Atividade de Analise Real

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TEC DO PIAUÍ IFPI COORDENAÇÃO DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CAMPUS CAMPO MAIOR Avenida Raimundo Doca da Silva SN Fazendinha CEP 64280000 Lista de Exercícios IV Análise Real 1 Determine a série que tem a seguinte sequência de somas parciais Além disso verifique se tais séries são convergentes ou divergentes a Sn 4nn1 c Sn n2n1 b Sn 2n3n1 d Sn 2n 2 Determine se a série é convergente ou divergente se convergente encontre a soma a 1 12 14 18 12n1 b 1 32 94 278 5116 c 1 45 1625 64125 256625 d Σn1 1 e 03 003 0003 00003 3 Use o critério de comparação para provar que a série Σn1 1n2 é convergente a partir da convergência de Σ 2nn1 4 Considerando as séries telescópicas abaixo forneça suas reduzidas Sn Em seguida calcule a soma das séries que sejam convergentes a Σn1 22n52n3 c Σn1 14n21 b Σn1 lnnn1 d Σn1 1n1n 5 Utilize o teste de divergência para determinar se cada série a seguir diverge ou se é necessária uma investigação adicional a Σn1 3n5n1 c Σn1 1en1 b Σn1 ln2n13n2 14n d Σn1 nsen1n 6 Justifique usando as propriedades aritméticas das séries se cada série abaixo é convergente ou divergente a Σn1 5en b Σn1 13n 1n2 c Σn1 7n8 1n 7 Aplicando o teste básico de comparação determine se a série converge ou diverge a Σn1 1n4n21 b Σn1 n21n c Σn1 13n3 d Σn1 2cosnn 8 Aplicando a forma limite do teste de comparação verifique se cada série abaixo converge ou diverge a Σn1 nn4 b Σn1 23n c Σn1 14n35n d Σn1 8n27enn12 9 Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente a Σn1 132n2 b Σn1 1nlnn2 c Σn1 nn21 10 Use o teste da razão para determinar se a série é convergente divergente ou se o teste é inconclusivo a Σn1 3n12n b Σn1 3nn24 c Σn1 2n15nn1 d Σn1 n1010n 11 Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente divergente ou se o teste é inconclusivo a Σn1 1nn b Σn1 lnnnnn c Σn1 2nn2 d Σn1 n3n 12 Verifique se as séries alternadas a seguir convergem ou divergem a Σn1 1n1 1n27 b Σn1 1n1 n5n c Σn1 1n 1 en d Σn1 1n e2n1e2n 13 Determine o raio de convergência das séries de potências a Σn1 xnn3 b Σn1 xnn c Σn4 xnn3 d Σn4 xnen Observações Dentre as 13 questões deste caderno escolha 7 para responder e entregar Data de entrega da atividade no dia de aplicação da 2ª prova escrita BONS ESTUDOS Questão 1 Enunciado Determine a série que tem a seguinte sequência de somas parciais Além disso verifique se tais séries são convergentes ou divergentes a Sn 4nn1 b Sn 2n3n1 c Sn n2n1 d Sn 2n Resolução Para determinar a série Σ an que corresponde à sequência de somas parciais Sn devemos observar que Sn a1 a2 an Portanto o termo geral an pode ser obtido por an Sn Sn1 Vamos determinar an para cada caso a Sn 4nn1 an Sn Sn1 4nn1 4n 1n Simplificando an 4n2 4n 4n 4nn 1 4nn 1 A série associada é Σ an Σ 4nn 1 4 Σ 1n 1n 1 Esta é uma série telescópica que converge b Sn 2n3n1 an Sn Sn1 2n3n 1 Observamos que à medida que n cresce o termo an tende a se aproximar de 2n3n 23 Como an não tende a zero quando n tende ao infinito concluímos que a série associada não converge Essa condição é suficiente para determinar a divergência da série c Sn n2n1 an Sn Sn1 2n 1n 2 Simplificando temos uma expressão que à medida que n cresce o termo an se comporta como 2nn 2 o que indica que o termo geral não tende a zero Portanto concluímos que a série associada diverge c 1 45 1625 64125 Esta série alternada pode ser reescrita como S 1 sumn1 45n Aqui temos uma série geométrica com r 45 Como r 45 1 a série geométrica