Análise de VigasParede Aplicando Modelo de Biela e Tirante e Microtreliça

ANÁLISE DE VIGASPAREDE APLICANDO MODELO DE BIELA E TIRANTE E MICROTRELIÇA CHAIRA LACERDA NEPOMUCENO DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL FACULDADE DE TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA i UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL ANÁLISE DE VIGASPAREDE APLICANDO MODELO DE BIELA E TIRANTE E MICROTRELIÇA CHAIRA LACERDA NEPOMUCENO ORIENTADOR ANTÔNIO CARLOS DE OLIVEIRA MIRANDA COORIENTADOR GUILHERME SALES SOARES DE AZEVEDO MELO DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL PUBLICAÇÃO EDM 005A12 BRASÍLIADF ABRIL 2012 ii UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ANÁLISE DE VIGASPAREDE APLICANDO MODELO DE BIELA E TIRANTE E MICROTRELIÇA CHAIRA LACERDA NEPOMUCENO DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISÍTOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL APROVADA POR Prof Antônio Carlos de Oliveira Miranda DSc ENCUnB Orientador Prof William Taylor Matias da Silva Dr Ing ENCUnB Examinador Interno Prof Osvaldo Luís Manzoli Dr Ing UNESP Examinador Externo BRASÍLIADF 13 DE ABRIL DE 2012 iii FICHA CATALOGRÁFICA NEPOMUCENO CHAIRA LACERDA Análise de vigasparede aplicando modelo de biela e tirante e microtreliça Distrito Federal 2012 xvii 160p 297 mm ENCFTUnB Mestre Estruturas e Construção Civil 2012 Dissertação de Mestrado Universidade de Brasília Faculdade de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil e Ambiental 1Vigasparede 2Modelo de biela e tirante 3Microtreliça I ENCFTUnB II Título série REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA NEPOMUCENO CHAIRA LACERDA 2012 Análise de VigasParede aplicando Modelo de Biela e Tirante e Microtreliça Dissertação de Mestrado em Estruturas e Construção Civil Publicação EDM005A12 Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Universidade de Brasília Brasília DF 160p CESSÃO DE DIREITOS AUTOR Chaira Lacerda Nepomuceno TÍTULO Análise de VigasParede aplicando Modelo de Biela e Tirante e Microtreliça GRAU Mestre ANO 2012 É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte dessa dissertação de mestrado pode ser reproduzida sem autorização por escrito do autor Chaira Lacerda Nepomuceno Rua Perú no11 Vila Marabá 68464000 Tucuruí PA Brasil iv AGRADECIMENTOS Acima de tudo agradeço a força e o favor de Deus para superar e vencer todos os obstáculos Preciso agradecer imensamente aos professores orientadores Antônio Carlos de Oliveira Miranda e Guilherme Sales Soares de Azevedo Melo que acreditaram em mim e me proporcionaram as condições necessárias para concluir minha dissertação A vocês meus sinceros agradecimentos e profunda estima Não posso esquecerme do Professor William Taylor Matias que tanto colaborou para a conclusão deste trabalho Muito obrigada Aos colegas do PECC em especial a Nailde Dyorgge e Wagner que sempre me estenderam a mão nos momentos mais difíceis Devo muitos favores a vocês Podem cobrar Aos professores do PECC em especial ao Professor Luciano Bezerra uma pessoa simplesmente extraordinária uma mente brilhante e fonte de inspiração para toda a vida A querida Eva Veloso secretária do PECC pela simpatia disponibilidade em ajudar e receptividade aos novos alunos além do que pelo delicioso cafezinho E por último e não menos importante a minha família pois somente vocês sabem o quanto o ano de 2010 foi difícil para mim e por tudo o que eu passei para chegar até esse momento da defesa Graças a Deus o ano de 2011 foi melhor que 2010 Ao CNPq pelo auxílio financeiro a pesquisa v RESUMO ANÁLISE DE VIGASPAREDE APLICANDO MODELO DE BIELA E TIRANTE E MICROTRELIÇA Autora Chaira Lacerda Nepomuceno Orientador Antônio Carlos de Oliveira Miranda Coorientador Guilherme Sales Soares de Azevedo Melo Programa de Pósgraduação em Estruturas e Construção Civil Brasília 13 de abril de 2012 A proposta deste trabalho é estudar métodos analíticos e numéricos na predição de carga última e modo de ruptura de vigas parede Estudouse duas propostas analíticas a predição da carga última com o software CAST e a análise nãolinear com o software MicroTruss Analyzer Foram estudados quatro exemplos de vigas da literatura cada um com suas peculiaridades de maneira a explorar as potencialidades dos métodos de análise As vigas analisadas foram duas vigasparede biapoiadas sujeitas a duas cargas concentradas ensaiadas em 1980 por Giuseppe Guimarães uma viga contínua sujeita a duas cargas concentradas ensaiada por Rogowsky Ong e MacGregor em 1983 e uma viga em microconcreto ensaiada por Melo em 2011 Os resultados analíticos mostraramse bastante seguros e puderam prever o modo de ruptura de maneira adequada Em relação ao software CAST os resultados calculados mostraramse a favor da segurança no entanto subestimaram bastante a resistência dos elementos estruturais E por último os resultados com os modelos de microtreliça mostraramse bastante promissores Os valores encontrados para a carga última e as imagens do pós processamento se mostraram bastante coerentes vi ABSTRACT ANALYSIS OF DEEP BEAMS APLLYING STRUTANDTIE MODEL AND MICROTRUSS Autora Chaira Lacerda Nepomuceno Orientador Antônio Carlos de Oliveira Miranda Coorientador Guilherme Sales Soares de Azevedo Melo Programa de Pósgraduação em Estruturas e Construção Civil Brasília 13 de abril de 2012 The purpose of this study is to evaluate analytical and numerical methods of ultimate load and failure mode prediction of deep beams It has been studied two analytical purposes for simple beams e two for continuous deep beams the ultimate load prediction with CAST and nonlinear analysis software with MicroTruss Analyzer presented in this dissertation Four samples were analyzed each with its peculiarities in order to explore the potential of analytical methods It was analyzed two samples of simple deep beams subjected to two concentrated loads tested in 1980 by Giuseppe Guimarães a continuous beam subjected to two concentrated loads tested by Rogowsky MacGregor and Ong 1983 a beam with a hole in the soul and a tooth assayed by Ley in 2007 and a beam in microconcrete tested by Melo in 2011 The analytical results were very safe and could provide the failure mode as appropriate As for the software CAST the calculated results showed that for safety however quite underestimated the resistance of the structural elements Finally the results of microtruss samples were very promising The values found for the ultimate load and postprocessing of images proved to be quite consistent vii SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 1 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 6 21 VIGASPAREDE 6 211 Definições e aspectos normativos 6 212 Mecanismos de ruptura de vigasparede 8 22 ANALOGIA DA TRELIÇA 10 221 Introdução 10 222 Histórico 10 23 MODELO DE BIELA E TIRANTE 13 231 Introdução 13 232 Elementos da treliça 14 2321 Nós 14 2322 Bielas 16 2323 Tirantes 17 233 Avaliação da resistência efetiva das bielas regiões nodais e tirantes 18 2331 Segundo Schlaich et al 1987 19 2332 ACI 318 2008 Apêndice A 20 2333 CEBFIP Model Code 2010 2010 22 234 Direção das bielas e tirantes 23 2341 Lourenço Almeida 2004 24 2342 Liang 2002 26 2343 Liang et al 2006 28 2344 Nagarajan et al 2009 29 2345 Pantoja 2009 32 235 Influência da escolha do modelo de biela e tirante na resistência e desempenho do elemento estrutural 33 236 Resumo do capítulo 37 3 MODELO DE BIELA E TIRANTE PARA A PREDIÇÃO DA CARGA ÚLTIMA 38 31 Abordagem de Won et al 1998 para vigasparede simplesmente apoiadas sem armadura de alma 38 311 Resistência efetiva do concreto 39 viii 312 Geometria do modelo 40 313 Detalhe do nó CCT 40 314 Detalhe do nó CCC 41 315 Equilíbrio das forças 42 316 Checagem do modelo 43 317 Carga última 44 32 Abordagem de Zhang Tan 2007 para vigasparede simplesmente apoiadas sem armadura de alma 44 321 Equilíbrio das forças 45 322 Geometria das bielas 46 323 Tensões principais 46 324 Carga última 48 33 Abordagem de Zhang Tan 2007 para predição da carga última de vigas contínuas 49 331 Derivação das tensões na zona nodal A 54 332 Derivação das tensões na zona nodal B 55 333 Derivação das tensões na zona nodal C 57 334 Carga última 58 34 Modelo de predição da carga última e modo de ruptura de vigas contínuas de Nagarajan Pillai 2009 58 4 PROGRAMAS COMPUTACIONAIS 65 41 Visão geral do programa CAST 65 42 Software MicroTruss Analyzer 67 421 Discretização em Microtreliças 67 4221 Histórico do modelo reticulado 67 4222 Discretização em microtreliça 69 422 Modelo de dano contínuo isotrópico com duas variáveis escalares 78 423 Modelo constitutivo da armadura 81 4231 Modelo friccional unidimensional com endurecimento 85 424 Geração dos elementos de treliça 87 5 EXEMPLOS ANALISADOS 89 6 APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS 98 61 Resultados analíticos 98 611 Viga A2 de Guimarães 1980 98 ix 6111 Modelo de biela e tirante de Won et al 1998 98 6112 Modelo de biela e tirante de Zhang Tan 2007 103 612 Viga V5 de Rogowsky et al 1983 109 6121 Modelo de biela e tirante de Zhang Tan 2007 109 6121 Modelo de biela e tirante de Nagarajan Pillai 2009 113 62 Resultados com o CAST 116 621 Viga A1 de Guimarães 1980 116 622 Viga A2 de Guimarães 1980 122 63 Resultados com o MTA 129 631 Viga A2 de Guimarães 1980 131 632 Viga A1 de Guimarães 1980 136 633 Viga V5 de Rogowsky et al 1983 139 634 Viga R1b de Melo 2011 142 71 Viga A1 147 72 Viga A2 149 73 Viga V5 149 74 Viga R1b 153 7 CONCLUSÕES 155 REFERÊNCIAS 155 x LISTA DE FIGURAS Figura 21 Vão de cisalhamento a av2h vigaparede b av2h limite para classificação de uma vigaparede c av2h viga esbelta ACI 318 2008 7 Figura 22 Princípio de Saint Venant SAINT VENANT 1855 7 Figura 23 Ruptura por flexão em vigas biapoiadas SANTOS 1999 8 Figura 24 Ruptura por esmagamento da biela em uma viga biapoiada MELO 1984 9 Figura 25 Ruptura por tração diagonal em uma viga biapoiada MELO 1984 9 Figura 26 Ruptura por flexãocisalhamento em vigas biapoiadas SANTOS 1999 9 Figura 27 Modelo original da treliça de Ritter RITTER 1899 11 Figura 28 Adaptação de Mörsch a treliça de Ritter MÖRSCH 1902 11 Figura 29 Esquema estático de um a consolo curto b modelo de biela e tirante para um nó de pórtico e c dente Gerber KUCHMA TJHIN 2001 14 Figura 210 Nós singulares I e nós contínuos II FIB BULLETIN 52 2010 15 Figura 211 Nó hidrostático e nãohidrostático THOMPSON 2002 apud BROWN 2005 15 Figura 212 Tipos de bielas a prismática b em leque e c em forma de garrafa SCHLAICH et al 1987 17 Figura 213 Pressão radial das barras FIB BULLETIN 52 2010 18 Figura 214 Ancoragem no comprimento do apoio FIB BULLETIN 52 2010 18 Figura 215 Cálculo de no ACI 318 ACI 318 2008 21 Figura 216 Compressão uniaxial CEBFIB MC 2010 22 Figura 217 Compressão longitudinal e tração transversal CEBFIB MC 2010 22 Figura 218 Compressão longitudinal e armadura inclinada CEBFIB MC 2010 23 Figura 219 Modelo de biela e tirante baseado a na trajetória de tensões elásticas e b na distribuição de tensões na ruptura LOURENÇO ALMEIDA 2004 26 Figura 220 Estrutura de uma a ligação entre viga e pilar b topologia ótima c modelo de biela e tirante e d detalhamento da armadura LIANG 2002 28 Figura 221 a Esquema estático do bloco e b modelo de biela e tirante LIANG et al 2006 29 Figura 222 a Topologia ótima e b elementos unidos por nós LIANG et al 2006 29 Figura 223 Viga discretizada em microtreliça NAGARAJAN et al 2009 30 Figura 224 Vigaparede sujeita a uma carga concentrada no meio do vão e tensões principais de a compressão b tração e c modelo de biela e tirante NAGARAJAN et al 2009 30 xi Figura 225 Vigaparede sujeita a duas cargas concentradas simétricas tensões principais de a compressão b tração e c modelo de biela e tirante NAGARAJAN et al 2009 31 Figura 226 Vigaparede sujeita a um carregamento distribuído tensões principais de a compressão b tração e c modelo de biela e tirante NAGARAJAN et al 2009 31 Figura 227 Padrão de fissuração de uma vigaparede sujeita a uma carga concentrada no meio do vão a sob carga de serviço e b sob carga de ruptura NAGAJARAN 2009 32 Figura 228 Esquema do MOBITOT PANTOJA 2009 32 Figura 229 Vigaparede com abertura na alma LEY et al 2007 33 Figura 230 Trajetória de tensões de a compressão e b tração LEY et al 2007 34 Figura 231 Modelo 1 a MBT b Detalhamento da armadura sobreposto ao MBT e c Padrão de fissuração na ruína LEY et al 2007 34 Figura 232 Modelo 2 a MBT b Detalhamento da armadura sobreposto ao MBT e c Padrão de fissuração na ruína LEY et al 2007 35 Figura 233 Modelo 3 a MBT b Detalhamento da armadura sobreposto ao MBT e c Padrão de fissuração na ruína LEY et al 2007 35 Figura 234 Modelo 4 a MBT b Detalhamento da armadura sobreposto ao MBT e c Padrão de fissuração na ruína LEY et al 2007 35 Figura 235 Modelo 4i a MBT b Detalhamento da armadura sobreposto ao MBT e c Padrão de fissuração na ruína LEY et al 2007 35 Figura 236 Modelo 5 a MBT b Detalhamento da armadura sobreposto ao MBT e c Padrão de fissuração na ruína LEY et al 2007 36 Figura 237 Modelo sem armadura na ruína 6 LEY et al 2007 36 Figura 31 Dados estatísticos do modelo WON et al 1998 38 Figura 32 Modelagem do nó CCT WON et al 1998 40 Figura 33 Modelagem do nó CCC WON et al 1998 42 Figura 34 Forças atuantes no modelo de vigaparede WON et al 1998 42 Figura 35 Representatividade do modelo carga última calculada versus carga última experimental ZHANG TAN 2007 45 Figura 36 Distribuição nãouniforme da tensão principal de tração ZHANG TAN 2007 47 Figura 37 Algoritmo de implementação do modelo de Zhang Tan 2007 49 Figura 38 Modelo de biela e tirante para uma viga contínua com dois vãos submetida a duas cargas concentradas ZHANG TAN 2007 50 Figura 39 Representatividade do modelo carga última calculada versus carga última experimental ZHANG TAN 2007 50 xii Figura 310 Treliça equivalente para uma viga contínua com dois vãos submetida a duas cargas concentradas ZHANG TAN 2007 51 Figura 311 Zona nodal A ZHANG TAN 2007 54 Figura 312 Zona nodal B ZHANG TAN 2007 56 Figura 313 Zona nodal C ZHANG TAN 2007 57 Figura 314 Detalhe de uma viga contínua com dois vãos sujeita a duas cargas concentradas NAGARAJAN PILLAI 2009 58 Figura 315 Modelo de biela e tirante para uma viga contínua com dois vãos NAGARAJAN PILLAI 2009 59 Figura 316 Modelo de biela e tirante mostrando espessura das bielas e tirantes e zonas nodais NAGARAJAN PILLAI 2009 60 Figura 317 Treliça de momentos positivos NAGARAJAN PILLAI 2009 62 Figura 318 Treliça de momentos negativos NAGARAJAN PILLAI 2009 63 Figura 319 Modelo completo de treliça plástica NAGARAJAN PILLAI 2009 63 Figura 320 Representatividade do modelo carga real x carga calculada NAGARAJAN PILLAI 2009 64 Figura 41 Passos para implementação de um MBT Adaptado de BROWN 2005 66 Figura 42 Abordagem de fissuras discretas WANG 2002 68 Figura 43 Distinção entre a micro b meso e c macro nível para o concreto WANG 2002 69 Figura 44 Padrão de microtreliças para tensões planas SALEM 2004 70 Figura 45 Modelo treliçado de Niwa NIWA et al 1995 70 Figura 46 Formulação da matriz de rigidez do elemento de barra SALEM 2004 71 Figura 47 Matriz de rigidez do elemento de barra SALEM 2004 71 Figura 48 Modelos constitutivos nãolineares adotados para o concreto e o aço SALEM 2004 72 Figura 49 Esquema da viga analisada por microtreliças SALEM 2004 73 Figura 410 Deflexão e padrão de fissuração da viga analisada por microtreliças SALEM 2004 73 Figura 411 Localização dos a tirantes e b principais bielas na viga analisada SALEM 2004 73 Figura 412 Comparação entre os gráficos de carga x deslocamento obtidos numericamente e em laboratório SALEM 2004 74 Figura 413 Ângulo de inclinação das bielas em uma a análise linear e b análise não linear SALEM MAEKAWA 2006 74 xiii Figura 414 Estrutura de distribuição aleatória dos agregados graúdos NAGARAJAN et al 2010 75 Figura 415 Padrão de fissuraçao da tentativa a 1 b 2 e c 3 NAGARAJAN et al 2010 77 Figura 416 Comparacao do diagrama carga x deslocamento entre os resultados numéricos e experimentais NAGARAJAN et al 2010 77 Figura 417 Comportamento cíclico do concreto em condições unidimensionais 80 Figura 418 Algoritmo de integração do modelo de dano 81 Figura 419 Dispositivo friccional de Coulomb adaptada de Simo Hughes 1997 82 Figura 420 Padrão de elementos de treliça para o caso plano de tensões NAGARAJAN et al 2010 88 Figura 51 Viga A1 dimensões em milímetros mm adaptado de Guimarães 1980 89 Figura 52 Ensaio de compressão simples do concreto da viga A1 FERNANDES 2010 91 Figura 53 Viga A2 dimensões em milímetros mm adaptado de Guimarães 1980 92 Figura 55 Seção Transversal da viga V5 dimensões em milímetros mm adaptado de Rogowsky et al 1983 94 Figura 56 Curva carga x deslocamento no meio do vão da viga V5 710T1 Rogowsky et al 1983 94 Figura 57 a Viga R2b e b seção transversal da viga MELO 2011 96 Figura 58 Curva carga x deslocamento da viga R2b MELO 2011 97 Figura 61 MBT da viga A2 segundo Won et al 1995 103 Figura 62 MBT da viga A2 segundo Zhang Tan 2007 109 Figura 63 MBT para viga V5 segundo Zhang Tan 2007 112 Figura 64 Predição da carga última da viga A1 com MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do ACI 2008 116 Figura 65 Identificação do nós 118 Figura 66 Predição da carga última da viga A1 com MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do CEBFIP MC 2010 118 Figura 67 Predição da carga última da viga A1 com MBT de Won et al 1995 e fatores do ACI 2008 120 Figura 68 Predição da carga última da viga A1 com MBT de Won et al 1995 e fatores do CEBFIP MC 2010 121 Figura 69 Predição da carga última da viga A2 com MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do ACI 2008 123 xiv Figura 610 Identificação do nós 124 Figura 611 Predição da carga última da viga A2 com MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do CEBFIP MC 2010 124 Figura 613 Identificação do nós 127 Figura 614 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A2 MBT de Won et al 1995 e fatores do CEBFIP MC 2010 127 Figura 616 Barra de ferramentas do MTA 129 Figura 617 Definição do refinamento da malha 130 Figura 618 Definição dos parâmetros globais 130 Figura 619 Definição das condições de apoio 130 Figura 620 Definição do carregamento 130 Figura 621 Localização dos nós analisados da viga A2 134 Figura 622 Resultado da análise AN1V2 135 Figura 623 Resultado da análise AN2V2 136 Figura 625 Localização dos nós analisados da viga A1 malha M2 138 Figura 626 Localização dos nós analisados da viga A1 malha M2 139 Figura 627 Localização dos nós analisados da viga V5 malha M1 140 Figura 628 Resultado da análise AN1V5 141 Figura 629 Resultado da análise AN2V5 142 Figura 631 Resultado da análise AN1R1B 144 Figura 632 Resultado da análise AN2R1B 145 Figura 633 Resultado da análise AN3R1B 146 Figura 71 Escala do nível de tensão para distribuição de tensões 147 Figura 72 Escala de nível de tensão para distribuição de dano 147 Figura 73 Trajetória de tensões de a compressão e b tração para o passo inicial 148 Figura 74 Trajetória de tensões de a compressão e b tração para o último passo de carga 148 Figura 75 Deformada distribuição do dano a a compressão na Viga A1 e b a tração na Viga A1 para o último passo de carga 15x 148 Figura 76 Ruptura da viga A1 GUIMARÃES 1980 149 Figura 7 7 Deformada distribuição do dano a tração na Viga A2 passo 3 149 Figura 7 8 Deformada distribuição do dano a tração na Viga A2 passo 4 30x 149 Figura 79 Trajetória de tensões de compressão na Viga A2 passo 1 150 Figura 710 Trajetória de tensões de tração na Viga A2 passo 1 150 xv Figura 711 Trajetória de tensões de compressão na Viga A2 passo 4 150 Figura 712 Trajetória de tensões de tração na Viga A2 passo 4 150 Figura 713 Distribuição do dano a tração na Viga A2 passo 4 150 Figura 714 Distribuição do dano a compressão na Viga A2 passo 4 150 Figura 7 15 Distribuição de tensões de tração no a passo 1 b passo 2 c passo 3 e d passo 4 151 Figura 7 16 Distribuição de tensões de compressão no a passo 1 b no passo 2 c no passo 3 e d no passo 4 151 Figura 717 Distribuição do dano a tração no a passo 1 b no passo 2 c no passo 3 e d no passo 4 152 Figura 718 Distribuição do dano a compressão no a passo 1 b passo 2 c passo 3 d passo 4 152 Figura 7 19 Deformada Distribuição do dano a compressão no passo 4 15x 153 Figura 7 20 Deformada Distribuição do dano a tração no passo 4 15x 153 Figura 7 21 Ruptura da viga V5 ROGOWSKY et al 1983 153 Figura 7 22 Distribuição das trajetórias de tensão de tração no passo 4 154 Figura 7 23 Distribuição das trajetórias de tensão de compressão no passo 4 154 Figura 7 24 Deformada Distribuição do dano a tração no passo 4 50x 154 Figura 725 Distribuição do dano a compressão no passo 4 50x 154 Figura 726 Evolução da ruptura da viga R1b MELO 2011 154 xvi LISTA DE TABELAS Tabela 21 Resultados experimentais Adaptado de LEY et al 2007 36 Tabela 41 Predição da carga última NAGARAJAN et al 2010 76 Tabela 42 Situações de carregamento para o modelo de elastoplasticidade 85 Tabela 43 Sumário das principais equações governantes do modelo friccional unidimensional com endurecimento FERNANDES 2010 86 Tabela 51 Propriedades da viga A1 90 Tabela 52 Propriedades da viga A2 92 Tabela 53 Propriedades da viga V5 710 T1 95 Tabela 54 Dados da viga R2b 96 Tabela 61 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A1 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do ACI 2008 117 Tabela 62 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A1 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do ACI 2008 117 Tabela 63 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A1 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do CEBFIP MC 2010 119 Tabela 64 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A1 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do CEBFIP MC 2010 119 Tabela 65 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A1 MBT de Won et al 1995 e fatores do ACI 2008 120 Tabela 66 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A1 MBT de Won et al 1995 e fatores do ACI 2008 120 Tabela 67 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A1 MBT de Won et al 1995 e fatores do CEBFIP MC 2010 122 Tabela 68 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A1 MBT de Won et al 1995 e fatores do CEBFIP MC 2010 122 Tabela 69 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A2 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do ACI 2008 123 Tabela 610 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A2 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do ACI 2008 123 Tabela 611 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A2 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do CEBFIP MC 2010 124 Tabela 612 