Analysis and Design of Concrete Structures Using Strut and Tie Model

Analysis and design of concrete structures using strut and tie model by FEM Application in foundation blocks short consoles wall beams and rigid shoes MIGUEL LIMA1 PAULO ANDERSON SANTANA ROCHA2 RICARDO AZOUBEL DA MOTA SILVEIRA2 KÁTIA INÁCIO DA SILVA2 1 Universidade Federal de Ouro Preto UFOP 2 Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Engenharia Civil Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil Campus Morro do Cruzeiro CEP35400000 Ouro Preto MG Brasil 553135591546 Abstract The present work has as main objective to perform elasticlinear analyzes through a computational program with numerical approach of the strutandtie model using a formulation based on the Finite Element Method FEM In this model it is possible to analyze the behavior of structural elements such as foundation blocks wall beams short consoles also represent the values of tensions deformations and displacements in the region of a beam represented as the Model of cranks developed by MONTOYA et al 1 besides numerically modeling via FEM a wall beam with a large aperture developed by SCHLAICH et al 2 In order to validate the numerical implementations the results were compared with numerical modeling performed with the aid of ANSYS software 17 and with normative expressions OPEN ACCESS Published 28052019 Accepted 03052019 Submitted 03082017 DOI 1023967jrimni201905001 Keywords Strutandtie model Finite elements Foundation block Short Consoles Wall Beams and Rigid Shoes Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería Correspondence MIGUEL LIMA miguelangelo05yahoocombr This is an article distributed under the terms of the Creative Commons BYNCSA license 1 Resumo Neste trabalho temse como objetivo realizar análises elástico lineares a partir de um programa computacional destinado à implementação numérica do Modelo de Bielas e Tirantes utilizandose uma formulação baseada no Método dos Elementos Finitos MEF Com este modelo é possível analisar o comportamento de elementos estruturais como blocos de fundação consolos curtos e sapatas rígidas e realizar o dimensionamento das armaduras de aço representar os valores de tensões deformações e deslocamentos na região de uma viga representada como o Modelo de Bielas desenvolvido por Montoya et al 1 além de modelar numericamente via MEF uma vigaparede com uma grande abertura desenvolvida por Schlaich et al 2 Com o fim de validar as implementações numéricas os resultados foram comparados com modelagens numéricas realizadas com o auxílio do software ANSYS 17 e com expressões normativas Palavraschave Modelo de bielas e tirantes elementos finitos blocos de fundação consolos curtos vigasparede sapatas rígidas 1 Introdução A concepção de projetos estruturais estabelece três propósitos economia tempo e segurança Para atingir o equilíbrio entre esses fatores há uma ampla quantidade de materiais e métodos disponíveis no mercado que são abordados em vários temas de pesquisas por todo o mundo Tratandose dos elementos estruturais o aço e o concreto são os materiais mais utilizados visto que se completam quando trabalham em conjunto Muitas vezes em uma análise estrutural o projetista é forçado a propor uma solução simplificada para um problema que requer uma análise mais específica devido aos prazos reduzidos impostos pelo mercado Esse fato pode acarretar um superdimensionamento dos elementos estruturais gerando um gasto excessivo de materiais ou até mesmo levar o sistema estrutural à ruptura O Método dos Elementos Finitos MEF concebido na década de 50 vem sendo utilizado com grande sucesso na engenharia estrutural Existe uma infinidade de softwares com poderosos pósprocessadores e com os mais avançados modelos construtivos para o tratamento do concreto armado 3 Em uma modelagem utilizando o MEF é necessário que se faça um levantamento dos parâmetros a serem considerados e uma análise cuidadosa da aplicação dos carregamentos e das condições de contorno para que se possa realizar um estudo preciso e confiável dos resultados obtidos O Modelo de Bielas e Tirantes surge como uma alternativa para solucionar casos específicos em que não se aplica a hipótese de Bernoulli ou hipótese das seções planas Este procedimento permite identificar as regiões da estrutura que exibem comportamento diferenciado em relação às distribuições de tensões e deformações O estudo levou em consideração que os materiais se comportam de maneira elásticolinear Nesse caso httpswwwscipediacompublicLIMAetal2018a 2 M LIMA P ROCHA R SILVEIRA and K SILVA Analysis and design of concrete structures using strut and tie model by FEM Application in foundation blocks short consoles wall beams and rigid shoes Rev int métodos numér cálc diseño ing 2019 Vol 35 2 30 após sofrer deformações a estrutura tende a retornar ao seu estado original quando o carregamento externo for cessado Além disso há uma relação linear entre as componentes de tensão e deformação do material conhecida como módulo de elasticidade 4 Nessa pesquisa será utilizada a formulação isoparamétrica do Método dos Elementos Finitos na qual as funções de forma dos elementos são dadas no sistema local de coordenadas naturais e 5 O trabalho tem como objetivo realizar análises elásticolineares de elementos especiais em concreto armado a partir do Modelo de Bielas e Tirantes utilizandose uma formulação baseada no Método dos Elementos Finitos MEF Para tal desenvolveuse um programa computacional em liguagem FORTRAN 90 adotandose elementos finitos triangulares conhecidos como Constant Strain Triangle CST sendo os resultados numéricos obtidos comparados com modelagens feitas com auxílio do software ANSYS 17 Com este modelo foi possível analisar o comportamento de elementos estruturais como blocos de