Poliedros Semirregulares - Definição, Classificação e Aplicações Artísticas

Etapa II Poliedros semirregulares Svilen Milev SXC Olá Professor Seja bemvindo à segunda etapa do nosso curso sobre Geometria Espacial Continuamos nossos estudos abordando agora a classificação dos poliedros semirregulares Propomos uma reflexão sobre as seguintes questões O que são poliedros semirregulares Que configurações de polígonos podemos encontrar ao redor de cada vértice em poliedros semirregulares Quais são os treze poliedros arquimedianos Será que todos os poliedros são rígidos GeometriaEspacialindd 55 150813 1754 GeometriaEspacialindd 56 150813 1754 1 Os poliedros e a arte uma combinação histórica A representação de poliedros sempre foi uma questão que intrigou e inspirou diversos artistas e matemáticos desde a época do Renascimento Se pudéssemos fazer uma breve viagem no tempo veríamos que entre os anos de 1420 e 1425 Ucello um pintor italiano muito conhecido por sua maestria nas pinturas em perspectiva tentou aplicar o método científico para a representação de objetos em um espaço tridimensional Foi exatamente nessa época que desenhou poliedros estrelados nos afrescos da Catedral de S Marcos em Veneza Esse é apenas um dos muitos exemplos através dos tempos de utilização dos poliedros na Arte Por volta do ano 1480 um dos mais famosos pintores desse período e criador da teoria da perspectiva Piero della Francesca escreveu um tratado sobre os cinco sólidos regulares Partes do tratado foram incorporadas por Luca Pacioli um célebre matemático italiano em seu popular compêndio de Matemática Summa de Arithmetica geometria proportione et proportionalita editado em Veneza em 1494 Em outro livro de Pacioli De Divina proportione aparecem desenhos de poliedros em particular os arquimedianos da autoria de Leonardo da Vinci Professor é incrível como em um intervalo pequeno da História de mais ou menos 75 anos já conseguimos perceber a grande influência que os poliedros tiveram na Arte Renascentista Assim como a Geometria Espacial foi capaz de motivar os artistas mais renomados daquela época ela pode também ajudarnos a levar nossos alunos para águas mais profundas concorda Para que isso aconteça que tal aprofundarmos ainda mais nosso conhecimento neste universo tão instigante Ian Beeby SXC Chloe Merle SXC liensal SXC Adam Ciesielski SXC 1 Os poliedros e a arte uma combinação histórica 57 GeometriaEspacialindd 57 150813 1754 k m C A B ℓ ℓ 2 No universo poliédrico semirregular Vimos na Etapa 1 deste módulo que para um poliedro ser considerado semirregular ele deverá atender a três condições simultaneamente E agora que já sabemos identificar esse tipo de poliedro vamos avançar e investigar quantos e quais são os poliedros semirregulares Aproveitaremos a nossa experiência em estratégias de classificação de ladrilhamentos do plano já estudadas no Módulo 1 para classificar os diferentes tipos de poliedros semirregulares ou seja para classificar os po liedros semirregulares usaremos estratégias muito parecidas às usadas na classificação de ladrilhamentos semirregulares Não é por acaso que como veremos as condições técnicas sobre ladrilhamentos se mirregulares sejam tão parecidas com condições sobre poliedros semirregulares Afinal Kepler foi o primeiro a fazer uma classificação criteriosa dos ladrilhamentos semirregulares do plano e usou técnicas análogas para classificar poliedros semirregulares É exatamente o que faremos a seguir seguiremos os passos de Kepler Assim como nos ladrilhamentos do plano cada vértice de um poliedro não importando a sua natureza deve ser adjacente a pelo menos três arestas revelando a presença de ao menos três faces ou três ângulos planos adjacentes ao vértice Você se lembra do modo como foram classificados os ladrilhamentos semirregulares Nós os classificamos em padrões k m k m n k m n p e k m n p q Da mesma forma diremos que em um poliedro um vértice é do tipo k m quan do fazendo um percurso em torno desse vértice sobre as faces do poliedro adjacentes ao vértice encontramos sucessivamente um kágono um ágono e um m ágono O percurso pode ser no sentido horário ou antihorário para quem caminha externamente ao poliedro dependendo do ponto de vista do observador Assim tal como no estudo dos ladrilhamentos do plano um vértice do tipo k m é também dos tipos m k e m k Se mudarmos a orientação do percurso teremos que o vértice ainda é de qualquer um dos tipos k m m k e k m Já um vértice terá o tipo k m n se ao redor desse vértice encontrarmos em sequência um k ágono um ágono um m ágono e um nágono Assim como no estudo de ladrilhamentos do plano um vértice do tipo k m n também é dos tipos m n k m n k n k m Se mudarmos a orientação do percurso teremos que o vértice ainda é de qualquer um dos tipos n m k m k n k n m e k n m Adam Ciesielski SXC 58 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 58 150813 1754 Atividade 1 Olho por olho vértice por vértice Com base na classificação de vértices de poliedros que acabamos de estabelecer determine que tipos de vértice são encontrados em cada um dos poliedros das figuras a seguir ａ ｂ ｃ Resposta comentada O poliedro do item a possui cinco vértices do tipo 3 3 33 ou seja com quatro triângulos adjacentes a cada um deles e tem dois vértices do tipo 33333 ou seja com cinco triângulos adjacentes a cada um deles O item b apresenta um poliedro formado por oito vértices do tipo 3 3 34 Para finalizar o poliedro representado no item c é constituído por seis vértices sendo que um é do tipo 33333 e os demais cinco vértices são do tipo 335 D B C A Figura 21 No poliedro representado acima os vértices A e B são do tipo 3 5 35 O vértice C e mais outros três vértices do poliedro têm o tipo 355 Já o vértice D e mais outros sete vértices têm o tipo 3435 De maneira inteiramente análoga definimos em poliedros vér tices do tipo k m n p São do mesmo tipo os vértices de tipos m n p k m n p k n p k m p k m n e também vér tices de tipos p n m k n m k p m k p n k p n m e k p n m ou seja vértices em que a leitura das faces adjacentes ao vértice é feita no sentido contrário Em poliedros regulares todos os vértices são do tipo k k k ou k k k k ou ainda k k k k k Pare um pouco e determine agora mesmo os tipos de vértices dos cinco poliedros regulares m m n n m n p ℓ ℓ C A B k 2 No universo poliédrico semirregular 59 GeometriaEspacialindd 59 150813 1754 Atividade 2 E na sala de aula Um