convergente A soma da série geométrica é dada por S a1 r 1 r 1 45 1 45 1 49 1 49 Simplificando S 59 Portanto a soma total é 59 d sumn1 1 Aqui temos uma série onde cada termo é 1 Claramente a soma dos termos cresce indefinidamente então a série diverge e 03 003 0003 00003 Essa série também é geométrica onde a1 03 e r 01 Como r 1 a série converge A soma é dada por S 03 1 01 03 09 13 Portanto a série converge e sua soma é 13 Conclusão As séries dos itens a c e e são convergentes com as somas sendo 2 59 e 13 respectivamente As séries dos itens b e d são divergentes Questão 3 Enunciado Use o critério de comparação para provar que a série sumn1 1n2 é convergente a partir da convergência de sum 2nn1 Resolução Vamos utilizar o critério de comparação para provar a convergência da série sumn1 1n2 O critério de comparação afirma que se 0 an bn para todo n N e se a série sum bn converge então a série sum an também converge Consideremos a série sum 2nn1 que é dada d Sn 2n an Sn Sn1 2n 2n1 2n1 A série associada é sum an sum 2n1 Essa série geométrica tem razão maior que 1 o que implica que a série diverge Conclusão Das quatro séries apresentadas apenas a série associada às somas parciais Sn do item a é convergente sendo que a série converge pela sua natureza telescópica As séries dos itens b c e d são divergentes devido ao comportamento dos termos gerais an que não tendem a zero Questão 2 Enunciado Determine se a série é convergente ou divergente Se convergente encontre a soma a 1 12 14 18 12n1 b 1 32 94 278 5116 c 1 45 1625 64125 256625 d sumn1 1 e 03 003 0003 00003 Resolução a 1 12 14 18 Essa é uma série geométrica onde cada termo é da forma an 12n1 com razão r 12 e primeiro termo a1 1 Uma série geométrica converge se r 1 Neste caso r 12 então a série converge A soma de uma série geométrica infinita pode ser encontrada pela fórmula S a1 1 r Substituindo os valores S 1 1 12 2 Portanto a série converge e sua soma é 2 b 1 32 94 278 5116 Novamente temos uma série geométrica com primeiro termo a1 1 e razão r 32 Para a convergência de uma série geométrica é necessário que r 1 Aqui r 32 1 portanto a série diverge sumn1 2 nn1 Podemos simplificar essa série como uma série telescópica 2 nn1 2 1n 1n1 Portanto a série é sumn1 2 nn1 2 sumn1 1n sumn1 1n1 Esta série é telescópica e converge para 2 Agora para aplicar o critério de comparação devemos verificar que 1n2 2 nn1 para n suficientemente grande Vamos manipular essa desigualdade 1n2 2 nn1 Podemos reescrever 2nn1 como 2 nn1 2n2 n 2 n2 n E sabemos que 2n2n 1n2 para n 1 já que n2 n n2 Portanto temos que 1n2 2 nn1 Assim como sum 2nn1 é convergente pela comparação sum 1n2 também é convergente Conclusão Usando o critério de comparação mostramos que a série sumn1 1n2 é convergente uma vez que é majorada por uma série convergente sum 2nn1 Questão 4 Enunciado Considerando as séries telescópicas abaixo forneça suas reduzidas Sn Em seguida calcule a soma das séries que sejam convergentes a sumn1 2 2n52n3 b sumn1 ln nn1 c sumn1 1 4n2 1 d sumn1 1 n1 n Resolução a n1 2 2n52n3 Primeiro decompomos a fração em frações parciais 2 2n52n3 A 2n5 B 2n3 Resolvendo para A e B 2 A2n3 B2n5 Igualando os coeficientes de n e as constantes encontramos que A 1 e B 1 Portanto a série pode ser reescrita como n1 1 2n3 1 2n5 Essa é uma série telescópica cujos termos sucessivos se cancelam exceto os primeiros Portanto a soma da série é dada por Sn 15 17 17 19 Como o limite dos termos que não se cancelam tende a zero concluímos que a série converge para o primeiro termo