fundação consolos curtos sapatas rígidas representar os valores de tensões deformações e deslocamentos na região de uma viga representada como o Modelo de Bielas desenvolvido por Montoya et al 1 além de modelar numericamente via MEF uma vigaparede com uma grande abertura desenvolvida por Schlaich et al 2 Por fim com o objetivo de verificar que é possível projetar as armaduras de aço de estruturas de concreto usando o Método dos Elementos Finitos realizouse o dimensionamento de alguns elementos estruturais via MEF e os resultados foram comparados com respostas obtidas a partir de expressões normativas encontradas na literatura 2 Modelo de bielas e tirantes 21 Conceitos O Modelo de Bielas e Tirantes tem como princípio a idealização de que a força do pilar se concentra em algumas regiões do bloco de fundação até chegar às estacas São formadas zonas de concreto comprimidas bielas como Mörsch idealizou no caso das vigas Na Figura 1 mostramse as regiões comprimidas do concreto em um bloco submetido a uma força vertical Este modelo foi comprovado ao se resolver um bloco análogo utilizando o Método dos Elementos Finitos 6 que pode ser visto na Figura 2 comprovando a formação das bielas comprimidas Figura 1 Modelo idealizado da formação de bielas Figura 2 Modelo desenvolvido por elementos finitos Logo o Método de Bielas e Tirantes consiste em admitir que um bloco possui um funcionamento estrutural básico similar à de uma treliça espacial constituído por barras comprimidas e inclinadas bielas formada pelo concreto comprimido e responsáveis pela transmissão do carregamento dos pilares para as estacas e barras tracionadas tirantes representadas pelas armaduras principais Os modelos e conceitos apresentados são embasados em ensaios relatados na bibliografia e podese dizer que se iniciaram com os estudos de Hobbs Stein 7 que analisaram o comportamento de blocos sobre duas estacas de forma httpswwwscipediacompublicLIMAetal2018a 3 M LIMA P ROCHA R SILVEIRA and K SILVA Analysis and design of concrete structures using strut and tie model by FEM Application in foundation blocks short consoles wall beams and rigid shoes Rev int métodos numér cálc diseño ing 2019 Vol 35 2 30 analítica e experimental em setenta modelos em escala 13 e de Blévot Frémy 8 ensaiando 100 blocos em suas análises 22 Método de Blévot Frémy para blocos de fundação A partir dos resultados obtidos pelos ensaios realizados por Blévot Frémy 8 deuse origem a um processo de cálculo para a armadura longitudinal tirante e verificação da tensão de compressão na biela sendo similar ao processo de Biela e Tirante mas se difere na definição da seção da biela Este processo tem sido de grande utilidade nas construções brasileiras apesar da ABNT NBR 6118 9 não citálo explicitamente Portanto o Método de Blévot Frémy também entendido como o de Biela e Tirante consiste no cálculo das armaduras tracionadas e verificação da tensão nas bielas de compressão que se desenvolvem no interior do bloco devendo ser feita junto à base do pilar e junto à cabeça da estaca A tensão nas bielas na base do pilar é verificada pela relação entre as áreas da seção transversal do pilar Apilar e da biela Abiela P na base do pilar Dividindose a força na biela pela área da biela Abiela P temse a tensão normal na biela junto ao pilar σcbielaP σcbielaP Nd Apilar sin2α 1 De maneira análoga a tensão nas bielas junto à estaca pode ser verificada pela relação entre as áreas da seção transversal da estaca Aestaca e da biela Abiela e junto à estaca Dividindose o valor da força atuante na biela Fb pela área da seção transversal da biela Abiela e temse a tensão normal na biela junto à estaca σcbielae σcbielae Nd 2 Aestaca sin2α 2 A armadura principal de tração As no Estado Limite Último ELU pode ser calculada em função da força atuante na armadura Ft e a resistência de cálculo ao escoamento do aço fyd Como Ft Asfyd realizando manipulações matemáticas tem se que a armadura principal de tração As é dada por As Nd 36 a fyd d 1 a0 2a 3 23 Método de bielas e tirantes para consolos curtos O comportamento estrutural dos consolos curtos e muito curtos se difere das vigas pois não se pode levar em consideração a hipótese da teoria clássica de flexão Para analisar sua capacidade resistente ou realizar seu dimensionamento não se podem utilizar os modelos de cálculo de vigas que levam em consideração a hipótese da manutenção das seções planas após sofrerem deformações Mesmo em considerações que o material seja homogêneo isotrópico e elástico perfeito as tensões normais não variam de forma linear ao longo da sua altura e as tensões tangenciais e as normais aos planos ortogonais e essa seção não podem ser desprezadas Além disso após a fissuração do concreto ocorre a redução da rigidez do consolo e outros mecanismos Desta forma o projeto desses elementos estruturais deve ser feito obedecendo a recomendações específicas Fernandes El Debs 10 Segundo a ABNT NBR9062 11 os consolos são calculados seguindo intervalos da razão entre a distância da força aplicada até a face do pilar a e a altura útil do consolo d sendo que os consolos curtos 05 ad 10 possuem metodologia de cálculo realizado com base no Modelo de Bielas e Tirantes O Modelo de Bielas e Tirantes para consolos curtos consiste em idealizar o comportamento do concreto nos trechos descontínuos por meio das bielas compressão e tirantes tração com suas posições definidas a partir do fluxo de tensões Os elementos são conectados por nós idealizando uma treliça Sendo assim o dimensionamento utilizando esse método consiste em verificar a resistência à compressão em uma seção fictícia da biela e calcular a área da armadura do tirante em função da tensão de escoamento do aço O modelo clássico consiste no equilíbrio de forças e momentos no esquema de treliça