4 Grau de Liberdade

Questão de prova Professor Alexandre Ribeiro Andrade Questão Dados 𝑘 𝑘2 𝑘4 𝑘5 𝑘7 𝑘 𝑘3 𝑘6 2𝑘 𝑚1 𝑚3 𝑚 𝑚2 𝑚4 2𝑚 m1 m3 m2 m4 𝑘1 𝑘2 𝑘3 𝑘6 𝑘4 𝑘5 𝑘7 𝑥1 ሷ𝑥1 𝑥2 ሷ𝑥2 𝑥3 ሷ𝑥3 𝑥4 ሷ𝑥4 𝑥𝑎 ሷ𝑥𝑎 𝑥𝑏 ሷ𝑥𝑏 Princípio da solução k1 F1t k2 F2t ki Fit kj Fjt kn Fnt kn1 c1 m1 c2 m2 ci mi cj mj cn mn cn1 Ponto 1 Ponto 2 Ponto i Ponto j Ponto n x1 x2 xi xj xn a xi xi xi Fit ki xi xi1 ki1 xi1 xi ci dotxi dotxi1 ci1 dotxi1 dotxi mi b Solução massa m1 Dados 𝑘 𝑘2 𝑘4 𝑘5 𝑘7 𝑘 𝑘3 𝑘6 2𝑘 𝑚1 𝑚3 𝑚 𝑚2 𝑚4 2𝑚 m1 m2 𝑘1 𝑘2 𝑥1 ሷ𝑥1 𝑥2 ሷ𝑥2 m1 𝑥1 ሷ𝑥1 𝑚1 ሷ𝑥1 𝑘1𝑥1 𝑥𝑎 𝑘2 𝑥2 𝑥1 𝑘1𝑥1 𝑥𝑎 𝑘2 𝑥2 𝑥1 𝑚1 ሷ𝑥1 𝑘1 𝑥1 𝑘2 𝑥2 𝑥1 0 𝑚1 ሷ𝑥1 𝑘1 𝑥1 𝑘2 𝑥2 𝑘2𝑥1 0 𝑚1 ሷ𝑥1 𝑘1 𝑘2𝑥1 𝑘2 𝑥2 0 𝑚 ሷ𝑥1 2𝑘𝑥1 𝑘𝑥2 0 𝐸𝑞 1 𝑥𝑎 ሷ𝑥𝑎 0 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑥𝑎 0 𝑚1 ሷ𝑥1 𝑘1𝑥1 𝑘2 𝑥2 𝑥1 Solução massa m2 Dados 𝑘 𝑘2 𝑘4 𝑘5 𝑘7 𝑘 𝑘3 𝑘6 2𝑘 𝑚1 𝑚3 𝑚 𝑚2 𝑚4 2𝑚 m1 m3 m2 m4 𝑘2 𝑘3 𝑘6 𝑘4 𝑘5 𝑥1 ሷ𝑥1 𝑥2 ሷ𝑥2 𝑥3 ሷ𝑥3 𝑥4 ሷ𝑥4 m2 𝑥2 ሷ𝑥2 𝑘2𝑥2𝑥1 𝑘4 𝑥3 𝑥2 𝑘3𝑥2𝑥𝑎 𝑘6 𝑥4 𝑥2 𝑥𝑎 ሷ𝑥𝑎 0 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑥𝑎 0 Solução massa m2 Dados 𝑘2 𝑘4 𝑘 𝑘3 𝑘6 2𝑘 𝑚1 𝑚3 𝑚 𝑚2 𝑚4 2𝑚 𝑚2 ሷ𝑥2 𝑘3𝑥2 𝑘2 𝑥2 𝑥1 𝑘4 𝑥3 𝑥2 𝑘6 𝑥4 𝑥2 𝑚2 ሷ𝑥2 𝑘3 𝑥2 𝑘2 𝑥2 𝑥1 𝑘4 𝑥3 𝑥2 𝑘6 𝑥4 𝑥2 0 𝑚2 ሷ𝑥2 𝑘3 𝑥2 𝑘2 𝑥2𝑘2𝑥1 𝑘4𝑥3 𝑘4 𝑥2 𝑘6 𝑥4 𝑘6 𝑥2 0 𝑚2 ሷ𝑥2 𝑘2 𝑥1 𝑘2 𝑘3 𝑘4 𝑘6 𝑥2 𝑘4𝑥3 𝑘6 𝑥4 0 m2 𝑥2 ሷ𝑥2 𝑘2𝑥2𝑥1 𝑘4 𝑥3 𝑥2 𝑘3𝑥2 𝑘6 𝑥4 𝑥2 2𝑚 ሷ𝑥2 𝑘𝑥1 6𝑘𝑥2 𝑘𝑥3 2𝑘𝑥4 0 𝐸𝑞 2 Solução massa m3 Dados 𝑘 𝑘2 𝑘4 𝑘5 𝑘7 𝑘 𝑘3 𝑘6 2𝑘 𝑚1 𝑚3 𝑚 𝑚2 𝑚4 2𝑚 m3 m2 m4 𝑘6 𝑘4 𝑘5 𝑥2 ሷ𝑥2 𝑥3 ሷ𝑥3 𝑥4 ሷ𝑥4 m3 𝑥3 ሷ𝑥3 𝑘4𝑥3 𝑥2 𝑘5 𝑥4 𝑥3 𝑚3 ሷ𝑥3 𝑘4𝑥3 𝑥2 𝑘5 𝑥4 𝑥3 𝐸𝑞 3 𝑚3 ሷ𝑥3 𝑘4 𝑥3 𝑥2 𝑘5 𝑥4 𝑥3 0 𝑚3 ሷ𝑥3 𝑘4 𝑥3 𝑘4 𝑥2 𝑘5 𝑥4 𝑘5 𝑥3 0 𝑚3 ሷ𝑥3 𝑘4 𝑥2𝑘4 𝑘5𝑥3 𝑘5𝑥4 0 𝑚 ሷ𝑥3 𝑘𝑥2 2𝑘𝑥3 𝑘𝑥4 0 Solução massa m4 Dados 𝑘5 𝑘7 𝑘 𝑘6 2𝑘 𝑚1 𝑚3 𝑚 𝑚2 𝑚4 2𝑚 m4 𝑥4 ሷ𝑥4 𝑘5𝑥4𝑥3 𝑘7 𝑥𝑏 𝑥4 𝑘6𝑥4𝑥2 m4 𝑘6 𝑘5 𝑘7 𝑥4 ሷ𝑥4 𝑥𝑏 ሷ𝑥𝑏 0 𝑥3 ሷ𝑥3 𝑥2 ሷ𝑥2 𝑚4 ሷ𝑥4 𝑘7𝑥4 𝑘5 𝑥4 𝑥3 𝑘6 𝑥4 𝑥2 𝑚4 ሷ𝑥4 𝑘7 𝑥4 𝑘5 𝑥4 𝑥3 𝑘6 𝑥4 𝑥2 0 𝑚4 ሷ𝑥4 𝑘7 𝑥4 𝑘5 𝑥4 𝑘5𝑥3 𝑘6 𝑥4 𝑘6𝑥2 0 𝑚4 ሷ𝑥4 𝑘6𝑥2 𝑘5𝑥3 𝑘5 𝑘6 𝑘7𝑥4 0 2𝑚 ሷ𝑥4 2𝑘𝑥2 𝑘𝑥3 4𝑘𝑥4 0 𝐸𝑞 4 Soluções das Equações 1 2 3 e 4 𝑚 ሷ𝑥1𝑡 2𝑘𝑥1𝑡 𝑘𝑥2𝑡 0 𝐸𝑞 1 2𝑚 ሷ𝑥2𝑡 𝑘𝑥1𝑡 6𝑘𝑥2𝑡 𝑘𝑥3𝑡 2𝑘𝑥4𝑡 0 𝐸𝑞 2 𝐸𝑞 3 𝑚 ሷ𝑥3𝑡 𝑘𝑥2𝑡 2𝑘𝑥3𝑡 𝑘𝑥4𝑡 0 2𝑚 ሷ𝑥4𝑡 2𝑘𝑥2𝑡 𝑘𝑥3𝑡 4𝑘𝑥4𝑡 0 𝐸𝑞 4 𝑥1 𝑡 𝑋1cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥1 𝑡 𝜔2𝑋1cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥3 𝑡 𝑋3cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥3 𝑡 𝜔2𝑋3cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥2 𝑡 𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥2 𝑡 𝜔2𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥4 