Exercícios Resolvidos Algebra II Operações Grupos Isomorfismo Anéis

Álgebra II Questão sobre Operações Internas Questão sobre Grupos e Subgrupos Questão sobre Isomorfismo de Anéis 1 1 A operação não é distributiva com relação a Para que seja distributiva com relação a precisamos ter 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑎𝑐 para todo 𝑎 𝑏 𝑐 ℚ Porém tomando 𝑎 1 e 𝑏 𝑐 2 temos que 𝑎𝑏𝑐 𝑎 𝑏𝑐 2 2 𝑎 𝑏𝑐 2 2𝑎 𝑏𝑐 2 1 2 2 2 4 6 e também 𝑎𝑏𝑎𝑐 2𝑎 𝑏2𝑎 𝑐 2𝑎 𝑏 2𝑎 𝑐 2 2𝑎 𝑏𝑎 𝑐 21 21 2 2 3 3 18 Portanto não é distributiva com relação a 2 Vamos provar que 𝐺 é um grupo Para isto precisamos verificar as quatro condições abaixo I Fechamento Para todo 𝑓1 𝑓2 𝐺 temse 𝑓1 𝑓2 𝐺 Sejam 𝑓1𝑥 𝑎1𝑥 𝑏1 e 𝑓2𝑥 𝑎2𝑥 𝑏2 com 𝑎1𝑎2 0 Assim 𝑓1 𝑓2𝑥 𝑓1𝑓2𝑥 𝑓1𝑎2𝑥 𝑏2 𝑎1𝑎2𝑥 𝑏2 𝑏1 𝑎1𝑎2𝑥 𝑎1𝑏2 𝑏1 Como 𝑎1𝑎2 0 temos que 𝑎1𝑎2 0 Portanto 𝑓1 𝑓2 𝐺 II Associatividade Para todo 𝑓1 𝑓2 𝑓2 𝐺 temse 𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝑓1 𝑓2 𝑓3 Sejam 𝑓1𝑥 𝑎1𝑥 𝑏1 𝑓2𝑥 𝑎2𝑥 𝑏2 e 𝑓3𝑥 𝑎3𝑥 𝑏3 com 𝑎1 𝑎2𝑎3 0 Como vimos no item anterior 𝑓1 𝑓2𝑥 𝑎1𝑎2𝑥 𝑎1𝑏2 𝑏1 e 𝑓2 𝑓3𝑥 𝑎2𝑎3𝑥 𝑎2𝑏3 𝑏2 Logo 𝑓1 𝑓2 𝑓3𝑥 𝑓1 𝑓2𝑓3𝑥 𝑓1 𝑓2𝑎3𝑥 𝑏3 𝑎1𝑎2𝑎3𝑥 𝑏3 𝑎1𝑏2 𝑏1 𝑎1𝑎2𝑎3𝑥 𝑎1𝑎2𝑏3 𝑎1𝑏2 𝑏1 Por outro lado 𝑓1 𝑓2 𝑓3𝑥 𝑓1𝑓2 𝑓3𝑥 𝑓1𝑎2𝑎3𝑥 𝑎2𝑏3 𝑏2 𝑎1𝑎2𝑎3𝑥 𝑎2𝑏3 𝑏2 𝑏1 𝑎1𝑎2𝑎3𝑥 𝑎1𝑎2𝑏3 𝑎1𝑏2 𝑏1 Portanto 𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝑓1 𝑓2 𝑓3 III Existência de elemento neutro Existe 𝑒 𝐺 tal que 𝑒 𝑓 𝑓 𝑒 𝑓 para todo 𝑓 𝐺 Tome 𝑒𝑥 𝑥 Sendo 𝑓𝑥 𝑎𝑥 𝑏 com 𝑎 0 temse 𝑒 𝑓𝑥 𝑒𝑓𝑥 𝑒𝑎𝑥 𝑏 𝑎𝑥 𝑏 𝑓𝑥 2 Por outro lado 𝑓 𝑒𝑥 𝑓𝑒𝑥 𝑓𝑥 Portanto 𝑒 𝑓 𝑓 𝑒 𝑓 IV Existência de elemento simétrico Dado 𝑓 𝐺 existe 𝑓 𝐺 tal que 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑒 onde 𝑒 é o elemento neutro Seja 𝑓𝑥 𝑎𝑥 𝑏 com 𝑎 0 Tome 𝑓𝑥 𝑥 𝑎 𝑏 𝑎 Assim 𝑓 𝑓𝑥 𝑓𝑓𝑥 𝑓 𝑥 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎 𝑥 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑥 𝑏 𝑏 𝑥 𝑒𝑥 Além disso 𝑓 𝑓𝑥 𝑓𝑓𝑥 𝑓𝑎𝑥 𝑏 1 𝑎 𝑎𝑥 𝑏 𝑏 𝑎 𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑥 𝑒𝑥 Portanto 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑒 3 Vamos provar que ℤ e ℤ são anéis isomorfos É conhecido que ℤ é anel Vamos provar que ℤ é anel Para isto precisamos verificar as condições abaixo I Associatividade de e Sendo 𝑎 𝑏 𝑐 ℤ temse 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐 e 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐 De fato 𝑎𝑏𝑐 𝑎 𝑏 1𝑐 𝑎 𝑏 1 𝑐 1 𝑎 𝑏 𝑐 