apresentado na Figura 3 Figura 3 Modelo de análise e características geométricas de Consolo curto Leonhardt Mönnig adaptado por EL Debs A armadura do tirante é determinada realizando o equilíbrio de momento em relação ao ponto A resultando na seguinte equação Astir Vd fyd a 09 d 12 Hd fyd 4 Por meio de manipulações matemáticas e realizando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto C determinase que a tensão de compressão na biela σcd é calculada pela equação 5 limitandose o valor da tensão na biela em βfcd σcd Vd 018 b d 092 a d 2 β fcd 5 Adotase β1 no caso de forças diretas e β085 para forças httpswwwscipediacompublicLIMAetal2018a 4 M LIMA P ROCHA R SILVEIRA and K SILVA Analysis and design of concrete structures using strut and tie model by FEM Application in foundation blocks short consoles wall beams and rigid shoes Rev int métodos numér cálc diseño ing 2019 Vol 35 2 30 indiretas 3 Formulação via Método dos Elementos Finitos 31 Introdução O Método dos Elementos Finitos tem como principal finalidade a discretização de uma seção transversal ou de um dado elemento estrutural ao longo do seu domínio Para isso podem ser utilizados elementos planos bidimensionais a saber o elementos CST triangular com três nós elemento quadrilateral com quatro nós elemento quadrilateral com oito nós ou por fim o elemento quadrilateral com nove nós pertencente à família de Lagrange além de outros elementos finitos Em determinados problemas de sólidos com geometrias não regulares podem ser utilizados os elementos finitos tridimensionais Dentre eles podemse citar os elementos finitos tetraédricos ou hexaédricos Assim sendo a ideia central do método é transformar o problema real ou elemento contínuo em elemento discreto Daí transformase o problema em um sistema de equações lineares ou não lineares Segundo Chandrupatla Belegundu 12 a formulação de elementos finitos bidimensionais segue etapas usadas nos problemas unidimensionais Os deslocamentos os valores de componentes de força de superfície e de força de corpo distribuídas são funções das posições indicadas por x y A relação entre as tensões e deformações é dada pela equação 6 σ D ϵ 6 32 Modelagem pelo Método dos Elementos Finitos Uma região bidimensional é dividida em triângulos de lados retos Esses triângulos que em sua totalidade formam a região analisada são chamados de elementos As componentes do deslocamento de um nó j qualquer são consideradas como Q2j 1 na direção x e Q2j na direção y O vetor de deslocamento global da estrutura é indicado por Q Q1 Q2 Qn T 7 As conectividades ou incidências de um elemento referemse aos nós que formam um elemento adotando o sentido anti horário para estabelecer uma sequência para identificar os seus nós O vetor de deslocamento no sistema local é indicado como q q1 q2 qn T 8 Os deslocamentos nos pontos dentro de um elemento precisam ser representados em termos dos deslocamentos nodais do elemento O Método dos Elementos Finitos usa o conceito de funções de forma no desenvolvimento sistemático dessas interpolações Para o CST Constant Strain Triangle as funções de forma são lineares sobre o elemento As funções de forma N1 N2 e N3 correspondem aos nós 1 2 e 3 do elemento A função N1 assume o valor unitário no nó 1 e se reduz linearmente para os nós 2 e 3 Os valores de N1 definem uma superfície plana N2 e N3 são representadas por superfícies semelhantes com valores unitários nos nós 2 e 3 respectivamente e caindo para zero nas arestas opostas como mostrado na Figura 4 Sendo assim qualquer combinação linear dessas funções de forma também representa uma superfície plana a b c Figura 4 Representação das funções de forma no nó 1 a nó 2 b e nó 3 c Em particular N1 N2 N3 representa um plano com altura um nos nós 1 2 e 3 que é paralelo ao triângulo 123 N1 N2 e N3 não são linearmente independentes As funções de forma independentes são representadas pelas coordenadas naturais η e ξ como N1 ξ 91 N2 η 92 N3 1 ξ η 93 Os deslocamentos dos elementos são escritos usando as funções de forma e os valores nodais do campo de deslocamento desconhecido u N1 q1 N2 q3 N3 q5 101 v N1 q2 N2 q4 N3 q6 102 Sendo N1 N2 e N3 expressos pelas equações 91 92 e 93 as equações 101 e 102 ficam representadas na forma simplificada por u N q 11 As coordenadas x e y também podem ser representadas em termos de coordenadas nodais pelo uso das mesmas funções de forma Essa é a chamada representação isoparamétrica As representações isoparamétricas relacionam as coordenadas cartesianas x e y às coordenadas naturais η e ξ Na avaliação das deformações específicas as derivadas parciais de u e v devem ser tomadas com relação a x e y Pelas representações isoparamétricas verificase que u v x e y são funções de η e ξ Logo podem ser representadas por u uxξη yξη 121 v vxξη yξη 122 Usandose a regra da cadeia para derivadas de u obtémse a matriz quadrada 2x2 denotada como Jacobiana de transformação logo J x ξ y ξ x η y η 13 Realizandose as derivadas da matriz Jacobiana e algumas manipulações matemáticas chegamse às relações deformação específicadeslocamento que pela definição de xij e yij demonstrase que yij yji e yij yik yjk podendo ser escrita de forma sucinta da seguinte forma httpswwwscipediacompublicLIMAetal2018a 5 M LIMA P ROCHA R SILVEIRA and K SILVA Analysis and design of concrete structures using strut and tie model by FEM Application in foundation blocks short consoles wall beams and rigid shoes Rev int métodos numér cálc diseño ing 2019 Vol 35 2 30 ϵ B q 14 A energia potencial do sistema é dada por π 1 2 A ϵT D ϵ t dA A uTf t dA L uTT t dL i ui TPi 15 Sendo que os termos correspondem à energia de deformação do elemento força de corpo força de superfície e carregamento pontual respectivamente Por meio de triangulação a energia potencial total pode ser escrita da