Exercícios - Álgebra 2 2021 1

Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4 Exercício 5 Exercício 6 Exercício 7 Exercício 8 Teorema 2 Teorema de Isomorfismo Seja f A B um homomorfismo de grupos Então Akerf Imf Demonstração Seja N kerf e seja f AN Imf fxN fx Mostramos que f é um isomorfismo de grupos f é uma função bem definida De fato se xN yN então y1x N kerf isto é fy1x 1 que pode ser escrito fy1fx 1 e multiplicando a esquerda por fy obtemos fx fy em outras palavras fxN fyN f é um homomorfismo Se xNyN AN temos fxNyN fxyN fxy fxfy fxNfyN f é sobrejetivo Se b Imf então b fx para algum x A logo b fx fxN f é injetivo Se fxN 1 então fx 1 isto é x kerf N em outras palavras xN N Isso mostra que kerf N em outras palavras f é injetivo Exemplo de aplicação do teorema do isomorfismo