não cancelado que é S 15 lim n 12n5 15 b n1 lnn n1 Podemos reescrever o termo geral da série como lnn n1 lnn lnn1 Isso é novamente uma série telescópica onde os termos lnn1 se cancelam com lnn dos termos subsequentes Assim temos Sn ln1 lnn1 Como ln1 0 a soma parcial é Sn lnn1 Tomando o limite quando n tende ao infinito lim n Sn lim n lnn1 Portanto a série diverge c n1 1 4n² 1 Esta expressão pode ser fatorada e decomposta em frações parciais 1 4n² 1 1 2n12n1 A 2n1 B 2n1 Resolvendo para A e B encontramos 1 A2n1 B2n1 Igualando os coeficientes obtemos A 12 e B 12 portanto 1 4n²1 12 1 2n1 1 2n1 A série se torna n1 12 1 2n1 1 2n1 Esta é uma série telescópica que converge A soma é dada por S 12 1 lim n 1 2n1 1 2n1 12 d n1 1 n1 n Simplificamos o termo geral racionalizando o denominador 1 n1 n n1 n n1 n n1 n A série se torna n1 n1 n Esta também é uma série telescópica onde os termos se cancelam A soma parcial Sn é Sn n1 1 Tomando o limite lim n Sn lim n n1 1 Portanto a série diverge Conclusão As séries a e c são convergentes com somas 15 e 12 respectivamente As séries b e d são divergentes Questão 5 Enunciado Utilize o teste de divergência para determinar se cada série a seguir diverge ou se é necessária uma investigação adicional a n1 3n 5n1 b n1 ln2n13n2 14ⁿ c n1 1 eⁿ¹ d n1 n sin1n Resolução O teste de divergência também conhecido como teste do termo geral diz que se o limite lim n an de uma série an não for zero ou não existir então a série diverge Se o limite for zero o teste é inconclusivo e precisamos de uma investigação adicional para determinar a convergência ou divergência da série a n1 3n 5n1 O termo geral da série é an 3n 5n1 Vamos calcular o limite lim n 3n 5n1 lim n 3 5 1n 35 Como lim n an 35 0 a série diverge b n1 ln2n13n2 14ⁿ O termo geral da série é an ln2n13n2 14ⁿ Vamos analisar o limite lim n ln2n13n2 14ⁿ lim n ln2n13n2 Para n grande a fração 2n13n2 se aproxima de 23 Portanto lim n ln23 0 Como o limite do termo geral não é zero a série diverge c n1 1en1 O termo geral da série é an 1en1 Vamos calcular o limite limn 1en1 limn 1een 0 Como o limite é zero o teste de divergência é inconclusivo Portanto é necessária uma investigação adicional para determinar se a série converge ou diverge d n1 nsin1n O termo geral da série é an nsin1n Para n grande podemos usar a aproximação sin1n 1n an n1n 1 Assim temos limn an 1 0 Como o limite do termo geral não é zero a série diverge Conclusão As séries a b e d divergem pelo teste de divergência A série c requer uma investigação adicional pois o teste de divergência é inconclusivo Questão 6 Enunciado Justifique usando as propriedades aritméticas das séries se cada série abaixo é convergente ou divergente a n1 5en b n1 13n 1n2 c n1 7n8 1n Resolução a n1 5en Essa é uma série geométrica onde o termo geral pode ser escrito como an 5en Podemos reescrever en como en onde a razão r da série geométrica é 1e e o primeiro termo é a1 5e Como r 1e 1 a série converge A soma da série geométrica é dada por S a11r 5e1 1e 5e1 Portanto a série é convergente b n1 13n 1n2 Podemos analisar essa série como a diferença de duas séries n1 13n 1n2 n1 13n n1 1n2 A primeira série é uma série geométrica com r 13 que é menor que 1 então a série converge A segunda série é uma série psérie com p 2 e sabemos que uma psérie converge para p 1 Portanto a série n1 13n 1n2 é a diferença de duas séries convergentes logo a série é convergente c n1 7n8 1n Esta série pode ser analisada como a soma de duas séries n1 7n8 1n n1 7n8 n1 1n A primeira série é uma