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A2 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do CEBFIP MC 2010 125 xvii Tabela 613 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A2 MBT de Won et al 1995 e fatores do ACI 2008 126 Tabela 614 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A2 MBT de Won et al 1995 e fatores do ACI 2008 126 Tabela 615 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A2 MBT de Won et al 1995 e fatores do CEBFIP MC 2010 128 Tabela 616 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A2 MBT de Won et al 1995 e fatores do CEBFIP MC 2010 128 Tabela 617 Propriedades atribuídas à viga A2 no MTA 132 Tabela 618 Modelo de cabeçalho do programa Microtruss Analyzer 132 Tabela 619 Variáveis valores e subrotinas correspondentes 133 Tabela 620 Resumo da análise AN1V2 134 Tabela 621 Resumo da análise AN2V2 136 Tabela 622 Propriedades atribuídas a viga A1 no MTA 137 Tabela 623 Resumo da análise AN1V1 137 Tabela 624 Propriedades atribuídas a viga V5 no MTA 139 Tabela 625 Resumo da análise AN1V5 140 Tabela 626 Resumo da análise AN2V5 141 Tabela 627 Propriedades atribuídas a viga S8 no MTA 142 Tabela 628 Resumo da análise AN1R1B 143 Tabela 629 Resumo da análise AN2R1B 144 Tabela 630 Resumo da análise AN3R1B 145 1 1 INTRODUÇÃO Ainda que o comportamento do concreto armado sob cisalhamento tenha sido estudado por mais de 100 anos a dificuldade em determinar a resistência ao cisalhamento do concreto armado ainda persiste A maioria dos códigos normativos apresenta formulações que podem predizer a carga última à flexão com um erro máximo de 10 Entretanto em se tratando de cisalhamento verificase que os resultados encontrados por meio de diferentes formulações pode variar até uma razão de 2 BENTZ et al 2006 No caso da flexão a hipótese das seções planas hipótese de Bernoulli fornece uma teoria simples e aceita universalmente para a predição da resistência à flexão O dimensionamento de elementos de concreto armado é facilitado a partir desta hipótese pois é possível assumir que a distribuição das deformações ao longo da altura da seção perpendicular do elemento é mantida linear Além disso costumase desprezar as deformações de distorção provocadas pelo cisalhamento Em relação ao cisalhamento não há acordo para uma base científica racional que possa conduzir a resultados satisfatórios BENTZ et al 2006 As tensões de cisalhamento provocam na seção transversal uma deformação tipo empenamento de modo que a seção plana antes da flexão não permanecerá plana depois da mesma TIMOSHENKO GERE 1994 e os modelos de cálculo baseados nas propriedades das seções não são válidos quando as seções planas não permanecem planas devido à ação dos esforços Ensaios experimentais têm demonstrado que a hipótese de Bernoulli pode ser aplicada satisfatoriamente a vigas elaboradas de qualquer material especialmente quando o comprimento da viga é muito maior que a altura da seção Entretanto em regiões de um elemento estrutural submetidas a perturbações seja de natureza estática presença de cargas concentradas ou apoios discretos ou de natureza geométrica mudanças bruscas na geometria da peça a hipótese deixa de ser válida Nessas regiões de perturbação as deformações provocadas pelo cisalhamento apresentam valores significativos obrigando a sua consideração no dimensionamento do elemento As regiões de perturbação são delimitadas por meio da aplicação do princípio de SaintVenant que estabelece que se existem dois sistemas estaticamente equivalentes de forças sendo aplicadas na mesma região de um contorno em corpos diferentes mas geometricamente idênticos as diferenças ocorridas nas tensões serão desprezíveis em regiões 2 suficientemente afastadas da área de aplicação das cargas No entanto imediatamente abaixo do ponto de aplicação das cargas surgirão diferenças significativas de tensão Aplicandose este princípio podese dividir uma estrutura em regiões contínuas e descontínuas nas regiões contínuas ou B Bernoulli ou Beam aplicase a hipótese de Bernoulli e nas regiões descontínuas ou D Disturbed ou Discontinuity a hipótese de Bernoulli deixa de ser válida devido à existência de perturbações Algumas estruturas especiais apresentam apenas regiões D em sua geometria devido às dimensões reduzidas abertura nos vãos mudanças bruscas na geometria ou aplicação de cargas concentradas Essa situação é típica de blocos rígidos sobre estacas nós de pórticos consolos curtos e vigasparede objeto de estudo desta dissertação As regiões D em geral têm sido dimensionadas com base no empirismo e experiências passadas por décadas o que tem causado um desempenho da estrutura inferior ao esperado ou mesmo a ruína Nestes casos devese adotar uma solução que leve em consideração a nãolinearidade das tensões e deformações conforme recomendação dos códigos normativos atuais tais como o ACI 318 2008 e a NBR 6118 2007 que recomendam a utilização de ferramentas de análise nãolinear no dimensionamento modelos elásticos ou ainda o modelo de biela e tirante Nesse contexto são apresentados os objetivos deste estudo 11 Objetivo geral Conforme explicitado acima a NBR 6118 sugere a utilização de modelos analíticos modelo de biela e tirante e numéricos no dimensionamento de vigasparede Desta forma temse por objetivo deste trabalho verificar a precisão dos modelos comparandoos com resultados experimentais O objetivo geral deste trabalho é verificar a capacidade dos modelos analíticos e de modelos numéricos análise nãolinear de um modelo discretizado em microtreliças uma generalização recente do modelo de biela e tirante de representar resultados experimentais como a carga última e modo de ruptura de vigasparede com precisão satisfatória 3 Para o alcance deste objetivo serão utilizadas as seguintes ferramentas Abordagens analíticas do modelo de biela e tirante para predição da carga última e modo de ruptura de vigasparede O software CAST Computer Aided StrutandTie para a verificação do modelo de biela e tirante O software MicroTruss Analyzer de análise nãolinear utilizando discretização em elementos de treliça desenvolvido pelos professores do PECC Antônio Carlos de Oliveira Miranda e William Taylor Matias 12 Objetivos específicos Como objetivos específicos esperase Contribuir ao estudo do modelo de biela e tirante assim como ao estudo de vigasparede Fornecer embasamento teórico para utilização do programa CAST Calibrar e otimizar o software MicroTruss Analyzer 13 Justificativas É notável a importância das vigasparede enquanto elementos estruturais Como aplicações típicas citamse os reservatórios elevados cujas paredes recebem as ações uniformemente distribuídas provenientes das lajes de tampa e de fundo e transmitem essas ações aos pilares funcionando como vigas Em algumas estruturas de edifícios funcionam como vigas de transição absorvendo a força de um ou mais pilares e transferindoa a outros pilares É muito freqüente também o uso como cortinas em pavimentos de subsolo ou garagem sendo calculada como vigaparede e como laje vertical submetida às ações provenientes do empuxo do solo SILVA GIONGO 2000 Entretanto o projetista de estruturas se depara com a existência de poucas alternativas que podem guiar um dimensionamento seguro eficaz e econômico de uma viga parede devido ao complexo estado de tensões do elemento Nesse sentido a norma brasileira deixa a desejar quando não presta maiores esclarecimentos e não indica outra referência no assunto Além disso o conceito de vigaparede utilizado pela norma encontrase desatualizado 4 Entre os modelos utilizados no dimensionamento de vigasparede temse um boom de utilização do modelo de biela e tirante Schlaich Schafer Jennewein 1987 não mediram esforços na tentativa de sistematizar e disseminar a utilização do modelo de biela e tirante no dimensionamento de regiões D e evitar dimensionamentos inseguros baseados no empirismo e em experiências passadas Entretanto uma utilização inadvertida do modelo de biela e tirante pode ocasionar um desempenho inferior da estrutura O modelo tem por base o mecanismo resistente das vigas de concreto armado Buscandose representar uma estrutura real constróise um modelo idealizado constituído de barras comprimidas e tracionadas unidas por nós tal qual uma treliça arranjadas de maneira a seguir o caminho das cargas no interior do elemento estrutural Aparentemente se trata de algo muito simples no entanto a definição da geometria da treliça não deve ser guiada apenas por intuição do projetista A utilização de ferramentas de análise nãolinear consiste em uma alternativa para o dimensionamento de vigasparede tendo como principal vantagem obter informações a respeito do estado limite de serviço predição da carga última e obtenção do gráfico carga x deslocamento Contudo os principais softwares comumente utilizados na elaboração de modelos numéricos de analise nãolinear são demasiadamente caros e complexos E ainda esse tipo de tecnologia não está disseminada no meio técnico Nesse sentido é de interesse o desenvolvimento de ferramentas alternativas e a existência de referências que orientem e exemplifiquem a utilização destas Neste trabalho propõese a criação de uma ferramenta computacional de análise não linear por meio de microtreliças denominada MicroTruss Analyzer Baseada em trabalhos anteriores propõese uma discretização da região D em elementos de barras Contudo diferentemente de publicações anteriores é proposta uma disposição aleatória das barras de forma que melhor se adéqüem ao contorno da estrutura e melhor representem as concentrações de tensões existentes Por este método é possível ter uma estimativa segura da carga última do elemento estrutural em questão e ainda o gráfico carga x deslocamento sendo útil também na previsão do comportamento do elemento sob carga de serviço A análise efetuada com o software permite ainda a visualização clara das bielas e tirantes no interior da estrutura constituindose de uma ferramenta didática no ensino do modelo de biela e tirante 5 14 Estrutura do trabalho A dissertação está estruturada em 8 capítulos na seguinte ordenação Capítulo 1 Introdução Capítulo 2 Revisão Bibliográfica apresenta dois tópicos principais o primeiro trata de vigasparede e o segundo sobre o modelo de biela e tirante Capítulo 3 Modelos de biela e tirante para a predição da carga última de vigas parede serão abordados os modelos analíticos para predição do modo de ruptura e da carga última de vigasparede e apresentados os exemplos a serem analisados Capítulo 4 Programas computacionais são apresentados os programas computacionais empregados nas análises numéricas o CAST e o MicroTruss Analyzer Capítulo 5 Exemplos analisados Capítulo 6 Resultados apresenta a comparação entre os resultados analíticos numéricos e experimentais Capítulo 7 Pósprocessamento com o MicroTruss Analyzer Capítulo 8 Conclusões e sugestões para trabalhos futuros Referências Bibliográficas 6 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 21 VIGASPAREDE 211 Definições e aspectos normativos Em 1978 as vigasparede foram definidas por Leonhardt Monnig como chapas que possuem apoios semelhantes às vigas Os autores acima citados perceberam que para ld 2 onde l representa o vão e d a altura útil para vigas com um único vão e para ld 3 para vigas contínuas observase um comportamento de vigaparede Foi por meio do diagrama de deformações x que Leonhardt Monnig estipularam um limite entre vigasparede e vigas comuns No caso de vigasparede não se aplica a Hipótese de Bernoulli não havendo assim a linearidade na distribuição de tensões e deformações Várias normas que abordam o conceito de vigaparede Por exemplo a norma brasileira NBR 6118 2003 e a norma americana ACI 318 2008 A NBR 6118 2003 classifica as vigasparede como elementos especiais por caracterizarem um comportamento que não respeita a hipótese das seções planas E desta forma devem ser calculadas e dimensionadas por modelos teóricos apropriados tais como modelos elásticos ou nãolineares ou modelo de biela e tirante São definidas como estruturas planas verticais apoiadas de modo descontínuo e são consideradas vigasparede as vigas altas cuja relação lh 2 para vigas biapoiadas e lh 3 em vigas contínuas Podese verificar que a definição e a limitação de viga parede da NBR 6118 2003 se assemelha a utilizada por Leonhardt Monnig em 1978 Por outro lado o ACI 318 2008 define que uma vigaparede é uma viga na qual uma parcela significante da carga aplicada é transferida aos apoios por meio de uma biela que liga a carga à reação Esse fenômeno ocorre se uma carga concentrada atua a uma distância 2d ou menor do apoio onde d é a altura útil da viga ou para vigas submetidas a um carregamento uniformemente distribuído com uma relação entre comprimento e altura menor que 4 conforme figura 21 Quanto aos métodos de dimensionamento o ACI 318 2008 recomenda a utilização de ferramentas de análise nãolinear ou que estes elementos sejam dimensionados por meio de modelos de biela e tirante do qual trata o apêndice A Verificase que o ACI é mais rigoroso na classificação e definição destes elementos e ainda que leva em consideração o vão de cisalhamento da viga para classificála enquanto vigaparede 7 a b c Figura 21 Vão de cisalhamento a av2h vigaparede b av2h limite para classificação de uma vigaparede c av2h viga esbelta ACI 318 2008 O princípio de Saint Venant e a subdivisão da estrutura em regiões B e D são a base científica da definição do ACI Admitese em geral que a perturbação causada por uma carga concentrada reação de apoio ou descontinuidade geométrica se propaga por uma distância b do local onde atua a perturbação a partir daí iniciase a regularização das tensões figura 22 Essa perturbação se traduz em distribuição de tensões e deformações não lineares Figura 22 Princípio de Saint Venant SAINT VENANT 1855 Baseado no que foi exposto brevemente podese concluir que a classificação adotada pela norma brasileira é incompleta pois não leva em consideração a existência de perturbações na viga tais como a ocorrência de cargas concentradas como considera o ACI Adicionalmente Schlaich et al 1987 afirmam que uma simples regra do tipo lh para classificar vigas vigasparede consolos curtos e consolos longos pode levar a enganos Recomendam ainda que para uma melhor classificação tanto as descontinuidades geométricas quanto a ocorrência de cargas concentradas devem ser levadas em conta 8 212 Mecanismos de ruptura de vigasparede Para uma taxa geométrica de armadura principal de tração bem distribuída e ancorada a resistência a flexão de uma vigaparede é sempre superior à de cisalhamento GUIMARÃES 1980 o que acaba por priorizar a ocorrência de uma ruptura por cisalhamento Este tipo de ruína pode ser frágil e catastrófica nesse contexto tornase importante conhecer os modos de ruptura de vigasparede Ruptura por flexão figura 23 se caracteriza pelo escoamento da armadura de flexão no meio do vão Surgem fissuras verticais que se prolongam da base da viga até quase toda a sua altura A ruptura se dá por escoamento da armadura ocorrendo por vezes o esmagamento do concreto Figura 23 Ruptura por flexão em vigas biapoiadas SANTOS 1999 Ruptura por cisalhamento depende fundamentalmente da localização e distribuição das cargas aplicadas Em vigasparede biapoiadas submetidas a um carregamento aplicado no bordo superior a ruptura tem início com a formação de uma fissura diagonal em ambos os vãos de cisalhamento próxima aos apoios e que se propaga em direção ao ponto de aplicação da carga concentrada ou a 13 do vão a partir do apoio no caso de uma carga distribuída Em vigas biapoiadas a ruptura por cisalhamento se subdivide em ruptura por compressão diagonal figura 24 e tração diagonal ou fendilhamento figura 25 Neste primeiro modo após o aparecimento da primeira fissura de cisalhamento entre o apoio e o ponto de aplicação da carga surgem novas fissuras paralelas a primeira formando uma biela comprimida que é esmagada 9 Figura 24 Ruptura por esmagamento da biela em uma viga biapoiada MELO 1984 A ruptura por tração diagonal ou fendilhamento ocorre logo após a formação da fissura diagonal sem esmagamento do concreto Com o acréscimo de carga aumentam as forças de compressão na biela e conseqüentemente a tração indireta transversalmente ao campo de compressão Este tipo de ruptura é semelhante à ruptura de corpos de prova cilíndricos ensaiados a compressão diametral MELO 1984 Figura 25 Ruptura por tração diagonal em uma viga biapoiada MELO 1984 Ruptura por flexãocisalhamento figura 26 iniciase pelo escoamento da armadura seguido pelo esmagamento do concreto na zona comprimida Entretanto a resistência última ao cisalhamento é atingida antes do esmagamento total do concreto Figura 26 Ruptura por flexãocisalhamento em vigas biapoiadas SANTOS 1999 Ruptura por esmagamento do concreto sobre o apoio ou sob cargas concentradas ruptura local o estado de tensões sobre os apoios e locais de aplicação de cargas 10 concentradas é tal que pode ocorrer esmagamento do concreto nestas regiões MELO 1984 antes que seja esgotada toda a capacidade resistente da viga 22 ANALOGIA DA TRELIÇA 221 Introdução De maneira geral os elementos estruturais mais comuns de concreto armado ou protendido são dimensionados utilizando métodos simplificados que desprezam as deformações causadas pelo cisalhamento e admitem uma distribuição linear de deformações ao longo da seção perpendicular Entretanto para regiões D o esforço cortante é preponderante e os métodos de cálculo usuais são pouco eficientes conduzindo a dimensionamentos inseguros E assim o dimensionamento de regiões D tem sido feito por décadas considerandose experiências práticas utilizadas sem maiores problemas no passado Os códigos normativos atuais recomendam a utilização de análise de tensões elásticas utilizando elementos finitos análises nãolineares e mais recentemente o emprego do método de biela e tirante no dimensionamento de regiões D que consiste em supor a estrutura real formada por uma treliça composta de bielas comprimidas tirantes e nós Schlaich et al 1987 não mediram esforços na tentativa de sistematizar o uso do modelo de biela e tirante no dimensionamento de estruturas de concreto Entretanto devese a Ritter e Mörsch na virada do século XX os primeiros passos do modelo de biela e tirante a analogia da treliça 222 Histórico Em 1899 Wilhelm Ritter desenvolveu uma teoria em que o mecanismo resistente de uma viga no estádio II fissurado pudesse ser associado ao funcionamento de uma treliça para determinar a armadura transversal necessária para o equilíbrio de uma viga e explicar o papel dos estribos na resistência ao cisalhamento figura 27 Anteriormente acreditavase que os estribos causavam um efeito de pino que resistia ao esforço cortante horizontal Baseado no modelo de treliça de Ritter ficou claro que os estribos sofrem esforços de tração e que o efeito de pino não é a principal parcela resistente ao cisalhamento Em 1902 o modelo de Ritter foi refinado por Mörsch que percebeu que a representação discreta das forças diagonais que Ritter utilizou em sua treliça seria mais bem 11 representada por campos de tensão de compressão figura 28 Esse modelo ficou conhecido como treliça de Mörsch ou ainda analogia da treliça A treliça de Mörsch baseiase na inclinação fixa de 45 para as bielas comprimidas de concreto e de 45 direção das tensões principais de tração a 90 de inclinação para a armadura de cisalhamento Figura 27 Modelo original da treliça de Ritter RITTER 1899 Figura 28 Adaptação de Mörsch a treliça de Ritter MÖRSCH 1902 Pesquisas experimentais mostraram no entanto que a analogia da treliça produzia resultados de resistência ao cisalhamento muito conservadores pois negligenciava a contribuição do concreto além de que a tensão real na armadura era menor que a calculada por meio da treliça de Mörsch o que conduzia a uma armadura transversal exagerada Isso porque a abordagem de Mörsch não considerava os seguintes fatores A treliça é hiperestática ou seja os nós não podem ser considerados como articulações perfeitas Os banzos não são paralelos Parte do esforço cortante é absorvido pelo banzo de concreto comprimido Existe certo grau de engastamento na ligação da biela comprimida com o banzo superior e assim as bielas são submetidas à flexocompressão aliviando os montantes 12 As bielas são mais rígidas que os montantes e absorvem mais esforço cortante que o determinado pela analogia da treliça Portanto a parcela de esforço cortante será menor na armadura transversal quanto maior for a largura da alma da viga Nas regiões mais solicitadas pelo esforço cortante a inclinação das bielas é menor que 45º A quantidade de armadura longitudinal influi no esforço da armadura transversal Nos elementos de concreto submetidos ao esforço cortante existem ainda outros mecanismos resistentes além da própria armadura transversal como efeito de arco encaixe dos agregados e o efeito de pino da armadura longitudinal Anos depois em 1927 Richart propôs um método de dimensionamento ao esforço cortante onde as contribuições do aço e do concreto seriam calculadas independentemente e somadas para determinar a capacidade resistente da peça RICHART 1927 Tal método estimava a capacidade resistente do concreto baseado em observações de vigas rompidas por cisalhamento e estimava a contribuição do aço por meio da analogia da treliça considerando os campos de tensões do concreto atuando a 45 da armadura longitudinal O tema ficou esquecido até meados dos anos 70 quando o assunto voltou a interessar pesquisadores americanos e o método foi aplicado a elementos submetidos a uma combinação de esforço cortante e momento torçor E assim a analogia da treliça foi sendo refinada visando implementála e adequála aos resultados experimentais por pesquisadores como Leonhardt Rüsch e Kupfer O primeiro desenvolvimento importante foi a generalização do ângulo de inclinação das bielas de concreto considerado 45 por Mörsch Entretanto a base científica para uma aplicação racional do método e sua relação com a teoria da plasticidade foi estabelecida por Thurlimann Marti e Mueller Mais tarde Marti 1985 e Schlaich et al 1987 apresentaram uma abordagem do método para o dimensionamento de regiões descontínuas A proposta apresentada por Schlaich et al 1987 foi de generalizar a analogia da treliça de modo a aplicála na forma de biela e tirante para qualquer parte da estrutura não apenas regiões descontínuas A norma canadense CSA Standard foi a primeira a adotar o modelo de biela e tirante em 1984 para o dimensionamento de regiões descontínuas Em 1989 a AASHTO adotou o modelo e apenas em 2002 o ACI incluiu referências do