Questionário

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TEC DO PIAUÍ IFPI COORDENAÇÃO DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CAMPUS CAMPO MAIOR Avenida Raimundo Doca da Silva SN Fazendinha CEP 64280000 Lista de Exercícios V Análise Real 1 Use o teste da razão para determinar se a série é convergente divergente ou se o teste é inconclusivo a Σ n1 5n b Σ n1 1ⁿ¹ n2ⁿ c Σ n1 nmn d Σ n1 1ⁿ n2nn1 2 Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente divergente ou se o teste é inconclusivo a Σ n1 1lnnⁿ b Σ n1 1ⁿ 32n1n2n c Σ n1 eⁿ11n3n d Σ n1 1ⁿ¹ n⁵5ⁿ 3 Determine o raio de convergência das séries de potências a seguir a Σ n0 n² x2n2ⁿ b Σ n0 xⁿn2 c Σ n1 n² x1ⁿ5ⁿ d Σ n1 n x5nnⁿ e Σ n1 3ⁿ x2ⁿ¹n1 4 Sejam uma função f X ℝ com X ℝ e a X Defina limite da função f no ponto a Esboce graficamente 5 Usando a definição de limite de uma função prove que a lim x4 2x 1 9 b lim x3 x² 9x 3 6 c lim x12 3x² 8x 3x 3 52 d lim x2 6x² 13x 5 3 6 Prove que se lim xa fx L então lim xa fx L 7 Suponha que lim xa fx L Prove que existem r 0 M N ℝ tais que para todo x Df 0 x a r M fx N Intérprete graficamente 8 Seja f X ℝ com X ℝ uma função tal que para todo x X 1 temse x² 3x fx x² 1x 1 Calcule lim x1 fx e justifique 9 Sejam fg X ℝ com X ℝ funções tais que fx⁴ gx⁴ 4 Calcule e justifique lim x3 fx ³x² 9 10 Utilizando o Limite Trigonométrico Fundamental calcule a lim x0 sen3xx c lim x0 x²senx e lim x0 3x²tgx senx b lim x0 tg3xsen2x d lim x0 1 cosxx f lim x1 senπxx 1 11 Calcule os limites a seguir explicitando as propriedades aritméticas do limite empregadas durante o processo a lim x2 x² 4x 3 d lim x7 x² 49x 7 g lim x0 x1 1x j lim x2 x³ x² x 10x² 3x 2 b lim x4 3x 25x 1 e lim x32 4x² 92x 3 h lim x5 x 5x5 10 c lim x4 ³x² 3x 92x² x 1 f lim y2 y³ 8y 2 i lim x3 ³x ³3x 3 12 Mostre que lim x0 sen1x não existe para isto use a relação entre limite de função e sequências Prove que lim x0 x sen1x 0 13 Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado se existir se não existir indique a razão disto a fx 2x 1 se x 3 10 x se x 3 I lim x3 fx II lim x3 fx III lim x3 fx b gx x² 4 se x 2 0 se x 2 4 x² se x 2 I lim x2 gx II lim x2 gx III lim x2 gx c hx x 1x 1 I lim x1 hx II lim x1 hx III lim x1 hx d Lx x 1 se x 1 x² se 1 x 1 2 x se x 1 I lim x1 Lx II lim x1 Lx III lim x1 Lx IV lim x1 Lx VI lim x1 Lx VII lim x1 Lx 14 Aplicando a definição de limite de funções no infinito prove que lim x x²1x²1 1 15 Use as propriedades operatórias de limites de funções no infinito para calcular a lim x 2x1x3 c lim x 3x² x 1x³ 7 e lim x x 1 x 3 b lim x x² 3x 54x² x 2 d lim x x² 13x 2 16 Responda o que se pede a Calcule lim x x³ 3x 12x³ 6x 1 b Mostre que existe A 0 tal que x A 14 x³ 3x 12x³ 6x 1 34 17 Calcule a lim x x 1x 3 c lim x3 53 x e lim x3 x² 2x 3x² 6x 9 b lim x 2x x² 3 d lim x12 42x 1 18 Sabendo que lim x 1 1xx e calcule os valores dos limites a seguir a lim x 1 3x2x b lim x x 1x 1x c lim x0 1 5x2x d lim x0 3x 1x 19 Sabese que f é contínua em 2 e que f2 8 Mostre que existe δ 0 tal que para todo x Df 2 δ x 2 δ fx 7 20 Verifique que a função é descontínua no ponto a dado Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial Se a descontinuidade for removível redefina fa de tal modo que seja