professor do Ensino Médio querendo verificar o conhecimento de seus alunos desenhou o poliedro abaixo e fez a seguinte afirmação no quadronegro O poliedro dessa figura tem apenas faces triangulares Mesmo se os triângulos forem todos equiláteros o poliedro ainda assim não é um poliedro regular Ele separou a turma em pequenos grupos e deixando consultar o livro didático pediu para eles dizerem se a frase era verdadeira ou falsa justificando suas respostas Se você fosse esse professor o que esperaria que seus alunos respondessem Em face dos conceitos introduzidos recapitularemos aqui a definição de poliedro semirregular Um poliedro é semirregular quando satisfaz simultaneamente às seguintes condições i o poliedro é convexo ii as faces do poliedro são polígonos regulares mas não todos de um único tipo e todas as arestas do poliedro têm o mesmo comprimento iii a configuração cíclica de polígonos regulares faces em torno de cada vértice é sempre a mesma para todos os vértices do poliedro ou seja todos os vértices são de um único tipo O tipo único dos vértices define o padrão do poliedro Também o padrão de um poliedro regular é definido como sendo o tipo de cada um de seus vértices Por exemplo o cubo é um poliedro de padrão 444 O tetraedro é um poliedro de padrão 333 Entendeu essa associação Então para fixar convido você a listar os padrões dos demais poliedros regulares Atividade 3 De padrão em padrão Explique por que cada um dos poliedros a seguir é um poliedro semirregular Qual é o padrão de cada um desses dois poliedros ａ ｂ Resposta comentada Em a temos um poliedro semirregular de faces hexa gonais e triangulares com vértices do tipo 366 Nesse caso dizemos que o poliedro tem o padrão 366 ou simplesmente que é um poliedro semirregular 366 Em b temos um poliedro semirregular um prisma de faces octogonais e quadradas de padrão 844 3 O xequemate de Kepler De agora em diante seguiremos os passos de Kepler e Arquimedes e iremos realmente deduzir com argumentos matemáticos a lista dos possíveis poliedros semirregulares que inclui a lista dos poliedros arquimedianos Nossa primeira observação crucial é a seguinte Em torno de cada vértice de um poliedro semirregular temos sempre no mínimo três faces e no máximo cinco Observamos anteriormente que em torno de cada vértice de um poliedro convexo teremos sempre ao menos três arestas revelando a presença de ao menos três faces ou três ângulos planos adjacentes ao vértice Se o poliedro não é semirregular ele pode ter muitas faces adjacentes a um determinado vértice Por exemplo se uma pi râmide tem como base um polígono convexo de sete lados ela terá sete faces adjacentes ao vértice do topo da pirâmide Mas Se um poliedro é semirregular então o número de faces adjacentes a cada vértice é no máximo cinco Dafe Ba SXC Adam Ciesielski SXC 3 O xequemate de Kepler 61 GeometriaEspacialindd 61 150813 1754 Para verificarmos isso basta pensarmos um pouco As faces de um poliedro semirregular são polígonos regulares A soma dos ângulos planos adjacentes a cada vértice é sempre menor que 360 Como o menor ângulo interno de um polígono regular é o ângulo interno de um triângulo equilátero que mede 60 então na mais esbanjadora das hipóteses teremos cinco triângulos adjacentes a cada vértice pois 5 x 60 360 e 6 x 60 360 sendo proibida esta última possibilidade Como estamos falando de um poliedro semirregular não podemos ter polígonos de um único tipo quanto ao número de lados ao redor de cada vértice logo voltando à nossa hipótese esbanjadora o poliedro deverá ter algum polígono não triangular em torno de cada vértice Concorda Assim na mais esbanjadora das hipóteses ou seja tomandose o maior número possível de polígonos regulares em torno de um vértice de ângulos internos pequenos teríamos quatro triângulos e um quadrado adjacentes a cada vértice A soma dos ângulos planos adjacentes a cada vértice ficaria então 4 x 60 90 330 Assim sendo em um poliedro semirregular podemos ter três quatro ou cinco faces adjacentes a cada vértice mas não mais que isso e o poliedro terá um dos seguintes padrões k m k m n e k m n p Com base no que acabamos de deduzir vamos à procura dos diferen tes padrões de poliedros semirregulares Vamos sentir então a satisfação que sentiu Kepler de realmente redescobrir os 13 padrões de poliedros arquimedianos e mais uma interessante lista de outros poliedros semirre gulares não arquimedianos formada por prismas e antiprismas Para descobrir os possíveis padrões de poliedros semirregulares existentes dentre os poliedros de padrões k m k m n e k m n p adotaremos estratégias que dependerão em cada caso do número de polígonos regulares faces em torno de cada vértice As estratégias foram escolhidas com base na experiência dos autores por serem as que mais eficazmente dão conta da desco berta dos padrões existentes No caso de poliedros de padrão k m dividiremos nosso estudo em dois casos a poliedros em que um dos valores k e m é ímpar e necessariamente os outros dois são pares b poliedros em que os valores k m são todos pares No caso de poliedros de padrão k m n o estudo também será feito com base no fato de que os poliedros semirregulares com esse padrão sempre fazem uso de faces triangulares Para poliedros de padrão k m n p veremos inicialmente que a ausência de triângulos é impossível Mais que isso veremos que ao menos três dos valores k m n p devem ser iguais a 3 arteram SXC Flavio Takemoto SXC 62 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 62 150813 1754 4 Desvendando o padrão k m Assim como fizemos na classificação dos ladrilhamentos semirregulares do plano di vidiremos nosso estudo dos poliedros semirregulares de padrão k m em dois casos 1º CASO Um dos valores k e m é ímpar 2º CASO Os inteiros k e m são todos pares obviamente todos maiores que 2 1º CASO Um dos valores k e m é ímpar Vamos inicialmente supor que tal número ímpar é o número 3 que é o menor número de lados de um polígono regular Propriedade simplificadora Se um poliedro semirregular tem padrão k m e um dos valores k e m é igual a 3 então os outros dois valores são iguais Ou seja se k 3 então m se 3 k m e se m 3 k Para deduzir esse fato procederemos da mesma forma que fizemos no estudo de ladri lhamentos do plano Vamos recapitular a estratégia adotada Consideremos um poliedro semirregular de padrão 3 m isto é de padrão k m com k 3 3 C A B ℓ ℓ m 3 C A B m m ℓ ａ ｂ Figura 41 Diferentes configurações