 0 Portanto considere a seguinte proposta de solução y n0 an xn Seguese disto que y n1 n an xn1 y n2 n n1 an xn2 Substituindo na equação dada obtemse 1 x2 y x y x y 0 1x2 n2 n n1 an xn2 x n1 n an xn1 x n0 an xn 0 n2 n n1 an xn2 n2 n n1 an xn n1 n an xn n0 an xn1 0 n0 n2n1 an2 xn n2 n n1 an xn n1 n an xn n1 an1 xn 0 2 a2 6 a3 a1 a0 x n2 n2n1 an2 xn n2 n n1 an xn n2 n an xn n2 an1 xn 0 2 a2 6 a3 a1 a0 x n2 n2n1 an2 n2 an an1 xn 0 Portanto 2 a2 0 6 a3 a1 a0 0 n2n1 an2 n2 an an1 0 a2 0 a3 a1 a06 an2 n2 an an1n2n1 Tomando a0 1 e a1 0 temse a2 0 a3 16 a4 0 a5 340 a6 1180 Ou seja y1x a0 a1 x a5 x5 1 16 x3 340 x5 1180 x6 Tomando agora a0 0 e a1 1 temse a2 0 a3 16 a4 112 a5 340 a6 120 Ou seja y2x a0 a1 x a5 x5 x 16 x3 112 x4 340 x5 120 x6 E a solução geral da edo é dada por yx c1 y1x c2 y2x com c1 c2 R Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Profº Edson 1º Semestre Gabarito 1ª Prova 2020 Data Quartafeira 31 de Março de 2021 Turma C4 Exercício 1 Desejase resolver a seguinte edo 21 x1 yy y 22 0 Usando separação de variáveis a equação dada pode ser reescrita como 21 x1 y dydx y 22 2 1 yy 22 dy 11 x dx 2 1 yy 22 dy 11 x dx lny 2 1y 2 ln1 x c1 onde c1 R Exercício 2 Desejase resolver o seguinte problema de valor inicial x2 dydx 2xy 2 x y1 1 Observe que a equação dada pode ser reescrita como dydx 2x y 2 xx2 Ou seja temse uma edo linear com Px 2x fx 2 xx2 Assim Px dx 2x dx 2 lnx c1 c1 R e tomando c1 0 temse μx e Px dx e2 lnx elnx2 x2 x2 Além disto a solução desta edo é dada por yx 1μx μx fx dx 1x2 x2 2 xx2 dx 1x2 2 x dx 1x2 2x x22 c 12 2x cx2 onde c R Usando a condição inicial y1 1 ou seja x 1 e y 1 temse y1 12 21 c1 1 52 c c 32 Ou seja a solução procurada é dada por yx 12 2x 32x2 Exercício 3 Desejase determinar todas as soluções da edo 4xy 1x dx 2x2 1y dy 0 Considere Mx y 4xy 1x Nx y 2x2 1y e observe que My 4x Nx 4x Ou seja a edo dada é exata Para encontrar as soluções desta equação é necessário resolver o seguinte sistema fx M fy N fx 4xy 1x fy 2x2 1y Integrando em relação à x a primeira equação sistema obtemse fx y 2x2 y lnx ky Donde seguese que fy 2x2 ky Comparando este resultado com a segunda equação do sistema temse que ky 1y ky lny c1 com c1 R Assim fx y 2x2 y lnx ky 2x2 y lnx lny c1 2x2 y lnxy c1 e a solução da edo em questão é dada por fx y c2 c2 R Ou seja 2x2 y lnxy c1 c2 2x2 y lnxy c Com c R Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral IV Turma C4 Profo Edson 2a Prova 1o Semestre 2020 Data 04 de Maio de 2021 Duracao 1600 1900 Problema 1 Sabendo que a funcao y1 1 x e uma solucao da equacao x2y 3xy y 0 Encontre outra solucao desta edo que seja linearmente independente de y1 Problema 2 Encontre a solucao geral da equacao