Pontos Singulares Regulares e Irregulares em Equações Diferenciais - Definições e Exemplos

Pontos Singulares Regulares e Irregulares Pontos singulares são classificados como regulares ou irregulares Para definir esse conceito colocamos novamente 1 na forma padrão y Pxy Qxy 0 2 DEFINIÇÃO 62 Pontos Singulares Regulares e Irregulares Dizemos que um ponto singular x x0 da equação 1 é um ponto singular regular ou singularidade regular se x x0Px e x x02 Qx são analíticas em x0 Um ponto singular que não é regular é chamado de ponto singular irregular ou singularidade irregular da equação Coeficientes Polinomiais No caso em que os coeficientes de 1 são polinomiais sem fatores comuns a Definição 62 é equivalente ao seguinte Seja a2x0 0 Reduza a1xa2x e a0xa2x aos menores termos para formar Px e Qx respectivamente Se o fator x x0 aparecer no denominador de Px com multiplicidade menor ou igual a 1 e no denominador de Qx com multiplicidade menor ou igual a 2 então x x0 será um ponto singular regular E X E M P L O 1 Os pontos x 2 e x 2 são singulares da equação x2 42 y x 2y y 0 Dividindo a equação por x2 42 x 22 x 22 encontramos Px 1x2x22 e Qx 1x 22x 22 Agora testamos Px e Qx em cada ponto singular Para que x 2 seja uma singularidade regular a multiplicidade do fator x 2 no denominador de Px tem de ser menor ou igual a 1 e no denominador de Qx menor ou igual a 2 Inspecionando Px e Qx vemos que a primeira condição não é satisfeita Concluímos então que x 2 é um ponto singular irregular Para que x 2 seja uma singularidade regular a multiplicidade do fator x 2 no denominador de Px tem de ser no máximo 1 e no denominador de Qx no máximo 2 Verificamos que essas condições são satisfeitas Logo x 2 é uma singularidade regular Volume 1 Cap 6 Equações diferenciais com coeficientes variáveis 309 EXEMPLO 2 Tanto x 0 quanto x 1 são pontos singulares da equação diferencial x2x 12 y x2 1y 2y 0 Inspecionando Px x 1x2x 1 e Qx 2x2x 12 vemos que x 0 é uma singularidade irregular pois a multiplicidade do fator x 0 no denominador de Px é 2 Note porém que x 1 é uma singularidade regular EXEMPLO 3