de vértices em um poliedro de padrão 3 m Chamemos de A B e C os três vértices de uma face triangular do poliedro Como faces adjacentes ao vértice A temos um triângulo um ágono polígono de lados regular e um mágono polígono de m lados regular Suponhamos que o ágono esteja colado ao lado AC Figura 41 a Para caracterizarmos os vértices como sendo do tipo 3 m necessariamente devemos ter um mágono colado à aresta AB Adam Ciesielski SXC 4 Desvendando o padrão 63 GeometriaEspacialindd 63 150813 1754 Atividade 4 Pentágonos para o alto e avante Considere um poliedro de padrão k m com k 5 Observando os vértices das figuras a seguir e sabendo que seguindo a orientação dada pelas setas os vértices A B C e D tanto no item a como no b possuem tipos equivalentes explique por que necessariamente m ℓ ℓ ℓ m m 5 E A B C D m m m ℓ ℓ 5 E A B C D i ii Resposta comentada Como o poliedro tem padrão 5 m em torno de cada vértice teremos um pentágono um ágono e um m ágono Chame de A B C D e E os cinco vértices de uma face pentagonal do poliedro Fazendo um pequeno percurso circular em torno dos quatro primeiros vértices no sentido antihorário nós os identificamos como tendo os tipos 5 m 5 m 5 m e novamente 5 m Dessa forma o vértice E deverá ter o tipo 5 como mostra a Figura 8 i ou o tipo 5 m m conforme a Figura 8 ii Como o poliedro é semirregular o vértice E precisa ter o mesmo tipo dos demais vértices Só podemos concluir que necessariamente m Isso faz com que o vértice A seja do tipo 3 m e o vértice B seja do tipo 3 m iniciando a leitura dos polígonos adjacentes aos vértices pelo triângulo e realizando percursos no sentido antihorário Ora esses dois vértices são equivalentes do mesmo tipo mas qual deve ser o tipo do vértice C para que o poliedro tenha todos os seus vér tices de um mesmo tipo Na Figura 41 a o vértice C é do tipo 3 Isso significa que a única situação em que os três vértices são equivalentes em um poliedro de padrão 3 m é aquela na qual os três polígonos vizinhos do triângulo são iguais e portanto m Analogamente chegaremos à mesma conclusão se levarmos em conta que temos um mágono colado ao lado AC conforme ilustra a Figura 41 b Nesse caso o vértice C tem o tipo 3 m m De modo semelhante se 3 o poliedro tem padrão k 3 m ou seja 3 m k Aplicando o raciocínio usado anteriormente concluiremos que necessariamente m k Ainda se m 3 então k Com um raciocínio análogo ao que fizemos no estudo de ladrilhamentos semirregula res do plano podemos também deduzir Propriedade simplificadora generalizada Se um poliedro semirregular tem padrão k m e um dos valores k e m é ímpar então os outros dois valores são iguais Ou seja se k é ímpar m se é ímpar k m e se m é ímpar k Adam Ciesielski SXC 64 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 64 150813 1754 Através da Atividade 4 acabamos de estabelecer o seguinte Se um poliedro semirregular tem um padrão 5ℓm então ℓ m ou seja o poliedro tem um padrão da forma 5mm Por equivalência não pode haver nenhum poliedro semirregular de padrão 5ℓm quando ℓ m De maneira análoga se ℓ 5 então o poliedro tem padrão k5m ou seja 5mk Aplicando o raciocínio usado anteriormente concluiremos que necessariamente m k Ainda se m 5 então k ℓ Professor você acabou de ver que para deduzirmos as propriedades descritas anteriormente fizemos uso dos mesmos argumentos já usados para ladrilhamentos do Módulo 1 Assim nós nos pouparemos de deduzir a propriedade simplificadora generalizada enunciada anteriormente pois ela é deduzida tal como já fizemos no estudo de ladrilhamentos do plano Atividade 5 Você no comando a Explique por que se um poliedro é semirregular de padrão kℓm e dois dos valores k ℓ e m são ímpares os três valores têm de coincidir b Verifique que no caso em que os três valores k ℓ e m são ímpares e portanto iguais temos apenas os poliedros regulares 333 e 555 o tetraedro e o dodecaedro regulares respectivamente Há um fato estratégico a ser levado em conta aqui Como vimos se um poliedro tem padrão k m e um dos valores k e m é ímpar então os outros dois são coinci dentes Portanto se um poliedro é semirregular de padrão k m e um dos três valores k e m é ímpar os outros dois valores são pares e iguais O PADRÃO 3 m Podemos dizer que os poliedros semirregulares de padrão k m que contêm faces triangulares são de padrão 3 sendo um número par Obviamente 4 tendo em vista que o polígono regular com menor número par de lados é o quadrado Tudo bem até aqui mas qual é a face poligonal regular de lados com par que compõe o poliedro de padrão 3 Não é difícil descobrir a resposta para essa pergunta Os ângulos planos ângulos internos de faces adjacentes a cada vértice de um poliedro 3 devem ter soma menor que 360 Devemos ter então 3 α α α 360 ou seja como 3 α 60 60 2 α 360 o que nos leva à condição α 150 Examinemos a Tabela 1 de ângulos internos de polígonos regulares Billy Alexander SXC Adam Ciesielski SXC 66 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 66 150813 1754 Tabela 1 Alguns polígonos regulares e seus ângulos internos Polígono regular Número de lados n Medida do ângulo interno 2 180 n n n α Triângulo 3 60 Quadrado 4 90 Pentágono 5 108 Hexágono 6 120 Heptágono 7 12857 Octógono 8 135 Eneágono 9 140 Decágono 10 144 Undecágono 11 14727 Dodecágono 12 150 Examinando a Tabela 1 vemos que como é par e α 150 temos apenas as seguintes possibilidades é igual a 4 6 8 ou 10 Se 4 o poliedro tem o padrão 344 tendo a configuração mostrada na Figura 42 É um prisma triangular Apesar de semirregular não faz parte da lista dos polie dros chamados arquimedianos pois a lista desses poliedros não inclui os prismas Figura 42 Um poliedro semirregular de padrão 344 é um prisma triangular prisma de base triangular tendo como faces dois triângulos equiláteros e três quadrados Esse poliedro não se classifica como poliedro arquimediano por ser um prisma 4 Desvendando o padrão 67 GeometriaEspacialindd 67 150813 1754 Quando Kepler realizou seu estudo de poliedros regulares e semirregulares descobriu que há uma lista infinita de poliedros que se classificam como prismas e antiprismas semirregulares fique tranquilo pois esses tipos de poliedros serão definidos em um momento oportuno ainda nesta etapa Em seu estudo Kepler tinha ciência de que historicamente os 13 poliedros arquimedianos não incluíam prismas e tampouco antiprismas Assim Kepler definiu os poliedros arquimedianos como sendo aqueles que são semirregulares