Questionário

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TEC DO PIAUÍ IFPI COORDENAÇÃO DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CAMPUS CAMPO MAIOR Avenida Raimundo Doca da Silva SN Fazendinha CEP 64280000 Lista de Exercícios V Análise Real 1 Use o teste da razão para determinar se a série é convergente divergente ou se o teste é inconclusivo a ₙ₁ 5n b ₙ₁ 1ⁿ¹ n2ⁿ c ₙ₁ nⁿn d ₙ₁ 1ⁿ n2nn1 2 Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente divergente ou se o teste é inconclusivo a ₙ₁ 1lnnⁿ b ₙ₁ 1ⁿ 32n1n²ⁿ c ₙ₁ eⁿ11n³ⁿ d ₙ₁ 1ⁿ¹ n⁵5ⁿ 3 Determine o raio de convergência das séries de potências a seguir a ₙ₀ n² x²ⁿ2ⁿ b ₙ₀ xⁿn2 c ₙ₁ n² x1ⁿ5ⁿ d ₙ₁ n x⁵ⁿnⁿ e ₙ₁ 3ⁿ x2ⁿ¹n1 4 Sejam uma função f X ℝ com X ℝ e a X Defina limite da função f no ponto a Esboce graficamente 5 Usando a definição de limite de uma função prove que a lim x4 2x 1 9 b lim x3 x² 9x 3 6 c lim x12 3x² 8x 3x 3 52 d lim x2 6x² 13x 5 3 6 Prove que se lim xa fx L então lim xa fx L 7 Suponha que lim xa fx L Prove que existem r 0 M N ℝ tais que para todo x Df 0 x a r M fx N Intérprete graficamente 8 Seja f X ℝ com X ℝ uma função tal que para todo x X 1 temse x² 3x fx x²1x1 Calcule lim x1 fx e justifique 9 Sejam f g X ℝ com X ℝ funções tais que fx⁴ gx⁴ 4 Calcule e justifique lim x3 fx x² 9 10 Utilizando o Limite Trigonométrico Fundamental calcule a lim x0 sen3xx c lim x0 x²senx e lim x0 3x²tgxsenx b lim x0 tg3xsen2x d lim x0 1cosxx f lim x1 senπxx1 11 Calcule os limites a seguir explicitando as propriedades aritméticas do limite empregadas durante o processo a lim x2 x² 4x 3 d lim x7 x² 49x7 g lim x0 x1 1x j lim x2 x³ x² x 10x² 3x 2 b lim x4 3x 25x 1 e lim x32 4x² 92x 3 h lim x5 x 5x 5 10 c lim x4 ³x² 3x 92x² x 1 f lim y2 y³ 8y 2 i lim x3 ³x ³3x 3 12 Mostre que lim x0 sen1x não existe para isto use a relação entre limite de função e sequências Prove que lim x0 x sen1x 0 13 Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado se existir se não existir indique a razão disto a fx 2x 1 se x 3 10 x se x 3 I lim x3 fx II lim x3 fx III lim x3 fx b gx x² 4 se x 2 0 se x 2 4 x² se x 2 I lim x2 gx II lim x2 gx III lim x2 gx c hx x1x1 I lim x1 hx II lim x1 hx III lim x1 hx d Lx x 1 se x 1 x² se 1 x 1 2 x se x 1 I lim x1 Lx II lim x1 Lx III lim x1 Lx IV lim x1 Lx VI lim x1 Lx VII lim x1 Lx 14 Aplicando a definição de limite de funções no infinito prove que lim x x² 1x² 1 1 15 Use as propriedades operatórias de limites de funções no infinito para calcular a lim x 2x1x3 c lim x 3x² x 1x³ 7 e lim x x 1 x 3 b lim x x² 3x 54x² x 2 d lim x x² 13x 2 16 Responda o que se pede a Calcule lim x x³ 3x 12x³ 6x 1 b Mostre que existe A 0 tal que x A 14 x³ 3x 12x³ 6x 1 34 17 Calcule a lim x x1x3 b lim x 2x x² 3 c lim x3 53 x d lim x12 42x 1 e lim x3 x² 2x 3x² 6x 9 18 Sabendo que lim x 1 1xx e calcule os valores dos limites a seguir a lim x 1 3x2x b lim x x 1x 1x c lim x0 1 5x2x d lim x0 3x 1x 19 Sabese que f é contínua em 2 e que f2 8 Mostre que existe δ 0 tal que para todo x Df 2 δ x 2 δ fx 7 20 Verifique que a função é descontínua no ponto a dado Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial Se a descontinuidade for removível redefina fa de tal modo que seja removida a fx 9x² 43x 2 se x 23 3 se x 23 a 23 b fx 9 x²3x 1 se x 2 se x 2 a 2 c fx 3 x9x se x 9 e x 0 6 se x 0 a 0 d fx x3x3 se x 3 1 se x 3 a 3 21 Responda o que se pede a Dê um exemplo de uma função f tal que f não é contínua em ℝ mas f é contínua em ℝ b Prove que se f é contínua em a então f também é contínua em a c