Prova 2 Introdução à Álgebra - Licenciatura Matemática - Ideais e Homomorfismos

Prova 2 Introdução à Álgebra Licenciatura em Matemática 20221 Profº Vinícius Martins Data Nota 100 1 Responda apenas um dos itens a seguir a Defina o conceito de ideal maximal Forneça exemplos de ideais maximais e não maximais em Z b Defina o conceito de corpo e forneça um exemplo Mostre que um corpo possui apenas ideais triviais isto é se I é um ideal em um corpo K então I 0 ou I K 2 Sejam I e J ideais de um anel A a I J é um ideal de A Justifique b Prove que I J é um ideal de A c Prove que I J x y x I e y J é um ideal de A 3 Seja A um anel comutativo e NA x A xⁿ 0 para algum n inteiro positivo a Encontre NZ₉ b Defina o anel quociente ANA e o descreva para o anel A Z₉ c Prove que NANA 0 4 a Defina homomorfismo de anéis e forneça um exemplo b Fixe P uma matriz 2 2 invertível Verifique que f M₂R M₂R dada por fM P¹MP é um homomorfismo 5 Seja f A B um homomorfismo de anéis Definimos o núcleo de f como kerf x A fx 0ᴮ a Verifique que kerf é um ideal de A b Denote por Zₙ o anel dos inteiros módulo n e seja π Z Zₙ o homomorfismo πx x Encontre o núcleo de π Questão 1 2 3 4 5 Total Pontos 20 30 30 20 20 120 Nota Bom Trabalho Fim da atividade 1 a Seja A um anel I A é ideal maximal se é subconjunto próprio de A ie se é ideal de A e não é subconjunto de outro ideal próprio de A ou seja se I I A xy I xy I x I a A ax I J ideal de A J J A I J 4Z não é ideal maximal de Z 2Z é ideal maximal de Z b Um anel comutativo K é corpo se seus elementos nãonulos possuem inverso em relação à multiplicação ou seja K corpo xy K xy yx x K 0 x¹ K tal que xx¹ x¹ x 1 Seja I ideal de K ou seja xy I xy I x I k K xk I 1 1 I 0 I1 0 0 0 I I2 seja a K a0 0a 0 I 0 é ideal 2 Seja k K k 0 tal que k I a K ak I k¹k I 1 I a K a1 a I K I Se I é ideal de K I 0 I K 2 a Não necessariamente 2Z 3Z são ideais de Z 2 2Z 3 Z 23 2Z 3Z 2 3 5 porém 5 2Z 5 3Z ou seja 5 2Z 5 3Z 5 2Z 3Z 5 2Z 3Z 2Z 3Z não é ideal 2 b I1 ab I J ab I ab J a b I a b J a b I J I2 sean x I J a A x I x J a x I a x J a x I J Luego I J es ideal c I J x y x I y J I1 sean l₁ l₂ I J x₁x₂ I y₁y₂ J tal que l₁ x₁ y₁ l₂ x₂ y₂ l₁ l₂ x₁ y₁ x₂ y₂ x₁ x₂ y₁ y₂ Como I es ideal x₁ x₂ I l₁ l₂ I J Como J es ideal y₁ y₂ J I2 sean l I J a A x I y J tal que l x y 3 a l ax y a x a y Como I es ideal a x I a l I J Como J es ideal a y J Luego I J es ideal 3 a Z₉ 0 1 8 r r Z q Z z qg r g 3² rⁿ 0 rⁿ 0 mod g grⁿ 3r NZ₉ 0 3 6 b A NA a a A a b A b a mod NA b A a b NA a c c NA a c n Z 0 cⁿ 0 4 0 0 0 0 3 0 6 0 3 6 I I 0 I 3 I 6 I 4 7 2 2 0 2 3 2 6 2 5 8 3 3 0 3 3 3 6 3 6 9 3 6 0 0 4 4 0 4 3 4 6 4 7 10 4 7 I I 5 5 0 5 3 5 6 5 8 11 5 8 2 2 6 6 0 6 3 6 6 6 9 12 6 0 3 0 Exemplo Id A A é o homomorfismo identidade a a b H1 sejam M1 M2 E M2IR fM1 M2 P1 M1 M2 P P1 M1 P1 M2 P P1 M1 P P1 M2 P fM1 fM2 H2 sejam M1 M2 E M2IR fM1 M2 P1 M1 M2 P P1 M1 Id2 M2 P P1 M1 P P1 M2 P P1 M1 PP1 M2 P fM1 fM2 H3 fId2 P1 Id2 P P1 P Id2 logo f é homomorfismo de anéis 5 a I1 sejam x1 x2 E kerf fx1 x2 fx1 fx2 0B 0B 0B x1 x2 E ker f I2 sejam x E kerf a E A fa x fa fx fa 0B 0B a x E ker f logo ker f é ideal de A 7 7 70 73 76 7 10 13 7 1 4 1 8 80 83 86 8 11 14 8 2 5 2 Z9 NZ9 0 7 2 NZ9 1 7 7 2 5 8 c seja a E NANA 3 n E Z0 an 0 an E NA a E NA a 3 c c E NA NA a 0 4 a sejam A A A B B B anéis uma função f A B é homomorfismo se H1 x y E A fx A y fx B fy H2 x y E A fx A y fx B fy H3 f1A 1B 6 b ker pi z E Z fz 0 z E Z z 0 mod n z E Z n z 0 zn a E Z nZ 8