Lista - Álgebra 2 2022 2

1 30 pontos Em R considere a relação definida para xy R por x y x y ou x y a 10 pontos Mostre que é uma relação de equivalência b 10 pontos Qual é a classe de equivalência de x 3 c 10 pontos Descreva todas as classes de equivalência de 2 30 pontos Considere em Q a relação dada para xy Q por x y xy2 Z a 15 pontos Prove que é relação de equivalência b 15 pontos Descreva as classes de equivalência de 0 e 1 1 Em R considere a relação definida por xy R x y x y ou x y ou seja x y xy 0 ou xy 0 a é uma relação de equivalência Prova Precisamos mostrar que é reflexiva simétrica e transitiva i é reflexiva x R temos x x logo x x ii é simétrica xy R se x y então x y ou x y se x y ou seja y x então y x Agora se x y então y x logo y x Portanto se x y então y x mi é transtiva xyz R x y e y z logo x z b Qual a classe de equivalência de x 3 Solução Dado y ℝ temos x y ou seja 3 y 3 y ou 3 y isto é 3 y 3 y 0 ou 3 y 0 Logo y 3 ou y 3 Portanto a classe de equivalência de x 3 é dada por 3 3 3 c Descreva todas as classes de equivalência de v Solução Dados x y ℝ temos x y x y ou x y Logo y x se x y ou x y isto é y x se x y ou y x Portanto dado x ℝ a classe de equivalência de x é dada por x x x 2 Considere em ℝ a relação dada para x y ℝ por x y x y ℤ a é relação de equivalência Prova Precisamos mostrar que é reflexiva simétrica e transitiva i é reflexiva x ℝ temos x x2 02 0 ℤ Logo x x ii é simétrica Dado x y ℝ suponha que x y Então x y ℤ ou seja y x ℤ Logo y x Portanto se xy então yx ii é transitiva Sejam x y z ℤ suponha que xy e yz Então xy ℤ e yz ℤ Suponha xy 2 n e yz 2 m com n m ℤ Então xy 2 n xy 2n y 2nx y x2n 1 yz 2 m yz 2m y z2m 2 Por 1 e 2 obtemos x2n z2m xz 2m2n xz 2mn xz 2 mn ℤ pois m n ℤ Logo xz Portanto se xy e yz então xz Assim é reflexiva simétrica e transitiva concluímos que é uma relação de equivalência b Descreva as classes de equivalência de 0 e 1 Solução Dado y ℤ temos 0y 0y n com n ℤ Logo 0y y n y 2n y 2n Logo a classe de equivalência de 0 é dada por 0 0 2 4 6 2n n ℤ Dado y e b temos y 1 y 1 n com n ℤ y 1 2n y 2n 1 Logo a classe de equivalência de 1 é dada por T 1 1 3 5 7 2n 1 n ℤ 3 Seja G um grupo em que todo elemento tem ordem 2 isto é x G x² e Mostre que G é abeliano Prova Sejam x y G então x² e e y² e Além disso se x y G então xy G pois G é grupo Como xy G segue que xy² e xyxy e Multiplicando a ambos os lados da igualdade acima à esquerda por x e à direita por y xxyxyy xey xxyxyy xy por associatividade eyxe xy pois x² e e y² e yx xy Portanto G é um grupo abeliano 4 Sejam A B C subgrupos do grupo abeliano G defina ABC abc a A b B c C Mostre que ABC é subgroupo de G Prova Sejam A B C subgrupos de um grupo abeliano G Vamos mostrar que ABC abc a A b B c C é um subgrupo de G i sejam a₁b₁c₁ a₂b₂c₂ ABC temos a₁b₁c₁a₂b₂c₂ a₁b₁c₁a₂b₂c₂ Além disso como G é abeliano podemos comutuar seus elementos e por asociatividade segue a₁b₁c₁a₂b₂c₂ a₁b₁c₁a₂b₂c₂ ABC logo a₁b₁c₁a₂b₂c₂ ABC ii como A B C são subgrupos de G Então o elemento neutro e e G também pertence à A B C Logo e e e e ABC iii Seja abc ABC queremos mostrar que abc¹ ABC Temos abc¹ c¹b¹a¹ por propriedade de inverso a¹b¹c¹ pois c¹b¹a¹ G A B C e G é abeliano Logo abc¹ ABC Portanto por i ii e iii concluímos que ABC é um subgrupo de G