seguinte forma sendo que Ue representa a energia de deformação do elemento π e Ue e A uT f t dA e L uTT t dL i ui T Pi 16 A matriz de rigidez do elemento é obtida por meio da energia de deformação do elemento Substituindose a Equação 14 na energia de deformação do elemento temse Ue 1 2 e qTBTD B q t dA 17 Considerando a espessura do elemento e discretizando com triângulos a área a ser analisada a matriz de rigidez do elemento pode ser obtida a partir da Equação 17 e é dada por Ke BTD B te Ae 18 Considerandose a energia de deformação os termos de força as condições de contorno e realizandose as modificações de rigidez e forças a equação 16 fica definida como K Q F 19 Sendo que K referese à matriz de rigidez da estrutura analisada Q ao vetor de deslocamentos nodais da estrutura e F ao vetor de cargas globais aplicadas Como as deformações específicas são constantes em um elemento CST as suas componentes de tensões também permanecem constantes Os valores das tensões devem ser calculados para cada elemento usando as relações de deformação específicadeslocamento do elemento Substituindose a equação 14 na equação 6 temse que a tensão em cada elemento é dada por σ D B q 20 A conectividade será utilizada para extrair os deslocamentos nodais do elemento q do vetor de deslocamentos globais Q Para fim de interpolação as tensões obtidas pela equação 20 podem ser usadas como um valor referente ao centroide do elemento analisado Finalmente vale ressaltar que as tensões principais e suas direções principais são determinadas a partir das relações do Círculo de Mohr 4 Aplicações 41 Introdução Neste capítulo são mostradas as aplicações do presente trabalho representando de forma numérica o Modelo de Bielas e Tirantes Inicialmente realizouse a análise representando os valores de tensões deformações e deslocamentos na região de uma viga representada como o Modelo de Bielas desenvolvido por Montoya et al 1 além de modelar numericamente via MEF uma vigaparede com uma grande abertura desenvolvida por Schlaich et al 2 E por fim analisouse um consolo curto um bloco de fundação sob duas estacas de concreto e uma sapata rígida realizando seus dimensionamentos via MEF e comparando com resultados de expressões normativas e exemplos clássicos encontrados na literatura Mencionase ainda que todos os resultados das análises realizadas pelo programa computacional desenvolvido são comparados com resultados determinados por meio da utilização do software ANSYS 17 Vale ressaltar que em todos os exemplos analisados neste trabalho foi necessário um maior refinamento de malha em virtude da utilização do elemento finito plano adotado Constant Strain Triangle CST que no ANSYS 17 corresponde ao elemento sólido Plane 182 Esse elemento apresenta campos de deslocamentos menos refinados que os elementos quadrilaterais com quatro nós ou elementos lineares e que o elemento quadrilateral com nove nós conhecido na literatura como elemento parabólico Com isso realizouse um maior refinamento da malha utilizada com os elementos CST e assim foi possível obter bons resultados mesmo utilizando um elemento mais simples que os demais 42 Modelo desenvolvido por Montoya O modelo desenvolvido por Montoya et al 1 foi implementado analisandose o comportamento das tensões de compressão nas bielas de uma viga fletida a partir da discretização da região correspondente Figura 5a submetida a um carregamento de superfície igual a 0797 kNcm² e não de todo o elemento estrutural Na Figura 5b mostramse as propriedades geométricas da região analisada sendo submetida a um carregamento pontual Vsd 600 kN aplicado no ponto C Utilizouse o modelo de cálculo I da ABNT NBR 6118 9 para a definição dos ângulos α e β com α50 e β45 A seção transversal da região analisada é igual a 40 x 25 cm com altura útil d igual a 36 cm e com d igual a 4 cm a b Figura 5 a Região da viga analisada pelo Modelo de Montoya b Modelo de Montoya cm Em relação às propriedades físicas dos materiais foram utilizados módulo de elasticidade E igual a 2800 kNcm² coeficiente de Poisson ν igual a 025 e o concreto com resistência característica à compressão fck igual a 30MPa Com auxílio do software ANSYS 17 a região analisada foi httpswwwscipediacompublicLIMAetal2018a 6 M LIMA P ROCHA R SILVEIRA and K SILVA Analysis and design of concrete structures using strut and tie model by FEM Application in foundation blocks short consoles wall beams and rigid shoes Rev int métodos numér cálc diseño ing 2019 Vol 35 2 30 mapeada gerando uma malha com 1200 elementos finitos triangulares CST e 641 nós representada pela Figura 6 É importante informar que em todas as aplicações realizadas o programa ANSYS serviu como um gerador de malha ou seja os dados da malha gerada no ANSYS coordenadas nodais e elementos com as suas respectivas incidências foram inseridos como dados de entrada no programa computacional desenvolvido Figura 6 Malha mapeada pelo modelo de Montaya Ansys As Figuras 7a 7b e 7c permitem observar as configurações deformadas da região comprimida quando estão submetidas às três tensões principais σ1 σ2 e σ3 respectivamente Os valores das tensões encontrados na escala de referência das figuras são dados em kNcm² a b c Figura 7 a Tensão principal σ1 b Tensão principal σ2 c Tensão principal σ3 Nas Tabelas 1 2 3 4 e 5 apresentamse comparações entre os resultados numéricos obtidos por meio do programa computacional desenvolvido e a partir do software ANSYS 17 Percebese que a precisão obtida pelas simulações numéricas é satisfatória tanto para as tensões elementares σx σy e τxy quanto para as tensões principais σ1 σ2 Tabela 1 Tensões σx kNcm² Elemento 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Presente Trabalho 075 52 038 96 088 07 042 79 099 61 050 38 110 00 060 30 118 90 071 43 ANSYS 075 52 038 96 088 07 