removida a fx 9x² 43x 2 se x 23 3 se x 23 a 23 b fx 9 x² se x 2 3x 1 se x 2 a 2 c fx 3 x 9x se x 9 e x 0 6 se x 0 a 0 d fx x 3x 3 se x 3 1 se x 3 a 3 21 Responda o que se pede a Dê um exemplo de uma função f tal que f não é contínua em ℝ mas f é contínua em ℝ b Prove que se f é contínua em a então f também é contínua em a c Suponhamos que uma função f satisfaz fx y fx fy e que f é contínua em 0 Prove que f é contínua em ℝ 22 Seja f 01 01 uma função contínua Responda a Mostre que existe x 01 tal que fx x b Mostre também que existe x 01 tal que fx 1 x c Prove o seguinte fato mais geral Se g é contínua em 01 e g0 0 g1 1 ou g0 1 g1 0 então fc gc para algum c em 01 23 Seja f ab ℝ uma função contínua tal que fa a e fb b Nestas condições mostre que existe pelo menos um número real c ab tal que fc c Observações Dentre as 23 questões deste caderno escolha 15 para responder e entregar Data de entrega no dia de realização da 3ª prova escrita da disciplina BONS ESTUDOS b lim x0 tg3xsen2x d lim x0 1 cosxx f lim x1 senπxx 1 a lim x x 1x 3 c lim x3 53 x e lim x3 x² 2x 3x² 6x 9 b lim x 2x x² 3 d lim x12 42x 1 18 Sabendo que lim x 1 1xx e calcule os valores dos limites a seguir a lim x 1 3x2x b lim x x 1x 1x c lim x0 1 5x2x d lim x0 3x 1x 19 Sabese que f é contínua em 2 e que f2 8 Mostre que existe δ 0 tal que para todo x Df 2 δ x 2 δ fx 7 20 Verifique que a função é descontínua no ponto a dado Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial Se a descontinuidade for removível redefina fa de tal modo que seja removida a fx 9x² 43x 2 se x 23 3 se x 23 a 23 b fx 9 x² se x 2 3x 1 se x 2 a 2 c fx 3 x 9x se x 9 e x 0 6 se x 0 a 0 d fx x 3x 3 se x 3 1 se x 3 a 3 21 Responda o que se pede a Dê um exemplo de uma função f tal que f não é contínua em ℝ mas f é contínua em ℝ b Prove que se f é contínua em a então f também é contínua em a c Suponhamos que uma função f satisfaz fx y fx fy e que f é contínua em 0 Prove que f é contínua em ℝ 22 Seja f 01 01 uma função contínua Responda a Mostre que existe x 01 tal que fx x b Mostre também que existe x 01 tal que fx 1 x c Prove o seguinte fato mais geral Se g é contínua em 01 e g0 0 g1 1 ou g0 1 g1 0 então fc gc para algum c em 01 23 Seja f ab ℝ uma função contínua tal que fa a e fb b Nestas condições mostre que existe pelo menos um número real c ab tal que fc c Observações Dentre as 23 questões deste caderno escolha 15 para responder e entregar Data de entrega no dia de realização da 3ª prova escrita da disciplina BONS ESTUDOS 13 a Seja fx 2x1 se x 3 10x se x 3 I Temos que lim x3 fx lim x3 10x 7 II Temos lim x3 fx lim x3 2x1 7 III Como lim x3 fx lim x3 fx segue que lim x3 fx existe e lim x3 fx 7 b Considere gx x²4 se x 2 0 se x0 4x² se x 2 Agora temos que lim x2 gx lim x2 4x² 0 e lim x2 gx lim x2 x²4 0 Portanto vale que lim x2 gx existe e lim x2 gx 0 c seja hx x1x1 Observe que x1 x1 se x1 x1 se x1 Desta forma hx x1x1 1 se x 1 x1x1 1 se x1 Logo lim x1 hx lim x1 1 1 e lim x1 hx lim x1 1 1 Portanto como os limites laterais lim x1 hx e lim x1 hx não são iguais segue que o limite lim x1 hx não existe d Considere Lx x1 se x 1 x² se 1 x 1 2x se x 1 Temos que lim x1 Lx lim x1 x1 0 lim x1 Lx lim x1 x² 1 lim x1 Lx lim x1 x² 1 lim x1 Lx lim x1 