modelo em seu código 13 normativo Em 2003 a ABNT incluiu na norma brasileira NBR 6118 referência acerca deste método 23 MODELO DE BIELA E TIRANTE 231 Introdução O modelo de biela e tirante tem por base o mecanismo resistente das vigas de concreto armado buscandose representar a estrutura real constróise um modelo idealizado o qual é constituído por barras comprimidas e tracionadas unidas por nós tal qual uma treliça Em outras palavras o modelo consiste em uma representação discreta dos campos de tensão de tração e compressão nos elementos estruturais sendo que as bielas representam os campos principais de compressão e os tirantes representam os campos principais de tração Uma das grandes vantagens do modelo de biela e tirante é analisar a estrutura em questão sem a necessidade de separar os esforços solicitantes e as forças internas para equilibrálos constituindose em um modelo mais realista Entre outras vantagens qualquer estrutura pode ser representada por biela e tirante sendo bastante útil em elementos que apresentam um complexo estado de tensões tais como em vigasparede consolos dentes Gerber cunhas de ancoragem de protensão entre outras situações abrangendo estruturas de concreto armado e protendido figura 29 O método é baseado no teorema do limite inferior da plasticidade Esse teorema baseiase no princípio de que se o equilíbrio e os critérios de ruptura são satisfeitos um limite inferior para a carga última é obtido A compatibilização de deformações não é considerada no modelo pois não é exigida no teorema do limite inferior e até mesmo devido à complexa distribuição de deformações nãolineares que existe em regiões D 14 Figura 29 Esquema estático de um a consolo curto b modelo de biela e tirante para um nó de pórtico e c dente Gerber KUCHMA TJHIN 2001 Certo conservadorismo é inerente ao modelo outra vantagem do método devido a sua concepção estar atrelada ao teorema do limite inferior Entretanto é assumido que há capacidade de deformação suficiente para que as forças na estrutura sejam distribuídas de acordo com o modelo o que pode ocasionar fissuração excessiva devido ao comportamento plástico assumido uma vez que as condições de compatibilidade de deformações não são exigidas No entanto são impostas algumas limitações ao modelo visando evitar problemas desta natureza como por exemplo as limitações dos ângulos entre bielas e tirantes e taxas de armadura mínima recomendada por códigos normativos 232 Elementos da treliça A seguir serão detalhados os elementos constituintes do modelo de biela e tirante 2321 Nós Os nós idealizam pontos de interseção entre os elementos da treliça Na realidade são regiões onde as tensões são desviadas por certo comprimento Em uma estrutura a maioria dos nós é do tipo contínuo onde os campos de tensões no concreto se equilibram ou são desviados em comprimentos satisfatórios Esses nós não são críticos no projeto e é suficiente que seja verificada a ancoragem das barras que nele concorrem a b c 15 Por outro lado se ocorre concentração de tensões no concreto e o desvio das forças ou ancoragem são feitos localizadamente os nós são chamado de singulares ou concentrados Esse tipo de nó geralmente governa a resistência e as dimensões do elemento estrutural A figura 210 apresenta os tipos de nó e a diferença entre eles Figura 210 Nós singulares I e nós contínuos II FIB BULLETIN 52 2010 Figura 211 Nó hidrostático e nãohidrostático THOMPSON 2002 apud BROWN 2005 Quanto às tensões atuantes em cada face um nó pode ser classificado em hidrostático e nãohidrostático Se um nó é dimensionado de forma que as tensões em todas as faces sejam iguais esse é considerado um nó hidrostático Neste tipo de nó as tensões principais são iguais e portanto não há cisalhamento figura 211 A ausência de esforço cortante no nó é uma das grandes vantagens do nó hidrostático mas a grande desvantagem é a dificuldade em dimensionar as faces obedecendo às limitações entre os ângulos 16 Por outro lado em um nó nãohidrostático não é necessário que todas as faces tenham a mesma tensão Entretanto Schlaich et al 1987 recomenda que a razão entre a dimensão da maior face e a menor seja no máximo 2 para limitar o cisalhamento Schafer Schlaich 1988 propuseram um método simplificado para configurações típicas de nós Segundo os pesquisadores citados o nó tem sua geometria definida pela interseção das dimensões das bielas e tirantes cujos eixos devem coincidir Assim as tensões planas atuantes em todos os lados da região nodal não precisam ser iguais porém as tensões em cada lado do nó devem ser constantes e permanecer abaixo de um limite préestabelecido para a tensão nodal Os nós são nomeados de acordo com a quantidade de bielas e tirantes que nele se cruzam Por exemplo se três bielas comprimidas se cruzam em um nó este é chamado de nó CCC Se duas bielas comprimidas e um tirante se interceptam em um nó este é chamado de CCT e assim por diante Se mais de três elementos se interceptam em um nó com ângulos diferentes elementos similares podem ser combinados em um atuando como uma força resultante 2322 Bielas As bielas representam discretizações dos campos de compressão no concreto delimitadas por uma diagonal de concreto formada por duas fissuras consecutivas Dependendo da forma como as tensões se distribuem dentro da estrutura existem três configurações típicas para as bielas de concreto figura 212 descritas com maiores detalhes a seguir Biela prismática prismatic tratase de um campo de tensão que se distribui uniformemente sem perturbação e que não produz tensão transversal de tração Biela em leque fanshaped tratase de uma idealização de um campo de tensão com curvatura desprezível que não desenvolve tensão transversal de tração Biela em garrafa bottleshaped tratase de um tipo de biela que possui a distribuição de tensão em linhas curvilíneas com afunilamento da seção e que desenvolve tensões transversais de tração A tração transversal combinada com a compressão longitudinal pode causar fissuras que levam a uma ruptura prematura do concreto 17 a b c Figura 212 Tipos de bielas a prismática b em leque e c em forma de garrafa SCHLAICH et al 1987 2323 Tirantes As forças de tração no modelo de biela e tirante são normalmente absorvidas por tirantes constituídos de barras de aço Em situações especiais pode ser necessário utilizar tirantes de concreto como por exemplo nas bielas do tipo garrafa nãoarmadas transversalmente Uma grande preocupação em relação aos tirantes é a ancoragem da armadura É recomendável a utilização de barras mais finas e em maior quantidade de camadas pois se deve disponibilizar as armaduras ao longo de uma área suficientemente grande de maneira a evitar o esmagamento das regiões nodais A ancoragem das barras por aderência consiste essencialmente em uma transferência de carga por tensão de compressão no concreto pelas mossas das barras de aço ou por pressão radial das barras dobradas figura 213 e se inicia onde a trajetória de tensões de compressão encontra a barra ancorada e são desviadas pelas tensões de aderência Sobre o apoio a ancoragem se inicia no começo da seção do apoio e deve ser estender no mínimo até o fim do apoio figura 214 Entretanto o comprimento dentro do nó pode não ser suficiente para satisfazer a ancoragem necessária e neste caso devese prolongar a barra além do nó o que faz com que parte da força no tirante seja considerada como uma força de compressão atuando por detrás do nó A ancoragem ideal em um nó do tipo CCT é feita com uma placa de ancoragem segundo FIB Bulletin 52 2010 que transfere a força por detrás do nó causando compressão no mesmo e aumentando a resistência nodal 18 Figura 213 Pressão radial das barras FIB BULLETIN 52 2010 Figura 214 Ancoragem no comprimento do apoio FIB BULLETIN 52 2010 233 Avaliação da resistência efetiva das bielas regiões nodais e tirantes Em geral a resistência efetiva dos tirantes constituídos de uma armadura passiva ou ativa é garantida por uma simples minoração da resistência do aço do tipo para aços de resistência normal 21 para aços de protensão 22 Onde é o coeficiente de minoração da resistência do aço Entretanto uma estimativa conservadora da resistência a compressão das bielas e zonas nodais é crucial para garantir segurança estrutural e priorizar que o escoamento da armadura longitudinal ocorra antes do esmagamento do concreto Se não ocorre o escoamento ou mesmo ocorre um escoamento parcial antes do esmagamento do concreto uma ruptura 19 brusca com conseqüências drásticas pode acontecer conforme tem sido observado nas rupturas de estruturas por cisalhamento Por este motivo nas últimas duas décadas vários pesquisadores têm se dedicado a discutir a resistência efetiva do concreto nas bielas e regiões nodais nos modelos de biela e tirante No geral a resistência efetiva é calculada da forma 23 Onde ν é chamado por vezes de fator de eficiência ou ainda de fator de redução da resistência do concreto Diferentes abordagens são discutidas relativas ao efeito do estado de tensões no concreto deformações presença de armadura resistência do concreto entre outros fatores no coeficiente mas não há consenso sobre o assunto A seguir serão apresentadas e discutidas algumas formulações relativas à avaliação da resistência das bielas e regiões nodais publicadas por Schlaich et al 1987 e pelas normas americana ACI 318 e européia CEBFIB Model Code 2331 Segundo Schlaich et al 1987 A minoração da resistência do concreto se dá da seguinte forma para nós sem perturbação e bielas em estado de compressão uniaxial 24 se ocorrerem deformações de tração na direção transversal ou na armadura de tração transversal que possam causar fissuração paralela a biela comprimida de espessura normal ou em nós que ancorem barras de aço 25 para bielas ou nós com fissuras inclinadas ou estribos inclinados 26 20 O nde O autor acima citado um dos pioneiros na introdução da abordagem do modelo de bielas e tirante no dimensionamento de regiões D leva em consideração na formulação acima o estado de tensões no concreto a presença de armadura ancorada no nó e a existência de fissuras na redução da resistência a compressão do concreto A relativa simplicidade da formulação apresentada por Schlaich et al 1987 se deve ao anseio do autor de disseminar o método e tornálo aplicável a situações práticas do diaadia 2332 ACI 318 2008 Apêndice A A resistência a compressão efetiva do concreto na biela fce deve ser calculada utilizandose a formulação a seguir O nde s é o fator de eficiência da biela que vale 10 para bielas prismáticas 075 para bielas em forma de garrafa adequadamente reforçadas e 060 para bielas em forma de garrafa reforçadas inadequadamente fc é a resistência a compressão específica do concreto O fator de eficiência da biela em forma de garrafa depende da quantidade de armadura empregada Se a equação 29 for satisfeita o fator de eficiência 075 é utilizado senão 060 O propósito da armadura é resistir as tensões transversais de tração que surgem neste tipo de biela e evitar o surgimento de fissuras que podem comprometer a resistência do concreto A equação 29 é apresentada a seguir para bielas ou nós com fissuras inclinadas com abertura excessiva 27 28 29 21 Onde Asi é a área total de armadura com espaçamento si na iésima camada cruzando a biela formando um ângulo i da armadura com a biela bs é a largura da biela si é o espaçamento da armadura na iésima camada i é o ângulo entre a iésima camada de armadura e o eixo da biela A figura 215 auxilia no entendimento dos parâmetros para o cálculo da equação 29 Figura 215 Cálculo de no ACI 318 ACI 318 2008 A resistência da região nodal é calculada por meio da seguinte fórmula 210 Onde n é o fator de eficiência do nó que vale 10 para nós do tipo CCC 080 para nós do tipo CCT e 060 para nós do tipo CTT e TTT fc é a resistência a compressão específica do concreto 22 2333 CEBFIP Model Code 2010 2010 No dimensionamento das bielas a resistência a compressão reduzida do concreto deve ser utilizada O fator de redução kC é calculado conforme formulação a seguir 211 Válida para estado de tensão de compressão uniaxial ou ainda para regiões que existam tensão de compressão na direção transversal situação na qual uma resistência maior pode ser assumida compressão multiaxial figura 216 Figura 216 Compressão uniaxial CEBFIB MC 2010 212 Válida para bielas com fissuras paralelas a direção de compressão e armadura de tração perpendicular as fissuras figura 217 Figura 217 Compressão longitudinal e tração transversal CEBFIB MC 2010 213 23 Válida para bielas onde ocorre armadura inclinada em relação à direção da compressão figura 218 Figura 218 Compressão longitudinal e armadura inclinada CEBFIB MC 2010 No dimensionamento das regiões nodais a resistência a compressão reduzida do concreto deve ser utilizada O fator de redução kC é calculado conforme formulação a seguir para nós onde não existam tirantes ancorados 214 para nós onde existam tirantes ancorados em uma ou duas direções 215 234 Direção das bielas e tirantes De maneira geral a escolha do modelo de biela e tirante a ser adotado no dimensionamento de uma estrutura pode ser feita baseandose nos seguintes critérios Modelos padronizados disponíveis em códigos normativos Caminho das cargas ou load path approach o caminho das cargas no interior da estrutura ocorre por meio de campos de tensão de compressão e tração que são representados por bielas e tirantes Uma desvantagem é que para estruturas complexas determinarse o caminho das cargas pode não ser uma tarefa fácil 24 Análises elásticas utilizando método dos elementos finitos a definição do modelo de biela e tirante nas direções das tensões principais obtidas na análise elástica é adequada e recomendada por vários pesquisadores entre eles Schlaich et al 1987 Análises nãolineares que considerem a fissuração do concreto a construção de modelo de biela e tirante através de programas de elementos finitos que incorporem recursos de análise nãolinear tem sido bastante eficiente no desenvolvimento análise e detalhamento de estruturas de concreto armado e protendido possibilitando a criação de modelos mais realistas No entanto a utilização de tais recursos ainda é restrita devido ao alto custo dos programas computacionais tempo de análise e experiência anterior necessária para se obter bons resultados Souza 2004 apresenta pesquisa desenvolvida por Foster 1998 que mostra que as bielas comprimidas tornamse mais estreitas após a fissuração do concreto Pesquisas experimentais Algoritmos de otimização estrutural os modelos de biela e tirante em concreto armado em geral são elaborados a partir da distribuição de tensões elásticas e pelo processo de caminho das cargas já citados anteriormente Esses métodos envolvem processos de tentativa e erro e são baseados na intuição e experiência do projetista Em virtude disso a computação gráfica e algoritmos de otimização vêm sendo utilizados para desenvolver os modelos de maneira automática necessitando de menor intervenção do projetista A seguir serão apresentados alguns trabalhos referentes aos processos de otimização do modelo de biela e tirante 2341 Lourenço Almeida 2004 Schlaich et al 1987 afirmam que na seleção do melhor modelo devese considerar sempre que os esforços tendem a seguir os caminhos mais curtos e com as menores deformações E uma vez que os tirantes são mais deformáveis que as bielas comprimidas de concreto um modelo com menor número de tirantes com menor comprimento será o mais adequado 25 216 Baseados na proposição de Schlaich et al 1987 Lourenço Almeida 2004 propõe uma metodologia baseada na metodologia da minimização da energia de deformação global dos modelos definindo a geometria das bielas através dos campos de tensões Onde U representa a energia de deformação do modelo e x as variáveis que se pretende analisar Sendo U definida por O método descrito acima é ilustrado aplicandose a uma viga parede ensaiada por Leonhardt Walter A partir do primeiro modelo baseado na trajetória de tensões elásticas obtémse uma carga de ruptura de apenas 40 da capacidade última da viga obtida experimentalmente Com o segundo modelo baseado na distribuição de tensões na ruptura obtevese 94 da carga última do ensaio figura 219 A previsão do comportamento estrutural na ruptura só poderia ser definida por meio de uma análise nãolinear de elementos finitos Porém segundo Lourenço Almeida 2004 baseados na metodologia proposta do princípio da minimização da energia de deformação do modelo de biela e tirante conseguese uma boa aproximação do comportamento estrutural permitindo de forma relativamente simples determinar o campo de tensões na ruptura 217 218 26 a b Figura 219 Modelo de biela e tirante baseado a na trajetória de tensões elásticas e b na distribuição de tensões na ruptura LOURENÇO ALMEIDA 2004 2342 Liang 2002 A otimização baseada em performance PBO Performance Based Optimization vem sendo utilizada por Liang para a detecção automática do modelo de biela e tirante em estruturas de concreto armado e protendido O PBO parte do princípio que alguns elementos da estrutura de concreto armado não são tão efetivos em suportar cargas quanto outros Desta forma eliminando porções subutilizadas da estrutura o caminho real das cargas pode ser encontrado A otimização pode ser equalizada da seguinte maneira Mínimo Sujeito a 219 Onde w é o peso do enésimo elemento t é a espessura dos elementos C é a energia de deformação da estrutura sob aplicação de carregamento C é o valor limite de C n é o total de elementos 27 A efetividade do elemento em suportar cargas é medida pela energia de deformação por unidade de peso densidade da energia de deformação que avalia a contribuição do elemento na rigidez da estrutura modelada por elementos finitos 220 Onde ue é o vetor de deslocamentos do enésimo elemento ke é a matriz de rigidez do enésimo elemento we é o peso do enésimo elemento O critério de eliminação de elementos pouco efetivos é remover os elementos com as menores densidades de deformação E para determinar o nível de otimização utilizase o critério PI índice de performance Máximo 221 Onde co e wo são a energia de deformação e o peso inicial da estrutura sem remoção de elementos ci e wi são a energia de deformação e peso na iésima iteração A topologia ótima representa o mecanismo que melhor transmite cargas no elemento de concreto sendo tratado também como o modelo de biela e tirante ótimo A figura 220 mostra um exemplo de aplicação do PBO 28 a b c d Figura 220 Estrutura de uma a ligação entre viga e pilar b topologia ótima c modelo de biela e tirante e d detalhamento da armadura LIANG 2002 2343 Liang et al 2006 É evidente que a dificuldade em gerar um modelo de biela e tirante adequado para uma estrutura 3D e a necessidade de automatizar o processo é maior pois as técnicas atuais como por exemplo do caminho das cargas tornamse de difícil aplicação nestes casos Neste trabalho mais recente Liang et al 2006 apresenta a otimização topológica aplicada a estruturas 3D A otimização topológica é baseado no RESO Refined Evolutionary Structural Optimization O método do RESO baseiase em eliminar partes menos efetivas da estrutura baseandose na densidade de energia de deformação de maneira semelhante ao PBO diferenciandose no critério de eliminação dos elementos pouco efetivos Os elementos são deletados quando a densidade de energia de deformação wi é menor que uma razão de rejeição RR rejection ratio vezes a densidade média da estrutura wave Ou seja Se o elemento é deletado 222 Onde é o vetor de deslocamentos é a matriz de rigidez é o volume do elemento i 29 A análise é repetida utilizandose o mesmo RR até que um estado estacionário seja alcançado o que representa que nenhum elemento será eliminado Nesse estágio uma taxa de evolução ER evolution rate é acrescida ao valor de RR RRRRER 223 O índice de performance PI performance index proposto em Liang 2002 é adotado para monitorar quando a topologia ótima é encontrada As figuras abaixo mostram um bloco de fundação o esquema estático do bloco o modelo de biela e tirante e os resultados obtidos com o RESO Figura 221 a Esquema estático do bloco e b modelo de biela e tirante LIANG et al 2006 Figura 222 a Topologia ótima e b elementos unidos por nós LIANG et al 2006 2344 Nagarajan et al 2009 O estudo de Nagarajan trata da aplicação da microtreliça ao modelo de biela e tirante para a análise e dimensionamento de concreto armado A microtreliça pode ser 30 considerada uma generalização do modelo de biela e tirante e é utilizada para encontrar a melhor topologia para a estrutura E ainda pode ser usado para prever a resposta não linear da estrutura de concreto armado O uso do modelo de microtreliça é ilustrado por meio de um exemplo de viga parede conforme figura abaixo onde o elemento estrutural é discretizado em um padrão de elementos de barra Figura 223 Viga discretizada em microtreliça NAGARAJAN et al 2009 O desenvolvimento do modelo se dá realizando uma análise linear do modelo discretizado em microtreliça Os caminhos de carga são traçados com os elementos submetidos às maiores tensões normais de compressão e tração As figuras a seguir mostram as análises de tensões elásticas obtidas com o modelo da microtreliça Os tipos de biela e o modelo de biela e tirante para a estrutura se tornam claramente perceptíveis por meio desta análise Figura 224 Vigaparede sujeita a uma carga concentrada no meio do vão e tensões principais de a compressão b tração e c modelo de biela e tirante NAGARAJAN et al 2009 31 Figura 225 Vigaparede sujeita a duas cargas concentradas simétricas tensões principais de a compressão b tração e c modelo de biela e tirante NAGARAJAN et al 2009 Figura 226 Vigaparede sujeita a um carregamento distribuído tensões principais de a compressão b tração e c modelo de biela e tirante NAGARAJAN et al 2009 É possível realizar uma análise nãolinear do modelo discretizado em microtreliça seguindose os passos abaixo o autor utilizou o software Ansys 100 em seu estudo Discretizar o elemento estrutural em um padrão de microtreliças Aplicar a carga última esperada para o elemento em alguns passos Analisar a estrutura a cada passo de carga por iterações de NewtonRaphson para alcançar a solução Gravar os deslocamentos e as deformações a cada passo de carga Desativar os elementos nos quais a deformação excede a deformação última rigidez é anulada Remover os elementos desativados obtendose o padrão de fissuração do elemento Abaixo são mostrados resultados da análise nãolinear da vigaparede que apresenta o padrão de fissuração do elemento para a carga de serviço e para a carga última para o caso de uma viga sujeita a uma carga