Algebra II - Operações Internas Isomorfismo Anéis e Subanéis - Resumo Completo

ÁLGEBRA II OPERAÇÕES INTERNAS ISOMORFISMO DE GRUPOS ANÉIS E SUBANÉIS Operações internas 14 E verificar A B C PE A B C A B B C Lembrando que para X Y conjuntos x X Y x X x Y x X Y x X x Y X Y X Y Y X 1 Seja x A B C x A x B C x A x B x C Primeiramente x obrigatoriamente é um elemento de A Além disso tem que ser ou elemento de B ou de C ou dos dois ao mesmo tempo Se for um elemento de B deve ser um elemento de A necessariamente x B x A x B Se for um elemento de C deve ser de A também x C x A x C x B x C x A x B x A x C x A x B x C x A C x A B A C Como x é genérico x A B C x A B A C A B C A B A C 2 Seja y A B A C y A B y A C y A y B y A y C necessariamente y está em A necessariamente y está em A necessariamente y está em A y A y A y B y A y C y está em B necessariamente y está em C necessariamente y A y B y C y A B C y A B C Como y é arbitrário y A B A C y A B C A B A C A B C A B A C A B C A B A C Homomorfismo de grupos 9 a 0 a 1 a seja n Z an 0 an R G an n Z R SG1 Fechamento de G pela operação produto multiplicação sejam n m Z an am G an am anm nm Z an am G SG2 Existência do inverso para todos os elementos de G seja n Z an G n Z an G an an ann a0 1 an é inverso de an e está em G Portanto G é subgrupo de R 4 b HG sejam m n Z fmn amn am an fm fn ou seja f é homomorfismo Injetividade fm fn am an m n Sobrejetividade seja g G an G g an an fn g fn ou seja para g G há n Z tal que g fn Como f é um homomorfismo injetor e sobrejetor f é homomorfismo bijetor ou seja f é um isomorfismo 5 Conjuntos e subanéis 35 4Z 4z z Z 2Z 2z z Z seja n 4Z z Z n 4z n 4z 22z 2Z 4Z 2Z SA1 sejam 4x 4y 4Z xy Z 4x 4y 4xy 4Z SA2 sejam 4x 4y 4Z xy Z 4x 4y 16xy 4 4xy 4Z Logo 4Z é subanel de 2Z 6