𝑡 𝑋4cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥4 𝑡 𝜔2𝑋4cos𝜔𝑡 𝜑 Aplicando na Equação 1 𝑚 ሷ𝑥1𝑡 2𝑘𝑥1𝑡 𝑘𝑥2𝑡 0 𝐸𝑞 1 𝑥1 𝑡 𝑋1cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥1 𝑡 𝜔2𝑋1cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥2 𝑡 𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 𝑚 𝜔2𝑋1cos𝜔𝑡 𝜑 2𝑘 𝑋1cos𝜔𝑡 𝜑 𝑘 𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 0 𝑚𝜔2𝑋1 cos𝜔𝑡 𝜑 2𝑘𝑋1 cos𝜔𝑡 𝜑 𝑘𝑋2 cos𝜔𝑡 𝜑 0 𝑚𝜔2𝑋1 2𝑘𝑋1 𝑘𝑋2 0 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑋1 𝑘 𝑋2 0 𝐸𝑞 5 Aplicando na Equação 2 2𝑚 ሷ𝑥2𝑡 𝑘𝑥1𝑡 6𝑘𝑥2𝑡 𝑘𝑥3𝑡 2𝑘𝑥4𝑡 0 𝐸𝑞 2 𝑥1 𝑡 𝑋1cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥3 𝑡 𝑋3cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥2 𝑡 𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥2 𝑡 𝜔2𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥4 𝑡 𝑋4cos𝜔𝑡 𝜑 2𝑚 𝜔2𝑋2 𝑘𝑋1 6𝑘𝑋2 𝑘𝑋3 2𝑘𝑋4 0 𝑘𝑋1 2𝑚𝜔2 6𝑘𝑋2 𝑘𝑋3 2𝑘𝑋4 0 𝐸𝑞 6 Aplicando a Equações 3 𝐸𝑞 3 𝑚 ሷ𝑥3𝑡 𝑘𝑥2𝑡 2𝑘𝑥3𝑡 𝑘𝑥4𝑡 0 𝐸𝑞 7 𝑥3 𝑡 𝑋3cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥3 𝑡 𝜔2𝑋3cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥2 𝑡 𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥4 𝑡 𝑋4cos𝜔𝑡 𝜑 𝑚𝜔2𝑋3 𝑘𝑋2 2𝑘𝑋3 𝑘𝑋4 0 𝑘𝑋2 𝑚𝜔2 2𝑘𝑋3 𝑘𝑋4 0 Aplicando a Equações 3 𝐸𝑞 8 2𝑚 ሷ𝑥4𝑡 2𝑘𝑥2𝑡 𝑘𝑥3𝑡 4𝑘𝑥4𝑡 0 𝐸𝑞 4 𝑥3 𝑡 𝑋3cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥2 𝑡 𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥4 𝑡 𝑋4cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥4 𝑡 𝜔2𝑋4cos𝜔𝑡 𝜑 2𝑚𝜔2𝑋4 2𝑘𝑋2 𝑘𝑋3 4𝑘𝑋4 0 2𝑘𝑋2 𝑘𝑋3 2𝑚𝜔2 4𝑘𝑋4 0 Equações 5 6 7 e 8 𝐸𝑞 8 2𝑘𝑋2 𝑘𝑋3 2𝑚𝜔2 4𝑘𝑋4 0 𝐸𝑞 7 𝑘𝑋2 𝑚𝜔2 2𝑘𝑋3 𝑘𝑋4 0 𝑘𝑋1 2𝑚𝜔2 6𝑘𝑋2 𝑘𝑋3 2𝑘𝑋4 0 𝐸𝑞 6 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑋1 𝑘 𝑋2 0 𝐸𝑞 5 𝑑𝑒𝑡 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 0 𝑘 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 2𝑘 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 0 0 0 0 Teorema de Laplace Cofator ou complemento algébrico 𝑑𝑒𝑡 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 0 𝑘 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 2𝑘 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 0 𝐶𝑖𝑗 1 𝑖𝑗 𝐷𝑖𝑗 det 𝑎11 𝐶11 𝑎12 𝐶12 𝑎13 𝐶13 𝑎14 𝐶14 𝑎11 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑎12 𝑘 𝑎13 0 𝑎14 0 𝐶11 1 11 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 2𝑘 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 2𝑘 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 