mas não são prismas nem antiprismas e essa definição foi adotada desde então Se 6 o poliedro tem o padrão 366 tendo a configuração mostrada na Figura 43 Figura 43 Poliedro semirregular de padrão 366 É um dos treze poliedros arquimedianos denominado tetraedro truncado O poliedro 366 recebe o nome de tetraedro truncado denominação criada por Kepler pois é a superfície poliédrica que obteríamos tomando um tetraedro sólido e cortando adequadamente três pirâmides de suas pontas chamadas de ângulos sólidos do tetraedro Figura 44 Cortandose três tetraedros regulares das pontas de um tetraedro podemos deixar hexágonos regulares no lugar das antigas faces do tetraedro e dar origem a outras quatro faces triangulares formando o tetraedro truncado um poliedro arquimediano Adam Ciesielski SXC 68 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 68 150813 1754 Se 8 o poliedro tem padrão 388 tendo a configuração do poliedro mostrado na Figura 45 Esse é nosso segundo poliedro na lista dos arquimedianos e se chama cubo truncado denominação criada por Kepler Figura 45 O cubo truncado é obtido cortandose adequadamente pirâmides dos oito ângulos sólidos do cubo Após esse corte as seis faces quadradas do cubo se tornam seis octógonos regulares Finalmente se 10 o poliedro semirregular tem um padrão 31010 e tem a con figuração geométrica do poliedro da Figura 46 Esse poliedro é um dodecaedro truncado e é nosso terceiro poliedro da lista dos poliedros arquimedianos Figura 46 O dodecaedro truncado é obtido cortandose adequadamente pequenas pirâmides das vinte pontas ou vinte ângulos sólidos do dodecaedro Cada ponta do dodecaedro ao ser cortada dá origem a um triângulo Como o dodecaedro tem 20 vértices todos de valência 3 o icosaedro truncado terá 20 faces triangulares Terá ainda 12 faces decagonais Resumindo os únicos poliedros semirregulares de padrão 3 m têm m com e m pares São eles o prisma triangular semirregular de padrão 344 o tetraedro truncado de padrão 366 nosso primeiro poliedro arquimediano 4 Desvendando o padrão 69 GeometriaEspacialindd 69 150813 1754 o cubo truncado de padrão 388 nosso segundo poliedro arquimediano o dodecaedro truncado de padrão 31010 nosso terceiro poliedro arquimediano Podemos construir todos esses poliedros Todos esses poliedros podem ser construídos a partir de planificações Elas existem em vários lugares da Internet Um dos sites com várias planificações de poliedros é o Uma Pletora de Poliedros do professor Humberto José Bortolossi disponível em httpwww uffbrcdmepdppdphtmlpdpbrhtml Na janela do aplicativo selecione sólidos arquimedianos e depois selecione qual quer um dos treze sólidos arquimedianos listados Abaixo da janela de visualização do sólido você encontra a frase Quer imprimir a planificação deste poliedro Clique aqui Clicando no link aparecerá uma planificação em cores disponível para impressão Figura 47 Página do site Uma Pletora de Poliedros do professor Humberto José Bortolossi da Universidade Federal Fluminense Adam Ciesielski SXC 70 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 70 150813 1754 Multimídia Poliedros com varetas de bambu Há também um vídeo interessante sobre construção de poliedros no site youtube disponível em httpwwwyoutubecomwatchglBRvARaF0JB6ik Nesse vídeo o arquiteto e professor Roberto Pompéia nos ensina a fabricar estruturas de arestas de poliedros usando varetas de bambu dessas utilizadas como espetos e cola de contato Os poliedros construídos dessa maneira em que só construímos o esqueleto de arestas nem sempre são estáveis Por exemplo se construirmos as arestas do cubo com varetas ele poderá ficar um pouco mole havendo a necessidade de enrobustecer os vértices com alguma bolinha de massa Mas os poliedros arquimedianos vistos até aqui podem ter seus esqueletos de arestas construídos segundo a receita do professor Roberto Pompéia pois a presença de triângulos nas faces lhes confere alguma estabilidade Isso porque uma configuração de arestas no formato triangular é a única configuração rígida dentre as configurações de arestas de polígonos Um outro vídeo bem humorado sobre construção de poliedros feitos com palitos de dente e balas de goma as balas de goma são vértices e os palitos são ares tas fixados ou seja espetados nas balas de goma é também encontrado no site youtube disponível em httpwwwyoutubecomwatchv5QgIJOy7T7Y Espaço geométrico A ideia do professor Roberto Pompéia indicada no boxe multimídia é simples O professor passa cola de contato que é comercializada em pequenas bisnagas nas pontas das varetas Depois deixa as varetas secarem separadamente por 10 minutos As varetas estarão prontas para a construção dos poliedros As pontas das varetas serão coladas umas às outras ao simples contato Veja a sequência de ilustrações da construção do octaedro regular do vídeo disponível em httpwwwyoutubecomwatchglBRvARaF0JB6ik Construção do octaedro regular com varetas Note que são utilizadas doze varetas na construção 4 Desvendando o padrão 71 GeometriaEspacialindd 71 150813 1754 O PADRÃO 5 m Como concluímos anteriormente os poliedros semirregulares de padrão 5 m ou seja que contêm faces pentagonais são de padrão 5 sendo um número par com 4 Mais uma vez precisaremos investigar qual é a face poligonal regular de lados que é componente do poliedro de padrão 5 Assim como no caso anterior os ângulos planos adjacentes a cada vértice de um po liedro 5 devem ter soma menor que 360 Devemos ter então 5 α α α 360 ou seja 108 2 α 360 o que nos leva à condição α 126 Examinemos novamente a Tabela 1 de ângulos internos de polígonos regulares Nela encontramos apenas quatro polígonos regulares que têm ângulos internos menores que 126 Desses os que têm número par de lados são apenas o quadrado e o hexágono regu lar Assim as únicas possibilidades para são 4 ou 6 e os padrões de poliedros encontrados nesse caso se esses poliedros existirem são os padrões 544 e 566 Ocorre que esses padrões de poliedros semirregulares realmente existem O poliedro de padrão 544 é o prisma pentagonal e o poliedro de padrão 566 é o icosaedro truncado nosso quarto poliedro arquimediano Figura 48 Cortandose adequadamente as pontas de um icosaedro sólido surgem faces pentagonais e hexagonais Um corte adequado produz pentágonos e hexágonos regulares produzindo o poliedro arquimediano 566 o icosaedro truncado 72 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 72 150813 1754 