Prova Resolvida Dinamica-Vibrações Mecânicas - Sistemas Massa Mola

Questão de prova Professor Alexandre Ribeiro Andrade Questão Dados 𝑘 𝑘2 𝑘4 𝑘5 𝑘7 𝑘 𝑘3 𝑘6 2𝑘 𝑚1 𝑚3 𝑚 𝑚2 𝑚4 2𝑚 m1 m3 m2 m4 𝑘1 𝑘2 𝑘3 𝑘6 𝑘4 𝑘5 𝑘7 𝑥1 ሷ𝑥1 𝑥2 ሷ𝑥2 𝑥3 ሷ𝑥3 𝑥4 ሷ𝑥4 𝑥𝑎 ሷ𝑥𝑎 𝑥𝑏 ሷ𝑥𝑏 Princípio da solução k₁ F₁t k₂ F₂t kᵢ Fᵢt kⱼ Fⱼt kₙ Fₙt kₙ₁ c₁ c₂ cᵢ cⱼ cₙ cₙ₁ Ponto 1 x₁ Ponto 2 x₂ Ponto i xᵢ Ponto j xⱼ Ponto n xₙ a xᵢ xᵢ xᵢ Fᵢt kᵢxᵢ xᵢ₁ mᵢ kᵢ₁xᵢ₁ xᵢ cᵢxᵢ xᵢ₁ cᵢ₁xᵢ₁ xᵢ b Solução massa m1 Dados 𝑘 𝑘2 𝑘4 𝑘5 𝑘7 𝑘 𝑘3 𝑘6 2𝑘 𝑚1 𝑚3 𝑚 𝑚2 𝑚4 2𝑚 m1 m2 𝑘1 𝑘2 𝑥1 ሷ𝑥1 𝑥2 ሷ𝑥2 m1 𝑥1 ሷ𝑥1 𝑚1 ሷ𝑥1 𝑘1𝑥1 𝑥𝑎 𝑘2 𝑥2 𝑥1 𝑘1𝑥1 𝑥𝑎 𝑘2 𝑥2 𝑥1 𝑚1 ሷ𝑥1 𝑘1 𝑥1 𝑘2 𝑥2 𝑥1 0 𝑚1 ሷ𝑥1 𝑘1 𝑥1 𝑘2 𝑥2 𝑘2𝑥1 0 𝑚1 ሷ𝑥1 𝑘1 𝑘2𝑥1 𝑘2 𝑥2 0 𝑚 ሷ𝑥1 2𝑘𝑥1 𝑘𝑥2 0 𝐸𝑞 1 𝑥𝑎 ሷ𝑥𝑎 0 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑥𝑎 0 𝑚1 ሷ𝑥1 𝑘1𝑥1 𝑘2 𝑥2 𝑥1 Solução massa m2 Dados 𝑘 𝑘2 𝑘4 𝑘5 𝑘7 𝑘 𝑘3 𝑘6 2𝑘 𝑚1 𝑚3 𝑚 𝑚2 𝑚4 2𝑚 m1 m3 m2 m4 𝑘2 𝑘3 𝑘6 𝑘4 𝑘5 𝑥1 ሷ𝑥1 𝑥2 ሷ𝑥2 𝑥3 ሷ𝑥3 𝑥4 ሷ𝑥4 m2 𝑥2 ሷ𝑥2 𝑘2𝑥2𝑥1 𝑘4 𝑥3 𝑥2 𝑘3𝑥2𝑥𝑎 𝑘6 𝑥4 𝑥2 𝑥𝑎 ሷ𝑥𝑎 0 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑥𝑎 0 Solução massa m2 Dados 𝑘2 𝑘4 𝑘 𝑘3 𝑘6 2𝑘 𝑚1 𝑚3 𝑚 𝑚2 𝑚4 2𝑚 𝑚2 ሷ𝑥2 𝑘3𝑥2 𝑘2 𝑥2 𝑥1 𝑘4 𝑥3 𝑥2 𝑘6 𝑥4 𝑥2 𝑚2 ሷ𝑥2 𝑘3 𝑥2 𝑘2 𝑥2 𝑥1 𝑘4 𝑥3 𝑥2 𝑘6 𝑥4 𝑥2 0 𝑚2 ሷ𝑥2 𝑘3 𝑥2 𝑘2 𝑥2𝑘2𝑥1 𝑘4𝑥3 𝑘4 𝑥2 𝑘6 𝑥4 𝑘6 𝑥2 0 𝑚2 ሷ𝑥2 𝑘2 𝑥1 𝑘2 𝑘3 𝑘4 𝑘6 𝑥2 𝑘4𝑥3 𝑘6 𝑥4 0 m2 𝑥2 ሷ𝑥2 𝑘2𝑥2𝑥1 𝑘4 𝑥3 𝑥2 𝑘3𝑥2 𝑘6 𝑥4 𝑥2 2𝑚 ሷ𝑥2 𝑘𝑥1 6𝑘𝑥2 𝑘𝑥3 2𝑘𝑥4 0 𝐸𝑞 2 Solução massa m3 Dados 𝑘 𝑘2 𝑘4 𝑘5 𝑘7 𝑘 𝑘3 𝑘6 2𝑘 𝑚1 𝑚3 𝑚 𝑚2 𝑚4 2𝑚 m3 m2 m4 𝑘6 𝑘4 𝑘5 𝑥2 ሷ𝑥2 𝑥3 ሷ𝑥3 𝑥4 ሷ𝑥4 m3 𝑥3 ሷ𝑥3 𝑘4𝑥3 𝑥2 𝑘5 𝑥4 𝑥3 𝑚3 ሷ𝑥3 𝑘4𝑥3 𝑥2 𝑘5 𝑥4 𝑥3 𝐸𝑞 3 𝑚3 ሷ𝑥3 𝑘4 𝑥3 𝑥2 𝑘5 𝑥4 𝑥3 0 𝑚3 ሷ𝑥3 𝑘4 𝑥3 𝑘4 𝑥2 𝑘5 𝑥4 𝑘5 𝑥3 0 𝑚3 ሷ𝑥3 𝑘4 𝑥2𝑘4 𝑘5𝑥3 𝑘5𝑥4 0 𝑚 ሷ𝑥3 𝑘𝑥2 2𝑘𝑥3 𝑘𝑥4 0 Solução massa m4 Dados 𝑘5 𝑘7 𝑘 𝑘6 2𝑘 𝑚1 𝑚3 𝑚 𝑚2 𝑚4 2𝑚 m4 𝑥4 ሷ𝑥4 𝑘5𝑥4𝑥3 𝑘7 𝑥𝑏 𝑥4 𝑘6𝑥4𝑥2 m4 𝑘6 𝑘5 𝑘7 𝑥4 ሷ𝑥4 