concentrada no meio do vão 32 a b Figura 227 Padrão de fissuração de uma vigaparede sujeita a uma carga concentrada no meio do vão a sob carga de serviço e b sob carga de ruptura NAGAJARAN 2009 2345 Pantoja 2009 Pantoja 2009 apresentou uma proposta de tese cujo objetivo principal é conceber um sistema gráfico integrado que possua uma série de subprogramas capazes de gerar o modelo de biela e tirante calcular a treliça dimensionar e realizar a verificação dos elementos verificar o desempenho no estado limite último via algoritmos de confiabilidade e programação matemática verificar desempenho em serviço via análise nãolinear e definir iterativamente um modelo final O sistema integrado será denominado MOBITOT e será desenvolvido em linguagem MATLAB para controle e interligação dos programas entre os quais alguns já existem e outros serão desenvolvidos pelo pesquisador conforme esquema abaixo Figura 228 Esquema do MOBITOT PANTOJA 2009 O MOBITOT vai aliar programas como o MTOOL um gerador de malhas de elementos finitos o ELASTIC responsável pela análise de tensões elásticas TOPOT responsável pela otimização topológica com indutores o programa CAST desenvolvido pelos 33 pesquisadores Kuchma e Tjhin Universidade de Illinois que efetuará o cálculo das treliças e o dimensionamento e verificação dos elementos o NLINEARSTM um programa de análise nãolinear desenvolvido na Universidade de Illinois que possibilitará a verificação do estado limite último em serviço RBDO realizará um dimensionamento ótimo para o modelo de biela e tirante em questão assim como o ROBUST um programa de otimização robusta 235 Influência da escolha do modelo de biela e tirante na resistência e desempenho do elemento estrutural Ley et al 2007 conduziu uma competição entre alunos que deveriam elaborar um modelo de biela e tirante para uma viga com abertura na alma conforme figura 229 que conduzisse a maior relação entre carga última e quantidade de aço kg com uma deformação mínima de l100 107 mm onde l representa o vão da viga A estrutura deveria ser projetada para resistir a uma carga de projeto de 236 kN utilizando concreto com resistência a compressão de 24 MPa e resistência a tração de 16 MPa Cinco grupos de trabalho foram formados e trabalhando independentemente cada equipe implementou um modelo e elaborou um projeto de detalhamento da armadura segundo critérios do código normativo ACI 318 versão de 2005 onde cada modelo deu ênfase a um critério de desempenho do elemento estrutural Figura 229 Vigaparede com abertura na alma LEY et al 2007 A primeira tarefa de cada equipe foi realizar uma análise de tensões elásticas utilizando elementos finitos conforme sugerido por Schlaich et al 1987 figura 230 E então definir a treliça interna calcular as forças e dimensionar a área de aço Em seguida checar os apoios e regiões nodais e detalhar a armadura 34 a b Figura 230 Trajetória de tensões de a compressão e b tração LEY et al 2007 Foram ensaiadas sete vigasparede entre elas uma viga de concreto sem armadura para verificar a resistência e o padrão de fissuração da viga utilizando apenas a resistência à tração do concreto e outras seis vigas com detalhamentos diferentes cujas características principais foram ênfase dada a 1 minimização do comprimento dos tirantes 2 distribuir as cargas ao redor das aberturas 3 ductilidade do elemento estrutural 4 adoção do posicionamento das bielas e tirantes seguindo a distribuição de tensões elásticas e 4i variação da armadura do modelo 4 5 preencher de todo o contorno com bielas e tirantes As figuras abaixo mostram os seis modelos de biela e tirante e as respectivas armaduras das vigasparede Figura 231 Modelo 1 a MBT b Detalhamento da armadura sobreposto ao MBT e c Padrão de fissuração na ruína LEY et al 2007 35 Figura 232 Modelo 2 a MBT b Detalhamento da armadura sobreposto ao MBT e c Padrão de fissuração na ruína LEY et al 2007 Figura 233 Modelo 3 a MBT b Detalhamento da armadura sobreposto ao MBT e c Padrão de fissuração na ruína LEY et al 2007 Figura 234 Modelo 4 a MBT b Detalhamento da armadura sobreposto ao MBT e c Padrão de fissuração na ruína LEY et al 2007 Figura 235 Modelo 4i a MBT b Detalhamento da armadura sobreposto ao MBT e c Padrão de fissuração na ruína LEY et al 2007 36 Figura 236 Modelo 5 a MBT b Detalhamento da armadura sobreposto ao MBT e c Padrão de fissuração na ruína LEY et al 2007 Figura 237 Modelo sem armadura na ruína 6 LEY et al 2007 Analisando os resultados experimentais Ley et al 2007 verificou que apesar da diferença nas abordagens do dimensionamento os mecanismos de ruptura das vigasparede foram bastante similares As vigasparede de 1 a 5 suportaram maior carregamento que a carga de projeto e apenas os modelos 2 e 3 apresentaram fissura quando submetidos a um carregamento menor que a carga de projeto Uma comparação entre a carga última deflexão e razão de eficiência de cada viga é mostrada na tabela 21 que resume os principais resultados O modelo de maior eficiência ou seja que alcançou um equilíbrio entre segurança estrutural e economia foi o modelo 1 que prezou por minimizar o tamanho dos tirantes seguindo recomendação de Schlaich et al 1987 Entretanto o modelo que alcançou maior resistência foi o modelo 4i uma variação do modelo 4 que seguiu criteriosamente a localização das bielas e tirantes segundo a análise de tensões elásticas E o modelo que apresentou a maior deflexão foi o 3 que foi implementado pela equipe para apresentar um comportamento de pórtico de concreto armado Tabela 21 Resultados experimentais Adaptado de LEY et al 2007 37 Modelo Deformação na ruptura mm Carga de ruptura kN Carga de fissuração kN Razão de eficiência kNkg 1 17 405 267 101 2 175 329 222 33 3 274 271 222 26 4 155 383 285 38 4i 208 552 285 58 5 18 427 311 36 6 91 181 181 Os resultados mostraram que o modelo de biela e tirante pode fornecer um limite inferior para a carga de ruptura com segurança e que a orientação das bielas e tirantes definiu o mecanismo de transferência de forças predominante na estrutura 236 Resumo do capítulo No início do capítulo foi discutida a definição de vigaparede e seu comportamento estrutural sob carregamento A seguir falouse sobre o histórico do modelo de biela e tirante desde sua utilização por Ritter e Mörsch no início do século XX até as aplicações mais atuais do método como por exemplo a utilização da otimização topológica aliada à energia de deformação dos elementos e os modelos de microtreliças na definição do modelo que melhor representa o caminho das cargas dentro da estrutura Incluiuse ainda um breve tópico acerca de fatores de minoração da resistência das bielas de concreto e regiões nodais pois serão estes os parâmetros utilizados neste trabalho E o capítulo foi finalizado citando o interessante trabalho de Ley et al 2007 que comprovou que não existe um modelo de biela e tirante único para a estrutura e que dependendo da escolha do projetista e do mecanismo de transferência de forças a estrutura corresponderá de forma mais ou menos prejudicial a sua vida útil 38 3 MODELO DE BIELA E TIRANTE PARA A PREDIÇÃO DA CARGA ÚLTIMA Neste tópico serão apresentadas as abordagens de modelo de biela e tirante para predição da carga última e modo de ruptura de vigasparede 31 Abordagem de Won et al 1998 para vigasparede simplesmente apoiadas sem armadura de alma A abordagem de Won et al 1998 apresentada a seguir aplicase a vigasparede rompidas por cisalhamento ou esmagamento da biela comprimida antes ou depois do escoamento da armadura longitudinal e antes ou depois do escoamento dos estribos Não sendo válida para vigas que rompem por esmagamento das regiões nodais ou por flexão É aplicável para relações ad25 para vigas simplesmente apoiadas sujeitas a uma carga concentrada ou duas cargas concentradas simétricas Foram 162 vigas analisadas por Won et al 1998 obtendose os seguintes dados estatísticos em relação a representatividade do modelo Figura 31 Dados estatísticos do modelo WON et al 1998 Esta modelagem é trabalhosa devido à quantidade de cálculos e a necessidade de realizar várias iterações Assim sendo recomendase a utilização de planilhas de cálculo ou 39 mesmo a programação do algoritmo disponibilizado no artigo publicado por Won et al 1998 Abaixo são apresentados os parâmetros a serem calculados 311 Resistência efetiva do concreto Para nós do tipo CCC é aplicada a formulação do CEBFIP Model Code versão de 1990 que limita a tensão no concreto submetido à compressão para zonas nãofissuradas e nós onde concorrem apenas bielas comprimidas ao valor de fce1 equação 31 31 Para nós do tipo CCT e bielas inclinadas os autores propõem uma nova formulação para a resistência reduzida do concreto que leva em conta a resistência a compressão do concreto a relação entre o vão de cisalhamento e altura útil ad e a perturbação causada pela presença das barras de aço Se a força no tirante da viga analisada for provida pela quantidade exata de armadura necessária para o equilíbrio então se aplica a formulação 32 32 Quando a quantidade de armadura é maior que a necessária para o equilíbrio do nó a perturbação causada pelas barras é menor pois ocorre uma redução na tensão no tirante e a resistência a compressão do nó aumenta Logo aplicase a equação 33 proposta pelos autores 33 Onde Ta é a força necessária para o equilíbrio da biela aplicandose a equação dada em 34 e Tmáx é dado por 40 34 Onde As é a área de aço disponível e fy a tensão de escoamento 312 Geometria do modelo Na primeira iteração é assumido que da altura da biela horizontal é a média entre um valor mínimo e máximo onde o valor mínimo é zero e o máximo é a altura efetiva da viga d 35 A partir do valor assumido para da é calculado o valor do ângulo que representa a inclinação da biela 36 313 Detalhe do nó CCT Figura 32 Modelagem do nó CCT WON et al 1998 41 A dimensão da parte inferior da biela inclinada wb eff no nó CCT é dada pela equação 37 37 Onde rb é o tamanho da placa do apoio u0 é distância do centróide das barras ao extremo da viga e y do eixo do tirante ao extremo da viga A condição de igualdade para que u0y é que ll seja menor que o llmín Onde ll é o comprimento da barra que se estende além da placa de apoio e llmín é dado por 38 Onde rl é o tamanho da placa de aplicação da carga Esta condição para o llmín também determina que deff não exceda o valor de d 39 E o ângulo 1 formado caso ll llmín é definido por 310 314 Detalhe do nó CCC A espessura da biela na parte superior correspondente ao nó CCC wt eff é calculada da seguinte forma 311 42 Figura 33 Modelagem do nó CCC WON et al 1998 315 Equilíbrio das forças Figura 34 Forças atuantes no modelo de vigaparede WON et al 1998 Considerando o nó CCC a força Dt na biela inclinada que atua neste nó é limitada por 312 Por equilíbrio das forças que ocorrem no nó CCT temse que a força necessária para equilibrar o tirante é dada por 313 Onde Db é a força na biela inclinada atuante no nó CCT Como ainda não é possível calcular o valor de Ta utilizase a resistência efetiva fce2 equação 318 para calcular o valor inicial de Db 43 314 Substituindo o valor de 314 em 313 obtémse o valor de Ta 315 Onde o valor de wb eff é dado em 37 De posse do valor de Ta calculase o fce2 equação 33 e em seguida obtémse o coeficiente que representa a razão entre fce2 e fce2 316 Finalmente calculamse os valores reais de T e Db levandose em consideração o aumento da resistência do nó 317 318 316 Checagem do modelo O modelo deve ser rodado até que se obtenha a seguinte igualdade DbDt Se não for encontrada tal igualdade devese alterar os valores de da mín e da máx modificandose o valor de da mín para o da calculado se DbDt Se DbDt fazse da maxda Algumas verificações adicionais são necessárias Calculamse os valores de b e c2 que representam respectivamente as tensões no ponto de aplicação da carga e tensão na face do nó CCC perpendicular a biela horizontal 319 44 320 O valor de c2 é comparado com Onde 321 E 322 A resistência efetiva fce1 equação 31 é aplicada à superfície do nó faceada pela biela inclinada e f2ck equação 321 limita a resistência do concreto no lado do nó faceado pela biela horizontal Se for maior que f2ck o valor de da é reduzido para 323 317 Carga última Por fim é feito o cálculo de carga última da viga 324 32 Abordagem de Zhang Tan 2007 para vigasparede simplesmente apoiadas sem armadura de alma Esta abordagem é adequada à predição da resistência última ao cisalhamento e foi testada em 233 vigasparede simplesmente apoiadas apresentando boa representatividade As vigas testadas apresentaram resistência do concreto variando entre 16 e 120 MPa altura entre 200 e 1750 mm e relação ad entre 028 e 20 A taxa geométrica de armadura longitudinal destas vigas variava entre 090 e 407 e as taxas de armadura de alma vertical e horizontal 45 variavam entre 0 e 286 e 0 e 317 respectivamente A média da relação entre resistência última ao cisalhamento calculada e resistência última experimental foi de 091 apresentando coeficiente de variação de 013 conforme figura abaixo Nos tópicos a seguir o modelo será deduzido Figura 35 Representatividade do modelo carga última calculada versus carga última experimental ZHANG TAN 2007 321 Equilíbrio das forças Considerando Vn a resistência última ao cisalhamento da vigaparede por equilíbrio são obtidas as forças na parte inferior da biela inclinada 325 326 Onde Fc e Ts são as forças na biela inclinada e no tirante principal 46 322 Geometria das bielas O processo de definição da geometria das bielas é iterativo e no passo inicial assumese que ldlc onde lc é a altura do nó CCT e ld do nó CCC Em casos onde a precisão do resultado não é uma exigência podese assumir que ldlc introduzindo um erro no cálculo de apenas 2 327 323 Tensões principais Esta abordagem é baseada no critério de ruptura de MorhCoulomb equação 328 sendo indispensável a análise das tensões principais na viga 328 As tensões principais de tração na biela inclinada são calculadas com a componente da força no tirante perpendicular ao eixo da biela Desta forma temse o valor da tensão principal de tração que inclui o fator k que leva em conta a nãouniformidade da distribuição da tensão figura 36 A distribuição de tensões de tração ao longo da biela é extremamente nãolinear e difícil de ser implementada mecanicamente ZHANG TAN 2007 329 47 Figura 36 Distribuição nãouniforme da tensão principal de tração ZHANG TAN 2007 Para os casos estudados neste trabalho vigasparede com armadura longitudinal inferior sem armadura de alma Zhang Tan 2007 encontraram o valor de k igual a 4 Após a mensuração da tensão principal de tração na direção de f1 necessitase saber a resistência a tração do material ft que é dada pela soma das contribuições do aço e do concreto tal que 330 Onde fst é a contribuição da armadura e fct a contribuição do concreto A contribuição do concreto a tração é bastante influenciada pelo surgimento de fissuras Desta forma utilizar toda a resistência a tração do concreto seria inseguro sendo utilizado portanto uma equação de Belarbi Tsu 1994 citada por Zhang Tan 2007 para a resistência a tração do concreto fissurado 331 Onde é tomado como a deformação do concreto no momento da fissuração representa a principal deformação de tração na biela de concreto 332 48 s é a deformação da barra de aço e 2 é a deformação do concreto no momento em que ocorre o esmagamento e vale 0002 A contribuição do concreto é relativamente pequena se comparada a do aço e por segurança podese omitir essa parcela Entretanto para resultados mais precisos é necessário levála em consideração Por sua vez a contribuição do aço é dada pela soma das contribuições da armadura longitudinal e de alma 333 Sendo este estudo limitado às vigasparede sem armadura de alma temse que fstfss Onde fss é dado por 334 Desta forma é determinada a parcela de resistência do aço e do concreto na resistência a tensão principal de tração f1 A tensão principal de compressão f2 na direção da biela inclinada é dada por 335 Onde Fc é a força na biela T cos é a componente da força no tirante e Astr é a área da seção transversal do nó CCT na porção inferior da biela inclinada 324 Carga última Combinando as equações 329 e 335 em 328 chegase a seguinte formulação para a carga última 49 336 A figura 37 resume o fluxograma de implementação do modelo apresentado Figura 37 Algoritmo de implementação do modelo de Zhang Tan 2007 33 Abordagem de Zhang Tan 2007 para predição da carga última de vigas contínuas O modelo de biela e tirante sugerido por Zhang Tan 2007 é aplicável a vigas parede contínuas com dois vãos de cisalhamento e dois pontos de aplicação de carga um em cada vão é mostrado na figura abaixo O modelo é idealizado como uma treliça estaticamente indeterminada e é utilizado para calcular a carga última ao cisalhamento destes elementos A figura 38 mostra a nomenclatura dada aos parâmetros geométricos onde temse que la é a dimensão da placa de aplicação da carga lb é a placa dos apoios extremos lf é a placa do apoio do meio le é a distância entreeixos entre o apoio extremo e o apoio central a é o vão 50 de cisalhamento c1 é a distancia entre o centróide das barras de aço superiores à extremidade superior da viga c2 é a distância entre o centróide das barras de aço inferiores à extremidade inferior da viga h é a altura total e d a altura efetiva Figura 38 Modelo de biela e tirante para uma viga contínua com dois vãos submetida a duas cargas concentradas ZHANG TAN 2007 Para a validação do modelo 54 exemplos de vigasparede contínuas foram analisadas A altura dessas vigas variou entre 400 a 1000 mm com razão led entre 095 e 449 A taxa de armadura longitudinal variou entre 007 e 188 e as taxas de armadura de alma vertical e horizontal variaram entre 0 e 090 e 0 e 171 As cargas últimas calculadas mostraramse a favor da segurança e a média geral entre a carga experimental e a prevista foi de 095 com um coeficiente de variação de 0130 figura 39 A figura 310 mostra as forças internas na treliça estaticamente indeterminada Figura 39 Representatividade do modelo carga última calculada versus carga última experimental ZHANG TAN 2007 51 Figura 310 Treliça equivalente para uma viga contínua com dois vãos submetida a duas cargas concentradas ZHANG TAN 2007 O critério de ruptura de Mohr é adotado na interface entre a biela e o nó CCT as cargas de ruptura são deduzidas da mesma forma que o modelo para vigas simplesmente apoiadas submetidas a um carregamento concentrado divergindo obviamente nas forças atuantes neste treliça que é estaticamente indeterminada 337 Inicialmente Assumindo propriedades elastoplásticas perfeitas para o concreto e barras de aço as forças internas na treliça podem ser calculadas por 338 339 340 341 Onde Fc1 e Fc2 representam as forças nas bielas externas e internas respectivamente T1 e T2 representam as forças nos tirantes na armadura superior e inferior respectivamente e P representa a carga aplicada na viga 52 Dada a hiperestaticidade da treliça aplicase o teorema de CrottiEngesser para determinação dos coeficientes A B C e D Considerando cada força aplicada na viga de valor P e a força no apoio do meio valendo X e fazendo o equilíbrio dos nós têmse que 342 343 344 345 Aplicando em seguida o teorema de CrottiEngesser equação 346 temse a equação 347 346 347 Onde s é o ângulo da biela inclinada com a horizontal Ec e Es representam os módulos de elasticidade do concreto e aço respectivamente E os termos Astr1 Astr2 e Astr3 correspondem a área da seção transversal das extremidades região nodal das bielas inclinadas enquando que Astr4 e Astr5 representam a área da seção transversal média das bielas externa e interna respectivamente calculadas como segue 348 53 349 350 351 352 353 Onde lc e ld são as alturas efetivas do nó inferior e superior sendo que 354 355 Da teoria do mínima energia potencial complementar têmse que no apoio do meio 356 Denominando as seguintes razões 357 358 359 54 Então derivando Uc em função da reação no apoio do meio X e igualando a zero devido a indeslocabilidade do nó e substituindo os termos por m 357 n 358 e p 359 encontrase a seguinte expressão para X 360 Após a obtenção da força X calculamse as forças atuantes na treliça dadas por 361 362 363 364 331 Derivação das tensões na zona nodal A Figura 311 Zona nodal A ZHANG TAN 2007 Na zona nodal A figura 311 a tensão principal de tração f1A perpendicular a biela inclinada e a tensão principal de compressão nesta biela f2A são dadas pelas equações apresentadas abaixo 55 365 366 Combinando as tensões principais no critério de ruptura de Mohr temse que a carga última PnA é dada por 367 Onde ftA é a máxima tensão de tração na zona nodal A na direção de f1 e pode ser expressa por 368 E fct é dada conforme formulação apresentada em 331 332 Derivação das tensões na zona nodal B A tensão principal de tração f1b perpendicular a biela inclinada na zona nodal B ver figura 312 consiste em duas componentes a saber a contribuição do aço superior e inferior e é dada pela equação 369 56 Figura 312 Zona nodal B ZHANG TAN 2007 369 A tensão principal de compressão na zona nodal B é obtida de forma semelhante a zona nodal A conforme equação 370 370 Novamente aplicando o critério de ruptura de Mohr calculase PnB 371 E a tensão máxima de tração na zona nodal B é expressa por 372 Onde T2max é a tensão de escoamento da armadura inferior e T1a é a força correspondente na armadura superior quando ocorre o escoamento na armadura inferior e não pode exceder o valor da resistência ao escoamento da armadura superior equação 373 57 373 333 Derivação das tensões na zona nodal C Figura 313 Zona nodal C ZHANG TAN 2007 Da mesma forma que nos outros nós na zona nodal C figura 313 temse que 374 375 E PnC é dado por 376 Onde ftC é a máxima tensão de tração na zona nodal C e é dado por 377 58 De forma semelhante T1max é a tensão de escoamento da armadura superior e T2a é a força correspondente na armadura inferior quando ocorre o escoamento da da armadura superior e não deverá ser maior que a resistência ao escoamento da armadura inferior equação 378 378 334 Carga última E assim a carga última é dada pelo menor valor entre 379 34 Modelo de predição da carga última e modo de ruptura de vigas contínuas de Nagarajan Pillai 2009 A figura abaixo mostra uma viga contínua com dois vãos sujeita a duas cargas concentradas Verificase que la lb e lc correspondem ao tamanho das placas de apoio exterior do meio e aplicação da carga respectivamente eb é o cobrimento da armadura inferior de área Asp e tensão de escoamento fyp et é o cobrimento da armadura superior de áre Asn e tensão de escoamento fyn W é a carga aplicada em cada vão e P é a carga