Robert Proksa SXC Curiosidade O Buckminsterfullereno ou carbono 60 Em 1985 três cientistas Robert Curl Jr Richard Smalley e Harold Kroto descobriram uma molécula até então desconhecida formada por 60 átomos de Carbono Essa molécula o Carbono60 de símbolo C60 foi denominada Buckminsterfullereno em homenagem ao arquiteto Buckminster Fuller que na segunda metade do século 20 projetou estruturas arquitetônicas chamadas domos geodésicos ou cúpulas geodésicas que lembram bastante a configuração atômica dessa molécula A estrutura de ligações atômicas dessa molécula tem a forma das arestas e vértices do icosaedro truncado A des coberta do Buckminsterfullereno rendeu aos três cientistas o Prêmio Nobel de Química de 1996 Multimídia Icosaedro truncado O icosaedro truncado é um poliedro mais familiar do que você pensa Você já prestou atenção no antigo design das bolas de futebol Faça a experiência pegue uma bola daquele tempo e conte Você verá que são sempre 32 pedaços 20 hexágonos e 12 pentágonos Segundo Morelli citado no artigo de Roseli Corrêa as bolas de futebol antigamente eram feitas com couro de gado E por incrível que pareça cada animal rendia apenas seis bolas Passados alguns anos as fábricas começaram a usar tiras de poliuretano um tipo de plástico derivado do petróleo O poliuretano é mais elástico do que o couro além de ter uma espessura constante e não encharcar tanto Uma prensa especial cortava o plástico em gomos de seis e cinco lados Curioso não Se você quiser saber mais leia o artigo Por dentro da bola Reflexões sobre a prática pedagógica do professor de Matemática Revista da Sociedade Brasileira de Matemática São Paulo ano 8 n 11 p 3440 dez 2001 Já a outra possibilidade que acabamos de descobrir o poliedro de padrão 544 é um prisma pentagonal não sendo classificado como poliedro arquimediano Figura 49 Poliedro semirregular de padrão 544 um prisma pentagonal semirregular 4 Desvendando o padrão 73 GeometriaEspacialindd 73 150813 1754 Poliedros semirregulares de padrões 7 m 9 m 11 m etc Como vimos se um poliedro semirregular tem um padrão k m com k ímpar então necessariamente teremos m sendo e m pares Como 360 k m α α α e m teremos então 2 360 k α α ou de forma equivalente 180 2 αk α Para valores ímpares de k satisfazendo k 7 teremos 128 k α observe a tabela de ângulos internos de polígonos regulares Assim sendo 64 2 k α e então 64 2 αk Desse modo teremos 180 180 64 2 αk α ou seja α 116 Dos polígonos regulares de lados com par o único que satisfaz essa condição é o quadrado ou seja com número de lados 4 Assim sendo concluímos que Os poliedros semirregulares de padrões 7 m 9 m 11 m etc são apenas os de padrões 744 944 1144 e assim por diante Estes constituem uma lista INFINITA de prismas Por serem prismas nenhum deles recebe a denominação de poliedro arquimediano Um poliedro semirregular é chamado de prisma quando tem um padrão na forma 44 k ａ ｂ Figura 410 Poliedros semirregulares na forma de prisma heptagonal 744 representado na figura a e prisma undecagonal 1144 ilustrado em b 74 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 74 150813 1754 2º CASO Os inteiros k e m são todos pares obviamente todos maiores que 2 Vimos que se um poliedro semirregular tem padrão k m isto é vértices somente do tipo k m e um dos três valores de k e m é ímpar então os outros dois são necessariamente pares e iguais Agora classificaremos os poliedros semirregulares de pa drões k m sendo k e m pares Para investigar os poliedros semirregulares de padrão k m sendo k e m pares dividiremos o nosso estudo em três casos 1 poliedros de padrão k m que não fazem uso de quadrados 2 poliedros de padrão k m que possuem apenas um quadrado em torno de cada vértice e 3 poliedros de padrão k m que possuem exatamente dois quadrados em torno de cada vértice Os casos 1 2 e 3 abarcam todas as possibilidades a serem estudadas A divisão estraté gica do nosso estudo nesses três casos permitirá elaborar conclusões de maneira rápida e produtiva Vamos no entanto fazer o estudo desses três casos percorrendo o caminho reverso estudando primeiramente o caso 3 depois o caso 2 e finalmente o caso 1 Em primeiro lugar quanto ao caso 3 se um poliedro semirregular tem padrão k m e apresenta exatamente dois quadrados em torno de cada vértice ele tem um padrão da forma k 44 Ocorre que tal padrão é sempre possível quando k é um inteiro par e mesmo quando k é ímpar como já foi visto anteriormente independentemente do valor de k veja o próximo problema ou seja dentro do terceiro caso temos uma lista infinita de possibilidades Verifique que 2 4 360 k α α é sempre possível não importando o valor de k k 3 Os poliedros de padrões 44 k k um inteiro par k 4 formam uma lista infinita de prismas O primeiro da lista é um poliedro regular o cubo de padrão 444 Depois temos um prisma hexagonal 644 um prisma octogonal 844 e assim por diante 4 Desvendando o padrão 75 GeometriaEspacialindd 75 150813 1754 Voltemonos agora para o estudo do caso 2 E se na lista de valores k m todos pares somente um deles é igual a 4 Para simplificar vamos supor que k é igual a 4 Verifique que nesse caso as únicas possibilidades para o terno de valores k m satisfazendo 360 k m α α α são a menos de permutações dos valores as possibilidades 466 468 e 4610 Você poderá verificar isso pensando da seguinte maneira se k 4 e somente um dos valores é igual a 4 não podemos ter e m ambos maiores que 6 explique isso matematicamente Podemos en tão supor 6 Dessa forma deduziremos que os únicos valores possíveis para m serão 6 8 e 10 Que poliedros semirregulares são esses Na verdade não são tão fáceis de serem ima ginados Os três poliedros obtidos agora são os poliedros arquimedianos representados na Figura 411 Nossa lista de poliedros arquimedianos passa agora a ter sete poliedros Figura 411 Da esquerda para a direita os três poliedros arquimedianos de padrões 466 468 e 4610 respectivamente Seus nomes dados por Kepler são octaedro truncado grande rombicubooctaedro e grande rombiicosidodecaedro O uso de hífens na denominação dos poliedros é opção nossa pois na literatura esses poliedros aparecem com os nomes de rombicuboctaedro e rombicosidodecaedro O primeiro deles o octaedro truncado é construído truncandose ou seja cortandose adequadamente as pontas ângulos sólidos de um poliedro regular o octaedro Figura 412 Truncandose um octaedro regular isto é removendose adequadamente pequenas pirâmides de