𝑥𝑏 ሷ𝑥𝑏 0 𝑥3 ሷ𝑥3 𝑥2 ሷ𝑥2 𝑚4 ሷ𝑥4 𝑘7𝑥4 𝑘5 𝑥4 𝑥3 𝑘6 𝑥4 𝑥2 𝑚4 ሷ𝑥4 𝑘7 𝑥4 𝑘5 𝑥4 𝑥3 𝑘6 𝑥4 𝑥2 0 𝑚4 ሷ𝑥4 𝑘7 𝑥4 𝑘5 𝑥4 𝑘5𝑥3 𝑘6 𝑥4 𝑘6𝑥2 0 𝑚4 ሷ𝑥4 𝑘6𝑥2 𝑘5𝑥3 𝑘5 𝑘6 𝑘7𝑥4 0 2𝑚 ሷ𝑥4 2𝑘𝑥2 𝑘𝑥3 4𝑘𝑥4 0 𝐸𝑞 4 Soluções das Equações 1 2 3 e 4 𝑚 ሷ𝑥1𝑡 2𝑘𝑥1𝑡 𝑘𝑥2𝑡 0 𝐸𝑞 1 2𝑚 ሷ𝑥2𝑡 𝑘𝑥1𝑡 6𝑘𝑥2𝑡 𝑘𝑥3𝑡 2𝑘𝑥4𝑡 0 𝐸𝑞 2 𝐸𝑞 3 𝑚 ሷ𝑥3𝑡 𝑘𝑥2𝑡 2𝑘𝑥3𝑡 𝑘𝑥4𝑡 0 2𝑚 ሷ𝑥4𝑡 2𝑘𝑥2𝑡 𝑘𝑥3𝑡 4𝑘𝑥4𝑡 0 𝐸𝑞 4 𝑥1 𝑡 𝑋1cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥1 𝑡 𝜔2𝑋1cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥3 𝑡 𝑋3cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥3 𝑡 𝜔2𝑋3cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥2 𝑡 𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥2 𝑡 𝜔2𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥4 𝑡 𝑋4cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥4 𝑡 𝜔2𝑋4cos𝜔𝑡 𝜑 Aplicando na Equação 1 𝑚 ሷ𝑥1𝑡 2𝑘𝑥1𝑡 𝑘𝑥2𝑡 0 𝐸𝑞 1 𝑥1 𝑡 𝑋1cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥1 𝑡 𝜔2𝑋1cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥2 𝑡 𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 𝑚 𝜔2𝑋1cos𝜔𝑡 𝜑 2𝑘 𝑋1cos𝜔𝑡 𝜑 𝑘 𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 0 𝑚𝜔2𝑋1 cos𝜔𝑡 𝜑 2𝑘𝑋1 cos𝜔𝑡 𝜑 𝑘𝑋2 cos𝜔𝑡 𝜑 0 𝑚𝜔2𝑋1 2𝑘𝑋1 𝑘𝑋2 0 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑋1 𝑘 𝑋2 0 𝐸𝑞 5 Aplicando na Equação 2 2𝑚 ሷ𝑥2𝑡 𝑘𝑥1𝑡 6𝑘𝑥2𝑡 𝑘𝑥3𝑡 2𝑘𝑥4𝑡 0 𝐸𝑞 2 𝑥1 𝑡 𝑋1cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥3 𝑡 𝑋3cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥2 𝑡 𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥2 𝑡 𝜔2𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥4 𝑡 𝑋4cos𝜔𝑡 𝜑 2𝑚 𝜔2𝑋2 𝑘𝑋1 6𝑘𝑋2 𝑘𝑋3 2𝑘𝑋4 0 𝑘𝑋1 2𝑚𝜔2 6𝑘𝑋2 𝑘𝑋3 2𝑘𝑋4 0 𝐸𝑞 6 Aplicando a Equações 3 𝐸𝑞 3 𝑚 ሷ𝑥3𝑡 𝑘𝑥2𝑡 2𝑘𝑥3𝑡 𝑘𝑥4𝑡 0 𝐸𝑞 7 𝑥3 𝑡 