Suponhamos que uma função f satisfaz fx y fx fy e que f é contínua em 0 Prove que f é contínua em ℝ 22 Seja f 01 01 uma função contínua Responda a Mostre que existe x 01 tal que fx x b Mostre também que existe x 01 tal que fx 1 x c Prove o seguinte fato mais geral Se g é contínua em 01 e g0 0 g1 1 ou g0 1 g1 0 então fc gc para algum c em 0 1 23 Seja f a b ℝ uma função contínua tal que fa a e fb b Nestas condições mostre que existe pelo menos um número real c a b tal que fc c Observações Dentre as 23 questões deste caderno escolha 15 para responder e entregar Data de entrega no dia de realização da 3ª prova escrita da disciplina BONS ESTUDOS 1 Use o teste da razão para determinar se a série é convergente divergente ou se o teste é inconclusivo a n1 5n b n1 1n1 n 2n c n1 nn n d n1 1n n2 nn1 c an nn n Então Lim an1 an Lim n1n1 n1 n nn Lim n 1 n 1 n 1n n nn Lim n 1 nn Lim 1 1 nn e 1 Portanto pelo teste da razão a série diverge b an 1n n 2 n n 1 temos que Lim an1 an Lim 1n1 n 3 n 1 n 2 n n 1 1n n 2 Lim n n 3 n 22 Lim n2 3n n2 6n 4 Lim 1 3n 1 6n 4n 1 E o teste da razão é inconclusivo e nada pode se afirmar com esse teste sobre a convergência ou não da série 6 Prove que se limxa fx L então limxa fx L Se limxa fx L Então temos que ε 0 δ 0 tq xa δ fx L ε Agora veja que da desigualdade triangular temos fx L fx L Portanto para o mesmo δ acima temos que xa δ fx L fx L ε fx L ε Que é da definição de limite é equivalente a Limxa fx L que prova o desejado 7 Suponha que limxa fx L Prove que existem r 0 M N ℝ tais que para todo x Df 0 x a r M fx N Intérprete graficamente Se limxa fx L Então temos que ε 0 η 0 tq xa η fx L ε ε fx L ε L ε fx L ε M fx N com M L ε e N L ε Graficamente isso pode ser representado como A explicação é que na vizinhança do ponto a a função fx é limitada superiormente por N e inferiormente por M 8 Seja f X ℝ com X ℝ uma função tal que para todo x X 1 temse x² 3x fx x²1x1 Calcule limx1 fx e justifique Vamos calcular o limite pedido Como 81 relacionase com a fx temos que Limx1 x² 3x Limx1 fx Limx1 x²1x1 82 Agora veja que Limx1 x² 3x 1 3 2 Limx1 x²1x1 Limx1 x1x1x1 Limx1 x 1 2 Como Limx1 x² 3x Limx1 x²1x1 2 segue que pelo Teorema do Confronto que Limx1 fx 2 em virtude das desigualdades 81 e 82 18 Sabendo que limx 1 1xx e calcule os valores dos limites a seguir a limx 1 3x2x b limx x1x1x c limx0 1 5x2x d limx0 3x 1x a façamos 1u 3x x u3 Logo se x então u e temos Limx 1 3x2x Limu 1 1u2u3 Limu 1 1uu23 e23 b façamos x 1 p x p 1 Logo temos x1x1x p2pp1 1 2ppp1p 1 1u2u1 1 1uu2 Então Limx x1x1x Limu 1 1uu2 e² c Limx0 1 5x2x Seja 1u 5x 1x 5u Como x 0 então u 15x Logo Limx0 1 5x2x Limu 1 1u10u Limu 1 1uu10 e10 d Limx0 3x 1x Façamos t 3x 1 3x t 1 x lnt 1ln3 Então Limx0 3x 1x Limt0 t lnt1ln3 Limt0 ln3 t lnt 11t Façamos agora 1u t u e logo Limx0 3x 1x Limt0 ln3 t lnt11t Limu ln3ln1 1uu1 ln3 lnu1 ln3 Limx0 3x 1x ln3 19 Sabese que f é contínua em 2 e que f2 8 Mostre que existe δ 0 tal que para todo x Df 2 δ x 2 δ fx 7 Como a f é contínua em 2 e f2 8 então temos lim x 2 fx f2 8 Logo por definição de limite temos que δ 0 tq ε 0 temse x 2 δ fx f2 fx 8 ε Agora note que x 2 δ δ x 2 δ 2 δ x 2 δ e ainda fx 8 ε ε fx 8 ε fx 8 ε Como ε é arbitrário tomemos ε 1 Deste modo temos 2 δ x 2 δ fx 8 1 fx 7 Como desejado Sejam uma função f X ℝ com X ℝ e a X Defina limite da função f no ponto a Esboce graficamente Dada f X ℝ com X ℝ e a X Dizemos que o limite da função f no ponto a existe e sem perda de generalidade o chamamos de L se existe δ 0 tal que para todo número ε 0 