suas oito pontas obtemos o octaedro truncado 466 Aqui termina nossa pesquisa para listagem dos poliedros semirregulares de padrão k m No quadro seguinte apresentaremos um resumo dos resultados obtidos 76 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 76 150813 1754 Um resumo das estratégias para classificação dos poliedros regulares e semirregulares de padrões k ℓ m Poliedro semirregular de padrão k ℓ m Os três inteiros k ℓ e m são ímpares e iguais Apenas um dos inteiros k ℓ e m é ímpar k 3 k 5 k 7 k 7 O poliedro é um tetraedro ou um dodecaedro regular 333 555 344 Prisma triangular 544 Prisma pentagonal 744 Prisma heptagonal todos são prismas de padrão k44 366 Tetraedro truncado 566 Icosaedro truncado 388 Cubo truncado 31010 Dodecaedro truncado Os três inteiros k ℓ e m são pares Pelo menos dois dos valores são iguais a 4 Somente um dos inteiros é iguais a 4 Somente prismas 444 644 etc 466 Tetraedro truncado 468 Grande rombicubooctaedro 4610 Grande rombiicosidodecaedro Dos poliedros mostrados na página anterior os regulares são Os arquimedianos são Tetraedro Cubo Dodecaedro 333 444 555 Tetraedro truncado Cubo truncado Icosaedro truncado Octaedro truncado Grande rombiicosidodecaedro Grande rombicubooctaedro Dodecaedro truncado 366 566 466 4610 468 388 31010 78 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 78 150813 1754 5 Luz câmera e ação padrões k ℓ m n em cena Você viu que despendemos um tempo razoável no estudo dos padrões de ladrilhamento k ℓ m Como você acabou de ver além dos prismas encontrados de padrão k 4 4 há sete poliedros arquimedianos de padrões k ℓ m Como veremos quanto maior o número de faces em torno de cada vértice menor o número de padrões existentes e mais fácil descobrilos Veremos agora que há quatro poliedros arquimedianos de padrão k ℓ m n e apenas dois de padrão k ℓ m n p encerrando esses seis poliedros a lista dos 13 poliedros arquimedianos No caso de poliedros de padrões k ℓ m n além dos poliedros arquimedianos em vez de prismas estaremos descobrindo antiprismas semirregulares denominação dada aos poliedros semirregulares que têm um padrão da forma k 3 3 3 e que constituem uma nova coleção infinita de poliedros semirregulares também não classificados como arquimedianos Vamos então ao estudo que nos levará à descoberta dos poliedros semirregulares de padrão k ℓ m n A primeira observação nesse caso é que um poliedro de padrão k ℓ m n tem que fazer uso de triângulos Pois se nenhum dos valores k ℓ m n é igual a 3 teremos αk αℓ αm αn α4 α4 α4 α4 90 90 90 90 360 e portanto αk αℓ αm αn 360 o que não é permitido pois o poliedro é convexo Já que um dos valores k ℓ m n é igual a 3 podemos supor então k 3 Atividade 6 Sem dormir no ponto Observando o esquema de triângulos a seguir use uma dedução análoga à que foi feita no estudo dos padrões de ladri lhamentos do plano estudado no Módulo 1 para mostrar que se um poliedro é de padrão k m n e k 3 então n ou seja o poliedro tem um padrão 3 m 3 C A B m n m m m 3 C A B m n n m ℓ ℓ ℓ ａ ｂ Resposta comentada Consideremos uma face triangular ABC do poliedro Ao redor dos vértices A e B temos um triângulo um ágono um mágono e um nágono Fazendo pequenos percursos circulares em tornos dos vértices A e B tanto na figura a como na figura b identificamos ambos os vértices como tendo o tipo 3 m n Observando o esquema de triângulos vemos que o vértice C pode ser do tipo 3 m como mostra a figura a ou do tipo 3 n m n conforme a figura b Como o vér tice C precisa ser do mesmo tipo dos vértices A e B para atender à terceira condição de bom comportamento só podemos concluir que necessariamente n Assim se um poliedro semirregular tem um padrão 3 m n então n ou seja o poliedro semirregular tem um padrão da forma 3 m Dessa forma não existe nenhum poliedro semirregular de padrão 3 m n quando n Há apenas um caso excepcional aqui o poliedro pode ter padrão 333 n com n 3 Esse padrão porém é equivalente ao padrão 33 3 n que é um caso particular do padrão 3 m 80 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 80 150813 1754 Assim através da Atividade 6 você acabou de deduzir que todo poliedro de padrão k ℓ m n tem na verdade um padrão 3 ℓ m ℓ A condição necessária para existência desse poliedro semirregular passa a ser então α3 2αℓ αm 360 ou seja tendo em vista que o ângulo interno do triângulo equilátero α3 é igual a 60 graus 2αℓ αm 300 Se tivermos ℓ 6 teremos 2αℓ 240 e então αm 300 2αℓ 300 240 60 ou seja αm 60 uma situação impossível já que não existe polígono regular cujo ângulo interno seja menor que 60 graus Assim se 2αℓ αm 300 então ℓ 6 O polígono regular de ℓ lados deve ser um triângulo um quadrado ou um pentágono Como os únicos possíveis valores de ℓ são ℓ 3 ℓ 4 e ℓ 5 vamos resolver a inequação 2αℓ αm 300 em cada caso separadamente Se ℓ 3 então αm 180 Essa desigualdade é satisfeita para todo inteiro m 3 Os poliedros semirregulares de padrões 3 3 m 3 ou de forma equivalente 3 3 3 m são chamados de antiprismas mgonais Tal como no caso dos prismas existe também uma infinidade de antiprismas Eles não são considerados poliedros arquimedianos A visão habitual de um antiprisma como poliedro semirregular consiste em dois mágonos regulares um no topo e outro na base e uma muralha lateral de triângulos equiláteros cada dois triângulos consecutivos compartilhando uma aresta no caso dos prismas visto anteriormente como no exemplo ilustrado na Figura 410 a muralha lateral é constituída de quadrados Na Figura 51 ilustramos dois exemplos de antiprismas Figura 51 Poliedros semirregulares de padrões 4 3 3 3 e 5 3 3 3 chamados de antiprisma quadrado e antiprisma pentagonal respectivamente Se ℓ 4 da desigualdade 2αℓ αm 300 deduzimos αm 120 Nesse caso os possíveis valores de m são 3 4 e 5 Um antiprisma mgonal é um poliedro regular ou semirregular de padrão 3 3 m 3 Os padrões 3 m de poliedros encontrados nesse caso serão 3 4 34 3 4 44 e 3 4 54 Os poliedros nesses padrões são os seguintes poliedros arquimedianos Poliedro de padrão 3 4 34 o cubooctaedro ou cuboctaedro assim chamado por Kepler porque possui seis faces quadradas como o cubo e oito faces triangulares como o octaedro Poliedro de padrão 3 4 44 o rombicubooctaedro ou rombicuboctaedro um inte ressante poliedro Poliedro de padrão 3 4 54 o majestoso rombiicosidodecaedro Finalmente se 5 da desigualdade 2 300 a am encontramos 84 am com solução única m 3 82 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 