total aplicada Figura 314 Detalhe de uma viga contínua com dois vãos sujeita a duas cargas concentradas NAGARAJAN PILLAI 2009 59 Da seção transversal da viga temse que a altura efetiva h é a altura total subtraída das distâncias dos centróides da armadura inferior e superior a extremidade da viga eb e et respectivamente 380 Representando por biela e tirante as forças internas desta viga obtémse o modelo abaixo Figura 315 Modelo de biela e tirante para uma viga contínua com dois vãos NAGARAJAN PILLAI 2009 Onde os ângulo 1 e 2 podem ser determinados da geometria da treliça interna e são dados por 381 382 Onde a1 e a2 são respectivamente a distância do apoio extremo ao ponto de aplicação da carga e distância do ponto de aplicação da carga ao apoio do meio É assumido que as vigas contínuas podem apresentar três modos de ruptura principais por flexão por cisalhamento e por falha de ancoragem Sendo este último 60 prevenido por um correto detalhamento da armadura logo o modelo pode prever os dois primeiros tipos de ruptura citados Se uma viga rompe por cisalhamento é assumido que as bielas AC S CB Q e FE S mostradas na figura 316 chegam ao seu limite de capacidade antes que os tirantes venham a escoar Figura 316 Modelo de biela e tirante mostrando espessura das bielas e tirantes e zonas nodais NAGARAJAN PILLAI 2009 Desta forma o limite de capacidade da biela AC S é dado por 383 Onde fcs é a resistência efetiva da biela Os autores utilizam os fatores de minoração da resistência do concreto da norma indiana sendo fcs assim calculado 384 ws1 é a espessura da biela AC S que vale o menor valor entre a espessura da biela no nó A wa e a espessura da biela no nó C wc1 Sendo que 385 61 386 387 388 Analogamente a capacidade da biela CB ou BE Q é dada por 389 Onde ws2 é a espessura da biela CB Q que vale o menor valor entre a espessura da biela no nó B wb e a espessura da biela no nó C wc2 Sendo que 390 391 A reação no apoio A Ra e no apoio B Rb podem ser obtidas por equilíbrio dos nós sendo dadas por 392 393 Desta forma a capacidade última ao cisalhamento de uma viga contínua é dada pela soma das reações 394 Se ocorrer que as barras de aço escoem antes das bielas esgotarem sua capacidade a viga rompe for flexão Assim sendo a treliça é idealizada ser constituída de duas sub treliças uma de momentos positivos e outra de momentos negativos 62 Dada a treliça de momentos positivos conforme figura 317 temse que equlibrando as forças no nó A e B temse que 395 396 Onde 397 Desta forma a capacidade do treliça de momentos positivos é dada por 398 Figura 317 Treliça de momentos positivos NAGARAJAN PILLAI 2009 Para determinação da capacidade da treliça de momentos negativos a zona nodal C é dividida em duas c1 e c2 A subzona nodal c2 é mostrada na figura 318 Fazendose o equilíbrio das forças desse nó temse que 399 Onde 3100 63 Desta forma a capacidade do treliça de momentos negativos é dada por 3101 Figura 318 Treliça de momentos negativos NAGARAJAN PILLAI 2009 Concluindo a capacidade de uma viga contínua à flexão é a soma das duas parcelas do momento positivo e negativo figura 319 3102 Figura 319 Modelo completo de treliça plástica NAGARAJAN PILLAI 2009 Para determinar o tipo de ruptura mais provável igualase as capacidades resistentes da viga a flexão e ao cisalhamento Desta forma obtémse a área de aço necessária para uma ruptura balanceada 64 3103 Onde n é a razão entre a área de aço da armadura longitudinal superior e inferior respectivamente Se a área de aço existente for maior que a área de aço necessária para uma ruptura balanceada então ocorrerá uma ruptura por cisalhamento Do contrário ocorre ruptura por flexão Para validar a metodologia proposta os autores analisaram 34 vigas encontradas na literatura e 6 vigas que ensaiaram em laboratório obtendose a representatividade mostrada abaixo Os autores não ressaltaram as limitações do modelo declarando apenas que o modelo mostrouse a favor da segurança pois grande parte dos exemplos analisados e todas as vigas por eles ensaiadas apresentaram carga experimental maior que a calculada Figura 320 Representatividade do modelo carga real x carga calculada NAGARAJAN PILLAI 2009 65 4 PROGRAMAS COMPUTACIONAIS Nesta seção serão brevemente apresentados os recursos do software CAST ferramenta utilizada no cálculo do modelo de biela e tirante aplicados nesta pesquisa A seguir será feito um breve histórico da modelagem por microtreliça para então apresentar o software MicroTruss Analyzer e os fundamentos desse programa 41 Visão geral do programa CAST Em geral o dimensionamento de uma estrutura ou região D utilizando o modelo de biela e tirante se dá segundo o processo ilustrado no fluxograma abaixo figura 41 Entretanto alguns passos se constituem nas maiores dificuldades do processo entre eles definição da geometria dos nós e bielas verificação da resistência dos nós e bielas ancoragem da armadura dos tirantes definição da geometria e dimensões da treliça e o cálculo de treliças estaticamente indeterminadas Foi nesse contexto que o CAST Computer Aided Strut and Tie uma ferramenta gráfica de dimensionamento por bielas e tirantes foi desenvolvido na Universidade de Illinois em 2000 pelos pesquisadores Daniel Kuchma e Tjen Tjhin e ganhou destaque o programa está disponível para download gratuito no site HTTPdankuchmacomstm onde também podem ser encontrados tutoriais de utilização do programa A grande potencialidade do CAST consiste em modelar a estrutura ou região D definir a treliça interna solucionála e realizar a verificação das bielas e nós com rapidez poupando o usuário de trabalhos repetitivos O ambiente do CAST é bastante amigável e se trata de um software bastante didático que no entanto delega tarefas importantes ao usuário a saber a definição da treliça Entre outras limitações do CAST têmse que não faz verificações acerca da ancoragem da armadura nem mesmo dispõe de verificações a respeito de armadura mínima ou outros requisitos normativos relativos ao dimensionamento de regiões descontínuas Entretanto no que concerne a eficiência dos cálculos dos esforços nas treliças e verificação das regiões nodais e bielas o CAST cumpre os seus objetivos E existe a possibilidade de resolver um modelo para várias condições de carregamento realizar uma análise de carga x 66 deslocamento da treliça fornecendose o modelo constitutivo do material ou mesmo realizar um cálculo simples de predição da carga última da região D em questão Figura 41 Passos para implementação de um MBT Adaptado de BROWN 2005 As verificações de nós e bielas podem ser feitas utilizandose os fatores de eficiência prédefinidos no software Schlaich et al 1987 Macgregor Marti Ramirez Breen Nielsen e ACI 318 ou o usuário pode definir fatores de eficiência que julgar mais adequado O CAST tem passado por várias atualizações entre elas uma proposta de Park et al 2010 de aliar um software de análise nãolinear a sua estrutura original pois a análise nãolinear de elementos finitos é uma ferramenta bastante útil na definição e validação do modelo de biela e tirante sugerido pelo usuário Vários artigos foram publicados sobre o CAST e outras informações a respeito e projetos de atualização podem ser encontradas nos trabalhos dos pesquisadores Kuchma e Thjin 67 42 Software MicroTruss Analyzer O software MicroTruss Analyzer consiste em uma ferramenta adaptada do software Quebra 2D que utiliza o modelo de microtreliças para discretização do concreto cujo comportamento nãolinear é simulado por meio de um modelo de Dano Contínuo Este modelo inclui duas variáveis escalares de dano uma para tração e outra para compressão As armaduras são discretizadas através de elementos de treliça plana sendo o comportamento do aço representado pelo modelo elastoplástico unidimensional com endurecimento isotrópico e cinemático Não se considera a aderência entre o concreto e a armadura considerase somente o acoplamento nodal entre os elementos de treliça plana que discretizam o concreto e as armaduras O software fornece um préprocessamento gráfico bastante simples e é capaz de gerar a malha de elementos de barra treliça e calcular a área destes elementos O programa MTA realiza a interface gráfica de pré e pósprocessamento gráfico O arquivo gerado no préprocessamento de extensão dat contém informações de entrada a serem repassadas para o programa 1damageexe que realiza as análises Os arquivos de saída pósprocessamento gerados nesse processo também são visualizados no MTA Antes de explicitar as funções do software cabe revisar os conceitos que o originaram a discretização em microtreliças e o modelo de dano contínuo isotrópico 421 Discretização em Microtreliças A origem da microtreliça se confunde com o inicio da utilização do modelo reticulado na simulação numérica do processo de fraturamento do concreto Por este motivo será feita uma breve introdução ao histórico da modelagem numérica do fraturamento do concreto para a seguir abordar o tópico de microtreliças 4221 Histórico do modelo reticulado A modelagem numérica do processo de fraturamento no concreto teve início no final da década de 1960 com a publicação de dois artigos marcantes nos quais as abordagens discreta e distribuída foram apresentadas Na abordagem de fissuras discretas inicialmente a malha de elementos finitos é desconectada nos nós onde ocorre a fissura e assim que a ligação 68 em um nó é separada em dois figura 42 uma carga limite é transferida entre eles WANG 2002 Figura 42 Abordagem de fissuras discretas WANG 2002 Na abordagem de fissuras distribuídas o fraturamento é considerado como uma faixa de microfissuras distribuídas sobre um elemento finito e quando ocorre uma fissuração em um elemento a matriz de rigidez do elemento isotrópico tornase ortotrópica e a rigidez na direção da tensão principal de tração é gradualmente reduzida a zero Na década de 70 esta abordagem ganhou destaque e muitos trabalhos foram desenvolvidos de forma a introduzir relações constitutivas em um modelo distribuído Na década de 80 também houve muitos avanços tal qual o reconhecimento de que devido a efeitos de cisalhamento fator de retenção de cisalhamento shear retention factor a direção das tensões principais sofre alterações ao longo do processo de carregamento Outro importante avanço foi o reconhecimento de que o concreto não é um material perfeitamente frágil mas apresenta alguma capacidade residual de suportar carregamentos após atingir seu limite de resistência à tração Essa observação experimental levou a substituição de modelos de fratura frágil por modelos de amolecimento de tração tensionsoftening nos quais um ramo descendente foi introduzido para modelar a progressiva queda Já na década de 90 surgiu outra abordagem baseada na mesoestrutura do concreto que pode ser encontrada nos trabalhos de Van Mier 1991 SchlangenVan Mier 1992 Schlangen 1993 e Vervuurt 1997 citados por Wang 2002 No nível meso o concreto é considerado um material trifásico constituído de agregado graúdo matriz cimentícia e zona de transição que podem ser considerados para simular a heterogeneidade do concreto Nesse nível podese notar que a natureza heterogênea do material provoca concentração local de tensões e a existência de poros e impurezas no material reduz a sua resistência figura 43 69 a b c Figura 43 Distinção entre a micro b meso e c macro nível para o concreto WANG 2002 Os modelos desenvolvidos de acordo com a abordagem da mesoestrutura do concreto são conhecidos como modelos reticulados lattice models Neles o material é idealizado como um reticulado formado de pequenos elementos de barras e o processo de fraturamento é simulado pela remoção em cada etapa de carregamento das barras cuja tensão de tração seja superior à sua resistência última conforme a lei de fraturamento adotada na simulação Um importante passo em um modelo reticulado é determinar o comprimento dos elementos de barra no modelo o que depende diretamente do tamanho da mínima dimensão característica do material que foi incluído no modelo Este comprimento não deve ser muito pequeno pois uma redução exagerada do mesmo acarreta a inclusão de muitos elementos no modelo e conseqüentemente exige um enorme esforço computacional Wang 2002 afirma que em geral o comprimento das barras deve ser menor que 13 do diâmetro da menor partícula de agregado Uma vez determinado o comprimento das barras a área da seção transversal também pode ser determinada Na análise bidimensional os valores da altura h e espessura b devem ser escolhidos de tal forma que o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do reticulado ν como um todo apresentem os mesmos valores medidos no material real Modelos reticulados foram usados para resolver problemas de elasticidade inicialmente por Hrennikoff 1941 que propôs a discretização de um contínuo em um reticulado de treliça Em 1991 Herrmann empregou um reticulado quadrado com elementos de barras para simular fraturas em materiais heterogêneos implementando a heterogeneidade através de uma variação das resistências das barras WANG 2002 4222 Discretização em microtreliça A discretização em microtreliça utilizada nos trabalhos de Salem 2004 baseiase nos trabalhos de Hrennikoff e o padrão de microtreliça abaixo figura 44 proposto pelo 70 pesquisador em questão é utilizado para desenvolver o modelo de microtreliça para vigas de concreto armado Figura 44 Padrão de microtreliças para tensões planas SALEM 2004 Neste padrão os elementos verticais e horizontais resistem aos esforços normais e os elementos na diagonal ao esforço cortante podendo captar modos de ruptura relacionados à flexão e ao cisalhamento Incorporando a nãolinearidade geométrica e física do material podese prever o comportamento nãolinear da estrutura como um todo O modelo de microtreliça começou a ser utilizado na simulação de elementos de concreto armado nas publicações de Salem 2004 Em trabalhos anteriores Niwa et al1995 desenvolveram um modelo reticulado para explicar o mecanismo resistente do concreto armado ao cisalhamento que no entanto consistia em um modelo em nível macro no qual a estrutura é modelada em elementos de concreto sujeitos a tensões normais de tração e compressão um elemento de arco e a armadura que pode ser modelada como barras verticais ou horizontais figura 45 Figura 45 Modelo treliçado de Niwa NIWA et al 1995 Alguns pontos apresentavamse como deficiências do modelo de Niwa tais como a necessidade de predefinir os elementos de barra comprimidos e tracionados tarefas que 71 dependem de resultados analíticos fornecidos pela teoria de vigas Desta forma o modelo não poderia ser aplicado a estruturas mais complexas como vigas com aberturas ou vigasparede que são elementos que não se adéquam as hipóteses assumidas nessa teoria Por outro lado o método proposto por Salem 2004 apresenta uma abordagem mesoscópica da estrutura O modelo de Salem possibilita simular o processo de fraturamento no concreto e pode ser considerado uma generalização do modelo de biela e tirante uma vez que pode capturar as principais bielas e tirantes durante a análise O objetivo é dispor de um modelo que possa ser útil tanto ao dimensionamento quanto a análise do comportamento não linear da estrutura Neste modelo as treliças são solucionadas por meio de uma análise nãolinear utilizando o método da rigidez Os elementos são arranjados isotropicamente a rigidez é calculada baseada nas dimensões e um comportamento completamente nãolinear é suposto para o concreto e o aço A formulação da matriz de rigidez de cada elemento de barra é formulada diretamente assumindo um deslocamento unitário na direção global conforme figura abaixo Figura 46 Formulação da matriz de rigidez do elemento de barra SALEM 2004 Os elementos da matriz de rigidez são representados em função do ângulo de inclinação θ com a horizontal como segue onde c cosseno e s seno E é o módulo de elasticidade tangente do material A é a área da seção transversal do elemento e l é o comprimento da barra Figura 47 Matriz de rigidez do elemento de barra SALEM 2004 72 Segundo Salem 2004 as dimensões do elemento de barra devem ser escolhidas de forma a serem relativamente pequenas e as relações constitutivas do material são escolhidas para representálos a nível microscópico Neste modelo são utilizados os conceitos de bare bar behavior e plain concrete behavior para representar a nãolinearidade dos materiais figura 48 E a nãolinearidade geométrica do modelo é levada em conta quando ocorre a atualização dos deslocamentos a cada iteração e calculandose as deformações baseandose em novos deslocamentos Figura 48 Modelos constitutivos nãolineares adotados para o concreto e o aço SALEM 2004 Um exemplo de aplicação da microtreliça de Salem 2004 pode ser visto na figura 49 O modelo é aplicado a uma viga com um vão de 2400 mm e seção retangular de 200 x 600 mm e armadura constituída de uma barra de 19 mm de diâmetro sem armadura de alma e tensão de escoamento do aço de 350 MPa O concreto apresentara resistência a compressão de 30 MPa e a resistência a tração de 25 MPa Os elementos de barra da microtreliça foram escolhidos com dimensões de 30 mm desta forma são considerados pequenos o suficiente para ser cruzados por pelo menos uma fissura 73 Figura 49 Esquema da viga analisada por microtreliças SALEM 2004 A figura 410 mostra a deflexão e o padrão de fissuração da viga e as figuras 411 a e b mostram as principais bielas e tirantes da viga tornandose uma ferramenta útil na elaboração do modelo de biela e tirante colaborando para o dimensionamento de estruturas complexas Na figura 412 é feita uma comparação entre os resultados experimentais e numéricos obtidos com o modelo de microtreliça onde pode ser observado que o modelo representa satisfatoriamente os resultados obtidos em laboratório Figura 410 Deflexão e padrão de fissuração da viga analisada por microtreliças SALEM 2004 a b Figura 411 Localização dos a tirantes e b principais bielas na viga analisada SALEM 2004 74 Figura 412 Comparação entre os gráficos de carga x deslocamento obtidos numericamente e em laboratório SALEM 2004 Apesar de ser um método bastante útil no dimensionamento de regiões D o modelo de biela e tirante têm limitações especialmente relacionadas à predição da carga última do comportamento nãolinear e do correto dimensionamento de estruturas que apresentam essencialmente um comportamento nãolinear Neste contexto em 2006 Salem Maekawa publicaram outra abordagem do modelo de biela e tirante baseado em uma análise nãolinear do modelo Este tipo de análise possibilita verificar a redistribuição de forças internas devido a nãolinearidade do material fissuração do concreto amolecimento do concreto concrete softening e escoamento do aço A redistribuição de forças internas permite a reorientação das tensões principais causando um aumento no ângulo de inclinação da biela conforme figura 413 SONG et al 1998 apud SALEM MAEKAWA 2006 a b Figura 413 Ângulo de inclinação das bielas em uma a análise linear e b análise não linear SALEM MAEKAWA 2006 Nagarajan et al 2009 deram continuidade ao estudo de microtreliça e publicaram um artigo em que exemplificaram a aplicação do método a vigasparede conforme mostrado na subseção 234 deste trabalho 75 E ainda nesta linha de pesquisa Nagarajan Jayadeep Pillai 2010 apresentam um modelo de microtreliça modificado que consiste em uma abordagem para predizer o comportamento de vigas de concreto armado utilizando uma análise em nível meso O elemento de concreto armado é substituído por um elemento de microtreliça e uma estrutura aleatória de distribuição dos agregados é desenvolvida sobre a estrutura de microtreliças figura 414 O diagrama tensão x deformação do aço é suposto uma curva elastoplástico perfeita cuja deflexão inicial define o módulo de elasticidade do material e total compatibilidade de deformações entre aço e concreto é assumida Figura 414 Estrutura de distribuição aleatória dos agregados graúdos NAGARAJAN et al 2010 A análise de Nagarajan foi feita por meio de elementos finitos utilizandose o software Ansys 100 e rotinas computacionais foram implementadas para gerar o modelo de microtreliça e a estrutura aleatória do agregado graúdo A nãolinearidade geométrica foi levada em consideração pois as mudanças geométricas são importantes em elementos de pequena dimensão Os passos essenciais para a referida análise são 1 Desenvolver o modelo de microtreliça e associar as propriedades geométricas dos elementos 2 Gerar a estrutura aleatória de distribuição dos agregados O tamanho e o percentual dos agregados na mesoestrutura são calculados e comparados com os valores necessários Se os valores encontrados não são adequados outra mesoestrutura é gerada até que um modelo satisfatório seja obtido 3 A carga máxima a ser aplicada na análise é tomada como 20 maior que a carga ultima esperada e é aplicada em certa quantidade de etapas 4 A carga correspondente ao primeiro passo é aplicada 76 5 A estrutura é analisada e parâmetroschave como valor da carga deslocamentos e tensão axial em todos os elementos é elementos são gravados 6 Os elementos em que a tensão atuante supera a resistência à tração do concreto são desativados anulandose as suas rigidezes 7 Removendose os elementos desativados temse o padrão de fissuração em qualquer passo de carga 8 A carga correspondente ao próximo passo é aplicada e os passos de 5 a 7 são repetidos até que a ocorra divergência nos resultados computados A carga correspondente ao ultimo passo em que houve convergência dos resultados é tomada como a carga última A validação do modelo foi feita comparandose os resultados numéricos com resultados experimentais As vigas analisadas possuíam seção transversal idêntica com altura de 200 mm e largura de 150 mm e vão de 2000 mm Uma viga foi calculada para romper por cisalhamento atuava nela um carregamento no meio do vão com um vão de cisalhamento de 900 mm As outras duas foram carregadas em quatro pontos simétricos uma foi calculada para ser subarmada e a outra superarmada O percentual de agregados utilizado na simulação numérica foi de 583 resistência a compressão do concreto de 20 MPa tensão de escoamento do aço de 415 MPa e dos estribos 250 MPa módulo de elasticidade do aço de 200000 MPa e do concreto 25980 MPa Três hipóteses de distribuição dos agregados foram testadas e os resultados obtidos são mostrados na tabela abaixo Tabela 41 Predição da carga última NAGARAJAN et al 2010 Carga última KN Viga Experimental Análise mesoscópica 1 2 3 Média Erro Subarmada 38 42 444 3913 4184 1011 Superarmada 93 976 88 88 912 194 Cisalhamento 92 80 98 102 9333 145 As figuras abaixo mostram as três tentativas de