Volume da Esfera Usando Cilindro e Cones

Atividade para fazer no Geogebra Represente no geogebra a esfera E e a figura cilindromenos2cones chamada T presentes na demonstração do teorema 5 seção 4 do livro Medida e Forma em geometria de Elon Lima Trace um plano horizontal alpha que passe pelas duas figuras em uma mesma altura h verificando a área da seção dada por alpha intersecção com E e a área da seção dada por alpha intersecção com T Anexe o arquivo em formato ggb formato do GeoGebra Ainda anexe um documento em pdf fornecendo o nome das pessoas que fizeram a atividade podem fazer individualmente em duplas ou trios Também disponibilize a figura final obtida no geogebra nesse pdf e responda as seguintes perguntas 1Quando intersectamos alpha com a esfera E em uma altura h obtemos um círculo Qual é o raio desse círculo 2Quando intersectamos alpha com a figura T obtemos dois círculos Qual é o raio do círculo maior e qual é o raio do círculo menor 3Qual é a área da seção obtida por alpha intersecção com T 4Em uma aula sobre volume da esfera para uma turma do Ensino Médio você usaria a representação feita pelo grupo para explicar a fórmula Usaria algum outro método Caso não tenham conseguido concluir a atividade envie o que conseguiram e explique no documento pdf onde encontrou dificuldade 1 Quando intersectamos alpha com a esfera E em uma altura h obtemos um círculo Qual é o raio desse círculo Resposta Pelo triângulo retângulo formado temos R 2h 2re 2re R 2h 2 2 Quando intersectamos alpha com a figura T obtemos dois círculos Qual é o raio do círculo maior e qual é o raio do círculo menor Resposta Pelo triângulo da região interna o raio interno será h Pelo triângulo da região externa o raio externo corresponde ao raio da base cilindro que será R 3 Qual é a área da seção obtida por alpha intersecção com T Resposta A área da interseção corresponde a coroa entre o raio R e de raio h assim Atπ R 2h 2 4 Em uma aula sobre volume da esfera para uma turma do Ensino Médio você usaria a representação feita pelo grupo para explicar a fórmula Usaria algum outro método A proposta de usar as relações de volume do cilindro com a subtração de dois cones é válida Outra possibilidade seria um experimento prático usando objetos reais Material Esfera como uma bola cilindro um tubo transparente e cone um funil Água e Medição Encha a esfera com água e depois despeje a água em um cilindro transparente para que os alunos vejam a relação entre os volumes Figura Final do Geogebra d Cone2 p 2 p R p 2 p 2 p p R 1636 c Cone2 p 2 p p R 2 p 2 p p R 1636 h 0 h 15 0 25 q z h p z 2 e InterseçãoGeométricaq a X 35 35 2 2 cost 2 sint 0 AreaEsfera Áreae 1257 Area1 InterseçãoGeométricaq b X 7 7 2 25 cost 25 sint 0 Area2 InterseçãoGeométricaq c X 7 7 2 15 cost 15 sint 0 AreaT ÁreaArea1 ÁreaArea2 1257 d Cone2 p 2 p R p 2 p 2 p p R 1636 c Cone2 p 2 p p R 2 p 2 p p R 1636 h 0 h 15 0 25 q z h p z 2 e InterseçãoGeométricaq a X 35 35 2 2 cost 2 sint 0 AreaEsfera Áreae 1257 Area1 InterseçãoGeométricaq b X 7 7 2 25 cost 25 sint 0 Area2 InterseçãoGeométricaq c X 7 7 2 15 cost 15 sint 0 AreaT ÁreaArea1 ÁreaArea2 1257 Corolário O volume de um cone de altura h cuja base é um círculo de raio R é igual a 13 πR²h 6 Volume da esfera Definição A esfera de centro num ponto O e raio R é o conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao ponto O é menor do que ou igual a R Em outras palavras tal esfera é a reunião de todos os segmentos de reta de origem em O e comprimento igual a R Teorema 5 O volume de uma esfera de raio R é igual a 43 πR³ Demonstração Consideremos um cilindro reto cuja base é um círculo de raio R e cuja altura tem medida 2R Imaginemos que a esfera dada repouse sobre o plano horizontal no qual está contida a base do cilindro Com vértice no ponto médio do segmento que liga os centros dos dois círculos básicos superior e inferior do cilindro construamos dois cones interiores ao cilindro com bases naqueles dois círculos que limitam o cilindro Consideremos o sólido T que é limitado exteriormente pela superfície lateral do cilindro e interiormente pelos 2 cones O volume desse sólido T é igual a diferença entre o volume do cilindro 2πR³ e o volume dos dois cones 2πR³3 ou seja volT 43 πR³ Assim o Teorema 5 estará demonstrado se provarmos que o volume da esfera é igual ao volume do sólido T Para isso em virtude do Princípio de Cavalieri é suficiente mostrar que a esfera S e o sólido T determinam seções Π S e Π T de igual área em cada plano horizontal Π Dado o plano Π seja h sua distância ao centro da esfera ou o que é o mesmo ao vértice comum dos dois cones Então Π S é um círculo de raio R² h² enquanto Π T é uma coroa circular cujo raio externo é igual a R e raio interno igual a h Seguese que áreaΠ S π R² h² e áreaΠ T π R² h² Isto conclui a demonstração do Teorema 5 7 Área do cilindro do cone e da esfera O estudo das áreas das superfícies curvas bem como o próprio conceito de superfície quando abordado com maior generalidade apresenta dificuldades que o situam em nível superior ao do presente texto Por isso nos limitaremos a uma apresentação elementar dos casos clássicos Área do cilindro Inicialmente consideraremos um cilindro reto de altura h cuja base é um círculo de raio R Sua superfície é formada por dois