Lista de Questões de Análise Real

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TEC DO PIAUÍ IFPI COORDENAÇÃO DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CAMPUS CAMPO MAIOR Avenida Raimundo Doca da Silva SN Fazendinha CEP 64280000 Lista de Exercícios III Análise Real 1 Calcule os 5 primeiros termos das sequências a seguir a n³ n² 3n 1 b n1n3 c cos nπ d 1nn e xn tal que x₁ 1 x₂ 1 e xₙ₂ xₙ₁ xₙ Sequência de Fibonacci 2 Determine quais das seguintes sequências são ou não monótonas a n² 1n² b cos nπ c ³2 d n1n3 e 10ⁿn 3 Para cada uma das sequências xₙ tome l ε ℝ dados com ε 0 e obtenha um n₀ ℕ tal que xₙ l ε para todo n n₀ a xₙ 1n2³ l 0 e ε 00002 b xₙ n1n2 l 1 e ε 0001 c xₙ 2n²2n²3n2 l 2 e ε 10⁵ 4 Dado ε 0 arbitrário determine os possíveis valores de n₀ ℕ em função do ε fixado para os quais vale a desigualdade xₙ l ε para todo n n₀ quando a xₙ n²n²1 e l 1 b xₙ 1ⁿn e l 0 c xₙ 2n²2n4n²2n3 e l 2 5 Utilizando as propriedades aritméticas do limite de sequências calcule os seguintes limites a lim n 3n²4n22n²1 b lim n n² n n c lim n 1n² 2n² nn² 6 Mostre que lim n 2ⁿ senn 0 7 Utilizando a definição de limite de sequências mostre que lim n 3n²4nn²n4 3 8 Se lim xₙ l prove que lim xₙ l 9 Sejam k ℕ e a 0 Se a xₙ nᵏ para todo n ℕ prove que lim nxₙ 1 10 Responda o que se pede a Seja xₙ uma sequência de números reais Prove que se xₙ 0 para todo natural n e lim xₙ₁xₙ l 1 então lim xₙ 0 b Use o resultado do item a para mostrar que lim n nnⁿ 0 c Use o fato do item a para mostrar que lim n cⁿn 0 onde c é uma constante real 11 Dadas as sequências xₙ e yₙ defina zₙ pondo z₂ₙ₁ xₙ e z₂ₙ yₙ Se lim xₙ lim yₙ a prove que lim zₙ a 12 Dado a ℝ defina indutivamente a sequência xₙ pondo x₁ a e xₙ₁ a xₙ Mostre que xₙ é convergente e calcule seu limite 13 Considere a sequência xₙ dada por x₁ 4 e xₙ xₙ₁2 1xₙ₁ para n 1 a Mostre que xₙ é decrescente b Mostre que ela é limitada inferiormente c Conclua que xₙ é convergente e calcule seu limite 14 Prove que se uma sequência xₙ converge para um limite l e se A l B então existe n₀ ℕ tal que n n₀ implica em A xₙ B sendo A B ℝ 15 Mostre que a lim 5x³ 4n² 7 b lim n² 1 n h com h ℕ 16 Prove que lim nn 17 Dizse que xₙ é uma Sequência de Cauchy quando para todo ε 0 dado existe n₀ ℕ tal que m n n₀ xₘ xₙ ε Responda o que se pede a Mostre que toda sequência de Cauchy é limitada b Seja 0 c 1 Supondo que xₙ seja tal que xₙ₂ xₙ₁ cxₙ₁ xₙ para todo n ℕ prove que xₙ é uma sequência de Cauchy Observações Dentre as 17 questões deste caderno escolha 9 para responder e entregar Data de entrega da atividade 25042024 BONS ESTUDOS