simulação do padrão de fissuração da viga rompida por cisalhamento E a seguir pode ser visualizado o comparativo do gráfico carga x deslocamento experimental e numérico desta viga 77 Figura 415 Padrão de fissuraçao da tentativa a 1 b 2 e c 3 NAGARAJAN et al 2010 Figura 416 Comparacao do diagrama carga x deslocamento entre os resultados numéricos e experimentais NAGARAJAN et al 2010 Neste tópico foi esclarecida a importância da análise nãolinear dentro do contexto do dimensionamento de regiões D e mostrouse ainda que a microtreliça pode ser utilizada como uma ferramenta de boa precisão e de fácil utilização na análise nãolinear e nos modelos de bielas e tirantes com vantagem de possibilitar a visualização do estado limite de serviço da estrutura por meio dos padrões de fissuração e deslocamento sob carga de serviço a b c 78 422 Modelo de dano contínuo isotrópico com duas variáveis escalares O modelo recorre a duas variáveis escalares de dano d d com evoluções independentes cujos valores possíveis obedecem à condição 0 d 1 e podem ser intuitivamente associados à degradação produzida no concreto sob condições de tração ou de compressão De acordo com requisitos termodinâmicos básicos os valores destas variáveis internas não podem ser decrescentes condição que é satisfeita mediante a utilização de leis de evolução adequadas e que serão descritas mais adiante Relativamente à lei constitutiva propriamente dita o modelo conduz ao formato bastante intuitivo 41 onde é a tensão efetiva de tração é a deformação de tração é a tensão efetiva de compressão é a deformação de compressão e E é o modulo de elasticidade do material 4221 Critérios de dano Localmente o modelo necessita determinar se um dado ponto de integração está em carga ou em descarga o que é clarificado através do recurso a dois critérios de dano independentes para a tração e para a compressão que são estabelecidos com base nas seguintes normas 42a e 42b 42a 42b 42c Na equação 42c K representa uma propriedade material que permite graduar o ganho de resistência do concreto quando submetido a compressão biaxial em relação a compressão uniaxial R0 é a relação entre as máximas tensões elásticas do concreto para os estados biaxial e uniaxial Valores típicos de R0 e K para o concreto são dados na equação 79 42c de acordo com a referência Cervera Cervera Oliver et al 1996 Os critérios de danos adotados são 43a 43b Nos quais podem ser interpretados como variáveis de endurecimento controlando a expansão das superfícies de dano descritas pela equação 43a e 43b à medida que a evolução do processo de carga determina a evolução das normas 42a e 42b O domínio elástico inicial é caracterizado pelas condições e sendo propriedades materiais facilmente relacionáveis com as tensões que em ensaios uniaxiais determinam a fronteira entre o comportamento linear e o início da degradação em tração ou em compressão são indicadas as seguintes expressões para os valores destas propriedades 44a 44b Por sua vez as condições de consistência e de persistência sobre as superfícies de dano determinam pelo que para um instante t genérico temse 45 4222 Critérios de dano No presente modelo para o concreto as leis de evolução das variáveis de dano são explícitas em termos de variáveis de endurecimento obtendose bons resultados recorrendo às seguintes definições se 46a 80 se 46b O parâmetro tendo em vista o cumprimento de requisitos de objetividade face ao refinamento da malha de elementos finitos é dado por 47 Onde é a energia de fratura dissipada em um ensaio simples de tração sendo o comprimento característico do elemento finito considerado Neste trabalho adotase onde l é o comprimento de cada elemento da malha de elementos finitos Por outro lado os parâmetros e são obtidos através da simulação numérica do ensaio de compressão simples tal que a curva obtida se aproxime da curva tensãodeformação obtida experimentalmente De forma esquemática a Figura 417 reproduz a resposta global fornecida pelo modelo para o comportamento cíclico do concreto em condições uniaxiais quando as variáveis de dano evolucionam de acordo com as equações 46a e 46b Figura 417 Comportamento cíclico do concreto em condições unidimensionais 81 No quadro abaixo se descreve o algoritmo de integração do modelo dano utilizado neste trabalho Figura 418 Algoritmo de integração do modelo de dano 423 Modelo constitutivo da armadura Para simular numericamente o comportamento da armadura foi implementado computacionalmente um modelo elastoplástico unidimensional detalhado em Simo Hughes 82 1997 no qual são levados em consideração os efeitos do endurecimento isotrópico e cinemático do material Apresentase a formulação matemática das equações governantes básicas inerentes ao modelo utilizado destacandose a decomposição aditiva da deformação em partes elástica e plástica função de escoamento considerandose o endurecimento isotrópico e cinemático e condições de complementaridade de KuhnTucker Para integração das equações governantes foi utilizado um algoritmo de integração implícita BackwardEuler conjuntamente com a utilização do preditor elástico durante o processo iterativo de retorno à superfície de escoamento O modelo elastoplástico utilizado para representar os elementos da armadura é basicamente caracterizado pelas seguintes definições i Relação tensãodeformação ii Regra de fluxo plástico iii Leis para o endurecimento isotrópico e cinemático iv Condição de escoamento e domínio plástico v Condições de complementaridade de KuhnTucker vi Condição de consistência Inicialmente para um modelo simplificado que não considera os fenômenos do endurecimento temse que dado um dispositivo friccional unidimensional de Coulomb que inicialmente possui comprimento e área unitários e é constituído de uma mola com constante elástica E e por um elemento de fricção de Coulomb com constante As constantes E e y representam respectivamente o módulo de elasticidade e a tensão de escoamento do material Figura 419 Dispositivo friccional de Coulomb adaptada de Simo Hughes 1997 83 Num ponto da armadura submetido a um estado elastoplástico a deformação total é dividida em sua parte elástica e recuperável e sua parte plástica p irrecuperável conforme mostra a equação abaixo 48 Assumindo que p e são funções do tempo temos que 49 Uma mudança na configuração do ponto só é possível se Para caracterizar essa mudança serão assumidas algumas hipóteses 1 A tensão não pode ser maior em valor absoluto que Isso significa que a princípio as tensões admissíveis estão situadas num intervalo O domínio elástico é portanto estabelecido por 410 Sendo E o módulo de elasticidade a relação tensãodeformação desse ponto é representada por 411 Sendo f a função de escoamento que tem a seguinte forma 412 2 Se o valor absoluto da tensão aplicada for menor que a tensão de escoamento y nenhuma mudança em é observada isto é caracterizando um regime elástico conforme se pode ver na equação 413 84 413 3 Quando considerase que o elemento escoa na direção das tensões aplicadas com uma constante de escoamento y0 A variação da deformação plástica é representada pela regra do fluxo plástico apresentada pela equação 414 414 Onde é uma função sinal definida como 415 As condições de carga e descarga são determinadas através das condições de KuhnTucker equação 416 e pela condição de consistência 417 Tais condições têm a função de manter o estado de tensão sob o contorno da região elástica durante as deformações plásticas e determinar quais são as condições de carregamento Condições de KunhTucker 416 Condição de consistência 417 Durante o fluxoplástico a função de escoamento deve permanecer igual a zero e portanto sua variação no tempo também deve ser nula Essa consideração leva a condição de consistência Na tabela abaixo são resumidas as principais situações ocorridas durante o processo de cargadescarga 85 Tabela 42 Situações de carregamento para o modelo de elastoplasticidade Localização de Constante de escoamento Situação de carga y0 Elástico Descarga elástica Carga Neutra Carga Plástica Estado inadmissível 4231 Modelo friccional unidimensional com endurecimento Para alguns materiais uma vez iniciado o processo de plastificação a superfície de escoamento varia devido ao fenômeno de endurecimento À medida que o endurecimento evolui a superfície de fluência pode expandir sem mudança de forma caracterizando o endurecimento isotrópico ou transladar simulando o efeito Baushinger caracterizando o endurecimento cinemático A lei de endurecimento é marcada pela escolha de suas variáveis internas e pela definição da forma com a qual irá afetar a regra de fluxo e a condição de escoamento Para que a influência do endurecimento isotrópico na função de escoamento f seja considerada introduziramse as variáveis K denominada de módulo plástico e uma função não negativa designada variável interna de endurecimento plástico isotrópico Dessa maneira a equação 418 passa a ter a seguinte forma 418 A evolução da variável interna de endurecimento plástico isotrópico é dada por 419 Sendo H o modelo de endurecimento cinemático e q uma variável que define a localização do centro da superfície de escoamento designada variável interna de 86 endurecimento plástico a equação 418 toma a forma da equação 420 para levarse em consideração o efeito do endurecimento cinemático 420 A evolução da variável q é determinada pela Regra de Ziegler 421 Onde 422 Portanto 423 A Tabela 43 é um resumo das principais equações governantes do modelo constitutivo desenvolvido por Simo Hughes 1997 o qual considera os efeitos do endurecimento do material Esse modelo foi implementado dentro do programa em Elementos Finitos 1damageexe utilizado neste trabalho Tabela 43 Sumário das principais equações governantes do modelo friccional unidimensional com endurecimento FERNANDES 2010 Relação tensão x deformação Regra de fluxo plástico Lei de endurecimento isotrópico Lei de endurecimento cinemático Condição de escoamento Fechamento do domínio elástico Condições de complementaridade de KuhnTucker Condição de consistência 87 424 Geração dos elementos de treliça A forma padrão de elementos de treliça é bastante restrita para formas regulares de modelos não permitindo formas com geometrias mais complexas que pode ocorre em estruturas reais Diferentemente do aplicado anteriormente na literatura esse trabalho propõe o uso de geração de malha automática de triângulos para a geração de elementos de treliças Para tanto é empregado um algoritmo 2D para domínios bidimensionais de forma arbitrária Miranda Meggiolado et al 2003 O algoritmo proposto incorpora aspectos de técnicas para geração de malhas bem conhecidas na literatura e define alguns passos originais adicionais O algoritmo se baseia em uma técnica de avanço da fronteira Shaw and Pitchen 1978 Potyondy 1993 mas usa também uma técnica de decomposição espacial recursiva Samet 1984 Wawrzynek 1991 no caso um árvore quartenária quadtree para desenvolver diretrizes locais usadas para definir o tamanho das elementos gerados A técnica de avanço da fronteira usada neste algoritmo é baseada em um procedimento padrão encontrado na literatura mas com alguns passos adicionais Para melhorar a qualidade das malhas geradas no que diz respeito à forma dos elementos um procedimento de melhoria local a posteriori é usado Uma breve descrição do algoritmo é realizada O dado de entrada é uma descrição poligonal do contorno da região a ser gerado a malha dado por uma lista de nós que definem suas coordenadas e uma lista de segmentos ou arestas definidos pela conectividade dos nós Esse tipo de entrada pode representar qualquer forma incluindo furos Dos segmentos do contorno uma estrutura auxiliar de panodefundo quadtree é criada para controlar os tamanhos dos elementos triangulares gerados pelo processo de avanço da fronteira O algoritmo se inicia a partir das arestas do contorno inicial A cada passo do procedimento de geração de malha um novo triangulo é gerado para cada aresta de frente base de avanço Consequentemente o domínio da região é contraída possivelmente em várias regiões O processo para quando todas as regiões contraídas resultam em um único triângulo Apesar de que o algoritmo gere no final uma lista de triângulos apenas as arestas dos triângulos são usadas como elementos de treliça Depois que os elementos são gerados é necessário definir a área da seção transversal de cada elemento de treliça As áreas definidas na Figura 420 são calculadas por meio das equações apresentadas abaixo 88 Figura 420 Padrão de elementos de treliça para o caso plano de tensões NAGARAJAN et al 2010 424 Onde t é espessura As áreas foram calculadas considerando um coeficiente de Poisson igual a 13 Considerando um elemento que forma um cubo unitário a 1 t 1e k 1 as equações apresentadas resultam num volume três vezes maior ao esperado Essa informação é usada para o calculo das áreas dos elementos de treliça gerados nesse trabalho A área de cada elemento de treliça e calculada aqui como 425 Onde A é a área do elemento de treliça L é o seu comprimento é a área de cada triângulo adjacente a aresta elemento Observar que essa área é obtida triplicando o valor do volume dos triângulos 89 5 EXEMPLOS ANALISADOS Foram escolhidos quatro exemplos da literatura para aplicar os métodos de análise apresentados O primeiro exemplo se trata de uma vigaparede simplesmente apoiada submetida a um carregamento simétrico viga A1 ensaiada por Guimarães 1980 A viga em questão já havia sido analisada por Fernandes 2010 em sua dissertação de mestrado aplicando o modelo de dano contínuo com duas variáveis e malha de elementos finitos quadriláteros serendípitos gerada pelo QUEBRA 2D e análise 2D de tensões Este exemplo se trata de uma vigaparede simplesmente apoiada submetida a carregamento simétrico que apresentou ruptura por flexão Desta forma a viga não se enquadrou nas limitações dos modelos analíticos citados No entanto foi analisada aplicando o MTA e o CAST A figura 51 apresenta a geometria da viga e na tabela 51 encontramse as propriedades mecânicas dos materiais e resultados experimentais Figura 51 Viga A1 dimensões em milímetros mm adaptado de Guimarães 1980 90 Tabela 51 Propriedades da viga A1 Propriedades geométricas b 100 mm h 800 mm d 755 mm c 45 mm a 400 mm l 1440 mm pl 120 mm ps 120 mm ad 053 Aço As 1978 2x2Ø8mm mm2 026 fy 534 MPa Es 212500 MPa Concreto fc 248 MPa ft 24 MPa Ec 23704 MPa Ruptura Pu 480 KN Tipo de Ruptura Flexão Py 390 KN Onde b base h altura d altura útil d h c c cobrimento a vão de cisalhamento l comprimento da viga pl comprimento do placa do ponto de aplicação da carga ps comprimento da placa do ponto de apoio As área de aço taxa de armadura fy tensão de escoamento do aço Es módulo de elasticidade do aço fc resistência a compressão do concreto ft resistência a tração do concreto Ec módulo de elasticidade do concreto Pu carga última experimental Py carga de escoamento 91 Segundo Guimarães 1980 a resistência a compressão do concreto encontrada foi de fc248 MPA aos 51 dias deformação última de 2502x103 e resistência a tração de 24 MPa A partir da curva de tensãodeformação Fernandes 2010 adotou um módulo de elasticidade de 30 MPa e resistência f0 12 MPA correspondente a 0484fc Para a energia de fratura adotou gf150 Nm Fernandes 2010 também determinou os parâmetros necessários para implementação do modelo de dano A partir de ajustes a curva tensão x deformação do concreto determinou os parâmetros A e B Para os valores de A 100 e B 0744 a deformação última encontrada foi de eu29x103 valor mais próximo do fornecido pelo autor eu2502x103 conforme curvas mostradas na Figura 52 Para que não houvesse problemas de objetividade da malha o comprimento característico l foi calculado para cada elemento finito como sendo a raiz quadrada da sua área FERNANDES 2010 Portanto o parâmetro A determinado por meio da equação 428 depende das características geométricas do elemento O aço utilizado nesta viga apresentou tensão de escoamento fy534 MPA e E2125 GPA Ajustando a curva fornecida por Guimarães 1980 Fernandes 2010 chegou a um valor de 1 GPA para a constante de endurecimento isotrópico H Figura 52 Ensaio de compressão simples do concreto da viga A1 FERNANDES 2010 O segundo exemplo se trata de uma vigaparede simplesmente apoiada submetida a um carregamento simétrico viga A2 ensaiada por Guimarães 1980 Devido a diferença em torno de 10 na resistência do concreto da viga A2 em relação a viga A1 considerouse que os parâmetros determinados para A2 também são válidos para A1 Por enquadrarse nos critérios esta viga também foi analisada por métodos analíticos 92 A figura 53 mostra a geometria da viga A2 e a tabela 52 apresenta as propriedades dos materiais e dados experimentais Figura 53 Viga A2 dimensões em milímetros mm adaptado de Guimarães 1980 Tabela 52 Propriedades da viga A2 Propriedades geométricas b 100 mm h 800 mm d 730 mm c 70 mm a 400 mm l 1440 mm pl 120 mm ps 120 mm ad 055 Aço As 42750 3x2Ø10mm mm2 059 fy 582 MPa Es 212500 MPa Concreto fc 223 MPa ft 223 MPa Ec 22480 MPa Ruptura Pu 546 KN Tipo de Ruptura Cisalhamento Py KN Nota O valor do módulo de elasticidade do concreto foi estimado conforme NBR 6118 2007 93 O terceiro exemplo analisado é a viga V5 ensaiada por Rogowsky et al 1983 Tratase de uma vigaparede contínua conforme figura 54 rompida por cisalhamento que foi analisada pelos modelos analíticos e utilizando o MTA Não se detém de informações precisas dessa viga para estabelecer com maior precisão os parâmetros para o modelo de dano contínuo Não foram publicadas informações do ensaio do concreto de tal forma que não foi possível determinar os parâmetros A e B ou mesmo a energia de fratura que também foi estimada em 150 KNm A resistência fo foi estimada da mesma forma que no trabalho de Fernandes 2010 e para fo aplicouse a resistência a tração do concreto conforme NBR 6118 2007 Na tabela 53 são apresentados os dados experimentais e as propriedades dos materiais da viga V5 Nas figuras 54 e 55 têmse a geometria da viga e na figura 56 a curva carga x deslocamento experimental Figura 54 Viga V5 dimensões em milímetros mm adaptado de Rogowsky et al 1983 94 Figura 55 Seção Transversal da viga V5 dimensões em milímetros mm adaptado de Rogowsky et al 1983 Figura 56 Curva carga x deslocamento no meio do vão da viga V5 710T1 Rogowsky et al 1983 95 Tabela 53 Propriedades da viga V5 710 T1 Armadura negativa Armadura positiva Propriedades geométricas b 200 mm b 200 mm h 1000 mm h 1000 mm d 950 mm d 975 mm c 50 mm c 25 mm a 750 mm a 750 mm l 4400 mm l 4400 mm pl 300 mm pl 300 mm ps 200400200 mm ps 200400200 mm ad 079 ad 077 Aço As 4Ø20M 1152 mm2 As 3Ø20M 864 mm2 063 046 fy 420 MPa fy 420 MPa Es 195800 MPa Es 195800 MPa Concreto fc 345 MPa fc 345 MPa ft 271 MPa ft 271 MPa Ec 216 MPa Ec 216 T1 T2 Ruptura Pu 714 KN Pu 1107 KN Tipo Cisalhamento Tipo Cisalhamento Py KN Py KN Nota T2 referese ao reensaio da viga V5 reforçada após a ruptura com a primeira carga apresentada em T1 Resistência à tração estimada conforme NBR 6118 2007 O último exemplo se trata de uma miniatura de viga em microconcreto biapoiada submetida a uma carga centrada ensaiada por Melo 2011 A figura 57 apresenta a geometria da viga e a figura 58 a curva carga x deslocamento experimental da mesma Na tabela 54 encontramse os dados experimentais da viga em questão 96 a b Figura 57 a Viga R2b e b seção transversal da viga MELO 2011 Tabela 54 Dados da viga R2b Propriedades geométricas b 50 mm h 150 mm d 1275 mm c 225 mm a 300 mm l 675 mm pl 10 mm ps 10 mm ad x Aço As x mm2 0216 fy 34639625 MPa Es 11477385 GPa Concreto Gf 7243112 Nm fc 3547046 MPa ft 440017 MPa Ec 2695056 GPa Ruptura Pu 820 KN 97 Para este exemplo em especial dispunhase de dados experimentais mais precisos assim como a determinação da energia de fratura No entanto mantiveramse os mesmos valores para A e B pois não se dispunha da curva tensão x deformação do concreto Figura 58 Curva carga x deslocamento da viga R2b MELO 2011 98 6 APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS 61 Resultados analíticos 611 Viga A2 de Guimarães 1980 6111 Modelo de biela e tirante de Won et al 1998 Na primeira iteração assumese que dmín 0 e dmáx d Os dados de entrada são fck a d da min da max b rb u0 As fy rl lb e ll O valor de ll é dado pelo comprimento da barra que se estende além do apoio Desta forma assumese que seja um valor que corresponde à distância do final do apoio a extremidade da viga subtraído do cobrimento da viga assumido ser 20 mm Desta forma obtémse ll 40 mm Calculase então o valor de llmín que é dado por Como ll é menor que llmín então assumese que deff d e y u0 A partir dessa definição é possível encontrar os resultados abaixo 99 Substituindo o valor de Db em Ta 100 Finalmente calculamse os valores reais de T e Db levandose em consideração o aumento da resistência do nó Calculamse também as tensões na placa de aplicação de carga e na biela horizontal para realizar as devidas verificações O autor não explicita um valor com o qual deva ser comparado No entanto os códigos normativos apresentam estes valores O valor encontrado claramente não está dentro dos limites da segurança pois está acima da resistência a compressão do concreto fc Sendo esta a primeira iteração se dará prosseguimento aos cálculos mesmo diante dessa verificação mal sucedida O valor de c2 é comparado com Onde 101 Verificação OK Logo Verificouse que não se chegou a igualdade entre Dt e Db logo existe a necessidade de realizar outra iteração a partir dessa iteração os cálculos não serão mais detalhados pois consiste apenas em repetição do processo 2ª iteração 3ª iteração 4ª iteração 102 5ª iteração 6ª iteração 7ª iteração Na oitava iteração já se obtém uma razão de 113 entre a carga calculada e a experimental obtendose pouca variação a partir daí 8ª iteração Foi assumido Pu 27001 KN valor calculado na 17ª iteração conforme equações abaixo 103 17ª iteração Não havendo necessidade para mais cálculos temse que Pu27001 KN A figura abaixo mostra a geometria do MBT obtido para viga A2 por meio do processo de Won et al 1995 Figura 61 MBT da viga A2 segundo Won et al 1995 6112 Modelo de biela e tirante de Zhang Tan 2007 O processo de definição da geometria das bielas é iterativo e no passo inicial assumese que ldlc onde lc é a altura do nó CCT e ld do nó CCC Em casos onde a precisão do resultado não é uma exigência podese assumir que ldlc introduzindo um erro no cálculo de apenas 2 segundo Zhang Tan 2007 104 Os dados de entrada na primeira iteração são fc s h lc ld As fy bw lb Es a e d Como resultado temse Onde e são definidos conforme as equações abaixo Onde Logo 105 A partir do