042 79 099 61 050 38 109 96 060 30 118 92 071 43 Presente Trabalho ANSYS 1000 0 1000 1 1000 0 1000 0 1000 0 1000 0 1000 4 1000 0 0999 8 1000 0 Tabela 2 Tensões σy kNcm² Elemento 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Presente Trabalho 061 56 039 85 055 35 040 54 048 49 039 93 041 18 037 82 033 64 034 35 ANSYS 061 56 039 85 055 35 040 54 048 49 039 93 041 18 037 82 033 64 034 35 Presente Trabalho ANSYS 1000 0 1000 0 0999 9 1000 0 1000 0 0999 9 1000 0 1000 0 0999 9 1000 0 Tabela 3 Tensões τxy kNcm² Elemento 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Presente Trabalho 01 374 04 087 01 107 04 096 00 990 04 069 01 009 04 040 01 150 04 031 ANSYS 01 374 04 088 01 107 04 096 00 990 04 069 01 009 04 040 01 150 04 031 Presente Trabalho ANSYS 10 002 09 999 09 996 10 000 10 000 10 000 10 005 10 000 09 999 09 999 Tabela 4 Tensões σ1 kNcm² Elemento 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Presente Trabalho 053 13 001 47 051 96 000 69 046 64 004 13 039 73 007 13 032 12 008 52 ANSYS 053 13 001 47 051 96 000 69 046 64 004 13 039 73 007 13 032 12 008 52 Presente Trabalho ANSYS 1000 0 100 02 1000 0 1000 0 1000 0 1000 0 1000 0 1000 0 1000 0 1000 0 Tabela 5 Tensões σ2 kNcm² Elemento 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Presente Trabalho 083 95 080 28 091 46 082 64 101 50 086 18 111 40 091 00 012 04 097 26 ANSYS 083 95 080 28 091 47 082 64 101 50 086 18 111 40 091 00 012 04 097 26 Presente Trabalho ANSYS 1000 0 1000 0 0999 9 1000 0 1000 0 1000 0 1000 0 1000 0 1000 0 1000 0 Comparando as tensões σ1 positivas com a resistência à tração do concreto 01 fck verificase que há formação de fissuras em algumas regiões específicas na viga A Tabela 6 comprova esse fato pois há valores de tensão que ultrapassam 030 kNcm² correspondente à resistência do concreto à tração Tabela 6 Verificação das tensões de fissuras kNcm² Elemento 18 19 20 200 201 202 203 204 205 206 Presente Trabalho 0015 5 0002 8 0014 7 0087 1 2021 3025 241 3791 2818 4744 5 ANSYS 0015 5 0002 8 0014 7 0087 1 2020 5 3025 1 2410 3 3791 2 2817 8 4745 2 Ocorrência de Trincas NÃO NÃO NÃO NÃO SIM SIM SIM SIM SIM SIM Nas Figuras 8a e 8b mostramse comparações gráficas entre os deslocamentos nodais obtidos a partir do programa desenvolvido nesta pesquisa e dos resultados encontrados com auxílio do software ANSYS 17 Neste caso é possível verificar a precisão entre os resultados dos deslocamentos nas duas direções dos eixos de referências x e y validando dessa forma a implementação numérica desenvolvida a b Figura 8 a Deslocamentos nodais em x b Deslocamentos nodais em y 43 Representação numérica do Modelo de Schäfer Schläich Neste exemplo é analisado numericamente o modelo de Schäfer Schläich 2 que corresponde a uma vigaparede com abertura submetida a um carregamento pontual Na Figura 9 se apresenta de forma detalhada a vigaparede que está sujeita à httpswwwscipediacompublicLIMAetal2018a 7 M LIMA P ROCHA R SILVEIRA and K SILVA Analysis and design of concrete structures using strut and tie model by FEM Application in foundation blocks short consoles wall beams and rigid shoes Rev int métodos numér cálc diseño ing 2019 Vol 35 2 30 carga de 800 kN Neste exemplo o concreto apresenta um módulo de elasticidade igual a 2800 kNcm² e coeficiente de Poisson igual a 025 Figura 9 Vigaparede Modelo de Schäfer Schläich A vigaparede foi discretizada no software ANSYS 17 gerando se uma malha livre com 414 elementos finitos triangulares CST e 249 nós conforme mostrado na Figura 10 Figura 10 Malha livre da Vigaparede Ansys Com auxílio do ANSYS 17 verificase o comportamento e as deformações da vigaparede submetida às tensões principais σ1 σ2 e σ3 Essas configurações deformadas são mostradas nas Figuras 11a 11b e 11c respectivamente cujas escalas de referências encontramse em kNcm² a b c Figura 11 a Tensão principal σ1 b Tensão principal σ2 c Tensão principal σ3 Refinando a malha utilizada aumentando o número de elementos finitos de forma excessiva obtendo uma nova malha com 26496 elementos finitos triangulares CST e com 13584 nos é possível visualizar as regiões comprimidas que formam as bielas na vigaparede representadas na cor azul na Figura 12 demonstrando assim a concentração de tensões de compressão em algumas regiões da vigaparede Figura 12 Representação vetorial das tensões na vigaparede com a malha refinada Ansys Nas Tabelas 7 8 9 10 e 11 apresentamse comparações entre os resultados numéricos obtidos por meio do programa computacional desenvolvido e o software ANSYS 17 Neste caso percebese também excelente aproximação entre as simulações numéricas realizadas Tabela 7 Tensões σx kNcm² Elemento 1 50 100 150 200 250 300 350 400 414 Presente Trabalho 031 67 100 30 011 58 013 62 032 66 001 05 036 54 055 19 384 40 394 20 ANSYS 031 67 100 35 011 58 013 62 032 66 001 05 036 54 055 19 384 42 394 23 Presente Trabalho ANSYS 1000 1 099 95 1000 4 1000 1 0999 9 099 98 1000 0 100 00 0999 9 0999 9 Tabela 8 Tensões σy kNcm² Elemento 1 50 100 150 200 250 300 350 400 414 Presente Trabalho 007 66 008 18 055 28 281 70 235 70 019 02 015 91 032 79 472 40 316 30 ANSYS 007 66 008 18 055 28 281 69 235 70 019 02 015 91 032 79 472 44 316 27 Presente Trabalho ANSYS 1000 0 1000 0 1000 0 1000 0 1000 0 100 03 100 01 100 00 0999 9 1000 1 Tabela 9 Tensões τxy kNcm² Elemento 1 50 100 150 200 250 300 350 400 414 Presente Trabalho 070 80 025 09 030 03 164 10 051 92 054 83 073 49 060 71 397 40 436 50 ANSYS 070 80 025 10 030 03 164 06 051 92 054 83 073 49 060 71 397 44 436 50 Presente Trabalho ANSYS 1000 1 0999 8 1000 0 100 02 1000 0 1000 0 0999 9 1000 0 0999 9 1000 0 Tabela 10 Tensões σ1 kNcm² Elemento 1 50 100 150 200 250 300 350 400 414 Presente Trabalho 052 15 105 90 003 71 064 20 020 16 065 59 067 72 105 70 028 57 082 99 ANSYS 052 15 105 87 003 71 064 20 020 16 