𝐶11 1 2 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 2𝑘 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 2𝑘 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 2𝑘 𝑘 𝑎11 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑎11 𝐶11 4𝑚4𝜔8 36𝑚3𝑘𝜔6 112𝑚2𝑘2𝜔4 138𝑚𝑘3𝜔2 52𝑘4 𝐸𝑞 9 𝐶11 1 2 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 2𝑘 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 2𝑘 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 2𝑘 𝑘 𝐶11 4𝑚3𝜔6 28𝑚2𝑘𝜔4 56𝑚𝑘2𝜔2 26𝑘3 𝑎12 𝑘 𝑎12 𝐶12 2𝑚2𝑘2𝜔4 8𝑚𝑘3𝜔2 7𝑘4 𝐸𝑞 10 𝐶12 1 3 𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 𝑘 𝑘 0 𝑚𝜔2 2𝑘 0 𝑘 𝐶12 12𝑚2𝑘𝜔4 8𝑚𝑘2𝜔2 7𝑘3 𝑑𝑒𝑡 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 0 𝑘 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 2𝑘 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 0 𝐶12 2𝑚2𝑘𝜔4 8𝑚𝑘2𝜔2 7𝑘3 Somando eq 9 10 det 𝑎11 𝐶11 𝑎12 𝐶12 0 𝑝 𝜔 4𝑚4𝜔8 36𝑚3𝑘𝜔6 110𝑚2𝑘2𝜔4 130𝑚𝑘3𝜔2 45𝑘4 0 𝑎11 𝐶11 4𝑚4𝜔8 36𝑚3𝑘𝜔6 112𝑚2𝑘2𝜔4 138𝑚𝑘3𝜔2 52𝑘4 𝑎12 𝐶12 2𝑚2𝑘2𝜔4 8𝑚𝑘3𝜔2 7𝑘4 Solução 𝑝 𝜔 4𝑚4𝜔8 36𝑚3𝑘𝜔6 110𝑚2𝑘2𝜔4 130𝑚𝑘3𝜔2 45𝑘4 0 𝑝 𝜔 𝑎8𝜔8 𝑎6𝜔6 𝑎4𝜔4 𝑎2𝜔2 𝑎0 0 𝑎0 1125 𝑘 𝑚 4 𝑎1 0 𝑎2 325 𝑘 𝑚 3 𝑎3 0 𝑎4 275 𝑘 𝑚 2 𝑎5 0 𝑎6 9 𝑘 𝑚 𝑎7 0 𝑎8 1 𝑝 𝜔 𝜔8 9 𝑘 𝑚 𝜔6 55 2 𝑘 𝑚 2 𝜔4 65 2 𝑘 𝑚 3 𝜔2 45 4 𝑘 𝑚 4 0 4𝑚4 𝑝 𝜔 𝜔8 9 𝑘 𝑚 𝜔6 275 𝑘 𝑚 2 𝜔4 325 𝑘 𝑚 3 𝜔2 1125 𝑘 𝑚 4 0 𝐴𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧𝑒𝑠 𝜔 07622 𝑘 𝑚 13648 𝑘 𝑚 16391 𝑘 𝑚 19672 𝑘 𝑚 𝑝 𝜔 𝜔8 9 𝑘 𝑚 𝜔6 275 𝑘 𝑚 2 𝜔4 325 𝑘 𝑚 3 𝜔2 1125 𝑘 𝑚 4 0 5 0 5 10 15 00 05 10 15 20 25 Pw w Gráfico do pw Autovetores e Autovalores 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 𝑋 2 𝑋1 2 𝑋2 2 𝑋3 2 𝑋4 2 𝑋 3 𝑋1 3 𝑋2 3 𝑋3 3 𝑋4 3 𝑋 4 𝑋1 4 𝑋2 4 𝑋3 4 𝑋4 4 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 0 𝑘 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 2𝑘 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 0 0 0 0 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 𝐴𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧𝑒𝑠 𝜔12 07622 𝑘 𝑚 𝜔1 2 058095 𝑘 𝑚 058095𝑘 2𝑘 𝑘 0 0 𝑘 11619𝑘 6𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝑘 058095𝑘 2𝑘 𝑘 0 2𝑘 𝑘 11619𝑘 4𝑘 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 0 0 0 0 1419 1000 0000 0000 1000 48381 1000 2000 0000 1000 141095 1000 0000 2000 1000 28381 𝑘 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 0 0 0 0 1419𝑋1 𝑋2 0 𝑋1 48381𝑋2 𝑋3 2𝑋4 0 𝑋2 141095𝑋3 𝑋4 0 2𝑋2 𝑋3 28381𝑋4 0 𝑋1 07047𝑋2 