Estabilidade - Vibrações Mecânicas

Considere um simples sistema de suspensão eletromagnética mostrado na figura A força eletromagnética fm é dada por fm α I²h² Onde I e h são a corrente da bobina e a lacuna de ar respectivamente A constante α μ₀N²Aₚ onde μ₀ N e Aₚ são a permeabilidade do ar o número de voltas da bobina e a área de face por cada polo magnético respectivamente Seja h₀ a lacuna de ar desejada Logo a corrente I₀ é calculada a partir da seguinte condição de equilíbrio estático α I₀²h₀² mg Seja xt o deslocamento dinâmico da massa em relação a posição de equilíbrio estático Derive a equação diferencial de movimento e determine a estabilidade do sistema Dicas Inclua o peso da massa no diagrama de corpo livre Uma vez que a força eletromagnética possui uma equação diferente da mola axial a forma de avaliar o efeito da gravidade no comportamento vibratório do sistema também é diferente Linearize a força eletromagnética usando os dois primeiros termos de uma expansão em série de Taylor fx f0 dfdxₓ₀ x Sabemos que fm α I²h² Considere um referencial com origem no ponto de equilíbrio Na posição de massa em equilíbrio que x 0 ṡx 0 ẍ 0 Para um deslocamento pequeno qualquer pois como temos que mẍ fₘ mg α I²h² mg mẍ α I²h₀ x² mg mẍ α I²h₀²1xh₀² mg Escrevemos a força por uma expansão de uma série de Taylor truncada no termo linear a partir do equilíbrio x₀ 0 temos que fx Δx fx₀ dfdxₓ₀ Δx Na nossa notação Δx x x fx α I²h₀² 1xh₀² x x0 α I²h₀² Por analogia a energia do sistema é dada por E 12 m x² 12 2αI² h₀³ x² Derivando em relação ao tempo temos que dEdt 32 m x x 22 2αI² h₀³ x x x m x 2αI² h₀³ x 0 0 2ª lei de Newton Portanto para pequenas variações ao redor da posição de equilíbrio o sistema é conservativo e apresentará caráter oscilatório com frequência ωₙ 2αI² m h₀³ Da condição de equilíbrio mg αI² h₀² portanto m x 2αI² h₀³ x 0 Esse problema linearizado se torna um oscilador harmônico simples dessa forma as posições de equilíbrio são x x 0 2αI² h₀³ x 0 x 0 única posição de equilíbrio Por analogia a energia do sistema é dada por E 12 m x² 12 2αI² h₀³ x² Derivando em relação ao tempo temos que dEdt 32 m x x 22 2αI² h₀³ x x x m x 2αI² h₀³ x 0 Aplicando essa força linearizada na equações do movimento m x αI² h₀³ 2αI² h₀³ x mg Da condição de equilíbrio mg αI² h₀² portanto m x 2αI² h₀³ x 0 Esse problema linearizado se torna um oscilador harmônico simples dessa forma as posições de equilíbrio são x x 0 2αI² h₀³ x 0 x 0 única posição de equilíbrio Al cando una fuerza lineal nada me que da momento mx x t 2 12 m x t Da conjunto de ecuaciones mx 2x 12 0 3 MPx 2x 0 Ese problema linealidad se tiene un oscilador harmonico simple donde fuerza es la propiedad de equilibrio x0 fuerza de equilibrio x 0 m x 2x 0 unica fuerza de equilibrio En energia se ensaya de sistema ideal por E 12 mx 12 k x dei Diviendo en relace un relec de cuerpo joven que d x 2 m m 2 x 2 x x t 0 k x 0 Por lo tanto por pequeños variacidos en red de potencias de equilibrio o sistema constante o parecido como tan oscilatorio con frequencia w 1 2 k m 1m s in