valor encontrado para Vn fazse o cálculo inverso para encontrar o valor correspondente de ld Na primeira iteração encontrouse uma razão entre a carga última calculada e a carga última real de 091 representando um erro de aproximadamente 959 Na segunda iteração aplicandose o valor calculado de ld obtémse um erro de 733 2ª iteração 106 Onde e são definidos conforme as equações abaixo Já na terceira iteração a diferença encontrada é desprezível de 007 mm no valor de ld e de 011 KN na carga última Pu 107 Onde e são definidos conforme as equações abaixo 108 Na quarta iteração chegase aos mesmos valores da terceira iteração Onde e são definidos conforme as equações abaixo 109 Por fim concluise que Pu é de 22371 KN A figura 62 mostra a geometria do modelo de biela e tirante obtido Figura 62 MBT da viga A2 segundo Zhang Tan 2007 612 Viga V5 de Rogowsky et al 1983 6121 Modelo de biela e tirante de Zhang Tan 2007 Os dados de entrada para este modelo são le c1 c2 lc h bw lb la lf fc e Ec fsp As1 As2 fy e Es A partir dos dados de entrada podemse desenvolver os cálculos conforme explicitado no tópico 33 Inicialmente definese a geometria do modelo 110 E então definemse as variáveis m n e p e as frações A B C e D 111 A seguir calculase a resistência a tração do concreto Onde E Definidos os parâmetros e propriedades acima podese proceder para o cálculo da carga última para cada uma das regiões nodais Para região nodal A temse que Logo Para região nodal B temse que 112 Logo Por fim para a região nodal C temse que Chegando ao valor da carga última para região nodal C de A carga última da viga é dada pelo menor valor encontrado entre Pna Pnb e Pnc Figura 63 MBT para viga V5 segundo Zhang Tan 2007 113 6121 Modelo de biela e tirante de Nagarajan Pillai 2009 Os dados de entrada do modelo são D et eb a1 a2 la lb lc fck b fyp Asp fyn e Asn Daí calculase a geometria do modelo E então calculamse os esforços na bielas O autor sugere um fator de eficiência de e um coeficiente de 045 na minioração da resistência do concreto No entanto para manter o padrão das análises foi adotado o fator de eficiência do CEBFIP em substituição kc 114 Inicialmente calculase a resistência efetiva do concreto Dáse prosseguimento com o cálculo da capacidade da treliça de momentos negativos Concluindo com o valor da carga última ao cisalhamento A seguir calculase a capacidade da treliça de momentos positivos 115 Obtendose a carga última a flexão Verificase que a carga última da viga é Pu 158086 KN e que o modo indica que o modo de ruptura mais provável será por cisalhamento 116 62 Resultados com o CAST 621 Viga A1 de Guimarães 1980 Utilizando o CAST foram feitas quatro análises por meio do modelo de Zhang Tan 2007 calculouse a carga última aplicando fatores de eficiência do ACI 2008 e do CEBFIP MC 2010 o mesmo foi feito para o modelo de Won et al 1995 A função predição da carga última do CAST permite que a partir de dada geometria de MBT e critérios de resistência escolhidos pelo usuário o programa calcule a máxima carga possível de ser aplicada ao elemento O cálculo é feito de forma simples e intuitiva por meio do fator de eficiência do concreto limitase a tensão máxima nas bielas Como a geometria já foi definida determinase a força máxima para que a biela de determinada espessura não supere a resistência do concreto Os nós são verificados de acordo com o código normativo escolhido da mesma forma que as bielas Conforme o esquema acima foi feita a primeira análise baseandose na geometria do modelo de biela e tirante de Zhang Tan 2007 figura 64 aplicando os fatores de eficiência do ACI 2008 No entanto devido às limitações do CAST não foi possível reproduzir fielmente o modelo analítico especialmente as regiões nodais Por meio da análise de predição da carga última verificase que a biela horizontal tornase o limitador da capacidade do modelo com Pu 842 KN As tensões obtidas nas bielas estão listadas na tabela 61 e as tensões nos nós são apresentadas na tabela 62 Figura 64 Predição da carga última da viga A1 com MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do ACI 2008 117 Tabela 61 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A1 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do ACI 2008 ID l mm θ F KN fce Mpa wmín mm weff mm fu Mpa E12 81490 6060 9660 949 10190 14800 653 0688 ACI BS E13 40000 000 4740 1581 3000 3000 1581 1000 ACI PS E15 4500 9000 8420 949 8870 14800 569 0600 ACI BS Onde ID identificação l comprimento F força fce tensão máxima suportada pelo concreto conforme fatores de eficiência aplicados dada por wmín espessura mínima da biela para que a tensão não exceda a tensão máxima fce weff espessura efetiva da biela fu tensão efetiva na biela BS bottleshaped strut without steel biela em forma de garrafa não reforçada PS prismatic strut biela prismática Tabela 62 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A1 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do ACI 2008 Nó Biela da interface F KN fu Mpa fce Mpa N12 E12 9660 653 1581 0413 ACI CCC N12 E15 8420 569 1581 0360 ACI CCC N12 E13 4740 1581 1581 1000 ACI CCC N10 E11 4740 474 1265 0375 ACI CCT N10 E12 9660 653 1265 0516 ACI CCT Onde as figuras 65 de a a e identificam as faces nodais listadas na tabela 62 118 Figura 65 Identificação do nós a N12E12 b N12E15 c N12E13 d N10E11 e N10E12 E os fatores de eficiência aplicados são dados por ACI CCC ACI CCT Mantendo a geometria de Zhang Tan 2007 foram aplicados os fatores de eficiência do CEBFIP 2010 para predição da carga última Figura 66 Figura 66 Predição da carga última da viga A1 com MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do CEBFIP MC 2010 119 Conforme os resultados mostrados nas Tabelas 63 e 64 a carga última calculada foi de 938 KN e o elemento limitador da resistência do elemento é a biela horizontal E13 Tabela 63 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A1 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do CEBFIP MC 2010 ID l mm θ F KN fce Mpa wmín mm weff mm fu Mpa E12 81490 6060 10760 1409 7640 14800 727 0516 CEB2010BS E13 40000 000 5280 1761 3000 3000 1761 1000 CEB2010PS E15 4500 9000 9380 1409 6660 14800 634 0450 CEB2010BS Onde fce tensão máxima suportada pelo concreto conforme fatores de eficiência aplicados dada por BS bottleshaped strut biela em forma de garrafa PS prismatic strut biela prismática Tabela 64 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A1 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do CEBFIP MC 2010 Nó Biela da interface F KN fu Mpa fce Mpa N12 E12 10760 727 1761 0413 CEBCCC N12 E15 9380 634 1761 0360 CEBCCC N12 E13 5280 1761 1761 1000 CEBCCC N10 E11 5280 528 1409 0375 CEBCCT N10 E12 10760 727 1409 0516 CEBCCT Onde os fatores de eficiência do concreto valem CEBCCC CEBCCT Para o modelo de Won et al 1995 no CAST utilizando os fatores do ACI 2008 inicialmente temse o seguinte cenário o elemento que restringe a resistência da viga 120 passa a ser a biela inclinada para uma carga última de Pu 1112 KN As tabelas 65 e 66 apresentam os resultados para os elementos do MBT Figura 67 Predição da carga última da viga A1 com MBT de Won et al 1995 e fatores do ACI 2008 Tabela 65 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A1 MBT de Won et al 1995 e fatores do ACI 2008 ID l mm θ F KN fce Mpa wmín mm weff mm fu Mpa E12 77350 5886 13000 949 13700 13700 949 1000 ACI BS E13 40000 000 6720 1581 4250 6600 1018 0644 ACI PS E15 6600 9000 11120 949 17730 12000 927 0977 ACI BS Tabela 66 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A1 MBT de Won et al 1995 e fatores do ACI 2008 Nó Biela da interface F KN fu Mpa fce Mpa N12 E12 13000 949 1581 0600 ACI CCC N12 E15 11120 927 1581 0585 ACI CCC N12 E13 6720 1018 1581 0644 ACI CCC N10 E11 6720 672 1265 0531 ACI CCT N10 E12 13000 949 1265 0750 ACI CCT 121 Aplicando os fatores do CEBFIP MC 2010 a carga última calculada é de Pu 1652 KN As tabelas 67 e 68 contêm mais informações a respeito Figura 68 Predição da carga última da viga A1 com MBT de Won et al 1995 e fatores do CEBFIP MC 2010 122 Tabela 67 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A1 MBT de Won et al 1995 e fatores do CEBFIP MC 2010 ID l mm θ F KN fce Mpa wmín mm weff mm fu Mpa E12 77350 5886 19300 1409 13700 13700 1409 1000 CEB2010BS E13 40000 000 9980 1761 5670 6600 1512 0859 CEB2010PS E15 6600 9000 16520 1409 11730 12000 1376 0977 CEB2010BS Tabela 68 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A1 MBT de Won et al 1995 e fatores do CEBFIP MC 2010 Nó Biela da interface F KN fu Mpa fce Mpa N12 E12 19300 1409 1761 0800 CEBCCC N12 E15 16520 1376 1761 0782 CEBCCC N12 E13 9980 1512 1761 0859 CEBCCC N10 E11 9980 998 1409 0709 CEBCCT N10 E12 19300 1409 1409 1000 CEBCCT 622 Viga A2 de Guimarães 1980 Da mesma maneira que se procedeu para a viga A1 procedeuse para A2 Nesta mesma ordem modelouse a geometria de Zhang Tan 2007 com fatores do ACI e do CEBFIP e em seguida a geometria de Won et al 1995 Na primeira análise obtevese Pu 985 KN 123 Figura 69 Predição da carga última da viga A2 com MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do ACI 2008 Tabela 69 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A2 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do ACI 2008 ID l mm θ F KN fce Mpa wmín mm weff mm fu Mpa E3 80740 6030 11340 853 13300 13295 853 1000 ACI BS E6 40000 18000 5620 1422 3950 5724 981 0690 ACI PS E4 2860 9000 28000 853 11550 12000 821 0962 ACI BS Tabela 610 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A2 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do ACI 2008 Nó Biela da interface F KN fu Mpa fce Mpa N1 E1 5620 1137 981 0863 ACI CCT N1 E3 11340 1137 853 0750 ACI CCT N4 E3 11340 1422 853 0600 ACI CCC N4 E6 5620 1422 981 0690 ACI CCC 124 Figura 610 Identificação do nós aN1E1 b N1E3 c N4E3 d N4E6 Aplicando os fatores do CEBFIB MC 2010 a carga última calculada é de Pu 10960 KN enquanto que a carga última analítica encontrada por este modelo foi de 22371 KN representando uma razão de 046 entre carga calculada e carga experimental Figura 611 Predição da carga última da viga A2 com MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do CEBFIP MC 2010 Tabela 611 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A2 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do CEBFIP MC 2010 ID l mm θ F KN fce Mpa wmín mm weff mm fu Mpa E3 80740 6030 12620 1017 12410 13295 949 0933 CEBBS E6 40000 18000 6250 1583 3950 5724 1092 0690 CEBPS E4 2860 9000 1017 10780 12000 913 0898 CEBBS 125 Onde fce tensão máxima suportada pelo concreto conforme fatores de eficiência aplicados dada por BS bottleshaped strut biela em forma de garrafa PS prismatic strut biela prismática Tabela 612 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A2 MBT de Zhang Tan 2007 e fatores do CEBFIP MC 2010 Nó Biela da interface F KN fu Mpa fce Mpa N1 E1 12620 1092 949 0869 CEBCCT N1 E3 6250 1092 1092 1000 CEBCCT N4 E3 12620 1583 949 0599 CEBCCC N4 E6 6250 1583 1092 0690 CEBCCC Onde CEBCCC CEBCCT 126 Figura 612 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A2 MBT de Won et al 1995 e fatores do ACI 2008 Analiticamente encontrouse Pu 27001 KN uma vez que o modelo não pode ser aplicado de forma mais realista permitindo considerar variações na espessura da biela inclinada junto ao nó CCC e junto ao nó CCT O programa subestima bastante a resistência do elemento tendo sido encontrada uma carga última de apenas 13860 KN representando um razão entre carga calculada e carga experimental de 058 Tabela 613 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A2 MBT de Won et al 1995 e fatores do ACI 2008 ID l mm θ F KN fce Mpa wmín mm weff mm fu Mpa E11 74820 5768 16400 853 19230 19226 853 1000 ACI BS E14 40000 000 8770 1422 6170 17019 515 0362 ACI PS E16 8510 9000 13860 853 16250 19650 705 0827 ACI BS Tabela 614 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A2 MBT de Won et al 1995 e fatores do ACI 2008 Nó Biela da interface F KN fu Mpa fce Mpa N10 E11 16400 1137 853 0750 ACI CCT N11 E11 16400 1422 853 0600 ACI CCC N11 E14 8770 1422 515 0362 ACI CCC N11 E16 13860 1422 705 0496 ACI CCC 127 Figura 613 Identificação do nós a N10E11 b N11E11 c N11E14 d N11E16 Alterando os fatores de eficiência do concreto para o CEBFIB MC 2010 mantendo o mesmo MBT temse o cenário mostrado na figura 614 e carga última calculada de 16520 KN correspondente a uma razão de 0612 entre a carga calculada e carga experimental Figura 614 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A2 MBT de Won et al 1995 e fatores do CEBFIP MC 2010 128 Tabela 615 Tensões nas bielas na predição da carga última da viga A2 MBT de Won et al 1995 e fatores do CEBFIP MC 2010 ID l mm θ F KN fce Mpa wmín mm weff mm fu Mpa E11 74820 5768 19550 1017 19230 19226 1017 1000 CEB2010BS E14 40000 000 10450 1583 6600 17019 614 0388 CEB2010PS E16 8510 9000 16520 1017 16250 19650 841 0827 CEB2010BS Tabela 616 Tensões nos nós na predição da carga última da viga A2 MBT de Won et al 1995 e fatores do CEBFIP MC 2010 Nó Biela da interface F KN fu Mpa fce Mpa N10 E11 19550 1092 1017 0931 CEBCCT N11 E11 19550 1583 1017 0600 CEB CCC N11 E14 10450 1583 614 0388 CEBCCC N11 E16 16520 1583 841 0531 CEB CCC 129 Figura 615 Identificação do nós a N1E3 b N1E1 c N4E3 d N4E6 63 Resultados com o MTA Serão apresentados a seguir os resultados obtidos com o software Microtruss Analyzer Inicialmente serão feitas algumas considerações gerais relativas às funções do software e algumas generalidades que valem para todos os exemplos analisados A figura 616 mostra as ferramentas para desenho do MTA e para atribuição das propriedades dos materiais e dos parâmetros da análise Figura 616 Barra de ferramentas do MTA As funções dos principais botões são explicadas abaixo Divide o elemento de barra em uma quantidade de outros elementos ou em elementos de um tamanho determinado pelo usuário figura 617 Gera a malha de acordo com as subdivisões dos elementos de malha informados pelo usuário Definição dos parâmetros globais da análise figura 618 Definição das condições de apoio figura 619 Definição do carregamento figura 620 Atribuição das propriedades do concreto 130 Atribuição das propriedades do aço Gravaçãoatualização do arquivo de saída de extensão dat Figura 617 Definição do refinamento da malha Figura 618 Definição dos parâmetros globais Figura 619 Definição das condições de apoio Figura 620 Definição do carregamento A quantidade ou tamanhos das subdivisões dos elementos variou em cada análise e em cada exemplo assim como a geração da malha os parâmetros globais também variaram para cada análise Todos os exemplos foram considerados biapoiados representando a 131 condição geral dos ensaios experimentais e os carregamentos foram supostos distribuídos em uma área equivalente a placa de apoio que efetuara a distribuição do carregamento no ensaio experimental e o valor da carga aplicada para todos os exemplos foi superior a carga última experimental As propriedades dos materiais variaram em cada exemplo e foram descritas no capítulo 5 com exceção dos parâmetros do modelo de dano que são comentados ao longo deste capítulo A janela acima na figura 618 mostra a definição dos parâmetros globais da análise São definidas quantidade de passos quantidade máxima de iterações tolerância para convergência nó de controle direção do nó de controle dois nós para plotagem dos dados de deslocamento um nó que esteja sob carregamento e quatro passos para que se efetue a plotagem dos resultados gráficos do pósprocessamento Para todos os exemplos adotouse como nó para o deslocamento um nó em posição semelhante ou igual ao ponto instrumentado na análise experimental que gerou a curva carga x deslocamento original A propósito só foi analisado o deslocamento vertical para um nó de deslocamento correspondente ao nó instrumentado nas vigas ensaiadas E para o nó de carga considerouse um ponto médio na área de aplicação da carga Inicialmente serão apresentados os resultados com a viga A2 pois serviram de base para a análise da viga A1 631 Viga A2 de Guimarães 1980 A geometria da viga foi desenhada no software de forma a respeitar as condições reais que existiram no ensaio e o posicionamento adotado das barras de aço buscou representar com fidelidade a distribuição adotada na viga concretada e ensaiada por Guimarães 1980 adotando os mesmos espaçamentos De forma que já foi comentado sobre definições de condições de apoio e carregamento serão apresentadas a seguir as propriedades dos materiais A tabela abaixo mostra a atribuição das propriedades mecânicas do concreto para este exemplo no MTA e em seguida a atribuição das propriedades mecânicas do aço Foram usados os mesmos valores e parâmetros utilizados e recomendados por Fernandes 2010 conforme foi explicado no capítulo 5 132 Tabela 617 Propriedades atribuídas à viga A2 no MTA Concreto Aço E 2248 GPa E 2125 GPa 020 030 f0 223 MPa y 582 f0 10 MPa H 1 GPa A 1 As 000015 m2 B 0744 f02Df01D 01714 Gf 150 KNm b 01 m Após a definição dentro do ambiente gráfico do MTA das propriedades dos materiais geração da malha definição de carregamento e condições de apoio e definição dos parâmetros globais da análise é gerado um cabeçalho conforme tabela 618 As linhas geradas são lidas pelo software 1damageexe que realiza o processamento conforme os dados de entrada informados Na tabela 619 é mostrada a leitura de cada variável informada pelo MTA e a subrotina correspondente do 1damage Tabela 618 Modelo de cabeçalho do programa Microtruss Analyzer Identificação das variáveis Microtruss generated by Quebra2D mesh nn plane truss 1D isotropic damage model with two scalar damage variables run from Quebra2D objectivity nn ne nbn nmat ninc niteq niteqd toleq nct ndim kcut kined idef ialgo arcl arcmax arcmin iarc nodert ndir 133 Tabela 619 Variáveis valores e subrotinas correspondentes Abr Tradução Valor Subrotina nn Quantidade de nós 543 Depende do modelo ne Quantidade de elementos 1619 Depende do modelo nbn Quantidade de nós com condição de suporte 6 Depende do modelo nmat Quantidade de materiais 2 Depende do modelo ninc Quantidade de passos de carga 1000 Depende do modelo niteq Quantidade máxima de iterações 5 Depende do modelo niteqd Quantidade desejada de iterações 2 Depende do modelo toleq Tolerância para convergência 10e003 Depende do modelo nct Procedimento para solução 2 Controle de deslocamento constante arcl Tamanho inicial do comprimento de arco 20e6 Depende do modelo arcmax Tamanho máximo do comprimento de arco 20e5 Depende do modelo arcmin Tamanho mínimo do comprimento de arco 20e7 Depende do modelo iarc Tipo de comprimento de arco 0 Comprimento de arco constante nodert Nó de controle 343 Depende do modelo ndir Direção do nó de controle 2 Depende do modelo ndim Tipo de elemento 2 Elemento de Treliça 2D kcut Número máximo de cortes automáticos 5 kined Descrição cinemática 1 Formulação Lagrangeana Total idef Tipo de deformação 1 ialgo Método de solução nãolinear 3 Método Implex 134 Na primeira fase da análise variouse a posição dos nós de controle visando obter o nó mais estável Na figura 621 é mostrada a localização dos nós analisados onde em azul têmse os nós de carregamento em verde os nós de deslocamento e em vermelho os nós de controle e na tabela 620 é apresentado um resumo da análise Figura 621 Localização dos nós analisados da viga A2 Tabela 620 Resumo da análise AN1V2 Análise AN1V2 Quantidade de elementos 543 543 543 543 543 Tamanho dos elementos 50 50 50 50 50 Quantidade de passos de carga 1000 2000 2000 2000 2000 Comprimentos de arco 20e6 20e5 20e7 20e6 20e5 20e7 20e6 20e5 20e7 20e6 20e5 20e7 20e6 20e5 20e7 Nó de controle 343 343 393 485 543 Carga última KN 43924 43900 64900 65100 59900 Deslocamento máximo mm 8081 18385 21098 22968 21060 135 Segue abaixo o gráfico carga x deslocamento da análise AN1V2 efetuada figura 622 Figura 622 Resultado da análise AN1V2 Os resultados mostram que as análises efetuadas com o nó de controle 343 localizado a 250 mm de distância da extremidade esquerda da viga apresentaram maior estabilidade pois convergiram em todas as iterações Desta forma adotouse essa posição como padrão para o nó de controle Os nós 485 e 543 não apresentaram bons resultados pois devido a sua localização deslocaramse em outro sentido que não o que foi parametrizado no programa Em seguida foi feita a análise AN2V2 em função do refinamento da malha e da quantidade de iterações Refinouse a malha em subdivisões de 25 mm e adotouse o nó de controle fixo na posição mais estável que corresponde ao nó 1208 para a nova malha Variou se a quantidade de passos de carga em 2000 5000 e 9000 em função do aumento dessa quantidade também se diminuiu o tamanho passo A tabela 621 apresenta um resumo da análise efetuada 0000 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 0000 5000 10000 15000 20000 25000 Carga KN Deslocamento mm M1 Nó 343 M1 Nó 343 2000p M1 Nó 393 2000p M1 Nó 485 2000p M1 Nó 543 2000p 136 Tabela 621 Resumo da análise AN2V2 Análise AN2V2 Quantidade de elementos 2041 2041 2041 Tamanho dos elementos 25 25 25 Quantidade de passos de carga 2000 5000 9000 Comprimentos de arco 20e6 20e5 20e7 20e7 20e6 20e8 20e7 20e6 20e8 Nó de controle 1208 1208 1208 Carga última KN 57200 35400 35400 Deslocamento máximo mm 11507 0615 0615 Segue abaixo o gráfico carga x deslocamento da análise AN2V2 efetuada figura 623 As análises com 5000 e 9000 passos coincidiram devido ao mesmo comprimento de arco utilizado Figura 623 Resultado da análise AN2V2 632 Viga A1 de Guimarães 1980 Conforme explicitado anteriormente a análise dos nós de controle efetuada para a viga A2 serviu de base para a escolha do nó de controle na viga A1 Devido a análise efetuada em relação ao nó de controle de maior estabilidade do modelo efetuada para viga A2 repetiu se a mesma localização para a viga A1 discretizada com a malha subdividida em elementos 0 100 200 300 400 500 600 700 0000 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 Carga KN Deslocamento mm M2 Nó1208 9000p M2 Nó 1208 2000p M2 Nó 1208 5000p 101 137 de 50 mm A tabela 622 apresenta as propriedades dos materiais e os parâmetros do modelo de dano Tabela 622 Propriedades atribuídas a viga A1 no MTA Concreto Aço E 2370 GPa E 2125 GPa 020 030 f0 240 MPa y 534 f0 120 MPa H A 1 As 989x104 m2 B 0744 f02Df01D 01714 Gf 150 KNm b 01 m Na primeira análise estudouse a influência da malha comparando uma malha de 50 mm e outra de 25 mm conforme resumo da análise na tabela 623 com os nós de controle localizados nas posições conforme figuras 624 para a primeira malha e conforme figura 625 para a segunda Vale a mesma legenda onde em azul são representados os nós de carregamento em verde os nós