y 3y 3y 0 Problema 3 Encontre a solucao geral da equacao y 4y 3e2x 4e2x Problema 4 Encontre uma solucao particular da equacao y 2y y 2ex x Problema 5 Encontre a solucao geral da equacao x2y xy 4y 0 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Profº Edson 1º Semestre Gabarito 2ª Prova 2020 Data Terçafeira 15 de Junho de 2021 Turma C4 Exercício 1 Observe que a equação dada pode ser reescrita como y 3x y 1x² y 0 Ou seja Px 3x Sabendo que y₁ 1x Seguese que μx Px dx 3x dx 3 lnx c₀ c₀ ℝ Disto seguese que ηx eμx y₁² e³ lnxc₀ 1x² ec₀ elnx³ x² ec₀ x³ x² ec₀ x² x³ ec₀ 1x c₁ 1x c₁ ℝ e ux ηx dx c₁ 1x dx c₁ ln x c₂ c₂ ℝ Tomando c₁ 1 e c₂ 0 seguese que y₂x y₁x ux ln x x Exercício 2 A equação característica da edo em questão é dada por m² 3m 3 0 cuja solução é m₁ 32 32 i m₂ 32 32 i Ou seja α 32 β 32 e o conjunto fundamental de soluções é y₁ eαx cos βx e3x2 cos 3x2 y₂ eαx sen βx e3x2 sen 3x2 Logo a solução geral da equação y c₁ y₁ c₂ y₂ c₁ e3x2 cos 3x2 c₂ e3x2 sen 3x2 e3x2 c₁ cos 3x2 c₂ sen 3x2 Exercício 3 Observe que a parte homogênea da edo possui equação característica m² 4 0 Ou seja m₁ 2 m₂ 2 e y₁ e²x y₂ e²x com solução complementar yc c₁ y₁ c₂ y₂ c₁ e²x c₂ e²x com c₁ c₂ ℝ Para solução particular da equação dada considere a seguinte proposta yp x A e²x B e²x Disto seguese que yp A e²x B e²x 2x A e²x B e²x v 2x 1 A e²x 2x 1 B e²x yp 2 A e²x 2 2x 1 A e²x 2 B e²x 2 2x 1 B e²x 4 x 1 A e²x 4 x 1 B e²x Substituindo na equação temse yp 4 yp 3 e²x 4 e²x 4 x 1 A e²x 4 x 1 B e²x 4x A e²x B e²x 3 e²x 4 e²x 4 A e²x 4 B e²x 3 e²x 4 e²x Ou seja A 34 B 1 e yp x 34 e²x e²x A solução geral é portanto y yc yp c₁ e²x c₂ e²x x 34 e²x e²x c₁ 34 x e²x c₂ x e²x Exercício 4 A equação característica da parte homogênea da edo em questão é dada por m² 2m 1 0 m 1² 0 ou seja m₁ m₂ 1 e o conjunto fundamental de soluções é y₁ em₁x ex y₂ x em₁x x ex Usando o método da variação de parâmetros temse que W y₁ y₂ y₁ y₂ ex x ex ex x1 ex e²x W₁ 0 y₂ g y₂ 0 x ex 2exx x1 ex 2 e²x W₂ y₁ 0 y₁ g ex 0 ex 2 exx 2 e²x x e u₁ W₁ W 2 e²x e²x 2 u₂ W₂ W 2 e²x x e²x 2x Ou seja u₁ 2x c₀ u₂ 2 ln x c₁ com c₀ c₁ ℝ Considerando c₀ c₁ 0 e x 0 seguese que uma solução particular da equação é yp y₁ u₁ y₂ u₂ 2x ex 2x ex ln x 2x ex ln x 1 Exercício 5 Considere a função y xm como proposta de solução para a equação dada Observe que y m xm1 y m 1 m xm2 Substituindo na equação temse x² y x y 4 y 0 x² m 1 m xm2 x m xm1 4 xm 0 m 1 m xm m xm 4 xm 0 m² 4 xm 0 m² 4 0 e m₁ 2i m₂ 2i Ou seja α 0 β 2 Portanto y₁ cos 2 ln x y₂ sen 2 ln x e a solução geral é y c₁ y₁ c₂ y₂ c₁ cos 2 ln x c₂ sen 2 ln x com c₀ c₁ ℝ Universidade Federal do Vale do São Francisco Colegiado de Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Turma