Lista de Exercícios 3 Análise Real

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TEC DO PIAUÍ IFPI COORDENAÇÃO DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CAMPUS CAMPO MAIOR Avenida Raimundo Doca da Silva SN Fazendinha CEP 64280000 Lista de Exercícios III Análise Real 1 Calcule os 5 primeiros termos das sequências a seguir a n3 n2 3n 1 b n1n3 c cos nπ d 1nn e xn tal que x1 1 x2 1 e xn2 xn1 xn Sequência de Fibonacci 2 Determine quais das seguintes sequências são ou não monótonas a n2 1n2 b cos nπ c 32 d n1n3 e 10nn 3 Para cada uma das sequências xn tome l ε ℝ dados com ε 0 e obtenha um n0 ℕ tal que xn l ε para todo n n0 a xn 1n23 l 0 e ε 00002 b xn n1n2 l 1 e ε 0001 c xn 2n22n23n2 l 2 e ε 105 4 Dado ε 0 arbitrário determine os possíveis valores de n0 ℕ em função do ε fixado para os quais vale a desigualdade xn l ε para todo n n0 quando a xn n2n21 e l 1 b xn 1nn e l 0 c xn 2n22n4n22n3 e l 2 5 Utilizando as propriedades aritméticas do limite de sequências calcule os seguintes limites a limn 3n24n22n21 b limn n2 n n c limn 1n2 2n2 nn2 6 Mostre que limn 2n senn 0 7 Utilizando a definição de limite de sequências mostre que limn 3n24nn2n4 3 8 Se lim xn l prove que limxn l 9 Sejam k ℕ e a 0 Se a xn nk para todo n ℕ prove que lim nxn 1 10 Responda o que se pede a Seja xn uma sequência de números reais Prove que se xn 0 para todo natural n e lim xn1xn l 1 então lim xn 0 b Use o resultado do item a para mostrar que limn nnn 0 c Use o fato do item a para mostrar que limn cnn 0 onde c é uma constante real 11 Dadas as sequências xn e yn defina zn pondo z2n1 xn e z2n yn Se lim xn lim yn a prove que lim zn a 12 Dado a ℝ defina indutivamente a sequência xn pondo x1 a e xn1 a xn Mostre que xn é convergente e calcule seu limite 13 Considere a sequência xn dada por x1 4 e xn xn12 1xn1 para n 1 a Mostre que xn é decrescente b Mostre que ela é limitada inferiormente c Conclua que xn é convergente e calcule seu limite 14 Prove que se uma sequência xn converge para um limite l e se A l B então existe n0 ℕ tal que n n0 implica em A xn B sendo A B ℝ 15 Mostre que a lim 5x3 4n2 7 b lim n2 1 n h com h ℕ 16 Prove que lim nn 17 Dizse que xn é uma Sequência de Cauchy quando para todo ε 0 dado existe n0 ℕ tal que mn n0 xm xn ε Responda o que se pede a Mostre que toda sequência de Cauchy é limitada b Seja 0 c 1 Supondo que xn seja tal que xn2 xn1 c xn1 xn para todo n ℕ prove que xn é uma sequência de Cauchy Observações Dentre as 17 questões deste caderno escolha 9 para responder e entregar Data de entrega da atividade 25042024 BONS ESTUDOS MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TEC DO PIAUÍ IFPI COORDENAÇÃO DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CAMPUS CAMPO MAIOR Avenida Raimundo Doca da Silva SN Fazendinha CEP 64280000 Lista de Exercícios II Análise Real 1 Reduza à forma de fração ordinária as dízimas periódicas a seguir a 0777 b 1555 c 32727 d 19203203 e 021345345 2 Prove que p é irracional onde p 1 é um número primo qualquer 3 Se a e b são números irracionais é verdade que ab2 é irracional Prove a veracidade dessa afirmação ou dê um contraexemplo mostrando que ela é falsa 4 Mostre que a A soma ou a diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional Mostre com um contraexemplo que o produto de dois números irracionais pode ser racional b O produto de um número irracional por um número racional diferente de zero é um número irracional 5 Prove que se xy ℝ ℚ são tais que x2 y2 ℚ 0 então x y e x y são ambos irracionais 6 Prove as seguintes unicidades a Se x u x para todo x ℝ então u 1 b Se x y 1 para todo x ℝ 0 então y x1 7 Dados abcd ℝ sendo b 0 e d 0 Mostre que a ab cd adbd b ab cd acbd 8 Se ab ℝ 0 prove que ab1 a1 b1 e conclua que ab1 ba 9 Se x1y1 x2y2 x3y3 xnyn no corpo ℝ prove que dados a1 a2 a3 an ℝ tais que a1 y1 a2 y2 a3 y3 an yn 0 então temse a1 x1 a2 x2 a3 x3 an xn a1 y1 a2 y2 a3 y3 an yn x1y1 10 Dados xy ℝ se x2 y2 0 mostre que x y 0 11 Prove por indução que 1 xn 1 nx nn12 x2 para x 0 12 Mostre que se 0 a b então a ab ab2 b 13 Se a1b1 a2b2 a3b3 anbn pertencem ao intervalo αβ e b1 b2 b3 bn são positivos prove que a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn α β b Nas mesmas condições se t1t2t3tn R mostre que t1a1 t2a2 t3a3 tnan t1b1 t2b2 t3b3 tnbn αβ 14 Prove que a b ε a b ε para quaisquer ab R 15 No corpo ordenado R exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de intervalos a A x R x2 2 1 b B x R x 3 x 3 8 c C x R x 5 x 1 16 Prove que para todo x R temse x 1 x 2 x 3 2 17 Seja A 1n n N Mostre que inf A 0 e sup A 1 18 Dados dois conjuntos AB R não vazios e limitados Defina o conjunto A B x y x A e y B Prove que infA B infA infB e supA B supA supB Observações Dentre as 18 questões deste caderno escolha 9 para responder e entregar Data de entrega da atividade 26032024 BONS ESTUDOS