de deslocamento e em vermelho os nós de controle Tabela 623 Resumo da análise AN1V1 Análise AN1V1 Quantidade de elementos 550 2058 2058 2058 Tamanho dos elementos 50 25 25 25 Quantidade de passos de carga 2000 2000 5000 9000 Comprimentos de arco 20e6 20e5 20e7 20e6 20e5 20e7 20e7 20e6 20e8 20e7 20e6 20e8 Nó de controle 333 1207 1207 1207 Carga última KN 40000 50600 34600 34600 Deslocamento máximo mm 14826 10729 1222 1369 138 Figura 624 Localização dos nós analisados da viga A1 malha M1 Figura 625 Localização dos nós analisados da viga A1 malha M2 A figura 626 apresenta o gráfico carga x deslocamento da análise AN1V1 As análises para 5000 e 9000 passos coincidiram devido ao mesmo comprimento de arco utilizado 139 Figura 626 Localização dos nós analisados da viga A1 malha M2 633 Viga V5 de Rogowsky et al 1983 A tabela 624 apresenta as propriedades dos materiais e os parâmetros do modelo de dano atribuídos a viga V5 no MTA Tabela 624 Propriedades atribuídas a viga V5 no MTA Concreto Aço E 2160 GPa E 19850 GPa 020 030 f0 240 MPa y 534 f0 120 MPa H A 1 As 576x104 m2 B 0744 f02Df01D 01714 Gf 150 KNm b 02 m A análise inicial visou determinar o nó de controle mais estável para dar continuidade às simulações A figura 627 mostra a localização dos nós de controle analisados nós de carregamento e de deslocamento e a tabela 625 apresenta o resumo da análise AN1V5 0 100 200 300 400 500 600 0000 5000 10000 15000 20000 Carga KN Deslocamento mm M2 Nó 1207 2000p M2 Nó 1207 5000p M2 Nó 1207 9000p M1 Nó 333 2000p 140 Figura 627 Localização dos nós analisados da viga V5 malha M1 Tabela 625 Resumo da análise AN1V5 AN1V5 Quantidade de elementos 883 883 883 883 Tamanho dos elementos 50 50 50 50 Quantidade de passos de carga 2000 2000 2000 2000 Comprimentos de arco 20e6 20e5 20e7 20e6 20e5 20e7 20e6 20e5 20e7 20e6 20e5 20e7 Nó de controle 877 507 594 853 Carga última KN 79477 73638 74543 76827 Deslocamento máximo mm 3129 5958 400 3379 Conforme resultado apresentado na figura 628 foi adotado o nó 507 localizado no meio da viga como o nó de controle padrão pois apresentou deslocamento uniforme de acordo com o sentido e direção parametrizados no programa 141 Figura 628 Resultado da análise AN1V5 Efetuouse ainda um estudo com o nó de controle 507 no sentido de investigar a influência da diminuição do tamanho do comprimento de arco e do aumento da quantidade de iterações conforme tabela 626 Tabela 626 Resumo da análise AN2V5 Análise AN2V5 Quantidade de elementos 883 883 Tamanho dos elementos 50 50 Quantidade de passos de carga 8000 2000 Comprimentos de arco 20e7 20e6 20e8 20e6 20e5 20e7 Nó de controle 507 507 Carga última KN 69074 73638 Deslocamento máximo mm 0625 5958 Conforme figura 629 abaixo esta análise esclareceu que o aumento da quantidade de passos de carga juntamente com a diminuição dos comprimentos de arco levaram a uma maior proximidade do resultado experimental em termos de carga última No entanto o deslocamento foi bastante reduzido devendo ser utilizada uma quantidade maior de passos de carga para melhores resultados 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0000 2000 4000 6000 8000 M1 Nó 877 M1 Nó 507 M1 Nó 594 M1 Nó 853 142 Figura 629 Resultado da análise AN2V5 634 Viga R1b de Melo 2011 A tabela 627 apresenta às propriedades dos materiais e os parâmetros do modelo de dano atribuídos a viga S8 no MTA Tabela 627 Propriedades atribuídas a viga S8 no MTA Concreto Aço E 3547 GPa E 11477 GPa 020 030 f0 440 MPa y 34639 f0 1304 MPa H A 1 As 800x106 m2 B 0744 f02Df01D 01714 Gf 7243 KNm b 005 m Este exemplo analisado apresentou resultados experimentais do concreto bastante satisfatórios tendo sido determinado experimentalmente o módulo de elasticidade e a energia de fratura 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0000 2000 4000 6000 8000 Carga KN Deslocamento mm M1 Nó 507 2000p M1 Nó 507 8000p 143 Inicialmente a viga foi discretizada em elementos de 625 mm e foi feita a análise dos nós de controle conforme identificado na figura 630 onde em azul encontrase o nó de carga em verde o nó de deslocamento e em vermelho os nós de controle Figura 630 Malha da viga R1b e localização dos nós principais A tabela 628 apresenta um resumo análise AN1R1B e a figura 631 a seguir apresenta os gráficos carga x deslocamento desta análise Tabela 628 Resumo da análise AN1R1B Análise AN1R1B Quantidade de elementos 791 791 791 791 791 Tamanho dos elementos 625 625 625 625 625 Quantidade de passos de carga 2000 2000 2000 2000 2000 Comprimentos de arco 20e6 20e5 20e7 20e6 20e5 20e7 20e6 20e5 20e7 20e6 20e5 20e7 20e6 20e5 20e7 Nó de controle 569 288 208 112 16 Carga última KN 12908 11886 12239 13038 15872 Deslocamento máximo mm 6177 3178 4222 6987 18058 144 Figura 631 Resultado da análise AN1R1B A tabela 629 resume o resultado da análise AN2R1B Com exceção do nó 16 todos os nós convergiram e apresentaram o mesmo comportamento na curva Fixouse o nó 288 como nó de controle localizado a uma distância do ponto de aplicação da carga de 375 cm e então variouse a quantidade de iterações e comprimentos de arco de modo a refinar esse resultado encontrado conforme tabela resumo 629 Tabela 629 Resumo da análise AN2R1B Análise AN2R1B Quantidade de elementos 791 791 791 791 Tamanho dos elementos 625 625 625 625 Quantidade de passos de carga 5000 8000 12000 15000 Comprimentos de arco 20e6 20e5 20e7 20e6 20e5 20e7 20e7 20e6 20e8 20e9 20e8 20e10 Nó de controle 288 288 288 288 Carga última KN 11886 11886 9747 9165 Deslocamento máximo mm 7640 11698 1745 0253 Na figura 631 é apresentado o gráfico carga x deslocamento da análise AN2R1B 0 2 4 6 8 10 12 14 0000 2000 4000 6000 8000 Carga KN Deslocamento mm M1 Nó 569 145 Figura 632 Resultado da análise AN2R1B Refinando a malha que antes estava subdividida em 625 mm para 375 mm o nó de controle passa a ser o 1136 a mesma distância de 375 mm de distância do ponto de aplicação da carga mantendo a mesma carga mesma posição do nó de carga e nó de deslocamento Conforme resumo mostrado na tabela 630 variouse a quantidade de iterações e consequentemente diminuiuse o comprimento de arco Tabela 630 Resumo da análise AN3R1B Análise AN3R1B Quantidade de elementos 3071 3071 3071 Tamanho dos elementos 375 375 375 Quantidade de passos de carga 2000 12000 18000 Comprimentos de arco 20e6 20e5 20e7 20e7 20e6 20e8 20e8 20e7 20e9 Nó de controle 1136 1136 1136 Carga última KN 13352 10694 9780 Deslocamento máximo mm 3379 1976 0362 A figura 633 mostra as curvas resultantes dessa análise 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0000 0100 0200 0300 Carga KN Deslocamento mm Nó 288 15000p 146 Figura 633 Resultado da análise AN3R1B O melhor resultado obtido em termos de carga última apresentou uma razão entre carga calculada e carga experimental de 115 sendo a análise AN2R1B com 15000 passos de carga malha M1 625 mm nó 288 e comprimento de arco da ordem de 107 Refinar a malha para elementos de 375 mm não foi tão efetivo em termos de carga última e aumentou desnecessariamente o tempo de análise devido ao aumento na quantidade de elementos 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0000 1000 2000 3000 4000 Carga KN Deslocamento mm M2 Nó 1136 2000p 147 7 PÓSPROCESSAMENTO DAS ANÁLISES Para as análises mostradas a seguir são válidas as escalas de tensões das figuras 71 e 72 sendo a primeira aplicada às imagens relativas à distribuição de tensões e a segunda relativa à distribuição do dano no elemento estrutural Figura 71 Escala do nível de tensão para distribuição de tensões Figura 72 Escala de nível de tensão para distribuição de dano 71 Viga A1 Serão apresentadas as imagens do pósprocessamento da análise AN1V1 malha de 25 mm M2 da viga A1 com 2000 passos de carga Inicialmente temse a distribuição de tensões de compressão e tração para o primeiro passo de carga ainda na fase elástica e para o último passo de carga situação em que a viga já não se encontra no domínio elástico Finalizando com as imagens do dano a compressão e tração juntamente com a deformada aumentada em cinco vezes 148 Figura 73 Trajetória de tensões de a compressão e b tração para o passo inicial Figura 74 Trajetória de tensões de a compressão e b tração para o último passo de carga Figura 75 Deformada distribuição do dano a a compressão na Viga A1 e b a tração na Viga A1 para o último passo de carga 15x Analisando a foto da ruptura da viga A1 verificase que o modelo representou a tendência de formação de fissuras entre os apoios e ponto de aplicação da carga No entanto no resultado experimental temse que as fissuras tendem a encontrarse no meio da viga pois o colapso se deu por flexão O modelo também não captou o esmagamento do concreto no meio vão ocorrido no ensaio 149 Figura 76 Ruptura da viga A1 GUIMARÃES 1980 72 Viga A2 As figuras 715 e 716 mostram a evolução do dano e a viga deformada nos últimos passos de carga Figura 7 7 Deformada distribuição do dano a tração na Viga A2 passo 3 Figura 7 8 Deformada distribuição do dano a tração na Viga A2 passo 4 30x 73 Viga V5 Os resultados mostrados correspondem à análise AN3V2 da viga A2 com 2000 passos de carga Da mesma forma que para a viga A1 nas figuras 79 e 710 temse uma distribuição de tensões na fase elástica e a seguir a distribuição de tensões e o dano no último passo de carga correspondente a carga última 150 Figura 79 Trajetória de tensões de compressão na Viga A2 passo 1 Figura 710 Trajetória de tensões de tração na Viga A2 passo 1 Figura 711 Trajetória de tensões de compressão na Viga A2 passo 4 Figura 712 Trajetória de tensões de tração na Viga A2 passo 4 Figura 713 Distribuição do dano a tração na Viga A2 passo 4 Figura 714 Distribuição do dano a compressão na Viga A2 passo 4 As imagens abaixo correspondem a análise AN3V5 da viga V5 com 2000 iterações A figura 715 mostra a evolução da distribuição de tensões de tração desde a fase elástica até a carga última e a figura 716 mostra a distribuição de tensões de compressão no elemento 151 Figura 7 15 Distribuição de tensões de tração no a passo 1 b passo 2 c passo 3 e d passo 4 Figura 7 16 Distribuição de tensões de compressão no a passo 1 b no passo 2 c no passo 3 e d no passo 4 Nas figuras 717 e 718 são mostradas a evolução do dano a tração e a compressão na viga desde o início da fase elástica até a carga última 152 Figura 717 Distribuição do dano a tração no a passo 1 b no passo 2 c no passo 3 e d no passo 4 Figura 718 Distribuição do dano a compressão no a passo 1 b passo 2 c passo 3 d passo 4 Por último são mostradas as deformadas juntamente com o dano ao elemento estrutural no último passo de carga figuras 719 e 720 153 Figura 7 19 Deformada Distribuição do dano a compressão no passo 4 15x Figura 7 20 Deformada Distribuição do dano a tração no passo 4 15x A figura 721 apresenta a ruptura da viga V5 em laboratório Comparandose a figura 720 que apresenta o dano a tração verificase que o modelo foi capaz de prever satisfatoriamente o comportamento real da estrutura Figura 7 21 Ruptura da viga V5 ROGOWSKY et al 1983 74 Viga R1b Finalizando seguem abaixo as imagens oriundas do pósprocessamento da viga R1b análise AN1R1b Em sequência temse a trajetória de tensões de tração de compressão dano a tração e dano a compressão 154 Figura 7 22 Distribuição das trajetórias de tensão de tração no passo 4 Figura 7 23 Distribuição das trajetórias de tensão de compressão no passo 4 Figura 7 24 Deformada Distribuição do dano a tração no passo 4 50x Figura 725 Distribuição do dano a compressão no passo 4 50x A figura 726 mostra a evolução do ensaio da viga R1b até o colapso Por se tratar de um exemplo simples de uma viga biapoiada com uma carga concentrada aplicada no meio do vão é previsível que haverá a formação de uma fissura no meio do vão que evoluirá até o colapso com maior ou menor deformação do elemento a depender da taxa de armadura No entanto verificase que o modelo apresentou um excelente resultado Figura 726 Evolução da ruptura da viga R1b MELO 2011 155 7 CONCLUSÕES A proposta de avaliar os métodos analíticos o software CAST e aplicar o software MicroTruss Analyzer foi empregada nos exemplos citados no capítulo 5 tendo sido obtidos bons resultados Aplicaramse os métodos analíticos que puderam prever corretamente modo de ruptura e forneceram valores seguros para a carga última do elemento estrutural Inclusive podese afirmar que para exemplos clássicos de vigasparede de geometria simplificada sem grandes fontes de não linearidade os métodos analíticos são a melhor escolha pois por meio de cálculos simples e de fácil desenvolvimento obtevese respostas seguras Em relação à proposta do CAST percebeuse que sua função didática de ilustrar o modelo de biela e tirante é a grande potencialidade do programa Os resultados obtidos subestimaram bastante a carga última dos exemplos E encontrouse grande dificuldade para representar as regiões nodais de forma mais fiel ao modelo de biela e tirante devido às limitações do programa A proposta de implementar a microtreliça e avaliar o software MicroTruss Analyzer forneceu resultados bastante satisfatórios Dentre os pontos fortes podese citar os excelentes resultados do pósprocessamento que mostraram representar os resultados experimentais a facilidade na entrada dos dados e manipulação dos arquivos do MTA Alguns pontos fracos podem ser citados como desvantagem de utilização de dessa análise como a necessidade de muitos parâmetros de entrada para o modelo de dano Nem sempre é possível obter exemplos a analisar que contenham todas as informações necessárias sendo necessário estimar muitos parâmetros o que acarreta em predições de carga última pouco satisfatórias Outro fator que influencia bastante no resultado final é a análise de convergência pois se verificou que a quantidade de passos de carga e tamanho de comprimento de arco são as variáveis que comandam a precisão do resultado final O usuário deve dispor de um tempo para essa análise para assim determinar as melhores condições para analisar cada exemplo Como sugestão para trabalhos futuros recomendase Implementar melhorias ao código do MTA Analisar mais exemplos de elementos com descontinuidades como por exemplo nós de pórtico REFERÊNCIAS 156 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6118 Projeto de Estruturas de Concreto Procedimento ABNT Rio de Janeiro 2007 AMERICAN CONCRETE INSTITUTE Building Code Requirements for Structural Concrete ACI 31808 and Commentary ACI 318R08 Farmington Hills Michigan 2008 BELARBI A HSU TTC Constitutive Laws of Softened Concrete in Biaxial Tension Compression ACI Structural Journal v 92 n 5 p 562573 1995 BELARBI A HSU TTC Constitutive Laws of concrete in tension and reinforcing bars stiffened by concrete ACI Structural Journal v 91 n 4 p 465474 1994 BENTZ E C et al Simplified Modified Compression Field Theory for Calculating Shear Strength of Reinforced Concrete Elements ACI Structural Journal p 614624 Jul Aug 2006 BIRRCHER D B Design of reinforced concrete deep beams for strength and serviceability 2009 370 p Tese Doutorado Universidade do Texas Austin 2009 BROWN M D Design for shear in reinforced concrete using strutandtie and sectional model 2005 397 p Tese Doutorado Universidade do Texas Austin 2005 CEBFIB Model Code First Complete Draft v 1 International Federation for Structural Concrete Lausanne Switzerland 224 p 1999 CERVERA M OLIVER J MANZOLI O A ratedependent isotropic damage model for the seismic analysis of concrete dams In Earthquake Engineering and Structural Dynamics v 25 p 9871010 1996 COMITÉ EUROINTERNACIONAL DU BETÓN CEBFIP Model Code 1990 Thomas Telford Services Ltd London 1993 FARIA R POUCA N V DELGADO R Modelação numérica do comportamento cíclico de pilares de betão armado In VI Congresso Nacional de Mecânica Aplicada e Computacional Seção II p 827836 Aveiro 2000 FARIA R POUCA N V DELGADO R Seismic Behaviour of a RC wall Numeric simulation and experimental validation In IV Congreso de Métodos Numéricos en Ingeniería Sevilha 1999 FERNANDES H H F Aplicação de um Modelo de Dano Isotrópico Escalar na Análise de Vigas Parede de Concreto Armado 2010 85 p Dissertação Mestrado Universidade de Brasília Brasília 2010 GONÇALVES R Análise de propagação de fissuras por fadiga em concreto pelo mef mediante a mecânica do dano contínuo 2003 103 p Dissertação Mestrado Escola de Engenharia de São Carlos EESCUSP São Carlos 2003 157 GUIMARÃES G B Análise experimental de vigasparede de concreto armado enrijecidas por pilares laterais 1980 133 p Tese Mestrado Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 1980 HERRMANN H J Patterns and scaling in fracture Fracture Processes In Concrete Rock and Ceramics CHAPMANHALLE FN SPON p 195211 1991 HRENNIKOFF A Solutions of problems of elasticity by the framework method Journal of Applied Mechanics n12 p169175 1941 KANG W T Estudo de propagação de fissuras arbitrárias utilizando o modelo reticulado da mesoestrutura Tese Doutorado Universidade de São Paulo São Paulo 2002 165 p LEONHARDT F MÖNNIG E Construções de concreto v2 Rio de Janeiro Editora Interciência 1979 LEY M T et al Experimental verification of strutandtie model design method Aci Structural Journal v104 n6 novdez 2007 LIANG Q Q STEVEN G P A performance based optimization method for topology design of continuum structures with mean compliance constraints Computacional Methods Applied Mechanics Engineering v191 n1314 p815823 2002 LIANGJENG LEU et al Strutandtie design methodology for threedimensional reinforced concrete structures Journal of Structural Engineering v132 n6 p929938 jun2006 LOURENÇO M S ALMEIDA J F Campos de tensões em zonas de descontinuidade In Anais do Encontro Nacional do Betão Estrutural 2004 MACGREGOR J G WIGHT J K Reinforced concrete mechanics and design 4 ed New jersey Pearson Prentice Hall 1132 p 2005 MANZOLI O L Rate dependent effects in an isotropic damage constitutive model for concrete In Internacional Center for Numerical Methods in Engineering CIMNE Technical Report nº 126 Barcelona 1994 MARTI P Basic tools of Reinforced Concrete beam design ACI JOURNAL Proceeding v92 n1 p4556 janfev 1985 MELO G S S A Análise paramétrica de vigasparede de concreto armado pelo método dos elementos finitos 1984102 p Tese Mestrado Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 1984 MELO L R T Monitoração de modelos físicos reduzidos para investigação do comportamento de estruturas em escala real 2011 241 p Dissertação Mestrado Universidade de São Paulo São Paulo 2011 158 MIRANDA A C O M A MEGGIOLADO et al Fatigue life and crack path predictions in generic 2D structural componentes In Engineering Fracture Mechanics 70 10 12591279 2003 MORSCH E Der eisenbetonbau seine anwendung und theorie Reinforced Concrete Theory and Application 1 ed 118 p 1902 NAGARAJAN P JAYADEEP U B PILLAI T M M Application of micro truss and strut and tie model for analysis and design of reinforced concrete structural elements Songklanakarin Journal of Science and Technology v 31 n6 p 647653 2009 NAGARAJAN P JAYADEEP U B PILLAI T M M Mesoscopic numerical analysis of reinforced concrete beams using a modified micro truss model Interaction and Multiscale Mechanics v 3 p2337 2010 NAGARAJAN P PILLAI T M M Strutandtie model for continuous deep beam analytical and experimental studies Journal of the Institution of Engineers India Civil Engineering v 90 nov 2009 OLIVER J HUESPE A E CANTE J C An implicit explicit integration schme to increase computability of nonlinear material and contactfriction problems In Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 197 2124 p 18651889 2008 ORTIZ I R de Strutandtie modelling of reinforced concrete short beams and beam column joints 1993 203 p Tese Doutorado University of Westminster Estados Unidos 1993 PARK J ET AL Automated FiniteElementBased Validation of Structures Designed by the StrutandTie Method Journal of Structural Engineering v 136 n 2 p 203210 fev 2010 RICHART F An investigation of web stresses in Reinforced Concrete beams University of Illinois Engineering Experiment Station Bulletin nº 166 Urbana 1927 RITTER W Die bauweise hennebique The hennebique construction method Schweizerische Bauzeitung v 17 1899 ROGOWSKY D M MACGREGOR J G ONG S Y Tests of Reinforced Concrete Deep Beams Strcutural Engineering Report n 109 Department of Civil Engineering University of Alberta Alberta 1983 SAINTVENANT A J C B Memoire sur la Torsion des Prismes Mem Divers Savants v 14 pp 233560 1855 SALEM H M The Micro Truss Model An Innovative Rational Design Approach for Reinforced Concrete Journal of Adavanced Concrete Technology v2 n1 p7787 2004 SANTOS D Análise de vigas de concreto armado utilizando modelos de bielas e tirantes 2006 171 p Dissertação mestrado Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo São Carlos 2006 159 SANTOS G G M Análise sistemática de vigasparede biapoiadas de concreto armado 1999 150 p Dissertação Mestrado Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 1999 SCHAFER K SHCLAICH J Consistent Design of Structural Concrete Using Strut and Tie Models In Colóquio sobre comportamento e projeto de estruturas v 5 Anais PUCRJ Rio de Janeiro 1988 SCHLAICH J SCHAFER K JENNEWEIN M Toward a consistent design of structural concrete Journal of the Prestressed Concrete Institute v32 n 3 p 74150 Mai Jun 1987 SILVA R C GIONGO J S Modelos de bielas e tirantes aplicados a estruturas de concreto armado São Carlos EESCUSP 2000 SIMO J C JU J W Strain and stressbased continuum damage models I Formulation In International Journal of Solids and Structures 23 7 821840 1987 SIMO J C JU J W Strain and stressbased continuum damage models II Computacional Aspects In International Journal of Solids and Structures 23 7 841869 1987 SMITH K N VANTSIOTIS A S Shear strength of deep beams ACI JOURNAL v79 n3 p201213 1982 SOUZA R A Concreto estrutural análise e dimensionamento de elementos com descontinuidade 2004 379 p Tese Doutorado Escola Politécnica da Universidade de São Paulo São Paulo 2004 TIMOSHENKO S P GERE J E Mecânica dos Sólidos LTC Rio de Janeiro 1994 TJHIN T N KUCHMA D A Integrated analysis and design tool for the strutandtie method Journal of Engineering Structures v 29 p30423052 mar 2007 WANG T K Estudo de propagação de fissuras arbitrárias no concreto utilizando o modelo reticulado da mesoestrutura Tese Doutorado Escola Politécnica da Universidade de São Paulo São Paulo 2002 163p WON D HINO S OHTA T Ultimate Strength Analysis of RC Deep Beams Using StrutandTie Models Journal of Materials Concrete Structures and Pavements JSCE v 38 n 592 p 181196 1998 ZHANG N TAN K Direct strutandtie model for single span and continuous deep beams Journal of Engineering Structures v29 p29873001 mar 2007