a implicação x a δ fx L ε x X for satisfeita e denotamos isso por lim x a fx L Graficamente temos A explicação é que na vizinhança do ponto a X a função fx suficientemente próxima do valor L em torno de uma vizinhança de raio ε 0 16 Responda o que se pede a Calcule lim x x³ 3x 1 2x³ 6x 1 b Mostre que existe A 0 tal que x A 14 x³ 3x 1 2x³ 6x 1 34 a lim x x³ 3x 1 2x³ 6x 1 lim x x³1 3x² 1x³ x³ 2 6x² 1x³ lim x 1 3x² 1x³ 2 6x² 1x³ lim x 1 3x² 1x³ lim x 2 6x² 1x³ 12 Portanto lim x x³ 3x 1 2x³ 6x 1 12 b Pela definição de limites no infinito temos que A 0 tq x A x³ 3x 1 2x³ 6x 1 12 ε ε 0 Então como ε 0 é arbitrário tomemos ε 14 o que nos dá x A x3 3x 1 2x3 6x 1 12 ε 12 x3 3x 1 2x3 6x 1 12 14 14 x3 3x 1 2x3 6x 1 12 14 12 14 x3 3x 1 2x3 6x 1 12 14 14 x3 3x 1 2x3 6x 1 34 Ou seja obtemos que A 0 tq 14 x3 3x 1 2x3 6x 1 34 como desejado 14 Aplicando a definição de limite de funções no infinito prove que lim x x2 1 x2 1 1 Primeiro seja que lim x x2 1 x2 1 lim x x21 1x2 x21 1x2 lim x 1 1x2 lim x 1 1x2 1 Ou seja lim x x2 1 x2 1 1 Então veja que x2 1 x2 1 1 x2 1 x2 1 x2 1 2 x2 1 Como lim x x2 1 Então existe A 0 tq x A x2 1 M para todo M 0 Com isso tomemos ε2 1M pois x2 1 M 1x2 1 1M ε2 para x A De posse disso veja que desde que x A teremos x A x2 1 x2 1 1 2 x2 1 21M 2ε2 ε Ou seja obtemos como desejado x A x2 1 x2 1 1 ε lim x x2 1 x2 1 1 21 Responda o que se pede a Dê um exemplo de uma função f tal que f não é contínua em ℝ mas f é contínua em ℝ b Prove que se f é contínua em a então f também é contínua em a c Suponhamos que uma função f satisfaz fx y fx fy e que f é contínua em 0 Prove que f é contínua em ℝ a tome fx ℝ ℝ dada por fx 1 se x ℚ 1 se x ℝ ℚ Logo fx 1 1 Ou seja fx como definida é descontínua mas como fx 1 é a função constante igual a 1 que é contínua b Se fx é contínua em x a isto é lim xa fx fa então δ 0 tq ε 0 temos x a δ fx fa ε Agora veja que da desigualdade triangular temos fx fa fx fa ε Portanto para o mesmo δ acima temos que x a δ fx fa fx fa ε fx fa ε b que mostra a continuidade da fx em x a Use as propriedades operatórias de limites de funções no infinito para calcular a lim x 2x1x3 c lim x 3x2x1x37 e lim x x1 x3 b lim x x2 3x 54x2 x 2 d lim x x2 13x 2 a lim 2x1x3 Lim x2 1x x1 3x 21 2 b Lim x x2 3x 54x2 x 2 Lim x x2 1 3x 5x2 x2 4 1x 2x2 Lim x 1 3x 5x2 4 1x 2x2 14 Lim x x2 3x 54x2 x 2 14 c Lim x 3x2 x 1 x3 7 Lim x x2 3 1x 1x2 x2 x 1 7x3 Lim x 3 1x 1x2 x 1 7x3 Lim x 3x 0 Lim x 3x2 x 1x3 7 0 d Lim x x2 1 3x 2 temos Lim x x2 1 3x 2 Lim x x 1 1x2 x 3 2x Lim x 1 1x2 3 2x 13 13 e Lim x x 1 x 3 Lim x x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 Lim x x 1 x 3 x 1 x 3 Lim x 2 x 1 x 3 2 Lim x x 1 x 3 0 Lim x x 1 x 3 0 c fx é tq fx y fx fy e fx é contínua em x0 Note que f0 f0 0 f0 f0 2f0 f0 0 Então veja que como lim x0 fx f0 0 temos que x 0 δ fx ε Agora veja que dado y R arbitrário então vale que x 0 x y y δ fx ε pela continuidade da fx em x 0 Agora usando que fx y fx fy x y R temos que x 0 x y y δ fx fx y fy ε Ou seja z y δ fz fy ε com z x y e logo temos que lim zy fz fy y R e logo a fx é contínua na reta R e Lim x x 1 x 3 Lim x x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 Lim x x 1 x 3 x 1 x 3 Lim x 2 x 1 x 3 2 Lim x x 1 x 3 0 Lim x x 1 x 3 0 Definamos φx ab ℝ com φx x fx Como fx é contínua em ab então φx também é contínua em ab Agora veja que φa a fa 0 Pois fa a fa a a fa 0 φb b fb 0 Pois fb b fb b b fa 0 Então pelo teorema do valor intermediário existe c ab tal que φc 0 Como φx x fx segue que φc 0 c fc 0 fc c e temos o desejado