série geométrica com r 17 que é menor que 1 então essa parte da série converge No entanto a segunda série é a série harmônica n1 1n que sabemos ser divergente Como a série é composta por uma série convergente e uma divergente a série como um todo é divergente Conclusão A série do item a é convergente A série do item b é convergente A série do item c é divergente Questão 7 Enunciado Aplicando o teste básico de comparação determine se a série converge ou diverge a n1 1n4n21 b n1 n21n c n1 1n3n d n1 2cosnn Resolução a n1 1n4n21 Para aplicar o teste de comparação podemos comparar o termo geral an 1n4n21 com bn 1n4 que é mais simples de analisar Como n4n21 n4 temos 1n4n21 1n4 Sabemos que a série 1n4 é uma psérie com p 4 1 portanto é convergente Pelo teste de comparação como bn converge e an bn concluímos que a série original n1 1n4n21 é convergente b n1 n21n Aqui podemos comparar an n21n com bn n2n n32 Para grandes valores de n o termo n2 domina então temos n21n n32 Sabemos que a série n32 é uma psérie com p 32 o que significa que a série diverge pois p 1 Pelo teste de comparação como bn diverge e an bn concluímos que a série original n1 n21n é divergente c n1 1n3n Vamos comparar an 1n3n com bn 13n Para grandes valores de n temos 1n3n 13n Sabemos que 13n é uma série geométrica com r 13 1 o que significa que a série converge Pelo teste de comparação como bn converge e an bn concluímos que a série original n1 1n3n é convergente d n1 2cosnn Aqui podemos dividir a série em duas partes n1 2cosnn 2 n1 1n n1 cosnn A primeira série 1n é a série harmônica que é divergente Para a segunda série podemos usar o teste de comparação com bn 1n Sabemos que cosnn 1n Como a série harmônica 1n diverge e cosnn não convergirá mais rapidamente que 1n a série original n1 2cosnn é divergente Conclusão A série do item a é convergente A série do item b é divergente A série do item c é convergente A série do item d é divergente Questão 8 Enunciado Aplicando a forma limite do teste de comparação verifique se cada série abaixo converge ou diverge a n1 nn4 b n1 23n c n1 14n35n d n1 8n27en n12 Resolução O teste de comparação pela forma limite afirma que se limn anbn c onde c é uma constante positiva e finita e se bn converge então an também converge Se bn diverge então an também diverge a n1 nn4 Vamos comparar o termo geral an nn4 com bn nn 1n Calculando o limite limn nn41n limn n nn4 limn nn4 1 Como limn anbn 1 que é uma constante positiva e finita e sabemos que 1n diverge pois é uma psérie com p 12 1 concluímos que a série n1 nn4 é divergente b n1 23n Vamos comparar an 23n com bn 1n Calculando o limite limn 23n1n limn 2n3n limn 2nn3n1 limn 21 2 Como limn anbn 2 que é uma constante positiva e finita e sabemos que 1n diverge concluímos que a série n1 23n é divergente c n1 14n3 5n Vamos comparar an 14n3 5n com bn 14n3 12n32 Calculando o limite limn 14n3 5n12n32 limn 2n324n3 5n limn 24 5n2 22 1 Como limn anbn 1 que é uma constante positiva e finita e sabemos que 12n32 converge pois é uma psérie com p 32 1 concluímos que a série n1 14n3 5n é convergente d n1 8n2 7en n12 Vamos comparar an 8n2 7en n12 com bn n2en n2 1en Calculando o limite limn 8n2 7en n121en limn 8n2 7n12 limn 8 n2n2 8 Como limn anbn 8 que é uma constante positiva e finita e sabemos que 1en converge série geométrica com r 1e concluímos que a série n1 8n2 7en n12 é convergente Conclusão A série do item a é divergente A série do item b é divergente A série do item c é convergente A série do item d é convergente Questão 9 