41334𝑋2 𝑋3 2𝑋4 0 𝑋2 141095𝑋3 𝑋4 0 2𝑋2 𝑋3 28381𝑋4 0 41334𝑋2 𝑋3 2𝑋4 0 𝑋2 141095𝑋3 𝑋4 0 2𝑋2 𝑋3 28381𝑋4 0 41334𝑋2 2𝑋4 𝑋3 𝑋2 14109541334𝑋2 2𝑋4 𝑋4 0 2𝑋2 41334𝑋2 2𝑋4 28381𝑋4 0 48320𝑋2 38219𝑋4 0 61334𝑋2 48381𝑋4 0 𝑋2 0791𝑋4 𝑋4 12677𝑋2 𝑋1 07047𝑋2 41334𝑋2 212677𝑋2 𝑋3 15979𝑋2 𝑋3 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 𝑋1 07047𝑋2 𝑋4 12677𝑋2 15979𝑋2 𝑋3 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 07047 1 15979 12677 𝑋2 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 𝑋 2 𝑋1 2 𝑋2 2 𝑋3 2 𝑋4 2 𝐴𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧𝑒𝑠 𝜔34 13648 𝑘 𝑚 𝜔2 2 18627 𝑘 𝑚 18627𝑘 2𝑘 𝑘 0 0 𝑘 37254𝑘 6𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝑘 18627𝑘 2𝑘 𝑘 0 2𝑘 𝑘 37254𝑘 4𝑘 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 0 0 0 0 01273 1000 0000 0000 1000 22746 1000 2000 0000 1000 01273 1000 0000 2000 1000 02746 𝑘 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 0 0 0 0 01273𝑋1 𝑋2 0 𝑋1 22746𝑋2 𝑋3 2𝑋4 0 𝑋2 01273𝑋3 𝑋4 0 2𝑋2 𝑋3 02746𝑋4 0 𝑋1 78554𝑋2 55809𝑋2 𝑋3 2𝑋4 0 𝑋2 01273𝑋3 𝑋4 0 2𝑋2 𝑋3 02746𝑋4 0 𝑋1 78554𝑋2 55809𝑋2 𝑋3 2𝑋4 0 𝑋2 01273𝑋3 𝑋4 0 2𝑋2 𝑋3 02746𝑋4 0 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 𝑋1 07047𝑋2 𝑋4 12677𝑋2 15979𝑋2 𝑋3 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 07047 1 15979 12677 𝑋2 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 1º PARTE 50 PONTOS TEMPO 1H30 1 Veja a estrutura abaixo e com o auxílio do MATLAB ou software similar responda a Use o método do diagrama de forças e mostre as equações diferenciais ordinárias para cada massa do sistema 10 pontos b Obtenha a matriz de massa 5 pontos c Obtenha a matriz de rigidez 5 pontos d Obtenha a matriz dinâmica 5 pontos e Obtenha os autovalores 5 pontos f Obtenha os autovetores 5 pontos g Quais as frequências naturais em Hz 5 pontos h Use os gráficos abaixo para representar os modos de vibração de cada massa do sistema 10 pontos DADOS M 10 kg m 3 kg k 3000 Nmm f1 Exercícios Sistema em vibração livre 2GDL Professor Alexandre Ribeiro Andrade Vibração livre com 2 GDL Sendo uma vibração forçada com dois graus de liberdade devem existir duas equações de movimento com isso m1 ddotx1 c1 c2 dotx1 c2 dotx2 k1 k2 x1 k2 x2 F1 m2 ddotx2 c2 dotx1 c2 c3 dotx2 k2 x1 k2 k3 x2 F2 Vibração livre com 2 GDL sem amortecimento Solução 2 derivada Vibração livre com 2 GDL sem amortecimento 𝑚1 0 0 𝑚2 𝜔2 𝑋1cos 𝜔𝑡 𝜑 𝜔2 𝑋2cos 