Álgebra 1

3114 Seja x IR Prove que 2x 16 0 equivale a x 8 Caso único seria resolver a equação 2x 16 0 2x 16 x 162 x 8 0520 E do a volta Você precisa provar uma equivalência 3117 Sejam A B conjuntos tais que A B Prove que x A x A B 1 x A x A B se x A e A B então x B como x A e x B logo x A B 2 x A B x A Linguagem equivocada Por definição A B A então x A Portanto x A x A B 2920 3124 Hip a e b são inteiros a é múltiplo de 12 ou b é múltiplo de 6 Prove que se a e b são inteiros tais que a é um múltiplo de 12 ou b é um múltiplo de 6 então 3ab2 6a2b é um múltiplo de 36 Caso 1 a é múltiplo de 12 a 12k como a é múltiplo de 12 então existe k Z a 12k Substituindo a na expressão 312k2 b 6 12k2 b 36k b2 864kb2 dividindo por 36 em ambos os lados temos 3636 k b2 86436 k b2 1 k b2 24 k b2 Portanto o resultado é divisível por 36 Use a definição formal de divisibilidade Caso 2 b é múltiplo de 6 b 6m Substituindo b na expressão 3a6m2 6a2 6m 3a 36m2 6a2 6m 108am2 36a2 m dividindo por 36 em ambos os lados temos 10836 am2 3636 am 3am2 1 am Novamente o resultado é divisível por 36 1720 129 Sejam A e B dois conjuntos Prove que se x AB B então x A B Caso 1º X A B AB x A e x B Não existe essa hipótese Como A B todo elemento de A também pertence a B Portanto não existem elementos em A que não estejam em B ou seja A B ø Temos com A B Como AB a união A B é simplesmente B A B B Já para ser mais sintético Como x A e A B então x B Como x B então x A B Caso 2ª Hipótese x AB B Tese x A B 0520 Se x AB B então x B Mas B A B logo x B x A B é verdadeira Questão 3129 continuação Caso 1º Se x A B então x A e x B então x A B pois x está em A Caso 2º Se x B então x A B pois está em B Em ambos os casos concluímos que x A B logo x AB B x A B QED 1920 Questão 2113 Prove A B conjuntos tais que AB Prove que x A x B 7 d A e B são conjuntos então x está em contado em B x A e A então x AB e Se x A B então xe A e xe B Logo x A Então x A x A B Quando AB QED pois uns os dois sentem a indução Questão 3124 Prove que A e B são inteiros tais que A é um múltiplo de 12 ou B é um múltiplo de 6 3AB² 6AB pode ser escrito como 3AB B2A Sendo assim temos que 3AB² 6AB 3AB B2A Ao substituir o A na equação temos 312qB B212q sendo assim 36qB pr2q Como a soma e o produto de inteiros resulta em outro número inteiro e é mais manual é escreve Seja J 4qB B 2A Logo 36J Como 3AB² 6AB 36J então quando a for múltiplo de 12 então a equação será múltiplo de 36 Caso 2º Se w Z B 6w A equação 3AB² 6AB pode ser escrita como 3AB B2A Fazendo a substituição de B temos 3A6w 6w2A também pode ser escrita como 36W A 3w A Como a soma e o produto de inteiros resulta em outro inteiro então 3 k Z k wA 3w A Substituindo 36 k Logo a equação 3AB² 6 AB 36 k QED Questão 3129 Sejam A e B dois conjuntos Prove que se x AB B então x A B AB x A x B AB B x x AB ou x B A B x x A ou x B Hipótese x AB ou B então x AB ou x B Continua Álgabra I Trabalho 41 Grupo Jean João Matheus Eltceon Wagner e Luiza aluma Questao 398 Prove que x e y são números reais tais que x 2 e y 4 então 5x y 6 e 7x 3y² 14 R 1º Como x 0 logo 5x 0 Evite o uso da palavra se conforme explicação em aula Suposiços Q e y 4 crditos 5x y 10 4 6 Concluimos que 5x y 6 é verdadeiro Tese 6x y 6 2º Como x 2 logo 7x 14 e supomos tejach 30 7x 3y² 14 Ou y R e y 4 logo y 0 então 3y² 0 Temos que 7x 3y² 14 0 14 1820 Concluímos que 7x 3y² 14 também é verdadeiro Questao 3114 Seja x e R Prove que 2x 16 0 equivale x 8 D Para provar equivalência devemos provar que elas tem a mesma solução Então resolvendo 2x 16 0 temos 2x 16 0 2x 16 x 162 x 8 Portanto a mesma solução de 2x 16 0 é x 8 Agora observando que a equação x 8 também tem a solução x 8 as duas equações são equivalentes Deste modo podemos afirmar que 2x 16 0 x 8 QED Exercício 3221 Prove que m2m1 14m1² 1 m12m3 mN Exercício 3223 Prove que 4x⁴6x²2 1 2x² x R Nomes Eduardo Mauricio Wanderson e João exercicio 398 Prove que se x e y são números reais tais que x 2 e y 4 então 5x y 6 e 7x 3y² 14 AFIRMAÇÃO CASO 1 PROVAR 5x y 6 SABEMOS que x 2 e y 4 MULTIPLICANDO x 2 por 5 temos 5x 10 Como y 4 então y 4 Somando as desigualdades temos 5x y 10 4 6 AFIRMAÇÃO CASO 2 PROVAR 7x 3y 14 Como x 2 multiplicando por 7 temos 7x 14 O termo 3y é sempre nãonegativo y 0 então 7x 3y 14 0 14 2020 0520 1920 1720 0520 66100 2020 Exercício 3221 Prove que m2m1 14m121 m12m3 m IN Hipótese seja m IN Queremos provar m2m1 14m121 m12m3 Para isso vamos começar pelo lado esquerdo da equação acima que chamaremos de LE LE m2m1 14m121 Simplificando o denominador da segunda fração temos 4m12 1 4m22m1 1 4m2 8m 4 1 4m2 8m 3 Fazendo a fatoração direta através de dois binômios Am BCm D que multiplicados resultem em 4m2 8m 3 AC 4 coeficiente de m2 BD 3 termo independente As possibilidades são A 2 e C 2 pois 22 4 B 1 e D 3 pois 13 3 Com isso o binômio fica 2m12m3 e verificamos que o termo 8m é obtido 2m12m3 4m2 6m 2m 3 4m2 8m 3 Logo a fatoração de 4m2 8m 3 é 2m12m3 Substituindo na equação LE lado esquerdo LE m2m1 12m12m3 ha a 322 oenomimaser cemn 2m 2m3 Pontamto a sauacão LE LE m 2n3 2m 2m3 am 2m 3 Am 8 Cm D As pembilidoce hão Ac 2 cafienta oo m A 2eC 2 Tutonacáo dieta pena Qmia3m ltemes BD L termo imdaperauate Rmisn s hinmio ai 2m m LE pois 2J tazmao a veui cacs Subttuums em lE 2m3 mt Canlamdo mtre 2m e 2ml2mt3 é 2on412m3 Pontamto a 4oton 2mmt3 2 mlmt 3 2mt 2mt3 2 Qmt 0 tmn IN Exuciie 3 23Paove ue t 614 2 Para 2 Eso ewi valimia E valda pois Pomo ambon olade o altren Puuts 2 xeRl4a6x2 20 A 220R Subtraindg 4x do dais lado teome 6227 422 1 Rz7o Vxe R 2 3ubthwnde 4x A d das odo j emcentnanim 2