Enunciado Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente a n1 132n2 b n1 1nlnn2 c n1 nn2 1 Resolução O teste da integral afirma que para uma série an onde an fn se a integral imprópria 1 fx dx convergir então a série an também converge Se a integral divergir a série também diverge a n1 132n2 Vamos aplicar o teste da integral para fx 132x2 A integral correspondente é 1 132x2 dx Fazendo a substituição u 3 2x du 2 dx 1 13 2x2 dx 12 5 1u2 du A integral de 1u2 é 1u2 du 1u Portanto 12 1u5 12 0 15 110 Como a integral converge a série n1 132n2 é convergente b n1 1nlnn2 Vamos aplicar o teste da integral para fx 1xlnx2 A integral correspondente é 2 1xlnx2 dx Fazendo a substituição u lnx du 1x dx 1xlnx2 dx 1u2 du A integral de 1u2 é 1u2 du 1u Portanto 1lnx 2 0 1ln2 1ln2 Como a integral converge a série n1 1nlnn2 é convergente c n1 nn2 1 Vamos aplicar o teste da integral para fx xx2 1 A integral correspondente é 1 xx2 1 dx Fazendo a substituição u x2 1 du 2x dx xx2 1 dx 12 1u du A integral de 1u é 12 lnu C 12 lnx2 1 Portanto limb 12 lnx2 11b limb 12 lnb2 1 12 ln2 Como a integral diverge a série n1 nn2 1 é divergente Conclusão A série do item a é convergente A série do item b é convergente A série do item c é divergente Questão 10 Enunciado Use o teste da razão para determinar se a série é convergente divergente ou se o teste é inconclusivo a n1 3n12n b n1 3nn2 4 c n1 2n15n n1 d n1 n10 10n Resolução O teste da razão afirma que para uma série an se limn an1an L então Se L 1 a série converge absolutamente Se L 1 a série diverge Se L 1 o teste é inconclusivo a ₙ₁ 3n12ⁿ Vamos aplicar o teste da razão aₙ 3n12ⁿ aₙ₁ 3n112ⁿ¹ Calculando o limite limₙ aₙ₁ aₙ limₙ 3n43n1 12 12 limₙ 3n43n1 12 1 12 Como L 12 1 a série ₙ₁ 3n12ⁿ é convergente b ₙ₁ 3ⁿn²4 Vamos aplicar o teste da razão aₙ 3ⁿn²4 aₙ₁ 3ⁿ¹n1²4 Calculando o limite limₙ aₙ₁ aₙ limₙ 3ⁿ¹3ⁿ n²4n1²4 3 limₙ n²4n²2n14 3 Como L 3 1 a série ₙ₁ 3ⁿn²4 é divergente c ₙ₁ 2ⁿ¹5ⁿn1 Vamos aplicar o teste da razão aₙ 2ⁿ¹5ⁿn1 aₙ₁ 2ⁿ5ⁿ¹n2 Calculando o limite limₙ aₙ₁ aₙ limₙ 2ⁿ 5ⁿn12ⁿ¹ 5ⁿ¹n2 2 15 limₙ n1n2 25 1 25 Como L 25 1 a série ₙ₁ 2ⁿ¹5ⁿn1 é convergente d ₙ₁ n¹⁰10n Vamos aplicar o teste da razão aₙ n¹⁰ 10n aₙ₁ n1¹⁰ 10n1 Calculando o limite limₙ aₙ₁ aₙ limₙ n1¹⁰ 10n1n¹⁰ 10 limₙ n1¹⁰n1n¹⁰ limₙ n1⁹n¹⁰ 0 Como L 0 1 a série ₙ₁ n¹⁰10n é convergente Conclusão A série do item a é convergente A série do item b é divergente A série do item c é convergente A série do item d é convergente Questão 11 Enunciado Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente divergente ou se o teste é inconclusivo a ₙ₁ 1nⁿ b ₙ₁ lnnⁿn nⁿ c ₙ₁ 2ⁿn² d ₙ₁ n3ⁿ Resolução O teste da raiz afirma que para uma série aₙ se limₙ ⁿaₙ L então Se L 1 a série converge absolutamente Se L 1 a série diverge Se L 1 o teste é inconclusivo a ₙ₁ 1nⁿ Vamos aplicar o teste da raiz aₙ 1nⁿ Calculando o limite limₙ ⁿ1nⁿ limₙ 1n 0 Como L 0 1 a série ₙ₁ 1nⁿ é convergente b ₙ₁ lnnⁿn nⁿ Vamos aplicar o teste da raiz aₙ lnnⁿn nⁿ Calculando o limite limₙ ⁿlnnⁿn nⁿ limₙ lnnn 1n12n Sabemos que limₙ lnnn 0 e limₙ n12n 1 Portanto limₙ ⁿlnnⁿn nⁿ 0 Como L 0 1 a série ₙ₁ lnnⁿn nⁿ é convergente c ₙ₁ 2ⁿn² Vamos aplicar o teste da raiz aₙ 2ⁿn² Calculando o limite limₙ ⁿ2ⁿn² limₙ 2 n2n 2 Como L 2 1 a série ₙ₁ 2ⁿn² é divergente d ₙ₁ n3ⁿ Vamos aplicar o teste da raiz aₙ n3ⁿ Calculando o limite limₙ ⁿn3ⁿ limₙ n1n 3 13 Como L 13 1 a série ₙ₁ n3ⁿ é convergente Conclusão A série do item a é convergente A série do item b é convergente A série do item c é divergente A série do item d é convergente Questão 12 