𝜔𝑡 𝜑 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘3 𝑋1cos 𝜔𝑡 𝜑 𝑋2cos 𝜔𝑡 𝜑 0 0 𝑚1𝜔2 0 0 𝑚2𝜔2 𝑋1 𝑋2 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘3 𝑋1 𝑋2 0 0 𝑚1𝜔2 𝑘1𝑘2 𝑋1 𝑘2𝑋2 0 𝑘2𝑋1 𝑚2𝜔2 𝑘2𝑘3 𝑋2 0 Vibração livre com 2 GDL 𝑚1𝜔2 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑚2𝜔2 𝑘2 𝑘3 𝑋1 𝑋2 0 0 𝑑𝑒𝑡 𝑚1𝜔2 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑚2𝜔2 𝑘2 𝑘3 0 𝑚1𝜔2 𝑘1 𝑘2 𝑚2𝜔2 𝑘2 𝑘3 𝑘2 𝑘2 0 𝑚1𝑚2𝜔4 𝑚1 𝜔2 𝑘2 𝑘3 𝑚2 𝜔2 𝑘1 𝑘2 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘3 𝑘2 2 0 𝑚1𝑚2𝜔4 𝑚1 𝜔2𝑘2𝑚1𝜔2𝑘3 𝑚2𝜔2𝑘1 𝑚2 𝜔2𝑘2 𝑘1 𝑘2 𝑘1 𝑘3 𝑘2 𝑘3 𝑘2 2 𝑘2 2 0 𝑚1𝑚2𝜔4 𝑚1 𝑘2𝑚1𝑘3𝜔2 𝑚2𝑘1 𝑚2 𝑘2𝜔2 𝑘1𝑘2 𝑘1𝑘3 𝑘2𝑘3 0 𝑚1𝑚2𝜔4 𝑚1 𝑘2 𝑚1 𝑘3 𝑚2𝑘1 𝑚2𝑘2𝜔2 𝑘1𝑘2 𝑘1𝑘3 𝑘2𝑘3 0 𝑚1𝜔2 𝑘1 𝑘2 𝑚2𝜔2 𝑘2 𝑘3 𝑘2 𝑘2 0 𝑚1𝑚2𝜔4 𝑚1 𝜔2 𝑘2 𝑘3 𝑚2 𝜔2 𝑘1 𝑘2 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘3 𝑘2 2 0 𝑚1𝑚2𝜔4 𝑚1 𝜔2𝑘2𝑚1𝜔2𝑘3 𝑚2𝜔2𝑘1 𝑚2 𝜔2𝑘2 𝑘1 𝑘2 𝑘1 𝑘3 𝑘2 𝑘3 𝑘2 2 𝑘2 2 0 𝑚1𝑚2𝜔4 𝑚1 𝑘2𝑚1𝑘3𝜔2 𝑚2𝑘1 𝑚2 𝑘2𝜔2 𝑘1𝑘2 𝑘1𝑘3 𝑘2𝑘3 0 𝑚1𝑚2𝜔4 𝑚1 𝑘2 𝑚1 𝑘3 𝑚2𝑘1 𝑚2𝑘2𝜔2 𝑘1𝑘2 𝑘1𝑘3 𝑘2𝑘3 0 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜆 𝜔2 𝑚1𝑚2𝜆2 𝑚1 𝑘2 𝑚1 𝑘3 𝑚2𝑘1 𝑚2𝑘2𝜆 𝑘1𝑘2 𝑘1𝑘3 𝑘2𝑘3 0 𝑚1𝑚2𝜆2 𝑚1 𝑘2 𝑚1 𝑘3 𝑚2𝑘1 𝑚2𝑘2𝜆 𝑘1𝑘2 𝑘1𝑘3 𝑘2𝑘3 0 𝜆 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑎 𝑚1𝑚2 𝑏 𝑚1 𝑘2 𝑘3 𝑚2 𝑘1 𝑘2 𝑐 𝑘1𝑘2 𝑘1𝑘3 𝑘2𝑘3 𝜆 𝑚1 𝑘2 𝑘3 𝑚2 𝑘1 𝑘2 𝑚1 𝑘2 𝑘3 𝑚2 𝑘1 𝑘2 2 4𝑚1𝑚2 𝑘1𝑘2 𝑘1𝑘3 𝑘2𝑘3 2𝑚1𝑚2 𝜆1 𝜔1 2 𝜆2 𝜔2 2 ω12 λ12 Portanto inserindo ω12 na Eq acima e resolvendo o sistema podemos determinar os autovetor Da mesma maneira inserindo o autovalor ω22 podemos determinar o autovetor Primeiro modo de vibração do sistema associado à frequência natural ω1 Segundo modo de vibração do sistema associado à frequência natural ω2 autovetor autovalor Detalhe importante Como o sistema acima é homogêneo há infinitos valores de X1 e X2 que satisfazem a Equação acima para ω1 ou ω2 r1 X21X11 m1ω12 k1 k2k2 k2m2ω12 k2 k3 e r2 X22X12 m1ω22 k1 k2k2 k2m2ω22 k2 k3 Com isso podemos representar as respostas como vecx1t x11t x21t X11cosω1 t φ1 r1 X11 cosω1 t φ1 primeiro modo vecx2t x12t x22t X12cosω2 t φ2 r2 X12 cosω2 t φ2 segundo modo Soluções Modais x11t x21t X11 cosω1 t φ1 X21cosω1 t φ1 X11 cosω1 t φ1 X11 r1 cosω1 t φ1 É a resposta do sistema vibrando no primeiro modo de vibração Só é possível a partir das seguintes condições iniciais x1t0 X11 dotx1t0 0 e x2t0 X21 X11 r1 dotx2t0 0 Soluções Modais Da mesma forma x₁2t x₂2t X₁2 cosω₂t ϕ₂ X₂2 cosω₂t ϕ₂ X₁2 cosω₂t ϕ₂ X₁2 r₂ cosω₂t ϕ₂ É a resposta do sistema vibrando no segundo modo de vibração x₁t0 X₁2 ẋ₁t0 0 e x₂t0 X₂2 X₁2 r₂ ẋ₂t0 0 Soluções Gerais Se as condições iniciais do sistema não forem iguais ao modo 1 nem tão pouco ao modo 2 teremos x₁t x₂t c₁ x₁t1 x₂t1 c₂ x₁t2 x₂t2 A resposta do sistema será uma combinação linear dos modos 1 e 2 ou x₁t x₂t c₁ X₁1 cosω₁t ϕ₁ c₂ X₁2 cosω₂t ϕ₂ c₁ r₁ X₁1 cosω₁t ϕ₁ c₂ r₂ X₁2 cosω₂t ϕ₂ São incógnitas do problema c₁ X₁1 X₁1 c₂ X₁2 X₁2 ϕ₁ e ϕ₂ Soluções Gerais 2 condições iniciais para cada massa x₁t 0 x₁0 ẋ₁t 0 ẋ₁0 x₂t 0 x₂0 ẋ₂t 0 ẋ₂0 Substituindo as condições no sistema anterior para t0 obtémse o seguinte sistema de equações x₁0 X₁1 cos ϕ₁ X₁2 cos ϕ₂ ẋ₁0 ω₁ X₁1 sin ϕ₁ ω₂ X₁2 sin ϕ₂ x₂0 r₁ X₁1 cos ϕ₁ r₂ X₁2 cos ϕ₂ ẋ₂0 ω₁ r₁ X₁1 sin ϕ₁ ω₂ r₂ X₁2 sin ϕ₂ Cujas soluções para X11 X12 ϕ1 e ϕ2 X11 1 r2 r1 r2 x10 x202 r2 ẋ10 ẋ202 ω1212 X12 1 r2 r1 r1 x10 x202 r1 ẋ10 ẋ202 ω2212 ϕ1 tan1 r2 ẋ10 ẋ20 ω1 r2 x10 x20 ϕ2 tan1 r1 ẋ10 ẋ20 ω2 r1 x10 x20 Exercício 1 Obtenha os modos de vibrações do sistema em vibração livre com 2 GDL Caso 1 𝑚1 2 𝑘𝑔 𝑚2 2 𝑘𝑔 𝑘1 2 𝑁𝑚𝑚 𝑘2 4 𝑁𝑚𝑚 𝑘3 2 𝑁𝑚𝑚 Caso 2 𝑚1 2 𝑘𝑔 𝑚2 4 𝑘𝑔 𝑘1 2 𝑁𝑚𝑚 𝑘2 4 𝑁𝑚𝑚 𝑘3 2 𝑁𝑚𝑚 Exercício 1 Obtenha os modos de vibrações do sistema em vibração livre com 2 GDL Caso 1 𝑚1 2 𝑘𝑔 𝑚2 2 𝑘𝑔 𝑘1 2 𝑁𝑚𝑚 𝑘2 4 𝑁𝑚𝑚 𝑘3 2 𝑁𝑚𝑚 𝑚1 0 0 𝑚2 ሷ𝑥1 ሷ𝑥2 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘3 𝑥1 𝑥2 0 0 2 0 0 2 ሷ𝑥1 𝑡 ሷ𝑥2 𝑡 6 4 4 6 𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 0 0 2 0 0 2 𝑋1𝜔2𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜑 𝑋2𝜔2𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜑 6 4 4 6 𝑋1𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜑 𝑋2𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜑 0 0 2 0 0 2 ሷ𝑥1 𝑡 ሷ𝑥2 𝑡 6 4 4 6 𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 0 0 2 0 0 2 𝑋1𝜔2 𝑋2𝜔2 6 4 4 6 𝑋1 𝑋2 0 0 2𝑋1𝜔2 6𝑋1 4𝑋2 0 2𝑋2𝜔2 4𝑋1 6𝑋2 0 2𝜔2 6𝑋1 4𝑋2 0 4𝑋1 2𝜔2 6𝑋2 0 2𝜔2 6𝑋1 4𝑋2 0 4𝑋1 2𝜔2 6𝑋2 0 𝑑𝑒𝑡 2𝜔2 6 4 4 2𝜔2 6 0 2𝜔2 6 2𝜔2 6 4 4 0 4𝜔4 24𝜔2 36 16 0 4𝜔4 24𝜔2 20 0 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜆 𝜔2 4𝜆2 24𝜆 20 0 4𝜆2 24𝜆 20 0 𝜆12 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐 2𝑎 𝜆12 24 242 4420 24 24 576 320 8 24 256 8 24 16 8 𝜆12 24 16 8 3 2 𝜆1 1 𝑒 𝜆2 5 Como 𝜔2 𝜆 𝜔12 2 𝜆12 𝜔12 𝜆12 ቐ 𝜔1 𝜆1 1 1 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝜔2 𝜆2 5 2236 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑑𝑒𝑡 