2 Por outro lado 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏 𝑐 1 𝑎 𝑏 𝑐 1 1 𝑎 𝑏 𝑐 2 Portanto 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐 Além disso 𝑎𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑎𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑐 𝑎𝑐 𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐 Por outro lado 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏 𝑐 𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏𝑐 𝑎𝑏 𝑐 𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏𝑐 𝑎𝑏 𝑎𝑐 𝑎𝑏𝑐 Portanto 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐 II Comutatividade de Sendo 𝑎 𝑏 ℤ temse 𝑎𝑏 𝑏𝑎 De fato 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 1 e 𝑏𝑎 𝑏 𝑎 1 Portanto 𝑎𝑏 𝑏𝑎 III Existência de elemento neutro de Existe 𝑒 ℤ tal que 𝑒𝑎 𝑎𝑒 𝑎 para todo 𝑎 ℤ 3 Tome 𝑒 1 Sendo 𝑎 ℤ temos 𝑒𝑎 1 𝑎 1 𝑎 Como é comutativa temos também que 𝑎𝑒 𝑎 Portanto 𝑒𝑎 𝑎𝑒 𝑎 III Existência de simétrico em Dado 𝑎 ℤ existe 𝑎 ℤ tal que 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑒 Sendo 𝑎 ℤ defina 𝑎 𝑎 2 Assim 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 1 𝑎 𝑎 2 1 1 𝑒 Como é comutativa temos também que 𝑎𝑎 𝑒 Portanto 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑒 IV Distributividade de com respeito a Sendo 𝑎 𝑏 𝑐 ℤ temse 𝑎 𝑏𝑐 𝑎 𝑏𝑎 𝑐 Por um lado 𝑎 𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 1 𝑎 𝑏 𝑐 1 𝑎𝑏 𝑐 1 𝑎 𝑏 𝑐 1 𝑎𝑏 𝑎𝑐 𝑎 𝑎𝑏 𝑎𝑐 2𝑎 𝑏 𝑐 1 Por outro lado 𝑎 𝑏𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎𝑏𝑎 𝑐 𝑎𝑐 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑐 𝑎𝑐 1 𝑎𝑏 𝑎𝑐 2𝑎 𝑏 𝑐 1 Portanto 𝑎 𝑏𝑐 𝑎 𝑏𝑎 𝑐 Agora provemos que ℤ e ℤ são isomorfos Para isto precisamos provar que existe 𝜑 ℤ ℤ bijetiva tal que 𝜑𝑎 𝑏 𝜑𝑎𝜑𝑏 e 𝜑𝑎 𝑏 𝜑𝑎𝜑𝑏 para todo 𝑎 𝑏 ℤ Tome 𝜑𝑥 𝑥 1 I 𝜑 é injetiva De fato sendo 𝑥1 𝑥2 ℤ tais que 𝜑𝑥1 𝜑𝑥2 temse 𝑥1 1 𝑥2 1 𝑥1 𝑥2 II 𝜑 é sobrejetiva De fato dado 𝑦 ℤ temse que 𝑦 1 ℤ e 𝜑𝑦 1 𝑦 1 1 𝑦 III 𝜑𝑎 𝑏 𝜑𝑎𝜑𝑏 para todo 𝑎 𝑏 ℤ Sejam 𝑎 𝑏 ℤ Assim 𝜑𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 1 Por outro lado 𝜑𝑎𝜑𝑏 𝑎 1𝑏 1 𝑎 1 𝑏 1 1 𝑎 𝑏 1 4 Portanto 𝜑𝑎 𝑏 𝜑𝑎𝜑𝑏 IV 𝜑𝑎 𝑏 𝜑𝑎𝜑𝑏 para todo 𝑎 𝑏 ℤ Sejam 𝑎 𝑏 ℤ Assim 𝜑𝑎 𝑏 𝑎𝑏 1 Por outro lado 𝜑𝑎𝜑𝑏 𝑎 1𝑏 1 𝑎 1 𝑏 1 𝑎 1𝑏 1 𝑎 𝑏 2 𝑎 1𝑏 1 𝑎 𝑏 2 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 1 𝑎𝑏 1 Portanto 𝜑𝑎 𝑏 𝜑𝑎𝜑𝑏 Com isso concluímos que ℤ e ℤ são anéis isomorfos