82 150813 1754 O padrão do poliedro 3 ℓ m ℓ fica então 3 5 3 5 que é o padrão do poliedro arquimediano icosidodecaedro ou icosidodecaedro assim chamado por ter 20 faces triangulares tal como o icosaedro e 12 faces pentagonais tal como o dodecaedro 6 As cinco Marias semirregulares padrões k ℓ m n p Você conhece o jogo das Cinco Marias Ele é um jogo que tem origem em um costume da Grécia antiga e consiste em jogar as Marias pedrinhas para cima deixandoas onde caírem À medida que o jogo vai avançando há variações e novas fases que aumentam o grau de dificuldade Esse jogo é enganosamente simples pois é preciso uma boa dose de habilidade e concentração para jogar e apanhar as Marias Da mesma maneira aconteceu conosco Para chegarmos até este ponto da aula muitas habilidades foram sendo desenvolvidas você percebeu Ao longo de nosso percurso geométrico lançamos mão de estratégias produtivas que nos conduziram a descobertas de padrões poliédricos distintos com isso ampliamos nosso conhecimento de geometria Convidamos você a exercitar um último fôlego na próxima investigação que faremos juntos descobrir quais são os poliedros de padrão k ℓ m n p A primeira observação importante é que se um poliedro tem padrão k ℓ m n p então pelo menos três dos valores k ℓ m n e p têm de ser iguais a 3 Por quê A resposta é dada pelas seguintes considerações Se apenas um inteiro dentre k ℓ m n e p for igual a 3 a soma dos cinco ângulos adjacentes a cada vértice será no mínimo igual à soma do ângulo interno de um triângulo equilátero e a soma de quatro ângulos internos de quatro quadrados sendo portanto α3 α4 α4 α4 α4 60 90 90 90 90 390 o que não é possível para um poliedro convexo Se apenas dois inteiros dentre k ℓ m n e p forem iguais a 3 a soma dos cinco ângulos adjacentes a cada vértice será no mínimo igual a α3 α3 α4 α4 α4 60 60 90 90 90 360 o que também não é possível para um poliedro convexo pois a soma dos ângulos adjacentes a cada vértice deve ser sempre menor que 360 Assim concluímos que pelo menos três dos valores de k ℓ m n e p tem de ser iguais a 3 Para dar prosseguimento ao nosso estudo podemos supor inicialmente que k 3 Vá ao texto sobre ladrilhamentos do plano que desenvolvemos no Ciclo 2 do Módulo 1 e após reestudar os ladrilhamentos semirregulares de padrão k ℓ m n p deduza o fato de que assim como deduzido no estudo daqueles padrões de ladrilhamentos do plano se um poliedro tem todos os seus vértices do tipo k ℓ m n p com k 3 então temos necessariamente ℓ p Assim acabamos de estabelecer que se um poliedro tem padrão k ℓ m n p o seu padrão é da forma 3 ℓ m n ℓ Há um caso excepcional aqui o poliedro pode ter um padrão 333mn com n 3 Esse padrão no entanto é equivalente ao padrão 33mn3 portanto um caso particular do padrão 3 ℓ m n ℓ Como pelo menos três dos valores na lista k ℓ m n e p tem de ser iguais a 3 concluímos Os poliedros semirregulares de padrão k ℓ m n p têm sempre um dos padrões 33mn3 e 3 ℓ 33 ℓ Atividade 7 Sob nova direção Agora é você que está no comando Por isso com base nos argumentos geométricos e algébricos que vimos até aqui desenvolva os itens a seguir a Mostre que se um poliedro tiver padrão 33mn3 deveremos ter αn αm 180 b Verifique ainda que as possibilidades para o padrão 33mn3 são apenas n 3 e m 4 ou m 3 e n 4 e n 3 e m 5 ou m 3 e n 5 c Mostre que 33333 é o único poliedro que pode ter um padrão 3 ℓ 33 ℓ logo não existe um poliedro semirregular de padrão 3 ℓ 33 ℓ Resposta comentada a A condição necessária para existência desse poliedro semirregular de padrão 33mn3 é 3 α3 αm αn 360 ou seja tendo em vista que o ângulo interno do triângulo equilátero α3 mede 60 graus teremos αn αm 180 b Para descobrir as possibilidades para os nágonos e para os mágonos que compõem o poliedro de padrão 33mn3 temos em primeiro lugar que considerar que se n 6 então αn 60 o que configura uma situação impossível já que não existe polígono regular cujo ângulo interno seja menor que 60 graus Assim só nos restam as possibilidades n 3 n 4 e n 5 Se n 3 então αm 120 Nesse caso os possíveis valores de m são 3 4 e 5 Se m 3 o poliedro tem padrão 33333 sendo portanto regular icosaedro Se n 4 então αm 90 e nesse caso a única alternativa é m 3 e por fim se n 5 então αm 62 nesse caso a única alternativa também é m 3 Chegamos assim à conclusão que os poliedros semirregulares de padrão 33mn3 têm um dos padrões 33433 e 33533 c A condição necessária para existência de um poliedro semirregular de padrão 3 ℓ 33 ℓ é 3 α3 2 αℓ 360 Como o ângulo interno do triângulo equilátero α3 é igual a 60 graus concluímos que 2 αℓ 180 e portanto αℓ 90 A única alternativa para o ℓágono é o triângulo equilátero pois os demais polígonos regulares têm ângulos internos com valor maior que ou igual a 90 graus Concluímos que a única alternativa para o poliedro de padrão 3 ℓ 33 ℓ é o padrão 33333 que é o de um icosaedro regular que não corresponde a um poliedro semirregular Saiba Mais Repare que o cubo snub assim como o cubo possui seis faces quadradas A configuração das faces do cubo snub pode ser explicada da seguinte maneira as seis faces de um cubo se afastam do centro do cubo e ao redor de cada uma delas é montado um cinturão de 12 triângulos sendo quatro destes triângulos adjacentes à face quadrada e os demais oito aos pares adjacentes aos vértices Os padrões que acabamos de estabelecer através da Atividade 7 são os padrões de dois poliedros arquimedianos 33343 o padrão do poliedro arquimediano cubo snub ou cubo achatado ilus trado na Figura 61 33353 o padrão do enorme poliedro arquimediano dodecaedro snub ou dode caedro achatado ilustrado na Figura 63 Figura 61 O cubo achatado ou cubo snub tem seis faces quadradas e 36 faces triangulares Há duas versões do cubo snub cada uma sendo a imagem no espelho da outra mas não há como obter uma da outra simplesmente transladando e rotacionando uma delas no espaço Figura 62 No cubo snub cada uma das seis faces quadradas é rodeada por uma orla de triângulos equiláteros Snub o que é isto Na língua inglesa o termo snub quer dizer achatado arrebitado nariz arrebitado snub nose 86 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 86 150813 1755 Maarten Uilenbroek SXC Figura 63 O dodecaedro achatado ou dodecaedro snub tem 12 faces pentagonais Cada uma das faces pentagonais é rodeada por um cinturão de triângulos equiláteros 7 Será que todos os poliedros são rígidos Acredite essa pergunta permaneceu