C4 Profº Edson 3ª Prova 1º Semestre 2020 Data 15 de Junho de 2021 Duração 1600 1900 Problema 1 Determine para quais valores de k a série converge n1nk 3n Problema 2 Determine o raio de convergência da série n1x3n164n Problema 3 Encontre a Série de Taylor para a função f em torno de x03 sabendo que f34 e fxn1x3nn Problema 4 Encontre a solução geral da edo yx2 y xy0 Problema 5 Encontre uma solução da equação x2 y xy x2 1 y0 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Cálculo Diferencial e Integral IV Profº Edson 1º Semestre Gabarito 3ª Prova 2020 Data Sextafeira 25 de Junho Turma C4 Exercício 1 Observe que o termo geral desta série é dado por annk 3n Assim seguese que an1n1k 3n1 e an1ann1k 3n1nk 3nn1k 3n1nk 3n 13 n1nk Portanto limn an1anlimn 13 n1nk 13 limn n1nk 13 1 Logo pelo teste da razão a série dada será absolutamente convergente para qualquer valor de k R Exercício 2 O termo geral desta série é dado por anx3n164n Assim seguese que an1x3n464n1 e an1an x3n464n1 64nx3n1x364x364 Portanto limn an1anlimn x364x364 Usando o teste da razão a série dada será absolutamente convergente quando limn an1an1 x364 1 x3 64 x4 Ou seja o raio de convergência é 4 Exercício 3 Sabese que fxn1x3nn Logo fx n1x3nn c n1x3n1nn1 Além disso é dado que f34 2 Gabarito 3a Prova Ou seja c 4 Donde seguese finalmente que f x 4 n1 x 3n1 nn 1 Exercıcio 4 Observe que x 0 e um ponto ordinario para a edo y x2y xy 0 Portanto considere a seguinte proposta de solucao y n0 anxn Seguese disto que y n1 nanxn1 y n2 nn 1anxn2 Substituindo na equacao dada obtemse y x2y xy 0 n2 nn 1anxn2 x2 n1 nanxn1 x n0 anxn 0 n1 n 3n 2an3xn1 n1 nanxn1 n0 anxn1 0 2a2 6a3 a0 x n1 n 3n 2an3xn1 n1 nanxn1 n1 anxn1 0 2a2 6a3 a0 x n1 n 3n 2an3 n 1 an xn1 0 Portanto 2a2 0 6a3 a0 0 n 3n 2an3 n 1 an 0 a2 0 a3 a0 6 an3 n 1 an n 3n 2 Tomando a0 1 e a1 0 temse a2 0 a3 1 6 a4 0 a5 0 a6 1 45 a9 7 3240 Ou seja y1x a0 a1x a5x5 1 1 6x3 1 45x6 7 3240x9 Tomando agora a0 0 e a1 1 temse a2 0 a3 0 a4 1 6 a5 0 a6 0 a7 5 252 a10 1 567 Ou seja y2x a0 a1x a5x5 x 1 6x4 5 252x7 1 567x10 E a solução geral da edo é dada por yxc1 y1 x c2 y2 x com c1c2 R Exercício 5 Observe que x 0 é um ponto singular regular da equação x2 y xy x2 1 y0 Deste modo considere a seguinte proposta de solução segundo o método de Frobenius yn0an xnr Seguese disto que yn0nr an xnr1 yn0nrnr1an xnr2 e substituindo na equação temse x2 y xy x2 1 y0 x2 n0nrnr1an xnr2 x n0nran xnr1x2 1 n0an xnr0 n0nrnr1an xnr n0an xnr2 n0an xnr0 xr n0nrnr1an xn n0nran xn n0an xn2 n0an xn 0 n0nrnr1an xn n0nran xn n2an2 xn n0an xn 0 rr1a0 rr1a1 x n2nrnr1an xn r a0 1ra1 x n2nran xn a0 a1 x n2an2 xn n2an xn 0 r2 1 a0 r r2 a1 x n2nr2 1 an an2 xn 0 Logo r2 