2𝜔2 6 4 4 2𝜔2 6 0 ቐ 𝜔1 𝜆1 1 1 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝜔2 𝜆2 5 2236 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜔1 1 4 4 4 4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜔2 1 4 4 4 4 𝑟1 𝑋2 1 𝑋1 1 4 4 1 𝑟2 𝑋2 2 𝑋1 2 4 4 1 Ԧ𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋1 1 𝑟1𝑋1 1 4 4 1 1 Ԧ𝑋 2 𝑋1 2 𝑋2 2 𝑋1 2 𝑟2𝑋1 2 4 4 1 1 X1 X11 X21 X11 r1 X11 1 1 ω1 X2 X12 X22 X12 r2 X12 1 1 ω2 Quais as condições necessárias para que o sistema vibre no primeiro e segundo modo x1t x2t X11 cosω1 t ϕ1 X12 cosω2 t ϕ2 r1 X11 cosω1 t ϕ1 r2 X12 cosω2 t ϕ2 x1t x2t X11 cosω1 t ϕ1 X12 cosω2 t ϕ2 r1 X11 cosω1 t ϕ1 r2 X12 cosω2 t ϕ2 Só é possível se x1t0 x10 ẋ1t0 0 e x2t0 x20 ẋ2t0 0 Lembrando que X12 1 r2 r1 r1 x10 x202 r1 ẋ10 ẋ202 ω2212 0 12 1 x10 x20212 x10 x20 Condições iniciais para que o sistema vibre no modo 1 x₁t x₂t X₁1 cosω₁t φ₁ X₁2 cosω₂t φ₂ r₁X₁1 cosω₁t φ₁ r₂X₁2 cosω₂t φ₂ Só é possível se x₁t0 x₁0 ẋ₁t0 0 e x₂t0 x₂0 ẋ₂t0 0 Lembrando que slide 26 X₁1 1r₂ r₁ r₂x₁0 x₂0² r₂ẋ₁0 ẋ₂0ω₁²²12 0 12x₁0 x₂0²12 x₁0 x₂0 Condições iniciais para que o sistema vibre no modo 2 Modo de Vibração 1 Modo de Vibração 2 Ԧ𝑥 1 𝑡 𝑥1 1 𝑡 𝑥2 1 𝑡 4cos𝑡 𝜑1 4cos𝑡 𝜑1 Ԧ𝑥 2 𝑡 𝑥1 2 𝑡 𝑥2 2 𝑡 4cos2236𝑡 𝜑2 4cos2236𝑡 𝜑2 Achar a resposta em vibração livre do sistema para os seguintes parâmetros e condições iniciais m₁ 10 kg m₂ 1 kg k₁ 30 Nm k₂ 5 Nm k₃ 0 Nm x₁0 1 m x₂0 0 m ẋ₁0 0 ms ẋ₂0 0 ms r₁ X₂1X₁1 2 r₂ X₂2X₁2 5 10ω² 35 5 5 ω² 5X₁ X₂ 0 0 10ω² 35 5 5 ω² 5 0 10ω2 35 5 5 ω2 5 X1 X2 0 0 10ω2 35 5 5 ω2 5 0 Substituindo ω1 e logo após ω2 encontramos respectivamente ω1 15811 rads ω2 24495 rads X11 X21 1 2 X21X11 r1 2 X12 X22 1 5 X22X12 r2 5 Lembrando que x10 1 m x20 0 m Resposta Geral do Sistema x1t x2t X11 cosω1 t φ1 X12 cosω2 t φ2 r1 X11 cosω1 t φ1 r2 X12 cosω2 t φ2 A resposta do sistema será uma combinação linear dos modos 1 e 2 X11 1r2 r1 r2 x10 x202 r2 ẋ10 ẋ202 ω1212 57 X12 1r2 r1 r1 x10 x202 r1 ẋ10 ẋ202 ω2212 27 φ1 tan1 r2 ẋ10 ẋ20 ω1 r2 x10 x20 0 φ2 tan1 r1 ẋ10 ẋ20 ω2 r1 x10 x20 0 x1t x2t X11 cosω1 t φ1 X12 cosω2 t φ2 r1 X11 cosω1 t φ1 r2 X12 cosω2 t φ2 57 cos15811 t 27 cos24485 t 107 cos15811 t 107 cos24495 t x10 1 m x20 0 m Em outras palavras MODO 1 MODO 2 Resposta Geral x1t1 x2t1 57 cos15811t 107 cos15811t x1t2 x2t2 27 cos24495t 107 cos24495t x1t x2t 57 cos15811t 27 cos24495t 107 cos15811t 107 cos24495t