𝑋3cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥3 𝑡 𝜔2𝑋3cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥2 𝑡 𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥4 𝑡 𝑋4cos𝜔𝑡 𝜑 𝑚𝜔2𝑋3 𝑘𝑋2 2𝑘𝑋3 𝑘𝑋4 0 𝑘𝑋2 𝑚𝜔2 2𝑘𝑋3 𝑘𝑋4 0 Aplicando a Equações 3 𝐸𝑞 8 2𝑚 ሷ𝑥4𝑡 2𝑘𝑥2𝑡 𝑘𝑥3𝑡 4𝑘𝑥4𝑡 0 𝐸𝑞 4 𝑥3 𝑡 𝑋3cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥2 𝑡 𝑋2cos𝜔𝑡 𝜑 𝑥4 𝑡 𝑋4cos𝜔𝑡 𝜑 ሷ𝑥4 𝑡 𝜔2𝑋4cos𝜔𝑡 𝜑 2𝑚𝜔2𝑋4 2𝑘𝑋2 𝑘𝑋3 4𝑘𝑋4 0 2𝑘𝑋2 𝑘𝑋3 2𝑚𝜔2 4𝑘𝑋4 0 Equações 5 6 7 e 8 𝐸𝑞 8 2𝑘𝑋2 𝑘𝑋3 2𝑚𝜔2 4𝑘𝑋4 0 𝐸𝑞 7 𝑘𝑋2 𝑚𝜔2 2𝑘𝑋3 𝑘𝑋4 0 𝑘𝑋1 2𝑚𝜔2 6𝑘𝑋2 𝑘𝑋3 2𝑘𝑋4 0 𝐸𝑞 6 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑋1 𝑘 𝑋2 0 𝐸𝑞 5 𝑑𝑒𝑡 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 0 𝑘 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 2𝑘 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 0 0 0 0 Teorema de Laplace Cofator ou complemento algébrico 𝑑𝑒𝑡 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 0 𝑘 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 2𝑘 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 0 𝐶𝑖𝑗 1 𝑖𝑗 𝐷𝑖𝑗 det 𝑎11 𝐶11 𝑎12 𝐶12 𝑎13 𝐶13 𝑎14 𝐶14 𝑎11 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑎12 𝑘 𝑎13 0 𝑎14 0 𝐶11 1 11 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 2𝑘 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 2𝑘 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 𝐶11 1 2 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 2𝑘 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 2𝑘 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 2𝑘 𝑘 𝑎11 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑎11 𝐶11 4𝑚4𝜔8 36𝑚3𝑘𝜔6 112𝑚2𝑘2𝜔4 138𝑚𝑘3𝜔2 52𝑘4 𝐸𝑞 9 𝐶11 1 2 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 2𝑘 