065 59 067 72 105 73 028 57 082 99 Presente Trabalho ANSYS 100 01 100 03 100 01 100 00 1000 2 099 99 100 01 099 97 1000 2 100 00 httpswwwscipediacompublicLIMAetal2018a 8 M LIMA P ROCHA R SILVEIRA and K SILVA Analysis and design of concrete structures using strut and tie model by FEM Application in foundation blocks short consoles wall beams and rigid shoes Rev int métodos numér cálc diseño ing 2019 Vol 35 2 30 Tabela 11 Tensões σ2 kNcm² Elemento 1 50 100 150 200 250 300 350 400 414 Presente Trabalho 091 47 013 70 070 57 359 50 248 20 045 53 088 35 017 75 828 30 793 50 ANSYS 091 47 013 70 070 57 359 50 248 20 045 53 088 35 017 75 828 30 793 48 Presente Trabalho ANSYS 1000 0 1000 2 1000 1 1000 0 1000 0 1000 1 1000 0 1000 1 1000 0 1000 0 Nas Figuras 13a e 13b mostramse comparações gráficas entre os deslocamentos nodais obtidos por meio do programa desenvolvido e os resultados fornecidos a partir do software ANSYS 17 sendo os nós localizados na parte inferior da viga parede a b Figura 13 a Deslocamento em x b Deslocamento em y 44 Sapata rígida A sapata rígida em análise cujas dimensões são mostradas na Figura 14 está submetida a um carregamento pontual igual a 800 kN Neste exemplo o concreto apresenta um módulo de elasticidade igual a 2800 kNcm² e coeficiente de Poisson igual a 025 Figura 14 Dimensões da sapata rígida cm Em sua modelagem a sapata foi dividida em duas áreas para que o Software ANSYS 17 pudesse gerar a malha A parte superior foi mapeada de forma livre e a parte inferior correspondente à fôrma foi mapeada de forma estruturada realizando três análises distintas dividindo a parte inferior em 10 20 e 25 divisões com o fim de se comparar eventuais alterações nos resultados numéricos As respectivas malhas geradas no software ANSYS 17 são mostradas nas Figuras 15a 15b e 15c No primeiro caso analisado a malha gerada apresenta 164 elementos finitos triangulares CST e 111 nós A segunda malha gerada apresenta 272 elementos finitos triangulares CST e com 170 nós Já a malha final apresenta 329 elementos finitos triangulares CST e com 201 nós a b c Figura 15 a Malha da sapata rígida 10 divisões b Malha da sapata rígida 20 divisões c Malha da sapata rígida 25 divisões A malha com 25 divisões apresentou melhores resultados em suas análises podendo observar o comportamento e as deformações da sapata rígida nas Figuras 16a 16b e 16c cujas escalas de referências encontramse em kNcm² Na Figura 16d mostrase de forma vetorial a transferência dos esforços internos a b c d Figura 16 a Tensão principal σ1 b Tensão principal σ2 c Tensão principal σ3 d Representação vetorial das tensões no bloco de fundação Ansys Nas Tabelas 12 13 14 15 e 16 apresentamse comparações entre os resultados numéricos obtidos por meio do programa computacional desenvolvido e por meio do software ANSYS 17 para a sapata com 25 divisões na parte inferior Neste caso percebese também excelente aproximação entre as simulações numéricas realizadas Tabela 12 Tensões σx kNcm² Elemento 1 40 80 120 160 200 240 280 320 329 Presente Trabalho 213 8 524 10 233 00 163 70 262 6 228 4 302 80 177 30 225 10 3193 00 ANSYS 213 84 524 06 233 01 163 72 262 60 228 37 302 80 177 31 225 09 3192 50 Presente Trabalho ANSYS 0999 8 100 01 100 00 0999 9 1000 0 1000 1 1000 0 0999 9 1000 0 1000 2 Tabela 13 Tensões σy kNcm² Elemento 1 40 80 120 160 200 240 180 320 329 Presente Trabalho 235 50 043 40 116 60 284 00 495 80 961 50 863 00 157 00 478 20 1519 00 ANSYS 235 55 043 40 116 61 284 01 495 84 961 53 863 03 157 03 478 21 1519 00 Presente Trabalho ANSYS 0999 8 100 00 099 99 1000 0 0999 9 1000 0 1000 0 0999 8 1000 0 1000 0 Tabela 14 Tensões τxy kNcm² Elemento 1 40 80 120 160 200 240 180 320 329 Presente Trabalho 249 70 049 14 245 40 412 60 115 10 572 90 159 50 565 40 665 60 2557 00 ANSYS 249 69 049 14 245 38 412 57 115 11 572 93 159 47 565 45 665 62 2557 10 Presente Trabalho ANSYS 100 00 1000 1 100 00 100 01 0999 9 100 00 100 02 100 00 1000 0 1000 00 Tabela 15 Tensões σ1 kNcm² Elemento 1 40 80 120 160 200 240 280 320 329 Presente Trabalho 252 40 529 00 235 70 168 10 007 32 747 80 018 15 023 32 325 90 334 80 ANSYS 252 36 529 03 235 70 168 14 007 32 747 81 018 15 023 32 325 90 334 79 Presente Trabalho ANSYS 100 02 099 99 100 00 0100 0 100 00 1000 0 1000 1 099 99 100 00 100 00 httpswwwscipediacompublicLIMAetal2018a 9 M LIMA P ROCHA R SILVEIRA and K SILVA Analysis and design of concrete structures using strut and tie model by FEM Application in foundation blocks short consoles wall beams and rigid shoes Rev int métodos numér cálc diseño ing 2019 Vol 35 2 30 Tabela 16 Tensões σ2 kNcm² Elemento 1 40 80 120 160 200 240 280 320 329 Presente Trabalho 474 60 038 43 089 74 175 30 312 90 249 70 387 30 177 10 102 90 4746 00 ANSYS 474 62 038 43 089 74 175 30 312 92 249 74 387 29 177 09 102 92 4746 20 Presente Trabalho ANSYS 1000 0 100 00 100 00 1000 0 0999 9 0999 8 1000 0 1000 1 0999 8 1000 0 Em relação aos deslocamentos nodais as Figuras 17a e 17b mostram as comparações gráficas entre os deslocamentos na parte inferior da sapata rígida obtida por meio do programa desenvolvido e pelos resultados determinados via software ANSYS 17 utilizando um maior número de nós entre as simulações realizadas a b Figura 17 a Deslocamento em x b Deslocamento em y 44 Consolo curto O consolo curto analisado cujas dimensões são mostradas na Figura 18a está submetido a um carregamento pontual igual a 400 kN Nesta aplicação o concreto apresenta módulo de elasticidade igual a 2800 kNcm² e coeficiente de Poisson igual a 025 O consolo curto foi discretizado pelo software ANSYS 17 gerando uma malha livre com 223 elementos finitos triangulares CST e com 139 nós conforme mostrado na Figura 18b a b Figura 18 a Dimensões do consolo curto cm b Malha livre do consolo curto Ansys As configurações deformadas