Resumo A solução geral de um problema de 2 GDL em vibração livre envolve os seguintes passos 1 Determinação das Equações do Movimento 2 Solução do problema de autovalor e determinação das frequências naturais e dos modos de vibração através de r1 e r2 3 Determinação da resposta do sistema devido às condições iniciais fornecidas State Space formulation m1 0 0 m2 x1 x2 k1 k2 k2 k2 k2 k3 x1 x2 0 2 x 2 od e ss 1 ode x 4 x1 y1 x1 x2 y2 x1 y3 y3 x1 x2 y4 y4 x2 State Space formulation m1 0 0 m2 x1 x2 c1c2 c2 c2 c2c3 x1 x2 k1k2 k2 k2 k2k3 x1 x2 0 ẏ1 ẏ2 ẏ3 ẏ4 0 2x2 I 2x2 M1 K M1 C y1 y2 y3 y4 x1 y1 x2 y2 x1 y3 x2 y4 k1 k2 k3 c1 c2 c3 m1 m2 x1 x2 1 Free vibration response of a 2DOF system 2 clc 3 clear all 4 K14000 K22000 K36000 5 M11 M22 7 MM1 0 8 0 M2 Mass matrix 9 KK1K2 K2 Stiffness Matix 10 K2 K2K3 1 function dy testode2Dty 2 global CC 3 dyCCy ydispl disp2 vel1 vel2 Free vibration response of a 2DOF system clc clear all K14000 K22000 K36000 M11 M22 C11 C22 C30 MM1 0 0 M2 Mass matrix KK1K2 K2 K2 K2K3 Stiffness Matrix CC1C2 C2 C2 C2C3 Damping Matrix Estimation of Nntural frequencies Mode shapes modeShape freigKM coefficient matrix A1zeros2 A2eye2 CCA1 A2invMK invMC global CC time step and time vector maxfreqmaxsqrtdiagfr2pi highest frequency in Hz dt1maxfreq20 time step and time vector maxfreqmaxsqrtdiagfr2pi highest frequency in Hz dt1maxfreq20 time0dt500dt y0001 0 0 0 Initial Condition tsolysolode23testode2Dtimey0 plottimeysol1linewidth2 xlabelTimesec ylabeldisplacementm ylim02 02 grid on displacementm Timesec 11 Estimation of Nntural frequencies Mode shapes 12 modeShape freigKM 13 coefficient matrix 14 A00zeros2 Alleye2 15 CCA00 All invMK A00 16 global CC 17 time step and time vector 18 maxfreqmaxsqrtdiagfr2pi highest frequency in Hz 19 dt1maxfreq20 20 time0dt200dt 21 22 y0001 0 0 0 displ disp2 vel1 vel2 Initial Condition 23 tsol ysolode23testode2Dtimey0 24 plottime ysol12 linewidth 2 25 xlabelTimesec 26 ylabeldisplacementm 27 ylim 02 02 28 grid on a DCL m 2Kx₂ x₁ ① 2Kx₂ x₁ v₂ M K x₃ x₂ ② 2K x₂ K x₄ x₂ 2m x₃ ③ K x₃ x₂ m 2Kx₅ x₄ K x₅ ⑤ 2Kx₅ x₄ ④ kx₄ x₂ Aplicando a 2ª Lei de Newton m x₁ 2K x₂ x₁ m x₁ 2K x₁ 2K x₂ 0 M x₂ 2Kx₂ x₁ 2Kx₂ K x₃ x₂ K x₄ x₂ M x₂ 6Kx₂ 2Kx₁ K x₃ K x₄ M x₂ 2K x₁ 6K x₂ K x₃ K x₄ 0 2m x₃ K x₃ x₂ 2m x₃ K x₃ K x₂ 0 m x₄ 2K x₅ x₄ K x₄ x₂ m x₄ K x₂ 3Kx₄ 2K x₅ m x₄ K x₂ 3K x₄ 2K x₅ 0 mẍ₅ Kx₅ 2K x₅ x₄ mẍ₅ 3Kx₅ 2Kx₄ 0