Enunciado Verifique se as séries alternadas a seguir convergem ou divergem a ₙ₁ 1ⁿ¹ 1n²7 b ₙ₁ 1ⁿ¹ n5ⁿ c ₙ₁ 1ⁿ 1 en d ₙ₁ 1ⁿ e²ⁿ1 e²ⁿ Resolução Para determinar a convergência de séries alternadas usamos o Teste de Leibniz que afirma que uma série alternada 1ⁿ aₙ converge se 1 aₙ 0 para todo n 2 aₙ₁ aₙ para todo n suficientemente grande ou seja aₙ é monótona decrescente 3 limₙ aₙ 0 Resolução Para determinar o raio de convergência R de uma série de potências podemos utilizar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz a n1 xⁿ n³ Aplicando o Teste da Razão an xⁿ n³ lim n an1 an lim n xⁿ1 n1³ n³ xⁿ lim n x n³ n1³ x lim n n n1³ x 1 x O raio de convergência é 1 R lim n x R 1 Análise nos extremos x 1 A série se torna n1 1 n³ que converge porque é uma psérie com p 3 1 x 1 A série se torna n1 1ⁿ n³ que também converge pela série alternada de Leibniz com an 1 n³ Portanto a série converge em x 1 b n1 xⁿ nⁿ Aplicando o Teste da Raiz an xⁿ nⁿ lim n nan lim n x n 0 Como o limite é zero para todo x o raio de convergência é R Análise nos extremos A série converge para qualquer valor de x pois R c n4 xⁿ n3 Aplicando o Teste da Razão an xⁿ n3 lim n an1 an lim n xⁿ1 n2 n3 xⁿ x lim n n3 n2 x 1 x O raio de convergência é R 1 Análise nos extremos x 1 A série se torna n4 1 n3 n4 1 n3 que diverge porque é a série harmônica x 1 A série se torna n4 1ⁿ n3 que converge pela série alternada de Leibniz com an 1 n3 Portanto a série converge em x 1 e diverge em x 1 a n1 1ⁿ¹ 1 n²7 Vamos verificar as condições do Teste de Leibniz 1 an 1 n²7 0 para todo n 2 an1 1 n1²7 1 n²7 an pois o denominador cresce conforme n aumenta tornando an monótona decrescente 3 lim n an lim n 1 n²7 0 Como todas as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas a série n1 1ⁿ¹ 1 n²7 é convergente b n1 1ⁿ¹ n 5ⁿ Vamos verificar as condições do Teste de Leibniz 1 an n 5ⁿ 0 para todo n 2 an1 n1 5ⁿ¹ precisa ser comparado com an n 5ⁿ Vamos analisar a razão an1 an an1 an n1 5ⁿ¹ 5ⁿ n n1 5n1 5ⁿ n n n1 5n 1 Portanto an1 an e an é monótona decrescente 3 lim n an lim n n 5ⁿ 0 porque o exponencial no denominador domina o crescimento linear do numerador Como todas as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas a série n1 1ⁿ¹ n 5ⁿ é convergente c n1 1ⁿ 1 eⁿ Vamos verificar as condições do Teste de Leibniz 1 an 1 eⁿ 0 para todo n 2 Vamos analisar se an é decrescente an1 1 en1 1 1 e eⁿ 1 eⁿ an Portanto an é decrescente 3 lim n an lim n 1 eⁿ 1 Como lim n an 0 a série n1 1ⁿ 1 eⁿ diverge d n1 1ⁿ n e²ⁿ¹ e²ⁿ Vamos verificar as condições do Teste de Leibniz 1 an e²ⁿ¹ e²ⁿ 1 1 e²ⁿ 0 para todo n 2 Vamos analisar se an é decrescente an1 1 1 e²ⁿ¹ 1 1 e²ⁿ e² 1 1 e²ⁿ an Portanto an é decrescente 3 lim n an lim n 1 1 e²ⁿ 1 Como lim n an 0 a série n1 1ⁿ n e²ⁿ¹ e²ⁿ diverge Conclusão As séries dos itens a e b são convergentes As séries dos itens c e d são divergentes Questão 13 Enunciado Determine o raio de convergência das séries de potências a n1 xⁿ n³ b n1 xⁿ nⁿ c n4 xⁿ n3 d n4 xⁿ eⁿ d n4 xⁿ eⁿ 1 Simplificando a expressão e aplicando o Teste da Razão an xⁿ eⁿ lim n an1 an lim n x e x e O raio de convergência é R 1 e Análise nos extremos x 1 e A série se torna n4 1ⁿ n4 1 que diverge x 1 e A série se torna n4 1ⁿ n4 1ⁿ que também diverge Portanto a série converge em x 1 e e diverge nos extremos x 1 e Conclusão A série do item a converge para x 1 A série do item b converge para qualquer x raio de convergência R A série do item c converge para x 1 e diverge em x 1 A série do item d converge para x 1 e e diverge nos extremos x 1 e