do elemento em análise submetido às tensões principais σ1 σ2 e σ3 são mostradas nas Figuras 19a 19b e 19c respectivamente a b c Figura 19 a Tensão principal σ1 b Tensão principal σ2 c Tensão principal σ3 Logo é possível visualizar a transferência dos esforços internos por meio de uma representação vetorial mostrada na Figura 20 determinando as regiões tracionadas e comprimidas do consolo curto Figura 20 Representação vetorial das tensões no consolo curto Ansys Nas Tabelas 17 18 19 20 e 21 apresentamse comparações entre os resultados numéricos determinados pelo programa computacional desenvolvido e a partir do software ANSYS 17 Tabela 17 Tensões σx kNcm² Elemento 10 30 50 70 90 110 130 150 170 200 Presente Trabalho 532 80 876 90 612 00 306 80 112 90 432 90 072 43 147 00 380 40 1591 00 ANSYS 532 83 876 87 611 97 306 75 112 95 432 85 072 43 146 99 380 43 1590 80 Presente Trabalho ANSYS 099 99 100 00 1000 0 100 02 0999 6 1000 1 1000 0 100 01 099 99 1000 1 Tabela 18 Tensões σy kNcm² Elemento 10 30 50 70 90 110 130 150 170 200 Presente Trabalho 175 40 932 30 846 60 043 84 128 00 177 30 167 90 130 20 245 40 200 90 ANSYS 175 36 932 28 846 61 043 84 127 99 177 32 167 90 130 24 245 41 200 92 httpswwwscipediacompublicLIMAetal2018a 10 M LIMA P ROCHA R SILVEIRA and K SILVA Analysis and design of concrete structures using strut and tie model by FEM Application in foundation blocks short consoles wall beams and rigid shoes Rev int métodos numér cálc diseño ing 2019 Vol 35 2 30 Presente Trabalho ANSYS 100 02 1000 0 1000 0 1000 1 1000 1 0999 9 1000 0 0999 7 1000 0 099 99 Tabela 19 Tensões τxy kNcm² Elemento 10 30 50 70 90 110 130 150 170 200 Presente Trabalho 741 5 137 2 129 60 341 7 140 1 880 5 379 6 412 8 130 00 937 50 ANSYS 741 5 137 1 129 59 341 6 140 12 880 4 379 5 412 7 129 99 937 47 Presente Trabalho ANSYS 099 99 100 02 1000 1 100 01 0999 9 100 00 100 01 100 01 1000 1 1000 0 Tabela 20 Tensões σ1 kNcm² Elemento 10 30 50 70 90 110 130 150 170 200 Presente Trabalho 128 90 878 70 571 90 515 50 198 50 003 49 012 74 157 00 886 30 2063 00 ANSYS 128 89 878 71 571 92 515 46 198 50 003 49 012 74 157 01 886 27 2062 80 Presente Trabalho ANSYS 100 01 100 00 100 00 100 01 100 00 099 99 100 00 099 99 100 00 1000 1 Tabela 21 Tensões σ2 kNcm² Elemento 10 30 50 70 90 110 130 150 170 200 Presente Trabalho 453 00 932 50 203 10 252 50 260 80 221 00 176 40 230 40 296 00 271 10 ANSYS 452 98 932 46 203 05 252 55 260 79 220 96 176 41 230 43 295 99 271 09 Presente Trabalho ANSYS 1000 0 1000 0 1000 2 0999 8 1000 0 1000 2 0999 9 0999 9 1000 0 1000 0 Nas Figuras 21a e 21b mostramse comparações gráficas entre os deslocamentos nodais obtidos a partir do programa desenvolvido e os resultados do ANSYS 17 sendo os nós referentes à parte superior do consolo curto Lembrando que nessa região ficam localizadas as armaduras de tração a b Figura 21 a Deslocamento em x b Deslocamento em y Por fim realizouse o dimensionamento do consolo curto e os resultados foram comparados com as respostas determinadas pelo presente trabalho que é baseado no Método dos Elementos Finitos sendo os valores das tensões elementares extraídos da modelagem numérica realizada Para a realização do dimensionamento considerouse a altura útil do consolo igual a d 31cm d 4cm a distância entre o ponto de aplicação da carga e a face do pilar igual a 155cm e fyd 4347kNcm² Na Tabela 22 mostrase a boa aproximação entre os resultados encontrados Tabela 22 Área de Aço cm² Resultado Normativo Presente Trabalho Presente Trabalho Resultado Normativo 511 464 091 45 Bloco de fundação sob duas estacas de concreto O bloco de fundação com duas estacas está submetido a um carregamento pontual igual a 1500 kN suas dimensões são mostradas na Figura 22a Considerouse neste exemplo que o concreto apresenta módulo de elasticidade igual a 2800 kNcm² e coeficiente de Poisson igual a 025 Por sua vez o bloco de fundação foi discretizado com quatro malhas distintas sendo apresentados os resultados das análises realizadas com a malha estruturada de 328 elementos finitos triangulares CST e 202 nós mostrada na Figura 22b a b Figura 22 a Dimensões do bloco de cm b Malha do bloco de fundação Ansys Com auxílio do software ANSYS 17 é possível observar o comportamento e as deformações do bloco de fundação Essas configurações deformadas são mostradas nas Figuras 23a 23b e 23c respectivamente cujas escalas de referências encontram se em kNcm² Na Figura 23d mostrase de forma vetorial as tensões de tração e compressão no bloco de fundação a b c d Figura 23 a Tensão principal σ1 b Tensão principal σ2 c Tensão principal σ3 d Representação vetorial de tensões no bloco de fundação Ansys Nas Tabelas 23 24 25 26 e 27 apresentamse comparações entre os resultados numéricos obtidos por meio do programa computacional desenvolvido e do software ANSYS 17 Neste caso percebese também excelente aproximação entre as simulações numéricas realizadas Tabela 23 Tensões σx kNcm² Elemento 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Presente Trabalho 154 20 228 70 120 00 466 60 209 00 225 40 703 60 599 50 276 60 5853 00 ANSYS 154 17 228 70 119 95 466 65 209 05 225 38 703 56 599 51 276 60 5853 20 Presente Trabalho ANSYS 1000 2 1000 0 1000 4 0999 9 0999 8 1000 1 1000 1 100 00 100 00 1000 0 Tabela 24 Tensões σy kNcm² Elemento 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Presente Trabalho 759 70 594 70 749 80 216 30 216 70 297 10 271 60 189 20 152 20 054 55 ANSYS 759 74 594 74 749 79 216 26 216 66 297 15 271 61 189 16 152 21 054 55 Presente Trabalho ANSYS 0999 9 0999 9 1000 0 1000 2 1000 2 0999 8 1000 0 1000 2 0999 9 100 01 Tabela 25 Tensões τxy kNcm² Elemento 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Presente Trabalho 288 70 294 30 126 60 481 70 154 20 278 70 168 20 688 50 269 70 1175 00 ANSYS 288 74 294 