fora do foco do pensamento dos matemáticos durante séculos Os matemáticos gregos do período clássico e os grandes matemáticos dos séculos posteriores até o final do século XVIII nunca se incomodaram com essa questão É provável que você professor como a maioria dos matemáticos nunca tenha pensado a respeito desse problema Formulada de uma maneira diferente a questão é a seguinte Será que se fizermos um modelo de um poliedro convexo usando placas de metal ou plástico rígido por exemplo na construção das faces e dobradiças para atrelar faces adjacentes uma à outra essa estrutura será rígida A pergunta procede porque os polígonos regulares convexos ou não quando conside rados apenas como reunião de suas arestas com exceção do triângulo não são rígidos Um quadrado feito de varetas é uma estrutura não rígida Você pode deformálo a um losango 7 Será que todos os poliedros são rígidos 87 GeometriaEspacialindd 87 150813 1755 Para tornar rígida uma estrutura quadrada basta inserirlhe uma aresta extra uma diagonal formando dois triângulos O que garante a rigidez dos triângulos é o famoso caso LLL ladoladolado de congruência de triângulos Se dois triângulos ABC e DEF são tais que AB DE AC DF e BC EF então os ângulos internos do primeiro tri ângulo ABC são iguais aos ângulos internos do segundo triângulo DEF ou seja A D B E e C F A propriedade de rigidez dos poliedros convexos es tabelece por exemplo que não haverá um dodecaedro regular que seja deformação de outro dodecaedro regular por uma pequena alteração de ângulos entre as várias faces adjacentes do primeiro Augustin Louis Cauchy no século XIX foi o primeiro a demonstrar que os poliedros convexos são rígidos Sua demonstração de várias páginas faz uso da Fórmula de Euler para poliedros convexos No entanto para muitos poliedros convexos modelos construídos apenas com varetas formando somente arestas e vértices não são rígidos Assim certos modelos de poliedros construídos com varetas têm de ter as arestas rigidamente fixadas nos vértices de modo a não permitir deformações dos ângulos planos das faces O cubo é um exemplo simples disso C B A D F E Adam Ciesielski SXC 88 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 88 150813 1755 Figura 71 Ao construir um modelo do cubo com varetas se os ângulos das faces não forem rigidamente construídos o cubo pode deformarse em um poliedro que tem as arestas de mesmo comprimento e uma configuração de arestas e vértices como a do cubo não sendo porém um cubo mas sim um prisma oblíquo Em 1977 o americano Robert Connelly demonstrou porém que poliedros não convexos nem sempre são rígidos Há poliedros não convexos que mesmo quando tomados com todas as suas faces planas admitem uma infinidade de cópias por deformações dos ângulos entre as faces mantendo inalteradas as arestas as faces e a configuração original de vértices arestas e faces Curioso não Conclusão Nesta etapa observamos que o problema matemático adjacente à classificação dos poliedros semirregulares como no estudo dos ladrilhamentos do plano Módulo 1 tam bém requer o conhecimento da natureza dos polígonos regulares e seus ângulos internos Outro fator importante e crucial nessa abordagem é o estudo da distribuição combi natória de faces ao redor de cada um dos vértices de um poliedro semirregular e a partir daí sua caracterização Assim o estudo dos poliedros semirregulares leva em conta não somente os ângulos internos dos polígonos regulares envolvidos mas também a distri buição relativa desses polígonos no poliedro Nesse contexto vemos que a proposta de ensinar geometria dos poliedros através da construção e análise dos poliedros semirre gulares estimulanos a questionar os problemas iniciais levantados desde o Módulo 1 e a transformálos em uma fonte de novos questionamentos uma vez que mudando as condições os mesmos problemas admitem diferentes respostas As situaçõesproblema discutidas nesta etapa devem ser entendidas como pontos im portantes no ensino e aprendizagem da Matemática funcionando como eixo organizador dos desenvolvimentos geométricos que foram realizados ao longo do nosso estudo O estudo dos poliedros regulares é cheio de surpresas revelandonos estruturas polié dricas que jamais foram imaginadas por nós porém existentes cujos modelos podem ser facilmente construídos se utilizarmos palitos como arestas e balinhas de goma ou outra massa adequada como vértices Adam Ciesielski SXC Conclusão 89 GeometriaEspacialindd 89 150813 1755 Resumo Assim como os ladrilhamentos semirregulares do plano estudados no Módulo 1 os poliedros semirregulares podem ser classificados em padrões Esses padrões são definidos pelo tipo de vértice que é empregado Um poliedro é semirregular quando satisfaz simultaneamente às seguintes condi ções i o poliedro é convexo ii as faces do poliedro são polígonos regulares mas não todos de um único tipo e todas as arestas do poliedro têm o mesmo compri mento iii a configuração cíclica de polígonos regulares faces em torno de cada vértice é sempre a mesma para todos os vértices do poliedro ou seja todos os vértices são de um único tipo Em torno de cada vértice de um poliedro semirregular temos sempre um mínimo de três faces e no máximo cinco Os poliedros arquimedianos com três polígonos em torno de cada vértice são os de padrões 366 388 310 10 466 468 4610 e 566 Há ainda uma lista infinita de poliedros semirregulares de padrões k 44 com k 3 ou 5 k chamados de prismas semirregulares quando k 4 temos o cubo poliedro regular de padrão 444 Esses poliedros não fazem parte da lista de poliedros arquimedianos Os poliedros arquimedianos com quatro polígonos em torno de cada vértice são os de padrões 4 3 34 3 4 44 3 4 54 3 5 35 Há também uma lista infinita de poliedros semirregulares de padrões 333 k com k 4 chamados de antiprismas semirregulares quando k 3 temos um octaedro regular Esses poliedros também não fazem parte da lista de poliedros arquimedia nos Finalmente os poliedros semirregulares com cinco polígonos regulares em torno de cada vértice são os de padrões 3 3 3 34 3 3 3 35 sendo ambos poliedros arquimedianos A lista de poliedros arquimedianos contém 13 poliedros No século XIX Augustin Louis Cauchy demonstrou que os poliedros convexos são rígidos e em 1977 o americano Robert Connelly demonstrou porém que poliedros não convexos nem sempre são rígidos 90 Módulo II Geometria Espacial Etapa II GeometriaEspacialindd 90 150813 1755