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 2𝑘 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 2𝑘 𝑘 𝐶11 4𝑚3𝜔6 28𝑚2𝑘𝜔4 56𝑚𝑘2𝜔2 26𝑘3 𝑎12 𝑘 𝑎12 𝐶12 2𝑚2𝑘2𝜔4 8𝑚𝑘3𝜔2 7𝑘4 𝐸𝑞 10 𝐶12 1 3 𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 𝑘 𝑘 0 𝑚𝜔2 2𝑘 0 𝑘 𝐶12 12𝑚2𝑘𝜔4 8𝑚𝑘2𝜔2 7𝑘3 𝑑𝑒𝑡 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 0 𝑘 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 2𝑘 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 0 𝐶12 2𝑚2𝑘𝜔4 8𝑚𝑘2𝜔2 7𝑘3 Somando eq 9 10 det 𝑎11 𝐶11 𝑎12 𝐶12 0 𝑝 𝜔 4𝑚4𝜔8 36𝑚3𝑘𝜔6 110𝑚2𝑘2𝜔4 130𝑚𝑘3𝜔2 45𝑘4 0 𝑎11 𝐶11 4𝑚4𝜔8 36𝑚3𝑘𝜔6 112𝑚2𝑘2𝜔4 138𝑚𝑘3𝜔2 52𝑘4 𝑎12 𝐶12 2𝑚2𝑘2𝜔4 8𝑚𝑘3𝜔2 7𝑘4 Solução 𝑝 𝜔 4𝑚4𝜔8 36𝑚3𝑘𝜔6 110𝑚2𝑘2𝜔4 130𝑚𝑘3𝜔2 45𝑘4 0 𝑝 𝜔 𝑎8𝜔8 𝑎6𝜔6 𝑎4𝜔4 𝑎2𝜔2 𝑎0 0 𝑎0 1125 𝑘 𝑚 4 𝑎1 0 𝑎2 325 𝑘 𝑚 3 𝑎3 0 𝑎4 275 𝑘 𝑚 2 𝑎5 0 𝑎6 9 𝑘 𝑚 𝑎7 0 𝑎8 1 𝑝 𝜔 𝜔8 9 𝑘 𝑚 𝜔6 55 2 𝑘 𝑚 2 𝜔4 65 2 𝑘 𝑚 3 𝜔2 45 4 𝑘 𝑚 4 0 4𝑚4 𝑝 𝜔 𝜔8 9 𝑘 𝑚 𝜔6 275 𝑘 𝑚 2 𝜔4 325 𝑘 𝑚 3 𝜔2 1125 𝑘 𝑚 4 0 𝐴𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧𝑒𝑠 𝜔 07622 𝑘 𝑚 13648 𝑘 𝑚 16391 𝑘 𝑚 19672 𝑘 𝑚 𝑝 𝜔 𝜔8 9 𝑘 𝑚 𝜔6 275 𝑘 𝑚 2 𝜔4 325 𝑘 𝑚 3 𝜔2 1125 𝑘 𝑚 4 0 5 0 5 10 15 00 05 10 15 20 25 Pw w Gráfico do pw Autovetores e Autovalores 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 𝑋 2 𝑋1 2 𝑋2 2 𝑋3 2 𝑋4 2 𝑋 3 𝑋1 3 𝑋2 3 𝑋3 3 𝑋4 3 𝑋 4 𝑋1 4 𝑋2 4 𝑋3 4 𝑋4 4 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 0 𝑘 2𝑚𝜔2 6𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝑘 𝑚𝜔2 2𝑘 𝑘 0 2𝑘 𝑘 2𝑚𝜔2 4𝑘 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 0 0 0 0 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 𝐴𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧𝑒𝑠 𝜔12 07622 𝑘 𝑚 𝜔1 2 058095 𝑘 𝑚 058095𝑘 2𝑘 𝑘 0 0 𝑘 11619𝑘 6𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝑘 058095𝑘 2𝑘 𝑘 0 2𝑘 𝑘 11619𝑘 4𝑘 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 0 0 0 0 1419 1000 0000 0000 1000 48381 1000 2000 0000 1000 141095 1000 0000 2000 1000 28381 𝑘 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 0 0 0 0 1419𝑋1 𝑋2 0 𝑋1 48381𝑋2 𝑋3 2𝑋4 0 𝑋2 141095𝑋3 𝑋4 0 2𝑋2 𝑋3 28381𝑋4 0 𝑋1 07047𝑋2 41334𝑋2 𝑋3 2𝑋4 0 𝑋2 141095𝑋3 𝑋4 0 2𝑋2 𝑋3 28381𝑋4 0 41334𝑋2 𝑋3 2𝑋4 0 𝑋2 141095𝑋3 𝑋4 0 2𝑋2 𝑋3 28381𝑋4 0 41334𝑋2 2𝑋4 𝑋3 𝑋2 14109541334𝑋2 2𝑋4 𝑋4 0 2𝑋2 41334𝑋2 2𝑋4 28381𝑋4 0 48320𝑋2 38219𝑋4 0 61334𝑋2 48381𝑋4 0 𝑋2 0791𝑋4 𝑋4 12677𝑋2 𝑋1 07047𝑋2 41334𝑋2 212677𝑋2 𝑋3 15979𝑋2 𝑋3 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 𝑋1 07047𝑋2 𝑋4 12677𝑋2 15979𝑋2 𝑋3 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 07047 1 15979 12677 𝑋2 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 𝑋 2 𝑋1 2 𝑋2 2 𝑋3 2 𝑋4 2 𝐴𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧𝑒𝑠 𝜔34 13648 𝑘 𝑚 𝜔2 2 18627 𝑘 𝑚 18627𝑘 2𝑘 𝑘 0 0 𝑘 37254𝑘 6𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝑘 18627𝑘 2𝑘 𝑘 0 2𝑘 𝑘 37254𝑘 4𝑘 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 0 0 0 0 01273 1000 0000 0000 1000 22746 1000 2000 0000 1000 01273 1000 0000 2000 1000 02746 𝑘 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 0 0 0 0 01273𝑋1 𝑋2 0 𝑋1 22746𝑋2 𝑋3 2𝑋4 0 𝑋2 01273𝑋3 𝑋4 0 2𝑋2 𝑋3 02746𝑋4 0 𝑋1 78554𝑋2 55809𝑋2 𝑋3 2𝑋4 0 𝑋2 01273𝑋3 𝑋4 0 2𝑋2 𝑋3 02746𝑋4 0 𝑋1 78554𝑋2 55809𝑋2 𝑋3 2𝑋4 0 𝑋2 01273𝑋3 𝑋4 0 2𝑋2 𝑋3 02746𝑋4 0 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 𝑋1 07047𝑋2 𝑋4 12677𝑋2 15979𝑋2 𝑋3 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1 07047 1 15979 12677 𝑋2 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 𝑋4 1