Lista de Exercício

1 a Xn n3 n2 3n 1 Temos X1 1 1 3 1 2 X2 4 2 6 1 7 X3 9 3 9 1 14 X4 16 4 1 23 X5 25 5 15 1 34 Portanto x1 2 x2 7 x3 14 x4 23 e x5 34 b Xn n1n3 Temos X1 1113 04 0 X2 2123 15 X3 3133 26 13 X4 4143 37 6 Mostre que lim n 2n senn 0 7 Utilizando a definição de limite de sequências mostre que lim n 3n2 4nn2 n 4 3 8 Se lim xn l prove que lim xn l 9 Sejam k N e a 0 Se a xn nk para todo n N prove que lim nxn 1 10 Responda o que se pede a Seja xn uma sequência de números reais Prove que se xn 0 para todo natural n e lim xn1 xn l 1 então lim xn 0 b Use o resultado do item a para mostrar que lim n nnn 0 c Use o fato do item a para mostrar que lim n cn n 0 onde c é uma constante real 11 Dadas as sequências xn e yn defina zn pondo z2n1 xn e z2n yn Se lim xn lim yn a prove que lim zn a 12 Dado a R defina indutivamente a sequência xn pondo x1 a e xn1 a xn Mostre que xn é convergente e calcule seu limite 13 Considere a sequência xn dada por x1 4 e xn xn12 1xn1 para n 1 a Mostre que xn é decrescente b Mostre que ela é limitada inferiormente c Conclua que xn é convergente e calcule seu limite 14 Prove que se uma sequência xn converge para um limite l e se A l B então existe n0 N tal que n n0 implica em A xn B sendo A B R 15 Mostre que a lim 5x3 4n2 7 b lim n21 nh com h N 16 Prove que lim nn 17 Dizse que xn é uma Sequência de Cauchy quando para todo ε 0 dado existe n0 N tal que mn n0 xm xn ε Responda o que se pede a Mostre que toda sequência de Cauchy é limitada b Seja 0 c 1 Supondo que xn seja tal que xn2 xn1 cxn1 xn para todo n N prove que xn é uma sequência de Cauchy Observações Dentre as 17 questões deste caderno escolha 9 para responder e entregar Data de entrega da atividade 25042024 BONS ESTUDOS MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TEC DO PIAUÍ IFPI COORDENAÇÃO DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CAMPUS CAMPO MAIOR Avenida Raimundo Doca da Silva SN Fazendinha CEP 64280000 Lista de Exercícios III Análise Real 1 Calcule os 5 primeiros termos das sequências a seguir a n3 n2 3n 1 b n1n3 c cos nπ d 1n n e xn tal que x1 1 x2 1 e xn2 xn1 xn Sequência de Fibonacci 2 Determine quais das seguintes sequências são ou não monótonas a n2 1n2 b cos nπ c 32 d n1n3 e 10nn 3 Para cada uma das sequências xn tome lε R dados com ε 0 e obtenha um n0 N tal que xn l ε para todo n n0 a xn 1n23 l 0 e ε 00002 b xn n1n2 l 1 e ε 0001 c xn 2n22n23n2 l 2 e ε 105 4 Dado ε 0 arbitrário determine os possíveis valores de n0 N em função do ε fixado para os quais vale a desigualdade xn l ε para todo n n0 quando a xn n2n21 e l 1 b xn 1nn e l 0 c xn 2n22n4n22n3 e l 2 5 Utilizando as propriedades aritméticas do limite de sequências calcule os seguintes limites a lim n 3n24n22n21 b lim n n2 n n c lim n 1n2 2n2 nn2 X5 5 1 5 3 4 8 1 2 Portanto X1 0 X2 1 5 X3 1 3 X4 3 7 X5 1 2 c Xn cos n pi X1 cos pi 1 X2 cos 2 pi 1 X3 cos 3 pi 1 X4 cos 4 pi 1 X5 cos 5 pi 1 Logo X1 1 X2 1 X3 1 X4 1 X5 1 c Xn 1n n X1 11 1 11 1 1 X2 12 2 12 2 1 2 X3 13 3 16 6 1 6 X4 14 4 124 24 1 24 X5 15 5 1120 120 1 120 Logo X1 1 X2 1 2 X3 1 6 X4 1 24 e X5 1 120 e X1 1 X2 1 e Xn2 Xn1 Xn Temos X3 X2 X1 2 X4 X3 X2 2 1 3 X5 X4 X3 3 2 5 Logo X1 1 X2 1 X3 2 X4 3 e X5 5 A Função seno oscila entre 1 e 1 ou seja n N temos 1 senn 1 Multiplicando todos os membros da desigualdade por 2ⁿ 1 2ⁿ 2ⁿ senn 1 2ⁿ 12ⁿ 12ⁿ senn 12ⁿ lim 12ⁿ lim 12ⁿ senn lim 12ⁿ 0 lim 12ⁿ senn 0 Portanto pelo Teorema do Confronto temos lim 2ⁿ senn 0 Dado a 0 e k ℕ tais que a xₙ nᵏ temos que a sequência xₙ é limitada isto é 0 xₙ nᵏ Como xₙ é uma sequência monótona e limitada logo é convergente Suponha lim ⁿxₙ L Afirmamos que L 0 De fato se xₙ 1 então L sup ⁿxₙ n ℕ t xₙ se 0 xₙ 1 então L inf ⁿxₙ n ℕ t 1 Considere a subsequência ⁿxₙ ²xₙ₁ ⁶x₂ ⁴x₃ ²⁰x₄ Vamos mostrar que lim ⁿⁿ¹xₙ 1 Como a subsequência ⁿⁿ¹xₙ é subsequência de uma sequência convergente logo L lim ⁿⁿ¹xₙ lim xₙ¹ⁿ¹ lim xₙ ¹ₙ¹ₙ₁ lim xₙ¹ₙ xₙ¹ₙ₁ L L 1 Portanto lim ⁿxₙ 1 Suponha que lim xₙ l então dado ε 0 existe n₀ ℕ tal que n n₀ xₙ l ε Queremos mostrar que lim xₙ l ou seja dado ε 0 existe n₀ ℕ tal que n n₀ xₙ l ε Sabemos que no conjunto dos números reais vale xₙ l xₙ l Logo xₙ l xₙ l ε n n₀ Daí se n n₀ então xₙ l ε Portanto lim xₙ l Sejam xₙ e yₙ duas sequências Defina a sequência zₙ como z₂k1 xₙ e z₂k yₙ n ℕ Temos que xₙ e yₙ são subsequências de zₙ Suponha que lim xₙ lim yₙ a Então dado ε 0 existem n₁ n₂ ℕ tais que n n₁ xₙ a ε e n n₂ yₙ a ε Tome n₀ max 2n₁ 1 2n₂ temos se n n₀ então com n 2k 1 temos 2k 1 n₀ 2k 1 2n₁ 1 k n₁ Como k n₁ segue que xₖ a ε logo z₂k1 a xₖ a ε Isto implica zₙ a ε para cada n 2k 1 com k ℕ Se n no com n 2k temos 2K no 2K 2no K no Sendo K no então yk a ε logo 3n a y2k a yk a ε Implicando que 3n a ε para cada n 2k com k N Portanto n no 3n a ε ou seja lim 3n a 14 Suponha que lim xn l e A l B com A B IR Como A l B então 0 l A B l 0 A l e l B logo definimos ε min l A B l 0 logo existe no N tal que n no xn l ε l ε xn l ε Se ε l A então l l A xn l l A A xn 2l A 1 Se ε B l temos l B l xn l B l B xn B 2 Portanto de 1 e 2 segue que A xn B