2x 1 Como lim x1 Lx 0 1 lim x1 Lx segue que lim x1 Lx não existe Por outro lado temos que lim x1 Lx 1 lim x1 Lx e portanto lim x1 Lx existe e lim x1 Lx 1 17 a lim x x1x3 Observe que x1x3 x121x3 x12 1x1 3x Como lim x x12 lim x 1x lim x 3x 0 temos que lim x x1x3 01 0 b lim x 2x x²3 Observe que x² x x x 0 x x 0 Assim para x 0 2x x²3 2x x²1 3x² 2x x1 3x² x2 1 3x² Por outro lado lim x 2 1 3x² 2 1 1 Portanto lim x 2x x²3 lim x x2 1 3x² c lim x3 53x Como 3x 0 para todo x 3 temos que 3x é negativo para x 3 Portanto lim x3 53x d lim x12 42x1 Para x12 temos que 2x10 Assim 2x1 assume valores positivos para x12 e portanto lim x12 42x1 e lim x3 x22x3 x26x9 Temos que x22x3 x3x1 e x26x9 x32 Assim lim x3 x22x3 x26x9 lim x3 x3x1 x32 lim x3 x1 x3 pois x30 para x3 Portanto lim x3 x22x3 x26x9 k0 a fx 9x24 3x2 se x 23 3 se x 23 a 23 Primeiro note que 3x22 9x2 12x 4 9x2 4 12x 8 Assim 9x243x2 3x22 12x 8 3x2 3x223x2 43x23x2 3x24 3x2 Portanto lim x23 9x24 3x2 lim x23 3x2 0 3 f23 ou seja fx não é contínua em a 23 Por outro lado como lim x23 fx existe e lim x23 fx f23 temos que a descontinuidade em x 23 é removível Agora redefinindo f23 0 obtemos que fx 9x2 4 3x2 se x 23 0 se x 23 é contínua em x a 23 b fx 9 x2 se x 2 3x 1 se x 2 a 2 Veja que lim x2 fx lim t2 9 t2 5 e lim x2 fx lim t2 3t 1 7 Como lim x2 fx 5 7 lim x2 fx segue que fx não é contínua em x 2 Portanto a descontinuidade em x 2 não é removível c fx 3 x9 x se x 9 e x 0 6 se x 0 a 0 Temos que 3 x9 x 3 x9 x 3 x9 3 x9 9 x 9 x3 x9 x x3 x9 1 3 x9 Assim lim x0 fx lim x0 1 3 x9 1 3 3 16 Logo lim x0 fx 6 f0 e f é descontínua em x 0 Como lim x0 fx 16 podemos definir f0 16 de tal forma que fx 3 x9x se x 9 e x 0 16 se x 0 é contínua em x 0 d fx x3 x3 se x 3 1 se x 3 a 3 Temos que x3 x3 se x 3 x3 se x 3 Assim fx x3 x3 se x 3 1 se x 3 x3 x3 1 se x 3 1 se x 3 x3 x3 1 se x 3 Logo lim x3 fx lim x3 1 1 e lim x3 fx lim x3 1 1 Como tais limites laterais em x 3 são diferentes segue que a descontinuidade de fx em x 3 é essencial 22 Seja f 01 01 uma função contínua a Se f0 0 ou f1 1 então o resultado vale para x 0 ou x 1 Suponha que f0 0 e f1 1 Defina a função g 01 R x fx x Como f é contínua temos que g também o é Assim g0 f0 0 e g1 f1 1 0 pois f1 1 Portanto como g é contínua com g1 0 e g0 0 segue que existe um x 01 tal que gx 0 ou seja fx x 0 Portanto existe x 01 tal que fx x b Considere a função gx fx 1 x sobre 01 Como fx é contínua gx também é contínua Além disso g0 f0 1 0 e g1 f1 0 Se f0 1 ou f1 0 temos que f0 1 0 ou f1 1 1 e o resultad é válido para x0 ou x1 Caso contrário obtemos que g0 0 e g1 0 Portanto pelo Teorema do Valor Intermediário existe x 01 tal que gx 0 ie fx 1 x c Suponha que g 01 R é uma função contínua tal que g0 0 e g1 1 Defina hx fx gx sobre 01 Observe que se f0 0 e f1 1 então f0 g0 ou f1 g1 não há o que mostrar Suponha então que f0 0 e f1 1 Assim temos que h0 f0 g0 f0 0 e h1 f1 g1 f1 1 0 Como f e g são contínuos temos que h é contínua em 01 e portanto pelo Teorema do Valor Intermediário segue que existe c 01 tal que hc 0 Assim fc gc 0 isto é fc gc como desejado O caso g0 1 ou g1 0 é análogo a diferença é que podemos supor que f0 1 e f1 0 Desta forma h0 f0 1 0 e h1 f1 0 e o resultado segue pelo Teorema do Valor Intermediário