35 126 62 481 65 154 24 278 72 168 20 688 46 269 71 1174 60 httpswwwscipediacompublicLIMAetal2018a 11 M LIMA P ROCHA R SILVEIRA and K SILVA Analysis and design of concrete structures using strut and tie model by FEM Application in foundation blocks short consoles wall beams and rigid shoes Rev int métodos numér cálc diseño ing 2019 Vol 35 2 30 Presente Trabalho ANSYS 099 99 0999 8 0999 8 100 01 099 97 099 99 100 00 100 01 100 00 1000 3 Tabela 26 Tensões σ1 kNcm² Elemento 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Presente Trabalho 664 70 651 10 954 50 339 40 638 90 197 50 250 20 777 10 406 70 6082 00 ANSYS 664 67 651 11 954 53 339 41 638 90 197 54 250 19 777 11 406 74 6082 00 Presente Trabalho ANSYS 1000 0 1000 0 1000 0 1000 0 100 00 099 98 100 00 100 00 099 99 1000 0 Tabela 27 Tensões σ2 kNcm² Elemento 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Presente Trabalho 163 70 758 30 774 30 229 00 301 50 542 30 367 00 206 90 282 40 174 30 ANSYS 163 67 758 32 774 29 228 99 301 46 542 29 366 98 206 92 282 36 174 35 Presente Trabalho ANSYS 1000 2 1000 0 1000 0 1000 0 1000 1 1000 0 1000 1 0999 9 1000 1 0999 7 Nas Figuras 24a e 24b mostramse comparações gráficas entre os deslocamentos nodais obtidos a partir do programa desenvolvido e os resultados obtidos via ANSYS 17 sendo os nós referentes à parte inferior do bloco de fundação localizados entre as duas estacas de concreto a b Figura 24 a Deslocamento em x b Deslocamento em y Por fim encontrouse a área de aço da armadura tracionada a partir do Método de Blévot Frémy e os resultados foram confrontados com respostas obtidas a partir do Método dos Elementos Finitos para as quatro malhas analisadas Para a realização do dimensionamento considerouse 25cm d 4cm a0 40cm a 60cm e fyd 4347 kNcm² Os resultados são mostrados na Tabela 28 verificando uma melhora na aproximação dos resultados com o refinamento da malha Tabela 28 Área de Aço cm² Bloco de Fundação Blévot Frémy Presente Trabalho Presente Trabalho Blévot Frémy 328 elementos 1825 1635 090 360 elementos 1825 1691 092 392 elementos 1825 1817 099 654 elementos 1825 1846 101 5 Conclusão Em todas as aplicações realizadas observouse uma ótima convergência entre os resultados numéricos obtidos com o programa computacional implementado e as respostas encontradas por meio do software ANSYS 17 Logo verificase que a implementação desenvolvida foi bem sucedida contribuindo com valores precisos de tensões elementares tensões principais e deslocamentos das estruturas planas com comportamento elásticolinear O objetivo principal prático da pesquisa desenvolvida foi dimensionar as armaduras de aço tracionadas em alguns elementos estruturais estudados utilizando como base um programa computacional implementado em linguagem FORTRAN com formulação baseada no Método dos Elementos Finitos e realiza um comparativo com algumas prescrições normativas vigentes com o intuito de verificar a precisão dessas respostas Na análise feita por meio do modelo desenvolvido por Montoya el al 1 verificaramse também de forma numérica via Método dos Elementos Finitos diversos pontos em que há o surgimento de trincas visto que os valores de tensões obtidos ultrapassaram a resistência à tração do concreto Com relação à análise da vigaparede verificouse a formação das bielas e tirantes a partir da representação vetorial comprovando dessa forma as regiões comprimidas e tracionadas do elemento estrutural Em relação ao dimensionamento em duas aplicações consolos curtos e bloco de fundação verificouse boa aproximação ao serem comparados os resultados numéricos com a metodologia desenvolvida por Blévot Frémy Para a análise realizada no bloco de fundação verificouse que o refinamento na malha de elementos finitos proporcionou maior aproximação entre o valor de área de aço calculado numericamente e o resultado determinado a partir do método clássico desenvolvido por Blévot Frémy 8 Referências 1 Montoya PJ Meseger AG Cabré FM Hormigón Armado 13 ed Editorial Gustavo Gili Barcelona 1991 2 Schlaich J Schafer K Consistent Design of Structural Concrete Using Strut and Tie Model 5º Colóquio sobre comportamento e Projeto de estruturas PUC Rio de Janeiro 1988 3 Souza RA Análise dimensionamento e verificação de elementos especiais em concreto armado utilizando o método dos elementos finitos e o método das bielas Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería 2006 4 Fontes FF Análise Estrutural de elementos lineares segundo a NBR 61182003 Dissertação de Mestrado Escola de Engenharia de São Carlos USP São Carlos 2005 5 Vicente WM Oliveira W C Análise de Tensões em Placas Circulares Utilizando elementos Finitos Axissimétricos Trabalho Final de Graduação de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá Itajubá 2009 6 Delalibera RG Estudo experimental e analítico de blocos sobre estacas submetidos a momento e normal Qualificação de Doutorado Escola de Engenharia de São Carlos USP São Carlos 2005 7 Hobbs NB Stein P An investigation into the stress distribution in pile caps with some notes on design Proceedings of the Institution of Civil Engineers 1957 8 Blévot J Frémy R Semelles sur piex Analles d Institut Techique du Bâtiment et des Travaux Publlics Paris 1967 9 NBR6118 Projeto de Estruturas de Concreto Procedimento ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas Rio de Janeiro Brasil 2014 10 Fernandes R M EL DEBS MK Análise da capacidade resistente de consolos de concreto armado considerando a contribuição da armadura de costura Cadernos de Engenharia de Estruturas da UFSCar 2005 11 NBR9062 Projeto e execução de estruturas de concreto prémoldado ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas Rio de Janeiro Brasil 2006 12 Chandrupatla TR Belegundu AD Elementos Finitos Pearson Education do Brasil São Paulo 2014