1 a0 0 r r2 a1 0 nr2 1 an an2 0 r2 10 ou a0 0 r r2 0 ou a1 0 an an2nr2 1 r1 ou r1 a10 an an2nr2 1 Perceba que sendo a1 0 seguese da relação de recorrência que a3 a5 a7 a2n1 0 Supondo a0 0 e r1 temse an an2n12 1 an2n n2 e a0 1 a2 18 a4 1192 a6 19216 Ou seja y1 x a0 a2 x2 a4 x4 a6 x6 x 18 x3 1192 x5 19216 x7 é uma solução da equação dada Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral IV Turma M4 Profo Edson 2a Prova 2o Semestre 2021 Data 02 de Agosto de 2022 Duracao 1400 1600 Problema 1 Sabendo que a funcao y1 x2 1 e uma solucao da equacao x2 1y 2xy 2y 0 Encontre outra solucao desta edo que seja linearmente independente de y1 Problema 2 Resolva a equacao y 3y 3y y 0 Problema 3 Encontre uma solucao particular para a equacao y 4y x2 3 Problema 4 Encontre uma solucao particular para a equacao y 2y y ex ln x Problema 5 Resolva a equacao x2y 4xy 2y ex Boa Sorte Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral IV Turma TX Profo Edson 2a Prova 2o Semestre 2021 Data 02 de Agosto de 2022 Duracao 1600 1800 Problema 1 Sabendo que a funcao y1 x 1 e uma solucao da equacao x 12y 3x 1y 3y 0 Encontre outra solucao desta edo que seja linearmente independente de y1 Problema 2 Resolva a equacao y 3y 4y 12y 0 Problema 3 Encontre uma soluc ao particular para a equacao y 2y 24y x 2e4x Problema 4 Encontre uma soluc ao particular para a equacao y 3y 2y senex Problema 5 Resolva a equacao x2y 3xy y ln x Boa Sorte Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral IV Turma C4 Prof Edson 2a Prova 1o Semestre 2022 Data 24 de Janeiro de 2023 Duracao 1600 1800 Problema 1 Sabendo que a funcao y1 x e uma solucao da equacao x2y x2 2xy x 2y 0 Encontre outra solucao desta edo que seja linearmente independente de y1 Problema 2 Resolva a equacao y 6y 11y 6y 0 Problema 3 Encontre uma soluc ao particular para a equacao y 2y 2y x cos x Problema 4 Encontre uma soluc ao particular para a equacao y 2y y ex x Problema 5 Resolva a equacao x2y 5xy 8y 0 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral IV Turma C4 Profo Edson Prova Final 2o Semestre 2022 Data Tercafeira 07 de Marco de 2023 Duracao 1600 1800 Problema 1 Encontre a solucao geral da equacao 2x 1y 4x 2y Problema 2 Encontre a soluc ao geral da edo y 3y 3y 0 Problema 3 Encontre uma soluc ao particular da edo y 2y y ex x2 Problema 4 Encontre uma soluc ao da equacao xy x2y x2 2y 0 Problema 5 Resolva o problema de valor inicial x 4x sen 3t x0 0 x0 0 Boa Sorte 4 Gabarito 2a Prova e u 1 W1 W x1e4x e4x 1 x u 2 W2 W x2e4x e4x 1 x2 Ou seja u1 ln x c1 u2 1 x c2 com c1 c2 R Considerando c1 c2 0 e usando o fato de que x 0 seguese que uma soluc ao particular da equacao e yp y1u1 y2u2 e2x ln x e2x e2x ln x 1