Lista de Exercicios Calculo Area Sob a Curva Metodos de Aproximacao

3 a Estime a área sob o gráfico fx cos x de x 0 até x π2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas Esboce o gráfico e os retângulos Sua estimativa é uma subestimativa ou uma superestimativa b Repita a parte a usando extremidades esquerdas 4 a Estime a área sob o gráfico de fx x de x 0 até x 4 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas Esboce o gráfico e os retângulos Sua estimativa é uma subestimativa ou uma superestimativa b Repita a parte a usando extremidades esquerdas 5 a Estime a área sob o gráfico fx 1 x² de x 1 até x 2 usando três retângulos aproximantes e extremidades direitas Então aperfeiçoe sua estimativa utilizando seis retângulos aproximantes Esboce a curva e os retângulos aproximantes b Repita a parte a usando extremidades esquerdas c Repita a parte a empregando os pontos médios d A partir de seus esboços das partes a b e c qual parece ser a melhor estimativa 6 a Faça o gráfico da função fx x 2 ln x 1 x 5 b Estime a área sob o gráfico de f usando quatro retângulos aproximantes e tomando como pontos amostrais i as extremidades direitas e ii os pontos médios Em cada caso esboce a curva e os retângulos c Aperfeiçoe suas estimativas da parte b usando oito retângulos 7 Avalie as somas superiores e inferiores para fx 2 sen x 0 x π com n 2 4 e 8 Ilustre com diagramas como na Figura 14 8 Avalie as somas superiores e inferiores para fx 1 x² 1 x 1 com n 3 e 4 Ilustre com diagramas como na Figura 14 910 Com uma calculadora programável ou um computador é possível calcular as expressões para a soma das áreas de retângulos aproximantes mesmo para valores grandes de n usando laços Numa TI use o comando Is ou um laço ForEndFor numa Casio use Isz numa HP ou no BASIC use um laço FORNEXT Calcule a soma das áreas dos retângulos aproximantes usando subintervalos iguais e extremidades direitas para n 10 30 50 e 100 Então conjecture o valor exato da área 9 A região sob y x⁴ de 0 até 1 10 A região sob y cos x de 0 até π2 11 Alguns sistemas de computação algébrica têm comandos que traçam retângulos aproximantes e calculam as somas de suas áreas pelo menos se xᵏ for uma extremidade esquerda ou direita Por exemplo no Maple use leftbox rightbox leftsum e rightsum a Se fx 1x² 1 0 x 1 encontre as somas esquerda e direita para n 10 30 e 50 b Ilustre fazendo o gráfico dos retângulos da parte a c Mostre que a área exata sob f está entre 0780 e 0791 12 a Se fx ln x 1 x 4 use os comandos discutidos no Exercício 11 para encontrar as somas esquerda e direita para n 10 30 e 50 b Ilustre fazendo o gráfico dos retângulos da parte a c Mostre que a área exata sob f está entre 250 e 259 13 A velocidade de um corredor aumenta regularmente durante os três primeiros segundos de uma corrida Sua velocidade em intervalos de meio segundo é dada em uma tabela Encontre as estimativas superior e inferior para a distância que ele percorreu durante esses três segundos t s 0 05 10 15 20 25 30 v ms 0 19 33 45 55 59 62 14 A leitura do velocímetro de uma motocicleta em intervalos de 12 segundos é mostrada na tabela a seguir a Estime a distância percorrida pela motocicleta durante esse período usando a velocidade no começo dos intervalos de tempo b Dê outra estimativa utilizando a velocidade no fim dos intervalos de tempo c As estimativas feitas nas partes a e b são estimativas superior e inferior Explique t s 0 12 24 36 48 60 v ms 91 85 76 67 73 82 15 Óleo vaza de um tanque a uma taxa de rt litros por hora A taxa decresce à medida que o tempo passa e os valores da taxa em intervalos de duas horas são mostrados na tabela a seguir Encontre estimativas superior e inferior para a quantidade total de óleo que vazou t h 0 2 4 6 8 10 rt Lh 87 76 68 62 57 53 16 Quando estimamos distâncias a partir dos dados da velocidade algumas vezes é necessário usar tempos t₀ t₁ t₂ t₃ que não estão igualmente espaçados Podemos ainda estimar as distâncias usando os períodos de tempo Δtᵢ tᵢ tᵢ₁ Por exemplo em 7 de maio de 1992 o ônibus espacial Endeavour foi lançado na missão STS49 cujo propósito era instalar o satélite de comunicação Intelsat A tabela fornecida pela Nasa mostra os dados da velocidade do ônibus entre o lançamento e a entrada em funcionamento dos foguetes auxiliares Use estes dados para estimar a altura acima da superfície da Terra do Endeavour 62 segundos depois do lançamento Evento Lançamento Começo da manobra de inclinação Fim da manobra de inclinação Regulador de combustível a 89 Regulador de combustível a 67 Regulador de pressão a 104 Pressão dinâmica máxima Separação dos foguetes auxiliares Tempo s 0 10 15 20 32 59 62 125 Velocidade ms 0 56 97 136 226 404 440 1265